2.4.2 圆的一般方程（讲义，知识点&6大题型&刷好题）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“圆的一般方程”核心知识点，系统梳理其形式特征、推导过程及成立条件，构建与标准方程互化的方法体系，延伸至二元二次方程表示圆的充要条件及点与圆位置关系的判断，形成完整知识支架。 该资料通过分层设计知识点与题型，结合随学随练和高考真题实例，以配方运算培养数学思维，借轨迹方程、月洞门问题发展数学眼光。课中辅助教师系统授课，课后通过基础与素养练习帮助学生查漏补缺，强化应用意识。

司 第二章 直线和圆的方程 2.4.2 圆的一般方程 课标要点 1.掌握圆的一般方程的形式，理解圆的一般方程的推导过程及成立条件。 2.能熟练将圆的一般方程与标准方程相互转化，会通过配方求圆心坐标和半径。 3.掌握二元二次方程表示圆的充要条件，能区分圆、点、无轨迹三种情况。 4.熟练运用待定系数法求解圆的一般方程，能根据不同条件灵活选取方程形式。 5.能用圆的一般方程解决定点、动点、参数求值等基础问题，深化数形结合思想。 学习重难点 重点： 1.圆的一般方程的特征及二元二次方程表示圆的充要条件。 2.一般方程通过配方化为标准方程，准确求解圆心与半径。 3.利用待定系数法求圆的一般方程，掌握两种圆方程的灵活转化。 难点： 1.准确辨析二元二次方程表示圆、单点、无轨迹的三种临界情况。 2.配方过程中常数项的变形运算，规避符号、移项、系数处理失误。 3.根据题目条件择优选用标准方程或一般方程求解圆的方程，优化解题步骤。 知识点 圆的一般方程 1、圆的一般方程：当时，方程叫做圆的一般方程． 其中为圆心，为半径． 2、圆的一般方程的形式特点 （1）项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）； （2）不含项； （3）． 3、一般方程与标准方程关系 对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知： （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 随学随练 1．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）圆的半径是___________. 【答案】 【解析】将圆的方程化简为. 所以圆的半径为. 2．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）已知曲线表示圆，则圆的半径为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【解析】曲线表示圆， 则，解得或. 当时，，不符合题意舍去. ∴，此时圆的方程可化为. ∴圆的半径为1.故选：B 知识点 圆的一般方程判断点和圆的位置关系 已知点，和圆的一般方程（）则 位置关系 代数关系 点在圆A上 点在圆A内 点在圆A外 随学随练 1．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【解析】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心.故选：C 2．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【答案】B 【解析】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得;故选：B 拓展 轨迹与轨迹方程 1、轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别： （1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征； （2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． 3、坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； （3）列式：列出关于的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 活学活用 1．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）已知动点与两定点的距离之比为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，由题可知故选：D 2．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，，定点，点Q是线段AP的中点， 所以，则，即， 又因为动点P在圆上，所以， 则，所以点Q轨迹方程为.故选：A 题型 圆的一般方程与标准方程互化 ▌例1 （25-26高二上·山东济南·期末）已知圆，则圆的半径_________． 【答案】 【解析】将圆的方程转化为标准方程为，所以圆的半径. 解题贴士 圆的一般方程与标准方程的转化方法 （1）圆的一般方程还未标准方程的方法是配方法，即把圆的一般方程，配方为（其中），则该圆的圆心为，半径为． （2）圆的标准方程化为一般方程的方法是展开法，即把圆的标准方程展开得，故，，． ▌对点练1-1 （25-26高二上·江西上饶·阶段检测）圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将对分别配方得 故圆的圆心为.故选：C ▌对点练1-2 （25-26高二上·安徽·阶段检测）圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为．故选：D. ▌对点练1-3 （24-25高二上·湖北·期末）已知圆上的所有点都在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，配方得， 则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得， 故实数的取值范围是.故选：A. 题型 二元二次方程表示圆的条件 ▌例2 （25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为等价于，表示圆，故A符合题意； 对于B，含项，不表示圆，故B不符合题意； 对于C，，易知时，不表示圆，故C不符合题意； 对于D，，，不表示圆，故D不符合题意． 故选：A． 解题贴士 1、圆的标准方程明确指出了圆的圆心和半径，而圆的一般方程则体现了圆的方程形式上的特点： （1），的系数相等且不为0；（2）没有项． 2、二元二次方程表示圆的条件． ▌对点练2-1 （25-26高二上·浙江温州·期末）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方程表示一个圆， 则，解得.故选：D. ▌对点练2-2 （25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程可化为，因为该方程表示圆， 故，，A正确． ▌对点练2-3 （25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 题型 求圆的一般方程 ▌例3 （25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测），，.三角形的外接圆方程为_______. 【答案】 【解析】设的外接圆方程为， 依题意得，解得， 故所求圆的方程为. 解题贴士 圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法．设所求圆的方程为，由三个条件得到关于的一个三元一次方程组，解方程组，确定的值． ▌对点练3-1 （25-26高二上·吉林长春·阶段检测）曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为______． 【答案】 【解析】在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为， 因为点在曲线上，则有， 即为. 故曲线的方程为. ▌对点练3-2 （25-26高二上·江苏常州·阶段检测）以和为一条直径的两个端点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】和为一条直径的两个端点，两点的中点即为圆的圆心， 又两点间的距离，圆的半径为， 则所求圆的方程为，即.故选：D. ▌对点练3-3 （2025高二上·广东东莞·专题练习）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线与两坐标轴的交点为， 则， 则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得：.故选：A 题型 点与圆的位置关系判断 ▌例4 （24-25高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（    ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【答案】A 【解析】因为， 所以点在圆的外部．故选：A. 解题贴士 解题核心是依托圆的一般方程，将点的坐标直接代入方程左侧代数式，根据计算结果与0的大小关系判定位置，代数式值大于0时点在圆外，等于0时点在圆上，小于0时点在圆内，无需配方转化为标准方程求圆心半径，简化运算的同时可快速解决含参数点圆位置判定、参数取值范围求解等问题． ▌对点练4-1 （24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误.故选：A ▌对点练4-2 （24-25高二上·河北唐山·阶段检测）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆的方程为， 可得圆的标准方程为，所以，解得， 因为点在圆外，可得， 整理得，解得或， 综上可得，实数的取值范围是.故选：D. ▌对点练4-3 （25-26高二上·天津·阶段检测）已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立，解得，即交点为. 再由交点在圆的内部，所以，解得.故选：C. 题型 四点共圆的判断 ▌例5 （24-25高二上·北京房山·期中）已知点在同一个圆上，则这个圆的方程为______. 【答案】 【解析】设圆的一般方程为， 将点代入得，解得， 满足，则， 将代入也适合， 故所求圆的方程为. 解题贴士 判断四点是否共圆的一般步骤 第一步，任取三点，求出由这三点确定的圆的方程． 第二步，将第四点代入方程，看其是否满足圆的方程，若满足则四点共圆；若不满足则四点不共圆． ▌对点练5-1 （25-26高二上·江苏苏州·期中）若四点，，，在同一个圆上，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆的方程为，， 又，，在圆上， 则，解得， 即圆的方程为， 又点在圆上， 则，解得或（舍），故选：D. ▌对点练5-2 （25-26高二上·四川成都·期末）若不同的四点，，，共圆，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D．7 【答案】D 【解析】解：设圆的方程为，分 别代入A，B，C三点坐标，得，解得， 所以A，B，C三点确定的圆的方程为． 因为也在此圆上，所以， 所以，解得a＝7或（舍去）．故选：D． ▌对点练5-3 （25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）在三角形ABC中，，，边上的高所在直线的方程为，AC边上的中线所在直线的方程为． (1)求C的坐标； (2)若，试判断A，B，C，D四点是否共圆，并说明理由． 【答案】(1)；(2)A，B，C，D四点共圆，证明见解析. 【解析】（1）因为边上的高所在直线的方程为， 所以设，则AC边上的中点为 ， 又因为AC边上的中线所在直线的方程为， 所以,解得，所以 （2）A，B，C，D四点共圆，理由如下： 设的外接圆为; 将，,坐标分别代入外接圆方程得： 解得, 所以的外接圆为； 将代入外接圆方程左边得到，满足圆的方程， 所以在的外接圆上，即A，B，C，D四点共圆. 题型 圆过定点问题 ▌例6 （23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点．故选：D． 解题贴士 将含参数的圆的一般方程整理为参数分离的恒等式形式，把方程拆分为含参数项与常数项两组，令两组式子分别等于0构建方程组，求解方程组得到固定点坐标，解题无需分类讨论参数取值，依托等式恒成立的性质锁定定点，适用于任意含参圆的定点探究、证明类题型，高效规避复杂配方运算． ▌对点练6-1 （25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【解析】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 ▌对点练6-2 （25-26高二上·天津南开·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__． 【答案】或 【解析】，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． ▌对点练6-3 （25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【答案】3 【解析】变形得到， 令，解得或， 不妨设，， 所以. 基础通关 1．（24-25高二上·福建泉州·期中）圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A．和 B．和2 C．和2 D．和 【答案】C 【解析】由，得，故圆心坐标为，半径为2.故选：C 2．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方程，即， 因为方程表示圆， 所以，解得，即实数m的取值范围是.故选：B. 3．（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 4．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）当点在圆上运动时，它与定点相连，则线段PQ的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示， 设，因为M是线段PQ中点， 所以由中点坐标公式可得，，所以， 又因为P在圆上，所以， 于是可得M的轨迹方程为：，故选：B. 5．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知圆的圆心在轴的正半轴上，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆的标准方程为， 所以圆心为点，半径， 由题意，得，解得， 即实数的取值范围是.故选：C. 6．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）“圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示，以线段的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意可知、、， 设圆弧所在圆的方程为， 将、、三点的坐标代入圆的方程可得，解得， 所以圆弧所在圆的一般方程为，标准方程为， 故该圆的半径为.故选：C. 7．（25-26高二上·河南郑州·期中）（多选）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 【答案】ACD 【解析】对于A：由得：， 显然该方程表示圆心为，半径为的圆，所以A正确； 对于B：将点代入圆的方程得：，显然该圆不过坐标原点，所以B错误； 对于C：因为圆心始终在直线上，所以C正确； 对于D：由得：， 所以，解得或， 所以该方程表示的圆恒过两点， 因为这两点到原点的距离都为1，所以圆上总存在两点到原点的距离为1，所以D正确. 故选：ACD. 8．（25-26高二上·广东·阶段检测）过点的圆的标准方程为__________. 【答案】 【解析】设该圆的一般式方程为，, 由题意，可得,解得, 则该圆的方程为，即. 故答案为：. 9．（25-26高二上·重庆大足·阶段检测）曲线与曲线关于直线对称，则曲线的一般式方程为______． 【答案】 【解析】在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为， 因为点在曲线上，则有， 即为. 故曲线的方程为. 故答案为：. 10．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）到两定点和的距离的比等于2（即），则动点的轨迹方程是_______． 【答案】 【解析】依题意，， 代入得， 整理可得，化简得， 则动点的轨迹方程为. 素养提升 11．（25-26高二上·广东湛江·期中）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，又与点所连线段中点为，则， 因为点在圆上运动，则， 所以，故点轨迹方程为.故选：A 12．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知直线的倾斜角为，点，圆，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，直线的方程为，即， 圆可化为， 故圆心，半径为， 设点关于直线对称的点为， 则，，解得， 因为圆与圆关于直线对称，所以， 又圆的半径为，故圆的标准方程为.故选：C 13．（24-25高二下·湖北·阶段检测）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在，；(2)过定点或 【解析】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 14．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知圆心在轴上的圆过两点，其中为坐标原点. (1)求的标准方程； (2)设为上的一动点，，探究是不是定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1)；(2)是定值，5 【解析】（1）设，圆的方程为， 圆过两点， ∴，解得， 故的标准方程为. （2）设，则， ∴， ∵为上的动点，， ， 为定值5. 15．（25-26高二上·辽宁丹东·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)求曲线上的点到直线的最小距离. 【答案】(1)；(2)最小值为，最大值为；(3) 【解析】（1）设，则， 化简得，，即. （2）由知，圆心为，半径， 因为，所以点在圆外， ， 所以. （3）因为圆心到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为. 迁移创新 16．（25-26高二上·北京·期中）“康威圆定理”的内容如下：如图，的三条边长分别为，，．延长线段CA至点，使得，以此类推得到点，，，和，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．若在中，，，，康威圆圆心为K，则K的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，，， ， 则直线的方程为，所以， 是线段的中点，所以， 是线段的中点，所以， 设康威圆的方程为， 代入，，得： ，解得， 所以圆的一般方程为，即， 所以圆心.故选：D 17．（25-26高二上·广东广州·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（，），则点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．我们来研究与此相关的一个问题：已知圆O：上的动点M和定点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，点在圆上，取点， 连接、，有， 当点、、不共线时，， 又，故，则有； 当点、、共线时，有； 故恒成立， 则， 当且仅当点是线段与圆的交点时取等号， 所以的最小值为.故选：C. 18．（2026·安徽淮北·二模）已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】设中点为 ，则 ，所以 . 得的轨迹是和两条平行线所夹的区域，点到该区域的最小距离为点到直线的距离， 因为点 在圆 上，圆心 ，半径 ， 设点 到直线 的距离为 ， 则：， 所以 . 又因为 ，所以 . 综上， 的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 司 第二章 直线和圆的方程 2.4.2 圆的一般方程 课标要点 1.掌握圆的一般方程的形式，理解圆的一般方程的推导过程及成立条件。 2.能熟练将圆的一般方程与标准方程相互转化，会通过配方求圆心坐标和半径。 3.掌握二元二次方程表示圆的充要条件，能区分圆、点、无轨迹三种情况。 4.熟练运用待定系数法求解圆的一般方程，能根据不同条件灵活选取方程形式。 5.能用圆的一般方程解决定点、动点、参数求值等基础问题，深化数形结合思想。 学习重难点 重点： 1.圆的一般方程的特征及二元二次方程表示圆的充要条件。 2.一般方程通过配方化为标准方程，准确求解圆心与半径。 3.利用待定系数法求圆的一般方程，掌握两种圆方程的灵活转化。 难点： 1.准确辨析二元二次方程表示圆、单点、无轨迹的三种临界情况。 2.配方过程中常数项的变形运算，规避符号、移项、系数处理失误。 3.根据题目条件择优选用标准方程或一般方程求解圆的方程，优化解题步骤。 知识点 圆的一般方程 1、圆的一般方程：当时，方程叫做圆的一般方程． 其中为圆心，为半径． 2、圆的一般方程的形式特点 （1）项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）； （2）不含项； （3）． 3、一般方程与标准方程关系 对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知： （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 随学随练 1．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）圆的半径是___________. 2．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）已知曲线表示圆，则圆的半径为（    ） A． B．1 C． D．3 知识点 圆的一般方程判断点和圆的位置关系 已知点，和圆的一般方程（）则 位置关系 代数关系 点在圆A上 点在圆A内 点在圆A外 随学随练 1．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 2．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 拓展 轨迹与轨迹方程 1、轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别： （1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征； （2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． 3、坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； （3）列式：列出关于的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 活学活用 1．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）已知动点与两定点的距离之比为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型 圆的一般方程与标准方程互化 ▌例1 （25-26高二上·山东济南·期末）已知圆，则圆的半径_________． 解题贴士 圆的一般方程与标准方程的转化方法 （1）圆的一般方程还未标准方程的方法是配方法，即把圆的一般方程，配方为（其中），则该圆的圆心为，半径为． （2）圆的标准方程化为一般方程的方法是展开法，即把圆的标准方程展开得，故，，． ▌对点练1-1 （25-26高二上·江西上饶·阶段检测）圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2 （25-26高二上·安徽·阶段检测）圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3 （24-25高二上·湖北·期末）已知圆上的所有点都在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 二元二次方程表示圆的条件 ▌例2 （25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 1、圆的标准方程明确指出了圆的圆心和半径，而圆的一般方程则体现了圆的方程形式上的特点： （1），的系数相等且不为0；（2）没有项． 2、二元二次方程表示圆的条件． ▌对点练2-1 （25-26高二上·浙江温州·期末）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2 （25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-3 （25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 题型 求圆的一般方程 ▌例3 （25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测），，.三角形的外接圆方程为_______. 解题贴士 圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法．设所求圆的方程为，由三个条件得到关于的一个三元一次方程组，解方程组，确定的值． ▌对点练3-1 （25-26高二上·吉林长春·阶段检测）曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为______． ▌对点练3-2 （25-26高二上·江苏常州·阶段检测）以和为一条直径的两个端点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-3 （2025高二上·广东东莞·专题练习）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型 点与圆的位置关系判断 ▌例4 （24-25高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（    ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 解题贴士 解题核心是依托圆的一般方程，将点的坐标直接代入方程左侧代数式，根据计算结果与0的大小关系判定位置，代数式值大于0时点在圆外，等于0时点在圆上，小于0时点在圆内，无需配方转化为标准方程求圆心半径，简化运算的同时可快速解决含参数点圆位置判定、参数取值范围求解等问题． ▌对点练4-1 （24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-2 （24-25高二上·河北唐山·阶段检测）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-3 （25-26高二上·天津·阶段检测）已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型 四点共圆的判断 ▌例5 （24-25高二上·北京房山·期中）已知点在同一个圆上，则这个圆的方程为______. 解题贴士 判断四点是否共圆的一般步骤 第一步，任取三点，求出由这三点确定的圆的方程． 第二步，将第四点代入方程，看其是否满足圆的方程，若满足则四点共圆；若不满足则四点不共圆． ▌对点练5-1 （25-26高二上·江苏苏州·期中）若四点，，，在同一个圆上，则实数的值为（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-2 （25-26高二上·四川成都·期末）若不同的四点，，，共圆，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D．7 ▌对点练5-3 （25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）在三角形ABC中，，，边上的高所在直线的方程为，AC边上的中线所在直线的方程为． (1)求C的坐标； (2)若，试判断A，B，C，D四点是否共圆，并说明理由． 题型 圆过定点问题 ▌例6 （23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 解题贴士 将含参数的圆的一般方程整理为参数分离的恒等式形式，把方程拆分为含参数项与常数项两组，令两组式子分别等于0构建方程组，求解方程组得到固定点坐标，解题无需分类讨论参数取值，依托等式恒成立的性质锁定定点，适用于任意含参圆的定点探究、证明类题型，高效规避复杂配方运算． ▌对点练6-1 （25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． ▌对点练6-2 （25-26高二上·天津南开·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__． ▌对点练6-3 （25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 基础通关 1．（24-25高二上·福建泉州·期中）圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A．和 B．和2 C．和2 D．和 2．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）当点在圆上运动时，它与定点相连，则线段PQ的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知圆的圆心在轴的正半轴上，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）“圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河南郑州·期中）（多选）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 8．（25-26高二上·广东·阶段检测）过点的圆的标准方程为__________. 9．（25-26高二上·重庆大足·阶段检测）曲线与曲线关于直线对称，则曲线的一般式方程为______． 10．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）到两定点和的距离的比等于2（即），则动点的轨迹方程是_______． 素养提升 11．（25-26高二上·广东湛江·期中）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知直线的倾斜角为，点，圆，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·湖北·阶段检测）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 14．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知圆心在轴上的圆过两点，其中为坐标原点. (1)求的标准方程； (2)设为上的一动点，，探究是不是定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 15．（25-26高二上·辽宁丹东·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)求曲线上的点到直线的最小距离. 迁移创新 16．（25-26高二上·北京·期中）“康威圆定理”的内容如下：如图，的三条边长分别为，，．延长线段CA至点，使得，以此类推得到点，，，和，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．若在中，，，，康威圆圆心为K，则K的坐标为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·广东广州·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（，），则点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．我们来研究与此相关的一个问题：已知圆O：上的动点M和定点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．（2026·安徽淮北·二模）已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $