3.1.1 椭圆及其标准方程（讲义，知识点&6大题型&刷好题）高二数学人教A版选择性必修第一册

司 第三章 圆锥曲线的方程 3.1.1 椭圆及其标准方程 课标要点 1.理解椭圆的定义，掌握椭圆的几何特征，明确定义中常数的限制条件。 2.推导椭圆的标准方程，分清焦点在x轴、y轴上两种标准方程形式。 3.掌握a，b，c的关系a2=b2+c2，能由标准方程求焦点、a，b，c的值。 4.会用待定系数法求椭圆标准方程，能判断点与椭圆的位置关系。 5.体会坐标法、数形结合思想，理解用代数方法研究几何曲线的基本思路。 学习重难点 重点： 1.椭圆的定义，定义中2a>|F1F2|的条件。 2.椭圆两种标准方程的形式，a，b，c三者之间的关系。 3.利用定义、待定系数法求解椭圆的标准方程。 难点： 1.椭圆标准方程的推导过程，含根式的化简运算。 2.辨析定义条件：区分2a>|F1F2|、2a=|F1F2|、2a<|F1F2|对应的不同轨迹。 3.焦点位置的判断，根据条件灵活选择合适形式设椭圆方程。 知识点 椭圆的定义 1、定义：平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫做半焦距． 2、椭圆定义的集合语言表示： 教材延伸 定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的． 否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 随学随练 1．（25-26高二上·河北张家口·期中）已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（    ） A． B． C． D． 知识点 椭圆的标准方程 1、椭圆标准方程的推导： （1）怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1． （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）.图1 焦点的坐标分别是， 又设M与的距离的和等于常数． 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为， 所以 （3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得 整理得 再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有，故设，就有． 2、椭圆的标准方程对比 3、椭圆标准方程的求解 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． （2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； （3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 特别提醒 椭圆标准方程中“标准”的含义 椭圆放置在平面直角坐标系的“标准状态下”的方程，即：①两个焦点、在坐标轴上；②线段的中点是坐标原点 随学随练 1．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 知识点 点与椭圆的位置关系 1、定义法：根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P在椭圆内部； 点P在椭圆上； 点P在椭圆外部． 2、代数法：对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外； 点在椭圆内； 点在椭圆上； 随学随练 1．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）点与椭圆的位置关系为（    ） A．在椭圆上 B．在椭圆内 C．在椭圆外 D．不能确定 2．（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点 椭圆的焦点三角形 1、焦点三角形定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”． 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，，之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题． （设为） 2、两条性质 性质1：，（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理）． 随学随练 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）椭圆的两个焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A．10 B．16 C．18 D．20 2．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知，为椭圆的两个焦点，若上一点满足，则面积为____． 题型 椭圆定义及其辨析 ▌例1 （25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知，分别是椭圆的上、下焦点，P是该椭圆上一点，则（    ） A． B． C．2 D．4 解题贴士 平面内到两定点距离之和为定值，且．辨析时分类判断：轨迹为椭圆；轨迹是线段；无轨迹。求值类题目直接利用定义转化线段长度，简化距离计算；注意定点、动点的位置，区分椭圆上点满足的恒等式，规避忽略条件造成的轨迹误判． ▌对点练1-1 （25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如果椭圆上一点P与焦点的距离等于3，那么点P与另一个焦点的距离是（    ） A．5 B．13 C．1 D．3 ▌对点练1-2 （25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，，，在上，，关于点对称，，关于直线对称，则四边形的周长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 ▌对点练1-3 （25-26高二上·山东济南·阶段检测）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则__________. 题型 求椭圆的标准方程 ▌例2 （25-26高二上·重庆·阶段检测）已知椭圆的左右焦点分别是，椭圆上任意一点到的距离之和为4，焦距为2，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 解题贴士 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． （2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； （3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． ▌对点练2-1 （25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若轴，的面积为，则的方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2 （25-26高二上·浙江·阶段检测）已知椭圆的左､右两个焦点分别为，且焦距为是上一点，若，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-3 （25-26高二上·江西上饶·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的一个焦点为，且过点，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆经过，两点，求椭圆的标准方程. 题型 椭圆方程的参数问题 ▌例3 （25-26高二上·江苏南京·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解题贴士 先识别焦点所在坐标轴，确定椭圆标准方程形式，抓住a2=b2+c2核心关系式． 已知方程求参数，对照标准式读出a2，b2，建立方程求解；已知条件求参数范围，结合a>b>0、a>c>0等隐含限制列不等式。焦点位置不确定时，要分类讨论焦点在x轴、y轴两种情况，检验参数满足椭圆成立条件，排除不符合a>b>0的增根． ▌对点练3-1 （25-26高二上·浙江宁波·阶段检测）设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是____________． ▌对点练3-2 （25-26高二上·浙江杭州·期中）已知方程表示椭圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 ▌对点练3-3 （25-26高二上·四川成都·阶段检测）是方程表示椭圆的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型 利用定义求解决焦三角问题 ▌例4 （25-26高二上·上海·阶段检测）设椭圆的左右焦点为，直线过点且交椭圆于两点，则的周长为_________. 解题贴士 （1）关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义式求解椭圆的焦点三角形的常用方法； （2）在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等． ▌对点练4-1 （25-26高二下·湖北宜昌·阶段检测）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差的绝对值为2，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 ▌对点练4-2 （25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，则的面积为（    ） A． B． C．2 D． ▌对点练4-3 （25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知P是椭圆上的一点，以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于，则点P的横坐标的绝对值为（    ） A． B．1 C． D．2 题型 利用定义解决距离和差的最值问题 ▌例5 （25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）为椭圆上一点，是它的上焦点，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 解题贴士 抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值． ▌对点练5-1 （25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，为定点，则的最大值是___________． ▌对点练5-2 （25-26高二上·山东·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为______. ▌对点练5-3 （25-26高二上·江西萍乡·阶段检测）已知椭圆的左焦点为，点为上一点，若，则的最大值为______． 题型 与椭圆有关的轨迹问题 ▌例6 （25-26高二上·安徽·阶段检测）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 解题贴士 常用方法：定义法、直译法（直接法）、相关点代入法．优先观察动点是否满足椭圆定义，满足则直接写出快速得到轨迹方程；不满足定义时，设动点坐标，把几何条件翻译成代数等式化简；相关点问题利用已知点在椭圆上的条件，建立动点与已知点坐标的代换关系．最后必须检验轨迹范围，剔除不符合题意的点，保证轨迹纯粹性，注意区分完整椭圆与椭圆的一部分． ▌对点练6-1 （25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练6-2 （25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）在直角坐标系中，线段的长为3，其中端点分别位于轴、轴上，点为线段上靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为___________． ▌对点练6-3 （25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 基础通关 1．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于（    ） A．7 B．7或5 C．10 D．10或2 2．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知点P在以F1，F2分别为左、右焦点的椭圆上，若，则（    ） A．3 B．13 C．5 D．7 3．（25-26高二上·吉林·阶段检测）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·开学考试）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南周口·阶段检测）（多选）下列说法中正确的有（    ） A．已知点，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 B．已知点，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C．已知点，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D．已知点，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 6．（25-26高二上·湖南长沙·期末）（多选）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（    ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 7．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知椭圆的一个焦点是，那么__________ 8．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为______． 9．（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 10．（25-26高二上·辽宁·期中）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; 素养提升 11．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上的点，过作角的外角平分线的垂线，垂足为点，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·四川达州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，过原点作于点，点到直线的距离为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·江西鹰潭·阶段检测）（多选）关于的方程，下列说法正确的是（    ） A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D．该方程不可能表示直线 14．（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（    ） A． B． C．7 D． 15．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知椭圆：的右焦点为，点为椭圆内一点.若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围为______. 迁移创新 16．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一个动点，记△的内切圆圆心为，则点与点的横坐标之比为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知为曲线上的一点，，分别为圆和圆上的点，则的最小值为______. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 司 第三章 圆锥曲线的方程 3.1.1 椭圆及其标准方程 课标要点 1.理解椭圆的定义，掌握椭圆的几何特征，明确定义中常数的限制条件。 2.推导椭圆的标准方程，分清焦点在x轴、y轴上两种标准方程形式。 3.掌握a，b，c的关系a2=b2+c2，能由标准方程求焦点、a，b，c的值。 4.会用待定系数法求椭圆标准方程，能判断点与椭圆的位置关系。 5.体会坐标法、数形结合思想，理解用代数方法研究几何曲线的基本思路。 学习重难点 重点： 1.椭圆的定义，定义中2a>|F1F2|的条件。 2.椭圆两种标准方程的形式，a，b，c三者之间的关系。 3.利用定义、待定系数法求解椭圆的标准方程。 难点： 1.椭圆标准方程的推导过程，含根式的化简运算。 2.辨析定义条件：区分2a>|F1F2|、2a=|F1F2|、2a<|F1F2|对应的不同轨迹。 3.焦点位置的判断，根据条件灵活选择合适形式设椭圆方程。 知识点 椭圆的定义 1、定义：平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫做半焦距． 2、椭圆定义的集合语言表示： 教材延伸 定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的． 否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 随学随练 1．（25-26高二上·河北张家口·期中）已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】因为椭圆方程为，所以，解得， 由椭圆的定义可得，又，所以，故选：B. 2．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据椭圆的定义可知，， 又，解得，．故选：A． 知识点 椭圆的标准方程 1、椭圆标准方程的推导： （1）怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1． （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）. 焦点的坐标分别是， 又设M与的距离的和等于常数．图1 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为， 所以 （3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得 整理得 再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有，故设，就有． 2、椭圆的标准方程对比 3、椭圆标准方程的求解 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． （2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； （3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 特别提醒 椭圆标准方程中“标准”的含义 椭圆放置在平面直角坐标系的“标准状态下”的方程，即：①两个焦点、在坐标轴上；②线段的中点是坐标原点 随学随练 1．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为两个焦点的坐标分别是，，所以椭圆的焦点在横轴上，并且， 所以由椭圆的定义可得：，即，所以由，，的关系解得， 所以椭圆方程是．故选：B． 2．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 【答案】 【解析】因为焦点为，，所以可设椭圆方程为， 因为点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆方程为. 知识点 点与椭圆的位置关系 1、定义法：根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P在椭圆内部； 点P在椭圆上； 点P在椭圆外部． 2、代数法：对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外； 点在椭圆内； 点在椭圆上； 随学随练 1．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）点与椭圆的位置关系为（    ） A．在椭圆上 B．在椭圆内 C．在椭圆外 D．不能确定 【答案】B 【解析】，可知点在椭圆内．故选：B. 2．（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由点在椭圆的内部， 可得：，且，，解得：或， 所以实数的取值范围为，故选：B 知识点 椭圆的焦点三角形 1、焦点三角形定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”． 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，，之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题． （设为） 2、两条性质 性质1：，（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理）． 随学随练 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）椭圆的两个焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A．10 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义易得. 【解析】由可得椭圆焦点在轴上，且长半轴长为， 则的周长为 .故选：D. 2．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知，为椭圆的两个焦点，若上一点满足，则面积为____． 【答案】2025 【解析】因为，所以椭圆的焦点在轴上，设焦距为， 由定义可得，因为，由勾股定理可得, 即， 所以， 所以面积为. 题型 椭圆定义及其辨析 ▌例1 （25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知，分别是椭圆的上、下焦点，P是该椭圆上一点，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】由椭圆方程可知， 所以椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为.故选：B. 解题贴士 平面内到两定点距离之和为定值，且．辨析时分类判断：轨迹为椭圆；轨迹是线段；无轨迹。求值类题目直接利用定义转化线段长度，简化距离计算；注意定点、动点的位置，区分椭圆上点满足的恒等式，规避忽略条件造成的轨迹误判． ▌对点练1-1 （25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如果椭圆上一点P与焦点的距离等于3，那么点P与另一个焦点的距离是（    ） A．5 B．13 C．1 D．3 【答案】A 【解析】由椭圆方程得，由椭圆的定义得， 则故选：A ▌对点练1-2 （25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，，，在上，，关于点对称，，关于直线对称，则四边形的周长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】连接，,因为，关于点对称，所以, 由于，关于直线对称，则为的中垂线， 则,, 所以四边形的周长为, 由椭圆的定义可得：，所以， 即四边形的周长为，故选：D ▌对点练1-3 （25-26高二上·山东济南·阶段检测）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则__________. 【答案】35 【解析】由题可得，为椭圆上顶点， 则根据椭圆的对称性知，，，， ∴. 题型 求椭圆的标准方程 ▌例2 （25-26高二上·重庆·阶段检测）已知椭圆的左右焦点分别是，椭圆上任意一点到的距离之和为4，焦距为2，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为2a， 已知该和为，故，得， 椭圆焦距为2c，已知焦距为，故，得， 由椭圆中，可得， 所以椭圆的标准方程为．故选：C． 解题贴士 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． （2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； （3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． ▌对点练2-1 （25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若轴，的面积为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，因轴，为线段的中点，，B为线段的中点， 在中，，设，则，. 因为的面积为，所以，解得（负值已舍去）， 所以，，，， 所以，则C的方程为，故选:C. ▌对点练2-2 （25-26高二上·浙江·阶段检测）已知椭圆的左､右两个焦点分别为，且焦距为是上一点，若，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 在中，由余弦定理可得，解得， 又，所以.故选:D. ▌对点练2-3 （25-26高二上·江西上饶·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的一个焦点为，且过点，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆经过，两点，求椭圆的标准方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据题意可知：椭圆的焦点在轴上，且，， 则，所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆方程为， 代入点，可得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 题型 椭圆方程的参数问题 ▌例3 （25-26高二上·江苏南京·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，方程表示焦点在轴上的椭圆. 则必有，解可得：. 即m的取值范围是.故选：A. 解题贴士 先识别焦点所在坐标轴，确定椭圆标准方程形式，抓住a2=b2+c2核心关系式． 已知方程求参数，对照标准式读出a2，b2，建立方程求解；已知条件求参数范围，结合a>b>0、a>c>0等隐含限制列不等式。焦点位置不确定时，要分类讨论焦点在x轴、y轴两种情况，检验参数满足椭圆成立条件，排除不符合a>b>0的增根． ▌对点练3-1 （25-26高二上·浙江宁波·阶段检测）设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是____________． 【答案】 【解析】由题意可得： ，解得：. 所以的取值围为：. ▌对点练3-2 （25-26高二上·浙江杭州·期中）已知方程表示椭圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【解析】因为方程表示椭圆， 所以，解得且． ▌对点练3-3 （25-26高二上·四川成都·阶段检测）是方程表示椭圆的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】当时，，，此时， 方程化简为表示圆，不满足充分性， 当方程表示椭圆时，，解得，不满足必要性. 故是方程表示椭圆的既不充分也不必要条件.故选：D. 题型 利用定义求解决焦三角问题 ▌例4 （25-26高二上·上海·阶段检测）设椭圆的左右焦点为，直线过点且交椭圆于两点，则的周长为_________. 【答案】12 【解析】 由椭圆可得， 由椭圆的定义可知， 故. 解题贴士 （1）关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义式求解椭圆的焦点三角形的常用方法； （2）在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等． ▌对点练4-1 （25-26高二下·湖北宜昌·阶段检测）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差的绝对值为2，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解析】椭圆方程，得，，，，. 由椭圆定义，； 已知，即。 当时， ，两式相加得，即， 代入得； 当时， ，两式相加得，即， 代入得； 综上所述或，焦距. 因为，即或,故是直角三角形. ▌对点练4-2 （25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，则的面积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】因为，所以，， 设，， 在中，由余弦定理得， 即，所以， 根据椭圆的定义可知，代入可求得， 故的面积为．故选： ▌对点练4-3 （25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知P是椭圆上的一点，以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于，则点P的横坐标的绝对值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由题知，则，， 设，则，即， 因为，所以，即. 所以点P的横坐标的绝对值为故选：B 题型 利用定义解决距离和差的最值问题 ▌例5 （25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）为椭圆上一点，是它的上焦点，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】设为椭圆的下焦点， 由椭圆方程知，，，，则， 由椭圆的定义得 所以， 当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 所以的最大值为.故选：A. 解题贴士 抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值． ▌对点练5-1 （25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，为定点，则的最大值是___________． 【答案】 【解析】根据椭圆的定义：， 取得最大值时，即最大. 由题意知， 如图所示：， 当，，共线，即为的延长线与椭圆的交点时取等号， 所以的最大值为﹒    ▌对点练5-2 （25-26高二上·山东·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 根据椭圆的定义可知， 所以， 又为圆上任意一点，则， 所以， 当且仅当、、、共线且、在和之间时，等号成立. 由题意知，，， 所以，即， 所以的最小值为. ▌对点练5-3 （25-26高二上·江西萍乡·阶段检测）已知椭圆的左焦点为，点为上一点，若，则的最大值为______． 【答案】 【解析】由题可得，，则，故， 设右焦点为，则， ， 由椭圆的定义可得，则， 易得点在椭圆外， 所以， 当且仅当三点共线且点在线段上时等号成立， 所以的最大值为． 题型 与椭圆有关的轨迹问题 ▌例6 （25-26高二上·安徽·阶段检测）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，则，且， 可得，化简得，即，且.故选：D. 解题贴士 常用方法：定义法、直译法（直接法）、相关点代入法．优先观察动点是否满足椭圆定义，满足则直接写出快速得到轨迹方程；不满足定义时，设动点坐标，把几何条件翻译成代数等式化简；相关点问题利用已知点在椭圆上的条件，建立动点与已知点坐标的代换关系．最后必须检验轨迹范围，剔除不符合题意的点，保证轨迹纯粹性，注意区分完整椭圆与椭圆的一部分． ▌对点练6-1 （25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， 因为，所以，所以.故选：A. ▌对点练6-2 （25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）在直角坐标系中，线段的长为3，其中端点分别位于轴、轴上，点为线段上靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为___________． 【答案】 【解析】设，，. 由可得，，即. 又点为线段上靠近点的三等分点，所以， 即，所以，. 所以，整理得. ▌对点练6-3 （25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心，半径为， 由题意可知，又点是圆上的点，则， 且，则， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，， 则点的轨迹方程；故选：B. 基础通关 1．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于（    ） A．7 B．7或5 C．10 D．10或2 【答案】B 【解析】因为焦距为2，所以. 当焦点在轴上，此时，且，解得； 当焦点在轴上，此时，且，解得. 综上，的值为7或5.故选：B 2．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知点P在以F1，F2分别为左、右焦点的椭圆上，若，则（    ） A．3 B．13 C．5 D．7 【答案】D 【解析】因为椭圆C的方程为，所以， 由椭圆的定义可得，且，所以.故选：D. 3．（25-26高二上·吉林·阶段检测）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由动点满足方程， 根据椭圆的定义，可得动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，即，则， 所以动点P的轨迹方程为.故选：C 4．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·开学考试）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆方程为， 因为，所以点在椭圆内部，A错误； 因为，所以点在椭圆内部，B错误； 因为，所以点在椭圆外部，C正确； 因为，所以点在椭圆内部，D错误.故选：C. 5．（24-25高二上·河南周口·阶段检测）（多选）下列说法中正确的有（    ） A．已知点，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 B．已知点，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C．已知点，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D．已知点，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 【答案】CD 【解析】根据题意，点，，则， 对于A，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹不存在，错误； 对于B，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹为线段，错误； 对于C，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆，正确； 对于D，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆，正确；故选：CD. 6．（25-26高二上·湖南长沙·期末）（多选）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（    ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【解析】由，所以，，，令，， 对于A：点在上、下顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，即， 当且仅当时等号成立，故D正确.故选：BD. 7．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知椭圆的一个焦点是，那么__________. 【答案】 【解析】椭圆可化为， 因为一个焦点是，所以， 而，即，解得. 8．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】因为方程表示椭圆， 则，解得且， 所以实数的取值范围为. 9．（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 【答案】(1)或；(2)；(3). 【解析】（1）因为，，所以. 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为； 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为. （2）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为， 且，， 所以， 所以椭圆方程为：. （3）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为，且， 又，故所求椭圆方程为. 10．（25-26高二上·辽宁·期中）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; 【答案】(1)；(2)； 【解析】（1）设，则，， 由，得，整理得， 故点P的轨迹方程E为. （2）由（1）知，点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，，， 故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为， 因为，所以点N在椭圆内， 由椭圆的定义得， 当P，N，三点共线(在线段PN上)时取等号， 所以的最大值为· 素养提升 11．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上的点，过作角的外角平分线的垂线，垂足为点，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可得 延长交延长线于点，因是的外角平分线且， 故为等腰三角形，即，为中点， 由椭圆定义：， 则， 在中，为中点，为中点， 根据三角形中位线定理：， 所以点的轨迹是以原点为圆心、半径的圆， 则轨迹长度（圆周长）：． 12．（25-26高二上·四川达州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，过原点作于点，点到直线的距离为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，因为， 所以，所以，又，所以， 所以，化简得，所以， 直线方程即，因为点到直线的距离为， 所以，所以，所以， 所以椭圆的方程为.故选：C 13．（25-26高二上·江西鹰潭·阶段检测）（多选）关于的方程，下列说法正确的是（    ） A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D．该方程不可能表示直线 【答案】AC 【解析】对于A，当时，，则， 方程，即表示椭圆，其焦点在轴上，故A正确； 对于B，当时，方程表示圆，其半径为，故B错误； 对于C，当时，，则， 方程，即表示椭圆，其焦点在轴上，故C正确； 对于D，当，，方程表示两条直线，故D错误.故选：AC 14．（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（    ） A． B． C．7 D． 【答案】AD 【解析】设为坐标原点，则，， 当时，，， 所以的面积为； 当时，， 所以的面积为. 同理，当时，的面积为.故选：AD. 15．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知椭圆：的右焦点为，点为椭圆内一点.若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】设椭圆的左焦点为， 因，则， 则椭圆的左焦点，右焦点， 由椭圆的定义可知，， 则， 因，所以，等号成立时三点共线， 因椭圆上存在一点，使得， 所以，得， 因点为椭圆内一点，则，，得， 故的取值范围为. 故答案为： 迁移创新 16．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，分别过点作直线l的垂线，垂足分别为， 则，，切点为， ∵，，∴O是AB中点， ∴是梯形的中位线， ∴， 又∵圆C的方程为，半径， ∴，∴，即， ∴动点P的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设该椭圆的方程为，则，， ∴，，， ∴动点P的轨迹方程为.故选：D 17．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一个动点，记△的内切圆圆心为，则点与点的横坐标之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆， 则， 设，与圆分别切于点，所以， 因为， 又因为，所以， 所以， 由切线性质可知， 所以， 所以， 又点与点的横坐标相同，所以点与点的横坐标之比为.故选：B 18．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知为曲线上的一点，，分别为圆和圆上的点，则的最小值为______. 【答案】7 【解析】设，，则（大于） 所以曲线表示椭圆，焦点为，， 所以，，，椭圆方程为 又和圆的圆心分别为， 所以的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $