专题10 二次函数面积问题8大题型（期中复习讲义·培优版）九年级数学上学期新教材人教版

专题10 二次函数面积问题（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 割补法求面积 题型02 铅锤法求面积 题型03 平行线转化法求面积 题型04 面积转化技巧 题型05 将要求的四边形面积转化为三角形面积 题型06 面积比问题 题型07 与面积有关的定值问题 题型08 与面积有关的存在性问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 割补法求面积 能运用割补法把不规则图形拆、补成规则图形，计算图形面积 期中高频考点，多在二次函数几何综合大题第一小问，计算易错 铅锤法求面积 掌握铅锤法的模型，会确定水平宽、铅锤高，列式求解三角形面积 核心必考方法，压轴大题必考，学生容易找错水平宽与铅锤高 平行线转化法求面积 能利用平行线间距离相等，进行三角形等面积转化 中档难点，常用来找点的坐标，容易忽略平行线的构造 面积转化技巧 会识别图形，将复杂图形面积转化为易求图形面积 贯穿面积类大题，属于解题通用思路，需要灵活迁移 四边形转三角形求面积 能将四边形面积拆分为两个三角形面积之和 / 差进行计算 综合题常用拆分手段，注意区分凹四边形、凸四边形 面积比问题 会利用同高 / 同底三角形面积比等于底 / 高之比求解 中档考法，常结合坐标、线段比例，容易混淆比例关系 面积定值问题 能证明动点运动过程中图形面积保持不变 中档压轴小问，考察代数化简计算，容易计算失误 面积存在性问题 能根据指定面积列方程，求解满足条件的动点坐标 本专题压轴考点，计算量大，容易漏解、增根 知识点01 二次函数面积问题解题思路 如图1，三角形的一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”三角形的面积，直接用面积公式； 如图2，先把三角形补成梯形，算出梯形面积再减去两个规则三角形ADB、CEB的面积； 如图3，把三角形割成两个三角形，用“水平宽、铅锤高”的方法，计算面积方法如下: 图1 图2 图3 如图4，同底等高三角形的面积相等，平行线间的距离处处相等； 如图5，三角形底相同时，面积比等于高之比； 如图6，三角形高相同时，面积比等于底之比. 图4 图5 图6 题型一 割补法求面积 解｜题｜技｜巧 【典例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点是第一象限抛物线上的一点．若点的横坐标为，则的面积为______． 【变式1】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． (1)求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； (2)求的面积． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴上半轴于点B．在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标． 题型二 铅锤法求面积 解｜题｜技｜巧 【典例2】（26-27九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，点，另抛物线经过点. (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上是否存在一点M使的面积最大，若存在，请求出点M的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由． 【变式1】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三 平行线转化法求面积 【典例3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左边），点是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接，相交于点，连接．若与的面积相等，点的坐标是______． 【变式1】（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，抛物线的顶点在轴正半轴上，且过点和点 (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在抛物线上是否存在点（不与点重合）使的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 题型四 面积转化技巧 【典例4】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． (1)当时，______； (2)的最大值为_______． 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 【变式2】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线上的一点，且点在第一象限，连接交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若的面积是的面积的3倍，求点的坐标． 题型五 将要求的四边形面积转化为三角形面积 【典例5】（25-26九年级上·广东汕头·期末）已知抛物线的图象经过点，与轴交于点，其对称轴为直线，过点作轴交抛物线于点，的角平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若动点在直线下方的抛物线上，连接、，当为何值时？四边形面积最大，并求出其最大值； (3)如图2，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点使为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·全国·阶段检测）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线表达式； (2)求A，B两点的坐标； (3)如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形的最大面积；若不存在，请说明理由； 【变式2】（25-26九年级上·广东中山·期中）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A和点C，且交x轴于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标； (3)将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，求m的取值范围． 题型六 面积比问题 【典例6】（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点C，作轴交抛物线于点D，交于点，那么与的面积比值是_____． 【变式1】（26-27九年级上·北京·课后作业）在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 【变式2】（2026·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式． 题型七 与面积有关的定值问题 【典例7】（25-26九年级下·河北·单元复习）如图1，已知抛物线，与y轴交于点，与x轴交于点． (1)求这条抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)设点P是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P点使得△PAB的面积是定值S，求这三个点的坐标及定值S． 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； (3)如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值． 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象经过，且图象关于轴对称，点和点是此二次函数图象上的两个动点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点也在此二次函数图象上，求的最小值； (3)如图，若此二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在直线的下方，作轴，垂足为点，交于点（点在点的下方），连接，当为定值时，的值也为定值，求的值． 题型八 与面积有关的存在性问题 【典例8】（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）如图，抛物线与x轴负半轴交于点，与y轴交于点B，顶点C的横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)抛物线的对称轴交直线于点D，交x轴于点E，连接．抛物线上是否存在点P（不与点C重合），使得？若存在，求点P的横坐标；若不存在，说明理由． 【变式1】（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 【变式2】（21-22九年级下·甘肃金昌·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点P是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线下方，当点移动到什么位置时能使的面积最大？求出此时点坐标． 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 1（26-27九年级上·四川泸州·阶段检测）如图，二次函数过点，长方形的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和（     ） A．16 B．8 C．14 D．9 2．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，点P在该函数图象上，且满足，则点P的横坐标的所有可能值的和为（    ） A．2 B．0 C．4 D．6 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，连接、，若的面积为3，则点的位置有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2022九年级上·湖南长沙·竞赛）如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（2026·湖北武汉·中考真题）抛物线：与轴交于、两点（点在点左侧）． (1)求、两点的坐标． (2)如图1，直线交抛物线于、两点，的外心在边上，求的值． (3)如图2，抛物线：与抛物线交于、两点，连接．是线段上一点，过点作轴的平行线分别交抛物线、于、两点，连接、、、．求证：与的面积相等． 2．（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 3．（2026·四川自贡·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求，的值． (2)如图，过原点的两条直线与该抛物线相交于点，，，（点在第三象限，点在第二象限）． ①求线段长度的最小值； ②连接，分别交轴于，两点，设，的面积分别为，，是否存在直线使?若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二次函数面积问题（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 割补法求面积 题型02 铅锤法求面积 题型03 平行线转化法求面积 题型04 面积转化技巧 题型05 将要求的四边形面积转化为三角形面积 题型06 面积比问题 题型07 与面积有关的定值问题 题型08 与面积有关的存在性问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 割补法求面积 能运用割补法把不规则图形拆、补成规则图形，计算图形面积 期中高频考点，多在二次函数几何综合大题第一小问，计算易错 铅锤法求面积 掌握铅锤法的模型，会确定水平宽、铅锤高，列式求解三角形面积 核心必考方法，压轴大题必考，学生容易找错水平宽与铅锤高 平行线转化法求面积 能利用平行线间距离相等，进行三角形等面积转化 中档难点，常用来找点的坐标，容易忽略平行线的构造 面积转化技巧 会识别图形，将复杂图形面积转化为易求图形面积 贯穿面积类大题，属于解题通用思路，需要灵活迁移 四边形转三角形求面积 能将四边形面积拆分为两个三角形面积之和 / 差进行计算 综合题常用拆分手段，注意区分凹四边形、凸四边形 面积比问题 会利用同高 / 同底三角形面积比等于底 / 高之比求解 中档考法，常结合坐标、线段比例，容易混淆比例关系 面积定值问题 能证明动点运动过程中图形面积保持不变 中档压轴小问，考察代数化简计算，容易计算失误 面积存在性问题 能根据指定面积列方程，求解满足条件的动点坐标 本专题压轴考点，计算量大，容易漏解、增根 知识点01 二次函数面积问题解题思路 如图1，三角形的一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”三角形的面积，直接用面积公式； 如图2，先把三角形补成梯形，算出梯形面积再减去两个规则三角形ADB、CEB的面积； 如图3，把三角形割成两个三角形，用“水平宽、铅锤高”的方法，计算面积方法如下: 图1 图2 图3 如图4，同底等高三角形的面积相等，平行线间的距离处处相等； 如图5，三角形底相同时，面积比等于高之比； 如图6，三角形高相同时，面积比等于底之比. 图4 图5 图6 题型一 割补法求面积 解｜题｜技｜巧 【典例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点是第一象限抛物线上的一点．若点的横坐标为，则的面积为______． 【答案】 【分析】求出点三点的坐标，利用待定系数法求解直线的解析式，过点作轴交于点，求出点的坐标，算出线段的长，利用求解． 【详解】解：对于， 令，则，故， 令，则，故， 令，可得， 解得或，故， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴交于点， 则对, 令，则，故， ∴ ∴ 【变式1】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． (1)求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； (2)求的面积． 【答案】(1), (2)3 【分析】（1）利用抛物线对称性求出另一个x轴交点，设交点式代入B点求解析式，再代得顶点C． （2）求出直线，用对称轴截出线段作底，以水平距离为高算出面积． 【详解】（1）解：根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点的对称轴即为， 设另一个交点为，则有，解得， ∴抛物线与x轴的交点为、， ∴设抛物线交点式为， 又∵抛物线过点， 代入、有，解得， ∴抛物线解析式为， ∵点C为顶点，即代入有， 故． （2）解：记对称轴与交于点M， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴ ． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴上半轴于点B．在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标． 【答案】 【分析】连接，求出点A和点B的坐标，根据推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，当时，，则， 在中，当时，，解得或，则， ∴； 设， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大， 此时，即点Q的坐标为． 题型二 铅锤法求面积 解｜题｜技｜巧 【典例2】（26-27九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，点，另抛物线经过点. (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上是否存在一点M使的面积最大，若存在，请求出点M的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在M点的坐标为，的面积最大为 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，分割法求三角形的面积，将三角形的面积的最大值转化为二次函数求最值问题，即可得出结果. 【详解】（1）解：将A点坐标，点，点，代入二次函数中， 可得，解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：存在； 令，即， 解得． ∴，又． 设直线的解析式为，把代入得，解得， 所以直线的解析式为． 过点M作轴于F，交于点E． 设，则． ∴． ∴． ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，此时，M点的坐标为． 【变式1】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标是时，有最大面积，最大面积是． 【分析】（1）根据直线的解析式求出点、的坐标，再根据抛物线的对称性求出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据抛物线的对称轴是，可以求出抛物线的最小值为，最大值为，即可得到的取值范围； （3）过点作直线轴，交直线于点，设点的坐标是，即可得到点的坐标为，根据三角形的面积公式可得：，根据二次函数的性质可知当点的坐标是时，有最大面积，最大面积是． 【详解】（1）解：当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， 设点的坐标是， 抛物线的对称轴为直线， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 当时，可得：， 点的坐标是， 把点、、的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， 当时，； （3）解：设点的坐标是， 如下图所示，过点作直线轴，交直线于点， 则点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 整理可得：， 当时有最大面积，最大面积是， 此时，即点的坐标是． 【变式2】（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时点M的坐标为 (3)存在，符合条件的点P的坐标为：，，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作轴于点H，交线段于点D，先求直线的解析式，设点M的坐标为，用含q的式子表示出，进而用含q的式子表示出，利用二次函数的最值求解； （3）以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况：当以为对角线时，则；当以为对角线时，则；当以为对角线时，则，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图，作轴于点H，交线段于点D， 将代入，得， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为； 设点M的坐标为，则点D的坐标为， ， ， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 综上可知，的面积最大值为，此时点M的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 设，，，， ，，， 以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况： 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ，； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ， ， 综上可得，符合条件的点P的坐标为：，，，， ． 题型三 平行线转化法求面积 【典例3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左边），点是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接，相交于点，连接．若与的面积相等，点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上的点的坐标特点．连接，根据面积关系证得，求得直线的表达式，联立方程组求解即可； 【详解】解：令，则， 解得或， 令，则， ∴，，， 如图，连接， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， 设直线的表达式为，则， 解得：， ∴直线的表达式为， 设直线的表达式为， 把代入得：， ∴直线的表达式为， 联立得， 解得：（舍去）或， 当时，， ∴点的坐标是； 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，抛物线的顶点在轴正半轴上，且过点和点 (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在抛物线上是否存在点（不与点重合）使的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得， ∵抛物线的顶点在轴正半轴上， ∴顶点的坐标为； ∵点，点， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； (3)存在，或或 【分析】（1）先设抛物线的解析式为，再把点和点分别代入列式计算，即可作答． （2）先求出顶点的坐标为，根据得出，即可得出是直角三角形，即可作答． （3）根据平行线之间距离处处相等，以及一次函数的图象性质，平移性质，列出方程组，再进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴正半轴上， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）略 （3）解：存在，过程如下： 当点在的上方时， ∵的面积与的面积相等， ∴点到的距离等于点到的距离相等， ∴， ∵点，点， ∴设的解析式为， ∴， 解得， ∴的解析式为， ∵， ∴设的解析式为， ∵顶点的坐标为 ∴， ∴的解析式为， 依题意得， ∴， 整理得， 解得或， ∵顶点的坐标为； ∴把代入，得， ∴点P的坐标为； 当点在的下方时， ∵的解析式为，且记与的交点为点， ∴点的坐标为， 则， ∴， 即直线向下平移个单位到，则向下平移个单位得到的直线经过原点O， 即直线的解析式为， ∵的面积与的面积相等， ∴点到的距离等于点到的距离相等， 即与二次函数的交点分别是， 联立 解得， 点的坐标为；点的坐标为； 综上：点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理以及勾股逆定理，二次函数与面积综合，二次函数的图象性质，一次函数的几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式2】（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等知识点． （1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解； （2）先确定为等腰直角三角形，过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，通过三线合一得到，由三角形面积公式可得过点作平行线与抛物线交点即为点，然后求出直线解析式，再与抛物线解析式联立求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，； （2）解：存在，理由如下： 对于抛物线， 当，， 解得：， 当， ∴，， ∵， ∴， 过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则， ∴， ∴， 过点作平行线与抛物线交点即为点， ∵，， ∴， 设直线， 则， ∴， ∴直线， ∵∥， ∴设直线， 代入得：， 解得：， ∴直线， 与抛物线解析联立得：， 整理得： 解得： 或， ∴点P的横坐标为或． 题型四 面积转化技巧 【典例4】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． (1)当时，______； (2)的最大值为_______． 【答案】(1)/0.5 (2)/0.5625 【分析】本题考查了二次函数和几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用一次函数求出点A、C的坐标，结合再设出交点式，代入点C坐标求出抛物线解析式，由可得D的坐标，再利用平行线分线段成比例性质得到，即可解答； （2）作轴交于F，轴交于G，先得出比例，结合三角形的面积公式得到，设，则，表示出，进而表示出，再求出最大值即可解答． 【详解】（1）解：对于， 令，则，即， 令，则，即， 又， 设抛物线解析式为， 代入，则， 解得：， 设抛物线解析式为， ， 的纵坐标与的纵坐标相同，均为3， 对于，令，则， 解得：， ， ， 又， ． 故答案为：． （2）如图，作轴交于F，轴交于G， ， ， ， ， 当时，， ， 设，则， ， ， 当时，有最大值， 的最大值为． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点代入求出的值，再写出顶点的坐标即可； （2）由可得，代入即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解： ∵，， 又∵， ∴， 解得， 将代入，得， 解得或， ∴点的坐标为或． 【变式2】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线上的一点，且点在第一象限，连接交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若的面积是的面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求表达式即可； （2）根据题意可得，进而得到点纵坐标，再代入抛物线求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点 ， 解得， 抛物线的表达式； （2）解：由题意，设， 又的面积是的面积的3倍， ． ． 又， ． ， （舍去）． 点坐标为． 题型五 将要求的四边形面积转化为三角形面积 【典例5】（25-26九年级上·广东汕头·期末）已知抛物线的图象经过点，与轴交于点，其对称轴为直线，过点作轴交抛物线于点，的角平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若动点在直线下方的抛物线上，连接、，当为何值时？四边形面积最大，并求出其最大值； (3)如图2，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点使为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，有最大值是 (3)，，， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，利用二次函数解决最值问题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用点的坐标和对称轴求出的值即可； （2）作轴，交于点，根据角平分线的性质得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，则，然后根据图形面积列出二次函数解析式，根据顶点式求出最值即可； （3）分两种情况进行讨论，根据一线三垂直的模型，证明三角形全等，得出相等边，根据坐标表示出线段的长度，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 由对称轴为直线得，， ∴， ∴， 解得， 则， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图2，作轴，交于点， 假设， ∵平分，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：, 则直线 的解析式为：， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，有最大值是； （3）解：如图3，过点作轴，交轴于点，交对称轴于点， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 则， 解得或， ∴点的坐标为或； 如图4，过点作轴于点，过点作于点，连接， 同理得， ∴， 则， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为，，，． 【变式1】（25-26九年级上·全国·阶段检测）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线表达式； (2)求A，B两点的坐标； (3)如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形的最大面积；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)； (3)存在，点坐标为，四边形面积最大为． 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）二次函数 的对称轴是直线； （2）如果二次函数的图象与轴有公共点，那么公共点的横坐标就是一元二次方程的实根； （3）求得直线的解析式，用含有的代数式表示，根据，即可求得答案． 【详解】（1）解：因为抛物线的对称轴是直线，可得 解得 所以抛物线的解析式为 （2）解：当时，可得 解得， 所以点的坐标为，点的坐标为 （3）解：当时，，则点的坐标为． 设直线的解析式为． 将，代入，得 解得 所以直线的解析式为． 假设存在点，使四边形的面积最大． 设点的坐标为． 如图所示，过点作轴，交直线于点， 则点的坐标为． 则． 所以 所以当时，四边形的面积最大，最大值是． 因为， 所以存在点，使得四边形的面积最大，最大为． 【变式2】（25-26九年级上·广东中山·期中）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A和点C，且交x轴于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标； (3)将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值为，M的坐标为； (3)或 【分析】（1）由题意易得，，然后利用待定系数法可进行求解； （2）连接，由题意易得，设，，然后可得，进而根据二次函数的性质可进行求解； （3）由题意易得，然后可分当点在抛物线上时，当点在抛物线上时，进而问题可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则，解得：， ∴， 将，代入， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， ∵，， ∴， 设，， 令，得， 解得：， ∴； ∴ ， ∴当时，四边形面积最大，其最大值为； 此时M的坐标为； （3）解：将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图： ∴，， ∴， 当点在抛物线上时，得：， 解得：； 当点在抛物线上时，得：， 解得：， ∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 题型六 面积比问题 【典例6】（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点C，作轴交抛物线于点D，交于点，那么与的面积比值是_____． 【答案】4 【分析】首先利用待定系数法求得抛物线解析式为，进而确定点坐标，即可求得的面积；再确定点坐标，利用待定系数法解得直线、、的解析式，联立直线解析式和直线解析式，求解即可确定点坐标，过点作于点，易得，然后解得的面积，然后求解即可． 【详解】解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， 当时，可得，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴交抛物线于点D， ∴可令，可得， 解得，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 将点代入，可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线解析式和直线解析式， 可得，解得， ∴， 如下图，过点作于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、求二次函数解析式、一次函数与二次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 【变式1】（26-27九年级上·北京·课后作业）在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) 【分析】（1）根据题意得到，据此求解即可； （2）用含的代数式表示和，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：连接，由题意，得， ， ，而， ， 过M作轴于D， ∵， ． 【变式2】（2026·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先利用点C坐标与对称轴为求出，再求出点D的坐标，进而分别求出点C、D到的距离，利用列出方程，求出、的值，从而求出抛物线的解析式． 【详解】解：如图，令直线与交于点F， 将点代入抛物线得：， 抛物线对称轴为， ， ， 抛物线解析式为， 将代入得：， ， 轴，点P的纵坐标为2， 、， 、， 抛物线的图象开口向下， ， ， ， ， ， 解得：， ， 抛物线的解析式为． 题型七 与面积有关的定值问题 【典例7】（25-26九年级下·河北·单元复习）如图1，已知抛物线，与y轴交于点，与x轴交于点． (1)求这条抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)设点P是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P点使得△PAB的面积是定值S，求这三个点的坐标及定值S． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)，，， 【分析】（1）将交点坐标代入抛物线的解析式即可求解 （2）利用交点坐标联立方程组，由，可求得点P的坐标，由等底等高的三角形面积相等，可得另外两点的坐标，进而求得三角形的面积是定值 【详解】（1）∵抛物线，与y轴交于点，与x轴交于点 ∴ ∴ ∴抛物线解析式为：， ∵， ∴顶点坐标为 （2）∵点，点， ∴直线AB解析式 当时，， ∴点 如图1，设AB上方的抛物线上有点P，过点P作AB的平行线交对称轴于点C，且与抛物线只有一个交点为P， 设直线PC解析式为， ∴，且只有一个交点， ∴ ∴， ∴直线PC解析式为， ∴当，， ∴点C坐标， ∴ ∵， ∴， ∴点， ∵在此抛物线上有且只有三个P点使得的面积是定值S， ∴另两个点所在直线与AB，PC都平行，且与AB的距离等于PC与AB的距离， ∴， ∴点， 设的解析式为， ∴﹣＝﹣2+m，即 ∴的解析式为， ∴， ∴， ∴点， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； (3)如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2) (3) 解：的面积为定值，定值为3． 证明：将点代入直线，得，， 直线的表达式为：． 点既在抛物线上又在直线上， ， 整理得，， 解得，，； 点． 作轴于，作轴于，轴于，轴于，轴于， ， ，， ， ， ，． 设，则， 点， 又点在抛物线上， ， ， ，得，，即， 点． ． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）作，垂足为，设与轴的交点为．证明，得，，设，则，，解方程得．得直线的表达式为：，联立方程组求解即可； （3）用三角形全等求出点．根据即可求解． 【详解】（1）解： 抛物线的顶点在坐标原点， 设抛物线的表达式为． 将，代入，得： ， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，作，垂足为， 设与轴的交点为． 平分，， ，， ， ． ，轴， ， ， ，， 设，则，， 在中，， 解得，． ． 设直线的表达式为：， 代入，， 得， 解得， 可得直线的表达式为：， 联立，得：， 解得，或； 点． （3）略 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象经过，且图象关于轴对称，点和点是此二次函数图象上的两个动点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点也在此二次函数图象上，求的最小值； (3)如图，若此二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在直线的下方，作轴，垂足为点，交于点（点在点的下方），连接，当为定值时，的值也为定值，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）利用二次函数图象关于轴对称的性质，可知其一次项系数，得到函数的初步形式，再将已知点代入解析式，求出常数项的值，从而确定二次函数的完整解析式； （2）根据点在二次函数图象上，得到与的关系式，再将点代入二次函数解析式，消去后整理出关于的二次函数表达式，利用二次函数开口向上时顶点处取得最小值的性质，求出的最小值； （3）先联立二次函数与一次函数的解析式，得到关于的一元二次方程，借助韦达定理得到交点、横坐标的和与积，再根据垂直轴的条件，确定点、的坐标，结合三角形面积公式表示出和的面积，化简面积比，根据为定值时面积比为定值的条件，推出为与无关的定值，通过设正比例关系求出与的关系，将代入一元二次方程求解的可能值，最后结合点的位置限制条件检验，舍去不合题意的解，得到的正确值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象关于轴对称， ∴，， 将代入， 得，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点在二次函数图象上， ∴； ∵点在二次函数图象上， ∴， 即， 展开并整理得：； 这是关于的二次函数，其中，开口向上， ∴当时，取得最小值， 故的最小值为； （3）解：联立与， 得：，整理为， 设该方程的两根为、， 由韦达定理得：，； ∵轴，在直线上， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵； ∴； ∵为定值时，该比值为定值， ∴需为定值，即与成正比例， 设(为常数)，整理得， 该式对任意成立，故，解得，； 将代入方程， 得：，解得或； 当时，，， ∵点在线段上，点在点的下方， ∴，不等式组有解，符合题意； 当时，，， ∵点在线段上，点在点的下方， ∴，不等式组无解，不符合题意； 故． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解析式求解、最值、一次函数与二次函数的交点问题、韦达定理的应用以及三角形面积计算和定值问题的综合求解，关键在于将几何条件转化为代数关系，通过函数性质和代数变形化简表达式，再根据定值条件分析参数取值． 题型八 与面积有关的存在性问题 【典例8】（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）如图，抛物线与x轴负半轴交于点，与y轴交于点B，顶点C的横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)抛物线的对称轴交直线于点D，交x轴于点E，连接．抛物线上是否存在点P（不与点C重合），使得？若存在，求点P的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)点的横坐标为、、 【分析】（1）由顶点横坐标为，根据对称轴公式，推得；将点与常数项代入解析式，联立方程解得，，即可求出抛物线解析式； （2）先求出顶点、直线及交点，计算得．设横坐标为，作竖直高，推导得；列方程，舍去与点重合的，最终得到三个符合条件的横坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点横坐标为， ∴， ∴． 将点代入抛物线解析式得， 解得， ∴． ∴抛物线的解析式为； （2）解：将代入解析式得， ， ∴顶点为， 将代入解析式得，， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入， 得， 解得 ∴直线的解析式为， ∵对称轴交直线于点， ∴将代入直线得，， ∴， 过点作轴，交直线于点，如图： 设点的横坐标为，则，， ∴， 当（Q在A、D之间）时，如图： ∴， 当（Q在A左侧）时，如图： ∴， 当（Q在D右侧）时，如图： ， ∴，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴同理可得，， ∵， ∴， 当时，， ∵ ∴， 解得； 当， 解得，， ∵点不与点重合，且的横坐标为， ∴不符合题意， 综上所述，点的横坐标为、、． 【变式1】（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出时y的值可得点C的坐标，求出时x的值可得点A和点B的坐标； （2）根据（1）所求求出的面积，则可得到的面积，根据三角形的面积公式求出点M的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，则， 当时，则，解得，则； （2）解：由（1）得， ∴ ， ∴ ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴ ，即， ∴，即， 在中，当时，，此时方程无解，不符合题意； 在中，当时，，解得， ∴点的坐标为或． 【变式2】（21-22九年级下·甘肃金昌·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点P是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线下方，当点移动到什么位置时能使的面积最大？求出此时点坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出抛物线的对称轴为直线，结合二次函数的性质可得点、关于对称轴对称，故对称轴上任意点满足，的周长，由为定值，只需要最小即可，由两点之间，线段最短可得，当点在直线上时，最小，即点为直线与对称轴的交点，求出直线的解析式为，代入，计算即可得出结果； （3）由（2）可得直线的解析式为，作轴，交于点，连接、，设，则，，根据，并结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将，代入抛物线得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 令，则， 解得，， ∴， ∵， ∴点、关于对称轴对称， 故对称轴上任意点满足， ∴的周长， ∵为定值， ∴只需要最小即可， 由两点之间，线段最短可得，当点在直线上时，最小，即点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）解：由（2）可得直线的解析式为， 如图，作轴，交于点，连接、， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，的面积最大，此时，即． 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 1（26-27九年级上·四川泸州·阶段检测）如图，二次函数过点，长方形的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和（     ） A．16 B．8 C．14 D．9 【答案】A 【分析】利用抛物线和长方形的轴对称性，将轴左侧的阴影部分对称变换到轴右侧，发现阴影部分面积之和等于轴右侧长方形的面积. 【详解】解：二次函数的图象关于轴对称，长方形的顶点、在轴上，、在图象上， 长方形关于轴对称， 点的横坐标为， 点的横坐标为，当时，， 点的坐标为， ，， 根据对称性，轴左侧阴影部分的面积等于轴右侧抛物线与轴、围成的空白部分的面积， 阴影部分的面积之和等于矩形（即轴右侧长方形部分）的面积， . 2．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与x轴只有一个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m，最后计算的面积． 【详解】解：∵二次函数经过点，，两点纵坐标相等 ∴二次函数的对称轴为直线 ∵对称轴公式为， ∴，解得 又∵二次函数图象与轴只有一个交点 ∴ 解得 ∴二次函数解析式为 将代入解析式，得 ∴，， ∴，原点到直线的距离为 ∴． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，点P在该函数图象上，且满足，则点P的横坐标的所有可能值的和为（    ） A．2 B．0 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与面积综合．先求出二次函数与x轴交点A、B的距离，再根据三角形面积公式得到点P的纵坐标，分两种情况代入二次函数解析式求出点P的横坐标，最后计算所有可能横坐标的和. 【详解】解：依题意，∵令，则， ∵ ∴两边同除以得 ∴， 解得， ∴ ∵ ∴， 解得 ∴或 ①当时，代入函数得：， ∵ 两边同除以得， 整理得 设该方程两根为， 由一元二次方程根与系数的关系得 ②当时，代入函数得： ， 两边同除以得， 整理得 解得，， 则 ∴点P横坐标的所有可能值的和为， 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，连接、，若的面积为3，则点的位置有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数的性质． 通过求二次函数与坐标轴的交点确定点B和点A的坐标，分两种情况，即点在直线上方或点在直线下方，利用铅锤法表示出的面积，结合点P在抛物线上的条件求解，得到点P的个数． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴交于点， 令得， 解得或， ∴， 与y轴交于点B，令，得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 如图，当点在下方时，过点作轴交于点，   ， 设，则， ， ， 当时，取最大值，， 即点在下方时，， 所以在直线下方的抛物线上，存在点，可使的面积为3； 当时，， 解得，， 即在直线下方的抛物线上，存在两个点，可使的面积为3； 当点在上方时，， 所以在直线上方的抛物线上，有点，可使的面积为3， 根据抛物线的对称性，有个点，可使的面积为3， 即总共有4个点满足要求， 故选：D． 5．（2022九年级上·湖南长沙·竞赛）如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 【答案】 【分析】运用待定系数法求得解析式，设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点H，则，可得到，利用三角形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， ∴设， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点， 则， ∴， ∵的面积为15， ∴， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为． 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（2026·湖北武汉·中考真题）抛物线：与轴交于、两点（点在点左侧）． (1)求、两点的坐标． (2)如图1，直线交抛物线于、两点，的外心在边上，求的值． (3)如图2，抛物线：与抛物线交于、两点，连接．是线段上一点，过点作轴的平行线分别交抛物线、于、两点，连接、、、．求证：与的面积相等． 【答案】(1)， (2) (3)证明：设直线的解析式为，点的横坐标为，则， 轴， ，， 设，， 联立直线与抛物线得， 整理得：， ，是直线与的交点， ，是该方程的两根， ， 同理，联立直线与抛物线得， 整理得， ，也在抛物线上， ，也是该方程的两根， ， ， 过点作于点，则是和的公共高， ，，且， ， 同理，过点作于点，可得， ，， ． 【分析】（1）求出时对应点的坐标并结合点在点左侧即可求解； （2）先利用外心在边上推出是中点，得到点坐标；再根据列方程求解，结合取舍即可； （3）先设直线解析式与各点横坐标，联立直线与两条抛物线，借助一元二次方程根与因式分解证出；再利用等底同高三角形面积相等进行推导，即可证明两三角形面积相等． 【详解】（1）解：当时，， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，． （2）解：如图，连接， 的外心在上， ， 为线段的中点， 设，，则，是方程的两根， 整理得， 由韦达定理得， 点的横坐标为，即， ， 由勾股定理得， 又， 由求根公式，方程的根为， ， ， ，即， ， ， 整理得， 解得或， ， ． （3）略． 2．（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 【答案】(1) (2)3秒 (3)当时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据抛物线过点，，对称轴是求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，求出，根据四边形为平行四边形得．设，，得出求解即可； （3）根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为． 3．（2026·四川自贡·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求，的值． (2)如图，过原点的两条直线与该抛物线相交于点，，，（点在第三象限，点在第二象限）． ①求线段长度的最小值； ②连接，分别交轴于，两点，设，的面积分别为，，是否存在直线使?若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①线段长度的最小值为；②． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①设，求得，利用二次函数的性质求解即可； ②设，，分别求得直线、，的解析式，分别求得点、、的坐标，再求得直线的解析式，求得点的坐标，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点， ∴， 解得； （2）解：①由（1）得， ∴抛物线的解析式为， 设， ∴， 令，， ∴， ∴当时，线段长度的最小值为； ②设，， 设直线的解析式为， ∴， 则直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， ∵，， 则直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴； ∵，， ∴， ∴，的底边相同， ∴， ∴， ∴（舍去正值）， ∴ ∴直线的解析式为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $