第05讲 椭圆的综合应用讲义（思维导图+2大知识点+10大题型+过关测试）-2025-2026学年高二数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版）

该高中数学讲义通过思维导图和对比表格系统构建椭圆知识体系，梳理椭圆定义、标准方程、几何性质等核心内容，用表格对比焦点在不同轴上的方程形式与性质，清晰呈现离心率、焦点三角形等重难点的内在逻辑。 讲义亮点在于10类题型的“例题+变式”设计，如焦点三角形面积计算、离心率取值范围探究等，通过一题多解培养数学思维，结合过关测试实现分层提升。教师可据此实施精准教学，学生能自主巩固基础并突破综合应用难点。

第05讲 椭圆的综合应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：椭圆的定义 4 知识点二：椭圆的方程、图形与性质 4 04 题型归纳，举一反三 7 题型1：椭圆的定义与标准方程 7 题型2：椭圆方程的充要条件 8 题型3：焦点三角形问题 10 题型4：弦长与面积问题 12 题型5：两线段的和差最值问题 16 题型6：离心率的值及取值范围 19 题型7：椭圆的简单几何性质问题 22 题型8：轨迹问题 25 题型9：定点定值问题 27 题型10：共线问题 32 05 过关测试 39 知识点一：椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 知识点二：椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 题型1：椭圆的定义与标准方程 【例1】（25-26高二上·福建三明·期中）已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线方程为，有 双曲线的焦点在轴上，所以椭圆的焦点也在轴上， 设其标准方程为，因为椭圆与双曲线同焦点，所以. 将点代入椭圆方程， 解得，又因为， 所以椭圆的标准方程为. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高二上·天津南开·月考）以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为双曲线方程为，所以，焦点在轴上， 所以，所以焦点坐标为，顶点坐标为. 所以椭圆的焦点坐标为，顶点坐标为， 所以椭圆的标准方程为. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，P是椭圆上一点，，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆定义知：，解得， 又离心率，，， 所以椭圆的标准方程为：. 故选：A 【变式1-3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求椭圆方程为， 将点代入，可得，解得（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 故选：D. 题型2：椭圆方程的充要条件 【例2】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由方程表示的曲线是椭圆，则且， 故选：D 【变式2-1】（25-26高二上·重庆·期中）已知方程 表示椭圆，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，方程表示椭圆，根据椭圆的标准方程或的特点可知：，且，解得或，综上所述的取值范围是. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高二上·重庆·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B．且 C． D． 【答案】C 【解析】由题意. 故选：C 【变式2-3】（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知曲线：，则“”是“曲线是椭圆”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】曲线：为椭圆，则，解得且， 可知是“曲线是椭圆”的必要不充分条件. 故选：C. 题型3：焦点三角形问题 【例3】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【解析】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为， 则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知椭圆的两个焦点为，，过原点的直线与该椭圆交于，两点，若，的面积为，则的周长为（   ） A．12 B． C． D．6 【答案】B 【解析】，又，故， 则，故，即， 且有， 故， 即，故的周长为. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】D 【解析】由椭圆方程知，，， 所以， 根据椭圆的定义可知，，又， 所以的周长为. 故选：D. 【变式3-3】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，在轴下方的点在椭圆上．若的面积为6，则直线的斜率可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在椭圆中，，离心率，所以， 所以．解得， 所以椭圆的方程为，所以，． 由题意得，的面积为6，解得． 因为，所以． 因为点在椭圆上，所以． 当时，直线的斜率为； 当时，直线的斜率为． 故选：A 题型4：弦长与面积问题 【例4】（25-26高二上·宁夏银川·期中）已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，离心率为，点在椭圆上，以原点为圆心的圆与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条互相垂直的射线交椭圆于，两点， （i）证明：直线与圆相切； （ii）求面积的取值范围. 【解析】（1）由条件可知，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）因为，所以，即， 设圆，因为与圆相切，所以，所以圆. 不妨设点在点的上方， 当斜率不存在时，因为，所以轴平分， 所以，所以， 所以或， 此时圆心到的距离为，所以直线与圆相切； 当斜率存在时，设， 联立，可得， 且，即， 所以，， 因为，所以 ， 化简可得， 所以圆心到的距离，所以直线与圆相切， 综上所述，直线与圆相切. （ii）当的斜率不存在时，由（i）可知； 当的斜率存在时，， ， 若时，， 若时，， 当且仅当，即时取等号， 因为， 由上可知，，所以，即， 综上所述，. 【变式4-1】（25-26高二上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值. 【解析】（1）由椭圆：的短轴长为4，得， 由椭圆的离心率，得，则， 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，， 由消去并整理得， ，解得，则， ， 原点到直线的距离，因此的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为4. 【变式4-2】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知椭圆：的右顶点为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与曲线C相交于A，B两点，点是线段的中点，求直线的方程和线段的长. 【解析】（1）由题意：，所以. 又因为椭圆：的右顶点为，所以，， 所以的标准方程为. （2）设交点坐标，， 因为弦被点平分，所以，. 又，两式相减得：， 所以直线的斜率， 故直线的方程为. 因为：，与椭圆方程联立， 所以，， 由弦长公式可知. 【变式4-3】（25-26高二上·河北·期中）已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 【解析】（1）由题意，且，，得， 因此椭圆的方程为. （2）设椭圆左焦点为，直线的方程为，，， 联立直线方程与椭圆方程， 可得，解得：，. 所以 题型5：两线段的和差最值问题 【例5】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是 ． 【答案】/ 【解析】设是椭圆的右焦点，则，. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为， 所以，所以的最大值为， 故的最大值为. 故答案为：. 【变式5-1】（25-26高二上·广东·期中）已知椭圆，点、，若点是上动点，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】在椭圆中，，，则， 故是的上焦点，设的下焦点为， 由椭圆定义可得，故，如下图所示： 则， 当且仅当点为延长线与的交点时取等号. 故的最大值为. 故答案为：. 【变式5-2】（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】 根据椭圆的定义可知， 所以， 又为圆上任意一点，则， 所以，当且仅当、、、共线且、在和之间时，等号成立. 由题意知，，， 所以，即， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式5-3】（25-26高二上·江苏泰州·期中）动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，则点的轨迹方程为 ，已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】设，，则，， 由已知可得，，即， 整理可得，. 所以，点的轨迹方程为. 所以，，，所以. 则为椭圆的左焦点，设右焦点为， 根据椭圆的定义有， 所以，， 又，且， 所以. 故答案为：；. 题型6：离心率的值及取值范围 【例6】（25-26高二上·云南昆明·期中）已知，是椭圆的左右焦点，若上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【解析】延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，则，， 设直线的方程为，，联立， 整理得，则①，②， 由可得③，联立①②③消去可得， 则，即，所以， 所以离心率的取值范围为. 故答案为： 【变式6-1】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 ． 【答案】 【解析】设，， ，，解得， 又，，即， 把代入，得，化简得， 点在上，把代入，得，得， 又，，化简得，即， 等式两边同时除以，得，即， 令，得，解得或， ，，即. 故答案为：. 【变式6-2】（25-26高二上·重庆大足·期中）设分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，若，则椭圆E的离心率为 【答案】 【解析】设，则， 由椭圆的定义，可得，， 在中，由余弦定理得， 可得， 整理得，解得， 所以，，则，所以, 在直角中，可得， 即，所以， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 【变式6-3】（25-26高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，在上，且，，则的离心率为 . 【答案】 【解析】设则 又，则 又，则, 则中,， 解得， 所以， 中， 化简为，所以， 故答案为： 题型7：椭圆的简单几何性质问题 【例7】（多选题）（25-26高二上·西藏拉萨·期末）设椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于、两点（不同于左、右顶点），则（    ） A． B．的离心率为 C．弦的长可能等于 D．的周长为 【答案】AB 【解析】对于A选项，在椭圆中，，，， 所以，A对； 对于B选项，椭圆的离心率为，B对； 对于C选项，，弦的长不可能等于，C错； 对于D选项，的周长为，D错. 故选：AB. 【变式7-1】（多选题）（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知神舟十三号天和核心舱的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面千米，远地点距地面千米，地球半径为千米，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的短轴长为千米 B．椭圆的短轴长为千米 C．椭圆的焦距为千米 D．椭圆的长轴长为千米 【答案】CD 【解析】设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 则 解得 , 所以， 故椭圆的短轴长为千米，A错误，B错误； ，故C正确，D正确, 故选：CD. 【变式7-2】（多选题）（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【解析】由可得，，，. 对于A选项，的周长为，A错； 对于B选项，设，，则， 所以当点为短轴顶点时，的面积最大，最大面积为，B对； 对于C选项，设，，、， 则，，则. 因为，所以，所以， 又，所以， 所以的取值范围为，C对； 对于D选项，由可得，， 由C知， ， 所以， 当时，有最大值， 当或时，的值为， 但是且，所以的取值范围为，D对. 故选：BCD. 【变式7-3】（多选题）（25-26高二上·河北·期末）已知直线经过椭圆的一个焦点，且与交于不同的两点，椭圆的离心率为，则下列结论正确的有（    ） A．椭圆的短轴长为 B．弦的最大值为4 C．存在实数，使得以为直径的圆恰好过点 D．若，则 【答案】ACD 【解析】由题知椭圆焦点在轴上，又直线过点，所以，即， 又，椭圆方程为：． 对于A，椭圆短轴长为，故A正确； 对于B，联立，消去整理得：恒成立， 设，则， ，因为，故，无最大值，故B不正确； 对于C，若为直径的圆恰好过点，则， 即， 即， 即解得：， 故存在实数，使得以为直径的圆恰好过点，C正确； 对于D，若，即， 故，解得：，所以D正确． 故选：ACD． 题型8：轨迹问题 【例8】（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，是线段上靠近的三等分点，则，，为关于轴的对称点．则， 所以 若，则，即； 则点的轨迹方程为：； 故答案为： 【变式8-1】（25-26高二上·天津·期中）动点满足方程，则动点P的轨迹是 ，其轨迹方程是 . 【答案】 以，为焦点，长轴长为10的椭圆； 【解析】设， 因为表示点到的距离，表示点到的距离， 又动点满足， 又，即， 动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为10的椭圆． 得，所以椭圆的标准方程为. 故答案为：以，为焦点，长轴长为10的椭圆； 【变式8-2】（25-26高二上·吉林长春·期中）如图，是椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，为椭圆在点处的切线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出点关于直线的对称点，则由椭圆的光学性质可得三点共线， 因为，长半轴长，所以， 因为为的中位线，所以， 即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 轨迹方程为， 故选：D. 【变式8-3】（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 动圆与圆内切，设动圆半径为，， 动圆与圆外切，， ，， ，动圆的轨迹是以为焦点的椭圆， ，， 动圆的轨迹方程为. 故选：C. 题型9：定点定值问题 【例9】（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 【解析】（1）设椭圆的方程为，一个焦点为， 所以，椭圆的另一个焦点为， 又C经过点，所以由椭圆定义得： ， 即，所以, 所以的方程为. （2）证明：由已知得， 由，得， 故， 设，，则，， ，， 由得， 即， 所以，解得或， ①当 时，直线 经过点，舍去； ②当时，显然有，直线 经过定点． 【变式9-1】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知椭圆分别是的左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)设分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，且， ①若直线交于点，证明点在定直线上，并求出该定直线的方程； ②证明：直线过定点，并求出此定点坐标. 【解析】（1）设椭圆的焦距为，因为的最大值为3，所以； 因为当为椭圆上顶点时，为等边三角形，所以，解得， 所以，即椭圆的标准方程为. （2）①证明：由（1）知，; 设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为， 直线的方程为， 联立，可得，即点在定直线上. ②证明：设，联立，得， 则有，解得，，即； 联立，得， 由得，，即； 设直线的斜率为， 当时，即时， 则. 所以直线的方程为， 即，所以直线过定点. 当，若，则,,此时直线的方程为； 若，则,,此时直线的方程为； 综上可得，直线恒过定点. 【变式9-2】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆，分别是的左、右顶点，点在上，且在轴上方. (1)若为坐标原点，直线与垂直，求点的坐标； (2)设直线交直线于点，连接交于点.设直线的斜率分别为，求证：为定值. 【解析】（1）由题意知：，， 设，则，， ，， 又，，解得：或， 与不重合，，， 点的坐标为. （2） 设，则直线，设， 由得：， ，解得：，，； ，又， ，即为定值. 【变式9-3】（25-26高二上·山东日照·期中）已知椭圆的两个焦点，，过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率为别为，，求证：为定值. 【解析】（1）因椭圆的两个焦点，，所以， 由的周长等于8，得， 即，得. 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）可知，设直线的方程为，. 将方程代入椭圆方程，得， 化简整理得，， . 所以，同理. 所以， 若，则，代入根与系数关系得， 即，再消去得，得无解， 故. 所以. 故为定值. 题型10：共线问题 【例10】（24-25高二上·北京·期末）已知焦点在y轴上的椭圆C：（）过点，且离心率为.设分别为椭圆的下顶点和上顶点，为椭圆上异于的一点，直线分别与直线：相交于两点，且直线与椭圆交于另一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)判断三点是否共线，并证明你的结论. 【解析】（1）根据题意得，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2） 根据题意可知直线与的斜率都存在且不为零，， 设，则（）， 则， 因为， 所以， 所以， 所以直线与的斜率之积为定值； ，，三点共线，证明如下： 设直线的方程为， 则直线的方程为， 所以， 所以， 所以设直线的方程为， 由，得， 设，则， 所以， 所以， 因为， 所以，， 所以， 所以，，三点共线. 【变式10-1】（24-25高二下·北京·期中）椭圆的离心率为，设A，B分别为E的左，右顶点，C，D分别为上、下顶点，四边形ACBD的面积为4． (1)求椭圆E的方程； (2)若直线与椭圆交于G、H，求的面积； (3)过点的直线l与椭圆E交于两点P，Q（不与A，B重合），若直线PB与直线相交于点N，求证：三点A，Q，N共线． 【解析】（1）由题意得：. 所以椭圆的方程为：. （2）如图： 将直线即代入椭圆，得：. 整理得：或 又直线交轴于点. 所以. （3）如图： 因为不与重合，可设直线方程为：，代入椭圆， 得：，整理得：. 设，， 则，. 直线方程为：， 令得：，即点坐标为：. 所以，， 因为 ， 所以，所以三点共线. 【变式10-2】（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆，，是的右顶点，椭圆的左、右焦点分别为，. (1)若椭圆的离心率为，且椭圆上存在两点，满足和同向且共线，求四边形面积的最大值； (2)已知的中垂线的斜率为2，且与椭圆交于、两点，若点在以为直径的圆内，求的取值范围. 【解析】（1）因为的离心率为，所以，即，解得， 所以椭圆方程为， 由题设，延长交椭圆于另一点，由对称性可知，，所以， 设直线，联立，可得， 所以， ， 由（1）求得，则， 则， 因为，所以， 所以， 又， 令，易知函数在上单调递增， 所以当，即时，. （2）由线段的中垂线的斜率为2，所以直线的斜率为， 则，解得，由，得中点坐标为， 故直线，即，显然直线过椭圆内点，故直线与椭圆恒有两不同交点， 设，，由消得， 由韦达定理得，， 因为在以为直径的圆内，则，且， 则有， 所以， 即，解得，又， 故，即的取值范围是. 【变式10-3】（23-24高二上·四川成都·期中）已知椭圆：焦距为，过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点､. (1)求椭圆的方程； (2)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若､和点共线，求实数的值. 【解析】（1）由题意得：焦距为，得， 点坐标代入椭圆方程得：， ，解得：，， 所以椭圆的标准方程为. （2） 设，，，， 则①，②， 又，所以可设，直线的方程为， 由消去可得， 则，即， 由，及①， 代入可得， 又，所以，所以， 同理可得. 故，， 因为､､三点共线，所以. 将点，的坐标代入，通分化简得， 即. 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知椭圆的左、右焦点为，，过点与曲线相交于两点若，以为直径的圆过点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，， 由为直径的圆经过点，得，在中，由勾股定理得， ，整理得，解得， 所以的离心率. 故选：B 2．（25-26高二上·广东·期末）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且， 可得，，，可得， 所以，所以椭圆的离心率为：． 故选：A． 3．（25-26高二上·福建厦门·期中）椭圆的左焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆方程可得，， 所以，解得， 又椭圆焦点在轴， 所以该椭圆左焦点坐标为， 故选：D 4．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）设椭圆的焦点为，，是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图： 椭圆的焦点为，，， 根据正弦定理可得， ，． 设，，则， 由余弦定理得， ， ， ， 又， ，即，即 故选：C 5．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）关于曲线，下列叙述不正确的是（   ） A．当时，曲线表示的图形是双曲线 B．当时，曲线表示的图形是椭圆 C．当时，曲线表示的图形是双曲线 D．无论取何值，曲线表示的图形都不是抛物线 【答案】B 【解析】当曲线为椭圆时，，解得或， 当时，曲线是圆，B选项错误； 当曲线为双曲线时，，则或，A、C选项正确； ∵，∴无论取何值，曲线表示的图形都不是抛物线，D选项正确. 故选：B. 6．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为，又因为，所以， 设焦距，因为， 所以，， 因为在中，， 所以， 则 所以，所以. 故选：D. 7．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，由椭圆的定义，得， 由，得，即， 整理得，解得，则，即点在轴上， 如图，在直角中，， 在中，，化简得， 所以椭圆的离心率. 故选：. 8．（25-26高二上·广东·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：(*)， 又的中点坐标为，所以，， 由(*)式可得， 又直线的斜率即直线的斜率，， 所以，而， 联立解得，，故椭圆的方程为：. 故选：A． 9．（多选题）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知曲线C：，点P是曲线C上一点，直线与曲线C交于不同的两点M、N，点为线段的中点，则下列说法正确的是（   ） A．曲线C的长轴长为 B．点P到直线的最大距离是 C．直线的方程为 D．若，则最大值是 【答案】AC 【解析】对于A，曲线C：为焦点在轴上的椭圆， ，，， 所以曲线C的长轴长为，故A正确； 对于B，设与直线平行的直线为，， 将与联立得， 令，解得， 此时直线与曲线C相切， 当时，直线的方程为， 此时两平行线的距离为， 当时，直线的方程为， 此时两平行线的距离为， 故点P到直线的最大距离是，故B错误； 对于C，直线与曲线C交于M、N两点，且点为线段的中点， 设，，则，. 由点差法得：，所以， 所以，即， 所以直线的方程为：，即，故C正确； 对于D，设曲线C上点， 由得. 定点，则， 将代入得， 这是关于x的二次函数，开口向下，对称轴为， 当时，，所以最大值是，故D错误； 故选：AC. 10．（多选题）（25-26高二上·福建厦门·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上的动点，则（   ） A． B．的最大值为3 C．存在点P，使得 D．的最大值为4 【答案】BD 【解析】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，，故A错误； 对于B，由椭圆的性质可知，故B正确； 对于C，当时，最大， 此时， 故的最大值为，所以不存在点，使得，C错误； 对于D，，当且仅当时取等，故D正确； 故选：BD 11．（多选题）（25-26高二上·四川达州·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为16 B．面积的最大值为12 C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为 【答案】BCD 【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A：的周长为，A错误； 对于B：设，，则，B正确； 对于C：由，得以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交， 当P为此交点时，，因此存在点P，使得∠，C正确； 对于D：，，D正确. 故选：BCD 12．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰的内切圆的圆心，过作于点，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】或 【解析】因为，即，所以． 因为点是以为底的等腰内切圆的圆心，则， 又为的角平分线，延长交直线于点， 在与中， ， 所以， 所以， 所以为的中点， 又为的中点，所以为的中位线， 所以． 若在轴右侧，则， 所以， 即，所以． 若在轴左侧，则， 所以， 即，所以． 综上，椭圆的离心率为或. 故答案为：或. 13．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，动点P的轨迹为椭圆，且，则， 所以椭圆标准方程为. 故答案为：. 14．（25-26高三上·天津武清·月考）已知是椭圆上的点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则内切圆的半径为 ． 【答案】 【解析】因为，即， 所以. 由椭圆方程可知所以 所以， 如图，不妨取点在第一象限内，设， 则，由余弦定理知， 即， 解得. 所以. 设内切圆的半径为， 则由等面积法可知， 解得. 故答案为：. 15．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程. (1)中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点两点的椭圆； (2)与双曲线有公共焦点且经过点的双曲线； 【解析】（1）因为椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点， 所以分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在轴上， 可设方程为， 所以，， 所以椭圆的标准方程为； （2）因为双曲线的焦点为， 可设双曲线的方程为，且， 将点代入曲线方程可得， 解得， 所以双曲线的标准方程为. 16．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）一个动圆Q与圆外切，与圆内切，设圆心Q的轨迹为曲线C，过点作斜率为k的直线l交曲线C于A，B两点． (1)求曲线C的方程； (2)在y轴上求异于的点P，使得对于任意的直线l，都有； (3)设，分别为曲线C的上、下顶点，直线与直线交于点M，若曲线C在点A处的切线交y轴于点N，试判断直线AB与直线MN的交点H是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由． 【解析】（1）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 设动圆的半径为， 圆与圆外切，与圆内切， ，， ，， ，的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，即，， 的轨迹方程为. （2）在y轴上求异于的点P，设， 当时，两点关于轴对称，满足，故符合题意； 当时，设过点作斜率为的直线的方程为， 将代入中得到， 整理得， 设， 则， 对于任意的直线l，都有，为的角平分线， ， ， ，， ，， ，， ，， ，， 综上可知，在y轴上存在异于的点，使得对于任意的直线l，都有； （3），，分别为曲线C的上、下顶点， ，设， 则在点处的切线方程为， 将代入，解得，则， 将代入得，则 ，直线的方程为， ，直线的方程为， 将代入，得， 解得，即， 即，即为的横坐标， 将代入， 即， 即， 即，即为的纵坐标， 故，， ， ，，， 将代入， 得， 直线的方程为， 直线的方程为，解得， 将代入直线得， ， ， ， ， ， ， 将代入， 得， ，， 直线AB与直线MN的交点的纵坐标为定值， 直线AB与直线MN的交点在定直线上. 17．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左右焦点分别是，上顶点，右顶点为，的外接圆半径为2． (1)求椭圆的方程； (2)动圆的圆心坐标，过点作圆的两条切线分别交椭圆于和两点，记直线的斜率分别为和．求证：； (3)设直线与椭圆交于两点（不是左右顶点），若以为直径的圆经过点，求证：直线恒过定点． 【解析】（1）因为右顶点为，所以 ，， 所以 ，设的外接圆的半径为， 则 ，所以， 所以椭圆的标准方程为． （2）设过点与圆的切线的直线为，动圆的半径为， 由已知，，化简得， 当时，过点的两条切线的方程分别为，，与条件矛盾， 当时，和是方程的两根， 由韦达定理知，. （3）若直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，消可得， 方程的判别式如下， 为， 设，， 则是方程的两个根， 所以，， 因为以为直径的圆经过点，所以， 又，， 所以 ，① 又 ， 所以， 将，，代入①式， 可得 ，解得 或， 当时，直线的方程为，直线过定点， 当时，直线的方程为，直线过定点，矛盾， 所以直线恒过定点. 18．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于两点，的周长为16，离心率．    (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 【解析】（1）由已知可得，所以， 则，所以椭圆的标准方程为． （2）由（1）知焦点坐标为， 设， 由已知得直线的方程为，即， 与联立消去，得， 则由韦达定理得， 故， 所以的面积为. 19．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B．      (1)求该椭圆的离心率； (2)记直线l与椭圆的另一交点为A，求的面积S． 【解析】（1）因为直线过椭圆的左焦点和一个顶点B， 令，解得，则上顶点，即， 令，解得，则左焦点，即， 所以，则离心率 （2）由（1）得，椭圆的方程为，与直线联立 ，消去y得， 解得或，则A点的横坐标， 所以的面积. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 椭圆的综合应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：椭圆的定义 4 知识点二：椭圆的方程、图形与性质 4 04 题型归纳，举一反三 7 题型1：椭圆的定义与标准方程 7 题型2：椭圆方程的充要条件 7 题型3：焦点三角形问题 8 题型4：弦长与面积问题 9 题型5：两线段的和差最值问题 10 题型6：离心率的值及取值范围 10 题型7：椭圆的简单几何性质问题 11 题型8：轨迹问题 11 题型9：定点定值问题 12 题型10：共线问题 13 05 过关测试 15 知识点一：椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 知识点二：椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 题型1：椭圆的定义与标准方程 【例1】（25-26高二上·福建三明·期中）已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·天津南开·月考）以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，P是椭圆上一点，，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 题型2：椭圆方程的充要条件 【例2】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·重庆·期中）已知方程 表示椭圆，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·重庆·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B．且 C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知曲线：，则“”是“曲线是椭圆”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型3：焦点三角形问题 【例3】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【变式3-1】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知椭圆的两个焦点为，，过原点的直线与该椭圆交于，两点，若，的面积为，则的周长为（   ） A．12 B． C． D．6 【变式3-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【变式3-3】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，在轴下方的点在椭圆上．若的面积为6，则直线的斜率可以为（　　） A． B． C． D． 题型4：弦长与面积问题 【例4】（25-26高二上·宁夏银川·期中）已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，离心率为，点在椭圆上，以原点为圆心的圆与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条互相垂直的射线交椭圆于，两点， （i）证明：直线与圆相切； （ii）求面积的取值范围. 【变式4-1】（25-26高二上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值. 【变式4-2】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知椭圆：的右顶点为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与曲线C相交于A，B两点，点是线段的中点，求直线的方程和线段的长. 【变式4-3】（25-26高二上·河北·期中）已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 题型5：两线段的和差最值问题 【例5】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是 ． 【变式5-1】（25-26高二上·广东·期中）已知椭圆，点、，若点是上动点，则的最大值为 . 【变式5-2】（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 . 【变式5-3】（25-26高二上·江苏泰州·期中）动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，则点的轨迹方程为 ，已知，，则的取值范围为 . 题型6：离心率的值及取值范围 【例6】（25-26高二上·云南昆明·期中）已知，是椭圆的左右焦点，若上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围为 . 【变式6-1】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 ． 【变式6-2】（25-26高二上·重庆大足·期中）设分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，若，则椭圆E的离心率为 【变式6-3】（25-26高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，在上，且，，则的离心率为 . 题型7：椭圆的简单几何性质问题 【例7】（多选题）（25-26高二上·西藏拉萨·期末）设椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于、两点（不同于左、右顶点），则（    ） A． B．的离心率为 C．弦的长可能等于 D．的周长为 【变式7-1】（多选题）（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知神舟十三号天和核心舱的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面千米，远地点距地面千米，地球半径为千米，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的短轴长为千米 B．椭圆的短轴长为千米 C．椭圆的焦距为千米 D．椭圆的长轴长为千米 【变式7-2】（多选题）（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【变式7-3】（多选题）（25-26高二上·河北·期末）已知直线经过椭圆的一个焦点，且与交于不同的两点，椭圆的离心率为，则下列结论正确的有（    ） A．椭圆的短轴长为 B．弦的最大值为4 C．存在实数，使得以为直径的圆恰好过点 D．若，则 题型8：轨迹问题 【例8】（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为 ． 【变式8-1】（25-26高二上·天津·期中）动点满足方程，则动点P的轨迹是 ，其轨迹方程是 . 【变式8-2】（25-26高二上·吉林长春·期中）如图，是椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，为椭圆在点处的切线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 题型9：定点定值问题 【例9】（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 【变式9-1】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知椭圆分别是的左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)设分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，且， ①若直线交于点，证明点在定直线上，并求出该定直线的方程； ②证明：直线过定点，并求出此定点坐标. 【变式9-2】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆，分别是的左、右顶点，点在上，且在轴上方. (1)若为坐标原点，直线与垂直，求点的坐标； (2)设直线交直线于点，连接交于点.设直线的斜率分别为，求证：为定值. 【变式9-3】（25-26高二上·山东日照·期中）已知椭圆的两个焦点，，过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率为别为，，求证：为定值. 题型10：共线问题 【例10】（24-25高二上·北京·期末）已知焦点在y轴上的椭圆C：（）过点，且离心率为.设分别为椭圆的下顶点和上顶点，为椭圆上异于的一点，直线分别与直线：相交于两点，且直线与椭圆交于另一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)判断三点是否共线，并证明你的结论. 【变式10-1】（24-25高二下·北京·期中）椭圆的离心率为，设A，B分别为E的左，右顶点，C，D分别为上、下顶点，四边形ACBD的面积为4． (1)求椭圆E的方程； (2)若直线与椭圆交于G、H，求的面积； (3)过点的直线l与椭圆E交于两点P，Q（不与A，B重合），若直线PB与直线相交于点N，求证：三点A，Q，N共线． 【变式10-2】（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆，，是的右顶点，椭圆的左、右焦点分别为，. (1)若椭圆的离心率为，且椭圆上存在两点，满足和同向且共线，求四边形面积的最大值； (2)已知的中垂线的斜率为2，且与椭圆交于、两点，若点在以为直径的圆内，求的取值范围. 【变式10-3】（23-24高二上·四川成都·期中）已知椭圆：焦距为，过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点､. (1)求椭圆的方程； (2)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若､和点共线，求实数的值. 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知椭圆的左、右焦点为，，过点与曲线相交于两点若，以为直径的圆过点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东·期末）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建厦门·期中）椭圆的左焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）设椭圆的焦点为，，是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）关于曲线，下列叙述不正确的是（   ） A．当时，曲线表示的图形是双曲线 B．当时，曲线表示的图形是椭圆 C．当时，曲线表示的图形是双曲线 D．无论取何值，曲线表示的图形都不是抛物线 6．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·广东·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知曲线C：，点P是曲线C上一点，直线与曲线C交于不同的两点M、N，点为线段的中点，则下列说法正确的是（   ） A．曲线C的长轴长为 B．点P到直线的最大距离是 C．直线的方程为 D．若，则最大值是 10．（多选题）（25-26高二上·福建厦门·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上的动点，则（   ） A． B．的最大值为3 C．存在点P，使得 D．的最大值为4 11．（多选题）（25-26高二上·四川达州·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为16 B．面积的最大值为12 C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为 12．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰的内切圆的圆心，过作于点，，则椭圆的离心率为 ． 13．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为 ． 14．（25-26高三上·天津武清·月考）已知是椭圆上的点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则内切圆的半径为 ． 15．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程. (1)中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点两点的椭圆； (2)与双曲线有公共焦点且经过点的双曲线； 16．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）一个动圆Q与圆外切，与圆内切，设圆心Q的轨迹为曲线C，过点作斜率为k的直线l交曲线C于A，B两点． (1)求曲线C的方程； (2)在y轴上求异于的点P，使得对于任意的直线l，都有； (3)设，分别为曲线C的上、下顶点，直线与直线交于点M，若曲线C在点A处的切线交y轴于点N，试判断直线AB与直线MN的交点H是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由． 17．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左右焦点分别是，上顶点，右顶点为，的外接圆半径为2． (1)求椭圆的方程； (2)动圆的圆心坐标，过点作圆的两条切线分别交椭圆于和两点，记直线的斜率分别为和．求证：； (3)设直线与椭圆交于两点（不是左右顶点），若以为直径的圆经过点，求证：直线恒过定点． 18．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于两点，的周长为16，离心率．    (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 19．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B．      (1)求该椭圆的离心率； (2)记直线l与椭圆的另一交点为A，求的面积S． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $