第10讲 梯形 优等生讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027学年 鲁教版(五四制)八年级数学上册

第10讲 梯形 优等生讲义 2026-2027学年鲁教版(五四制)八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解梯形的定义、底、腰、高等基本概念，能准确识别梯形并区分等腰梯形与直角梯形 · 掌握直角梯形的特征，会利用垂直关系与勾股定理求直角梯形的边长与面积 · 掌握等腰梯形的性质：两腰相等、同一底上的两底角相等、对角线相等、轴对称 · 掌握等腰梯形的三种判定方法，能依据条件判断四边形是否为等腰梯形 · 掌握梯形中位线定理，会求中位线长，并能用于证明平行关系与线段倍半关系 📚 知识梳理 ☆ 1.梯形的定义与直角梯形 一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫做梯形；平行的两边叫底（上底、下底），不平行的两边叫腰 两腰相等的梯形叫等腰梯形；一腰垂直于底的梯形叫直角梯形 两底之间的垂线段叫梯形的高，梯形面积＝(上底＋下底)×高÷2 常用辅助线：作高、平移一腰，把梯形转化为平行四边形与直角三角形求解 概念辨析例题：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝1，AB＝4，BC＝5，求梯形ABCD的面积。 解析：梯形面积＝(AD＋BC)×AB÷2＝(1＋5)×4÷2＝12，故选C。 ☆ 2.等腰梯形的性质 等腰梯形两腰相等，同一底上的两个底角相等（∠B＝∠C，∠A＝∠D） 等腰梯形的两条对角线相等（AC＝BD） 等腰梯形是轴对称图形，对称轴是两底中点的连线所在的直线 常作高或平移腰，把等腰梯形转化为平行四边形与直角三角形，利用特殊角求边长 概念辨析例题：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝4，BC＝8，∠ABC＝60°，求等腰梯形ABCD的面积。 解析：作高AE⊥BC，在Rt△ABE中∠B＝60°，得BE＝2，AE＝2，上底AD＝BC－2BE＝4，面积S＝(4＋8)×2÷2＝12。 ☆ 3.等腰梯形的判定 两腰相等的梯形是等腰梯形 同一底上两个底角相等的梯形是等腰梯形 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 判定时先确认四边形是梯形（一组对边平行、另一组对边不平行），再验证腰、底角或对角线关系 概念辨析例题：四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，下列条件中能判定四边形ABCD为等腰梯形的是（　　）A．AC＝BD　B．∠ABC＝∠BCD　C．OB＝OC，OA＝OD　D．OB＝OC，AB＝CD 解析：由OB＝OC、OA＝OD可得AC＝BD，根据对角线相等的梯形是等腰梯形，可判定四边形ABCD为等腰梯形。 ☆ 4.梯形的中位线定理 连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半（EF＝(AD＋BC)÷2） 梯形面积还可表示为：面积＝中位线×高 中位线常与三角形中位线、平行四边形结合，用于证明平行关系与线段倍半关系 概念辨析例题：如果梯形的中位线长为4，一条底边长为2，那么另外一条底边长为（　　） 解析：设另一条底边长为x，由中位线定理得(2＋x)÷2＝4，解得x＝6。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 梯形 一组对边平行、另一组对边不平行的四边形 分清上底、下底与腰；高是两底间的垂线段 直角梯形 一腰垂直于底的梯形 直角腰两端的两底角均为90°，面积＝(上底＋下底)×高÷2 等腰梯形 两腰相等的梯形 同一底上两底角相等，对角线相等，是轴对称图形 等腰梯形的判定 腰相等／底角相等／对角线相等的梯形 先确认是梯形，再作判定 梯形中位线 连接两腰中点的线段 平行于两底且等于两底和的一半 梯形面积 S＝(上底＋下底)×高÷2＝中位线×高 作高或平移腰构造直角三角形求解 ⚠️ 核心考点 【考点1】梯形的概念（第1-9题） · 由「一组对边平行、另一组对边不平行」识别梯形，先看平行关系再看两腰 · 求面积直接套(上底＋下底)×高÷2，作高构造直角三角形再代值 · 平移腰、作高把梯形转化为平行四边形与直角三角形，简化计算 · 梯形中已知两底角关系时，优先用两直线平行同旁内角互补列式 1．（2026春•越秀区期末）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝72°，∠B＝65°，则∠C的度数是（　　） A．125° B．65° C．108° D．115° 2．（2026春•市南区期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠C＝60°，AD＝4，DC＝6，则BC的长为（　　） A． B．16 C．14 D．12 3．（2026春•成都期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝6，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，则梯形ABCD的周长是（　　） A．30 B．24 C．18 D．12 4．（2026春•江阳区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠C，AD＝4，BC＝10，AB＝5，则BD的长是________________ ． 5．（2026春•溧阳市校级期中）梯形的上下底分别为3和7，一腰长为6，则另一腰长x的取值范围是___________ ． 6．（2026春•鼓楼区校级期中）已知在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝115°，则∠C的度数是________ ． 7．（2026春•郑州期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，BC＝5，∠C＝60°，则AB的长度为________________ ． 8．（2026春•鼓楼区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．求证：AB＝DC． 9．（2026春•同步）如图，在梯形ABCD中，∠B＝∠C，E，F是下底BC上的两点，BE＝CF，连接DE，AF，求证：DE＝AF． 【考点2】直角梯形（第10-18题） · 直角梯形中利用垂直关系与勾股定理求边长，注意含30°、60°角的直角三角形 · 求面积直接套(上底＋下底)×高÷2，直角腰即高 · 平移问题利用「平移前后图形全等、面积不变」列式求阴影面积 · 建立平面直角坐标系时以直角顶点为原点，写出各顶点坐标 10．（2024秋•同步）下列说法正确的是（　　） A．将长方形绕一边旋转一周可得到长方体 B．将直角三角形绕一直角边旋转一周可得到圆锥 C．将直角梯形绕一腰旋转一周可得到圆柱 D．将圆旋转一周可得到一球体 11．（2024•白云区开学）如图，甲是直角三角形，乙是平行四边形，丙是直角梯形，则甲、乙、丙三个图形的面积之比是（　　） A．2：5：3 B．1：5：3 C．1：5：4 D．2：5：4 12．（2026春•昆山市期中）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，CD＝CB＝4，AD＝2，则梯形ABCD的面积为________________ ． 13．（2026春•雁塔区期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，将梯形ABCD沿AB方向平移得到梯形A′B′C′D′，BC与C′D′相交于点E．若BC＝10，CE＝4，C′E＝3，则阴影部分的面积为_______ ． 14．（2026春•栖霞区期中）如图，将直角梯形ABCD沿AD方向平移，平移的距离为线段AE的长度，得到直角梯形EFGH．已知DK＝5，KC＝2，KG＝3，则图中阴影部分面积为_______ ． 15．（2026春•常州校级期中）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝1，AB＝4，BC＝5，则梯形ABCD的面积为_______ ． 16．（2024春•同步）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，且AB⊥BC于点B，点M在BC上，MA＝MD，又∠AMB＝75°，∠DMC＝45°．求证：AB＝BC． 17．（2024秋•陈仓区期中）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝6，AB＝3．请建立恰当的平面直角坐标系，并写出四个顶点的坐标． 18．（2025秋•鲁山县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BE＝AD，CE⊥BD，垂足为E． （1）求证：△ABD≌△ECB； （2）若∠DBC＝50°，则∠DCE＝ ________ ． 【考点3】等腰梯形的性质（第19-27题） · 两腰相等、同一底上两底角相等是基本等量关系，据此列方程 · 对角线相等常与全等三角形结合（如△ABC≌△DCB、△ABO≌△DCO） · 作高可得「下底＝上底＋2×水平截段」，配合45°、60°特殊角求高 · 利用轴对称性把等腰梯形问题转化为直角三角形问题求解 19．（2026春•阜宁县期中）如图，在等腰梯形ABCO中，点A坐标为（1，2），点C坐标为（3，0），则点B坐标为（　　） A．（2，2） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，3） 20．（2026春•镇江期中）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，∠B＝60°，，现有P、Q两个动点分别从点A、N同时沿梯形的边开始移动，点P依顺时针，方向环行，点Q依逆时针方向环行，若点P的速度与点Q的速度之比为2：3，则点P、点Q第2026次相遇在（　　）点． A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 21．（2026春•邳州市期中）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC与BD交于点O，下列四个结论中： ①∠BAD＝∠CDA； ②AO＝CO； ③∠ACB＝∠ACD； ④△ABO≌△DCO． 正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（2026春•锦江区校级期末）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD＝4cm，BC＝14cm，DE⊥BC于E，则DE的长为_____ cm． 23．（2026春•金凤区校级期末）等腰梯形的一个锐角等于45°，腰长为5cm，下底为11cm，则上底为 ____________________ cm． 24．（2026春•龙泉驿区期末）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝4，BC＝8，∠ABC＝60°，则等腰梯形ABCD的面积为_________________ ． 25．（2026春•永寿县校级期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝110°，将腰BC沿CD方向平移至AE的位置，则∠DAE的度数是_______ °． 26．（2025春•浦东新区校级期中）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M、N分别在边AD、BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E、F． （1）求梯形ABCD的面积； （2）若M、N分别是AD、BC的中点，连接AN、DN，求△ADN的面积． 27．（2025春•徐汇区校级期中）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AC⊥BD，AD＝2，BC＝8，求梯形ABCD的面积． 【考点4】等腰梯形的判定（第28-33题） · 判定前提：先确认四边形是梯形（一组对边平行、另一组不平行） · 两腰相等或同一底上两底角相等→等腰梯形 · 对角线相等→等腰梯形，常与全等三角形互证 · 方案设计与动点问题注意验证步骤的完备性，必要时分类讨论 28．（2024•青浦区二模）已知四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（　　） A．AC＝BD B．∠ABC＝∠BCD C．OB＝OC，OA＝OD D．OB＝OC，AB＝CD 29．（2024•杨浦区四模）已知梯形的四条边长分别是4、5、7、8，则中位线长可以为（　　） A．4.5 B．5.5 C．6 D．6.5 30．（2026春•东昌府区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠ADC的平分线与AB交于点E，与AC交于点F，连接OE，∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1．则下列结论：①四边形DEBC是等腰梯形；②AC；③OEAB；④S△OEDS▱ABCD，其中正确的有________ （填写序号）． 31．（2026秋•同步）如图，四边形ABDE由三个全等的等边三角形组成，它是一个等腰梯形吗？为什么？ 32．（2026•黄浦区二模）学校新建了一个录播教室，为了适应不同教学场景的需要，学校定制了一批新的课桌，要求这批课桌的桌面是等腰梯形的．这天数学老师带领八年级同学到录播教室开展数学探究活动，探究内容就是如何验证这批课桌的桌面是不是等腰梯形的．老师给同学们的探究工具是带刻度的直尺（可以精确量出给定两点的距离）和记号笔． （1）雏鹰小组给出了他们的验证方案，如下：先依次标记四边形桌面的顶点为A、B、C、D，接着测量AC与BD的长，如果AC≠BD，那么桌面不是等腰梯形；如果AC＝BD，再继续测量AB、CD、AD与BC的长，如果AB＝CD，AD≠BC，或者AB≠CD，AD＝BC，那么桌面是等腰梯形，不然，桌面就不是等腰梯形． 其他小组讨论了雏鹰小组给出的验证方案，一致认为这个方案是可行的．如果按雏鹰小组的验证方案，他们小组验证的结果为桌面确实是等腰梯形，就请你来说明一下理由（结合图示，写出已知、求证，并加以证明）； （2）请再设计一个验证方案，并说明验证的步骤． 33．（2026春•宝应县期中）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝20cm，BC＝10cm，DC＝12cm，P，Q同时从A，C出发，点P以4cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度运动，其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts．当t为何值时，四边形BCQP是等腰梯形？ 【考点5】梯形中位线定理（第34-45题） · 中位线＝(上底＋下底)÷2，知二求一 · 面积＝中位线×高，可绕开上下底直接求面积 · 与三角形中位线、平行四边形结合证明平行与倍半关系 · 阅读探究题按「已知—求证—证明」规范作答，先补全图形再推理 34．（2024春•同步）如果等腰梯形的两个底角是30°，腰长是8cm，高与上底相等，那么梯形的中位线长为（　　） A．8cm B．10cm C．（44）cm D．10cm 35．（2024•杨浦区四模）在四边形ABCD中，如果AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定四边形ABCD是等腰梯形的是（　　） A．AC＝BD＝BC B．AB＝AD＝CD C．OB＝OC，OA＝OD D．OB＝OC，AB＝CD 36．（2024春•同步）若等腰梯形两底角为30°，腰长为8厘米，高和上底相等，那么梯形中位线长为（　　） A．8 厘米 B．10厘米 C．（44 ） 厘米 D．16 厘米 37．（2024秋•闵行区校级月考）一个等腰梯形的周长为50，如果它的中位线与腰长相等，它的高为10，那么这个梯形的面积是________ ． 38．（2025春•长宁区校级期中）如果梯形的中位线长为4，一条底边长为2，那么另外一条底边长为 _____ ． 39．（2025春•虹口区校级月考）梯形的两条对角线互相垂直，且长度分别为x，y，则此梯形中位线长 ____________________ ． 40．（2025春•虹口区校级月考）梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，MN是中位线，∠DBC＝30°，且MN＝a，则对角线BD＝ ________________ ． 41．（2025春•长宁区校级月考）我们把有两个内角互余的梯形叫做“余角梯形”．如果一个的较短底边长为5，两腰长分别为3和4，那么这个梯形的中位线长是 ____________________ ． 42．（2025春•金山区期末）如果梯形一底边为6，中位线长为8，那么另一底边长为_______ ． 43．（2024•寿光市三模）已知梯形ABCD中，AD∥BC，点E，点F分别为AB，CD的中点． （1）请直接写出EF与AD，BC之间的位置关系和数量关系； （2）请证明（1）的结论． 44．（2024春•同步）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC＝BD，且AC⊥BD，如果梯形的高DE＝3，求梯形ABCD的中位线长． 45．（2024春•官渡区校级期中）阅读下面的内容： 求证：三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半 已知：△ABC中D、E分别是AB、AC的中点 求证：DE∥BC，且 证明：过点C作AB的平行线交DE的延长线于点F（图1） ∵CF∥AD ∴∠A＝∠ACF，∠ADE＝∠F 又∵AE＝EC ∴△ADE≌△CFE． ∴CF＝AD， ∵AD＝DB ∴CF＝BD 又∵CF∥BD ∴四边形BCDF是平行四边形 ∴DF∥BC并且DF＝BC ∴DE∥BC且 类似的，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线． 如图2，梯形ABCD中AD∥BC，E、F分别是腰AB、CD的中点，EF就是梯形中位线． 梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半． 请参考例题证明梯形的中位线性质． 已知：如图梯形ABCD中AD∥BC，E、F分别是腰AB、CD的中点． 求证：____________________ ． 证明： 💯 课后巩固 复习建议 · 牢记等腰梯形判定三步：先确认是梯形，再看腰相等、同一底上底角相等或对角线相等 · 遇到等腰梯形优先作高或平移一腰，构造直角三角形，用30°、45°、60°特殊角求高与边长 · 中位线是「桥梁」：求面积直接用中位线×高，证平行与倍半关系用它转化 · 动点与最值问题把所求线段转化为中位线或垂线段，借助「垂线段最短」定位最值 · 解答题按「已知—求证—证明」规范书写，综合题注意平移、旋转中的对应线段关系 46．（2026春•姑苏区期末）如图，在梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，点P，Q分别是AB，BC上的动点，连接PD，PQ，点E是PD的中点，点F是PQ的中点，连接EF．若BC＝2AD＝8，CD＝5，则线段EF长度的最小值为（　　） A．1 B． C．1.5 D．2 47．（2026春•青浦区校级期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AB⊥AE．若AB＝5，AE＝6，则梯形上下底之和为_______ ． 48．（2026春•同步）如图，梯形ABCD是一座水库堤坝的横断面．已知AD∥BC，∠B＝45°，∠DCB＝30°，坝顶AD＝6m，，求CD的长及堤坝横断面（即梯形ABCD）的面积． 49．（2025春•江夏区校级期中）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，CM＝BM，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于（　　） A．1cm B．2cm C．2.5cm D．3cm 50．（2026春•湘乡市校级期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠A＝90°，AD＝4cm，BC＝7cm，CD＝5cm，则梯形高＝________ ． 51．（2025秋•安溪县期中）为加强劳动教育，增加学生实践机会，清溪中学拟用总长为10米的篱笆，一面靠墙（足够长），围出一块8平方米的直角梯形ABCD菜地作为实践基地，如图所示．已知AD∥BC，∠B＝90°，AB＝AD＜BC．求梯形的两底长． 52．（2026春•广陵区期末）等腰梯形两底之差为8，高为4，则等腰梯形的钝角度数是（　　） A．120° B．135° C．145° D．150° 53．（2026春•临渭区期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，CD＝2，AB＝4，则AC＝________________ ． 54．（2026秋•单元）已知，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠A＝∠B＝60°，DC＝2，AB＝6，求四边形ABCD面积． 55．（2026春•徐州期中）如图，正六边形中包含_____ 个等腰梯形． 56．（2026春•扬州期中）如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，延长CB到点E，使BE＝AD，∠E＝∠ACE． （1）试说明梯形ABCD是等腰梯形． （2）连接BD，试判断BD与AE的数量关系，并说明理由． 57．（2024春•同步）如果等腰梯形底角为45°，高等于上底，那么梯形的中位线和高的比为（　　） A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．2：3 58．（2025春•长宁区期末）下列关于三角形的中位线、梯形的中位线的表述，正确的是（　　） A．联结三角形两腰中点的线段叫做三角形的中位线 B．联结梯形两底边中点的线段叫做梯形的中位线 C．三角形的一条中位线一定与该三角形第三边上的中线互相平分 D．梯形的中位线一定将该梯形分成面积相等的两部分 59．（2025春•奉贤区月考）如果一个梯形的四条边的长度分别为3，5，5，11，那么这个梯形的中位线长是 ________ ． 60．（2025春•嘉定区期末）叙述并证明梯形的中位线定理（写出已知、求证，画出图形，写出证明过程）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 梯形 优等生讲义 2026-2027学年鲁教版(五四制)八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解梯形的定义、底、腰、高等基本概念，能准确识别梯形并区分等腰梯形与直角梯形 · 掌握直角梯形的特征，会利用垂直关系与勾股定理求直角梯形的边长与面积 · 掌握等腰梯形的性质：两腰相等、同一底上的两底角相等、对角线相等、轴对称 · 掌握等腰梯形的三种判定方法，能依据条件判断四边形是否为等腰梯形 · 掌握梯形中位线定理，会求中位线长，并能用于证明平行关系与线段倍半关系 📚 知识梳理 ☆ 1.梯形的定义与直角梯形 一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫做梯形；平行的两边叫底（上底、下底），不平行的两边叫腰 两腰相等的梯形叫等腰梯形；一腰垂直于底的梯形叫直角梯形 两底之间的垂线段叫梯形的高，梯形面积＝(上底＋下底)×高÷2 常用辅助线：作高、平移一腰，把梯形转化为平行四边形与直角三角形求解 概念辨析例题：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝1，AB＝4，BC＝5，求梯形ABCD的面积。 解析：梯形面积＝(AD＋BC)×AB÷2＝(1＋5)×4÷2＝12，故选C。 ☆ 2.等腰梯形的性质 等腰梯形两腰相等，同一底上的两个底角相等（∠B＝∠C，∠A＝∠D） 等腰梯形的两条对角线相等（AC＝BD） 等腰梯形是轴对称图形，对称轴是两底中点的连线所在的直线 常作高或平移腰，把等腰梯形转化为平行四边形与直角三角形，利用特殊角求边长 概念辨析例题：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝4，BC＝8，∠ABC＝60°，求等腰梯形ABCD的面积。 解析：作高AE⊥BC，在Rt△ABE中∠B＝60°，得BE＝2，AE＝2，上底AD＝BC－2BE＝4，面积S＝(4＋8)×2÷2＝12。 ☆ 3.等腰梯形的判定 两腰相等的梯形是等腰梯形 同一底上两个底角相等的梯形是等腰梯形 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 判定时先确认四边形是梯形（一组对边平行、另一组对边不平行），再验证腰、底角或对角线关系 概念辨析例题：四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，下列条件中能判定四边形ABCD为等腰梯形的是（　　）A．AC＝BD　B．∠ABC＝∠BCD　C．OB＝OC，OA＝OD　D．OB＝OC，AB＝CD 解析：由OB＝OC、OA＝OD可得AC＝BD，根据对角线相等的梯形是等腰梯形，可判定四边形ABCD为等腰梯形。 ☆ 4.梯形的中位线定理 连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半（EF＝(AD＋BC)÷2） 梯形面积还可表示为：面积＝中位线×高 中位线常与三角形中位线、平行四边形结合，用于证明平行关系与线段倍半关系 概念辨析例题：如果梯形的中位线长为4，一条底边长为2，那么另外一条底边长为（　　） 解析：设另一条底边长为x，由中位线定理得(2＋x)÷2＝4，解得x＝6。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 梯形 一组对边平行、另一组对边不平行的四边形 分清上底、下底与腰；高是两底间的垂线段 直角梯形 一腰垂直于底的梯形 直角腰两端的两底角均为90°，面积＝(上底＋下底)×高÷2 等腰梯形 两腰相等的梯形 同一底上两底角相等，对角线相等，是轴对称图形 等腰梯形的判定 腰相等／底角相等／对角线相等的梯形 先确认是梯形，再作判定 梯形中位线 连接两腰中点的线段 平行于两底且等于两底和的一半 梯形面积 S＝(上底＋下底)×高÷2＝中位线×高 作高或平移腰构造直角三角形求解 ⚠️ 核心考点 【考点1】梯形的概念（第1-9题） · 由「一组对边平行、另一组对边不平行」识别梯形，先看平行关系再看两腰 · 求面积直接套(上底＋下底)×高÷2，作高构造直角三角形再代值 · 平移腰、作高把梯形转化为平行四边形与直角三角形，简化计算 · 梯形中已知两底角关系时，优先用两直线平行同旁内角互补列式 1．（2026春•越秀区期末）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝72°，∠B＝65°，则∠C的度数是（　　） A．125° B．65° C．108° D．115° 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补解答． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝65°， ∴∠C＝180°﹣65°＝115°， 故选：D． 【点评】本题考查的是梯形的性质、平行线的性质，熟记两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 2．（2026春•市南区期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠C＝60°，AD＝4，DC＝6，则BC的长为（　　） A． B．16 C．14 D．12 【分析】过点D作DE∥AB交BC于点E，证明四边形ABED是平行四边形，则BE＝AD＝4，∠DEC＝∠B＝30°，进而得∠EDC＝90°，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，AD＝4，DC＝6，过点D作DE∥AB交BC于点E， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴BE＝AD＝4，∠DEC＝∠B＝30°， 在△DEC中，∠DEC＝30°，∠C＝60°， ∴∠EDC＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴△DEC是直角三角形， ∵∠DEC＝30°， ∴EC＝2DC， ∵DC＝6， ∴EC＝12， ∴BC＝BE+EC＝4+12＝16， 故选：B． 【点评】本题主要考查了梯形，平行四边形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质． 3．（2026春•成都期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝6，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，则梯形ABCD的周长是（　　） A．30 B．24 C．18 D．12 【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定得到AB＝AD＝6，根据等腰梯形的性质得到∠C＝∠ABC＝60°，再根据含30°角的直角三角形的性质求出BC，根据四边形的周长公式计算得到答案． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝30°， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD＝6， 在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠ABC＝60°， 则∠C＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝6， ∵∠DBC＝30°， ∴∠BDC＝90°， ∴BC＝2CD＝12， ∴梯形ABCD的周长为：6+6+6+12＝30， 故选：A． 【点评】本题考查的是等腰梯形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定，灵活运用相关的定理是解题的关键． 4．（2026春•江阳区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠C，AD＝4，BC＝10，AB＝5，则BD的长是　　 ． 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，可证明四边形AEFD是平行四边形，得到AE＝DF，EF＝AD＝4；再证明△AEB≌△DFC，推出BE＝CF＝3，利用勾股定理求出AE的长，再利用勾股定理即可求出BD的长． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F， ∴∠AEB＝∠AEF＝∠DFE＝∠DFC＝90°， ∴AE∥DF， 又∵AD∥BC， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∴AE＝DF，EF＝AD＝4； 在△AEB和△DFC中， ， ∴△AEB≌△DFC（AAS）， ∴， ∴BF＝BE+EF＝7； 在Rt△ABE中，由勾股定理得：， ∴DF＝4， 在Rt△BDF中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了梯形，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．（2026春•溧阳市校级期中）梯形的上下底分别为3和7，一腰长为6，则另一腰长x的取值范围是　2＜x＜10　 ． 【分析】作辅助线：平移一腰，构造一个三角形，再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．从而求得答案． 【解答】解：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，过D作DE∥AB，交BC于E点， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴BE＝AD，AB＝DE， ∵AD＝3，BC＝7，AB＝6，CD＝x， ∴BE＝3，DE＝6， ∴CE＝BC﹣BE＝7﹣3＝4， 在三角形CDE中，DE﹣CE＜CD＜DE+CE， ∴6﹣4＜x＜6+4， 解得：2＜x＜10． 故答案为：2＜x＜10． 【点评】本题主要考查梯形，三角形三边关系，平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质． 6．（2026春•鼓楼区校级期中）已知在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝115°，则∠C的度数是　65°　 ． 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补解答． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝115°， ∴∠C＝180°﹣115°＝65°， 故答案为：65°． 【点评】本题考查的是梯形的概念、平行线的性质，熟记两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 7．（2026春•郑州期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，BC＝5，∠C＝60°，则AB的长度为　3　 ． 【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据矩形的性质得到BE＝AD＝2，AB＝DE，进而求出EC，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：过点D作DE⊥BC于E， 则四边形ABED为矩形， ∴BE＝AD＝2，AB＝DE， ∴EC＝BC﹣BE＝5﹣2＝3， 在Rt△DEC中，∠C＝60°， 则∠EDC＝90°﹣60°＝30°， ∴DC＝2EC＝6， 由勾股定理得：DE3， ∴AB＝DE＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是梯形的性质、勾股定理，正确作出辅助线，掌握相关的定理是解题的关键． 8．（2026春•鼓楼区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．求证：AB＝DC． 【分析】过点D作DE∥AB，交BC于E，根据平行线的性质、结合题意得到∠DEC＝∠C，得到DE＝DC，根据平行四边形的性质得到DE＝AB，等量代换证明AB＝DC． 【解答】证明：如图，过点D作DE∥AB，交BC于E， 则∠DEC＝∠B， ∵∠B＝∠C， ∴∠DEC＝∠C， ∴DE＝DC， ∵AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABED为平行四边形， ∴DE＝AB， ∴AB＝DC． 【点评】本题考查的是梯形的性质，正确作出辅助线、掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 9．（2026春•同步）如图，在梯形ABCD中，∠B＝∠C，E，F是下底BC上的两点，BE＝CF，连接DE，AF，求证：DE＝AF． 【分析】过点A作AG∥DC交BC于点G，则∠AGB＝∠C，由此得∠AGB＝∠B，进而得AB＝AG，证明四边形ADCG是平行四边形得AG＝DC，则AB＝DC，再证明BF＝CE，进而依据“SAS”判定△ABF和△DCE全等得DE＝AF． 【解答】证明：过点A作AG∥DC交BC于点G，如图所示： ∴∠AGB＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠AGB＝∠B， ∴AB＝AG， ∵四边形ABCD是梯形， ∴AD∥BC， 在四边形ADCG中，AD∥BC， ∴四边形ADCG是平行四边形， ∴AG＝DC， 又∵AB＝AG， ∴AB＝DC， ∵点E，F是下底BC上的两点，且BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， 即BF＝CE， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴DE＝AF． 【点评】此题主要考查了梯形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解梯形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【考点2】直角梯形（第10-18题） · 直角梯形中利用垂直关系与勾股定理求边长，注意含30°、60°角的直角三角形 · 求面积直接套(上底＋下底)×高÷2，直角腰即高 · 平移问题利用「平移前后图形全等、面积不变」列式求阴影面积 · 建立平面直角坐标系时以直角顶点为原点，写出各顶点坐标 10．（2024秋•同步）下列说法正确的是（　　） A．将长方形绕一边旋转一周可得到长方体 B．将直角三角形绕一直角边旋转一周可得到圆锥 C．将直角梯形绕一腰旋转一周可得到圆柱 D．将圆旋转一周可得到一球体 【分析】利用旋转体知识判断A是否是圆柱；B是否是圆锥，找出反例判断；C是否是圆台，推出准确结果；D是否球体，找出反例判断． 【解答】解：A、将长方形绕一边旋转一周可得到长方体是圆柱，不正确，不合题意； B、将直角三角形绕一直角边旋转一周可得到圆锥，正确，符合题意； C、将直角梯形绕一腰旋转一周可得到圆台，不正确，不合题意； D、将圆旋转一周可得到一球体，绕圆的边旋转得不到球体，不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查旋转体的定义，考查基本知识的掌握情况，是基础题． 11．（2024•白云区开学）如图，甲是直角三角形，乙是平行四边形，丙是直角梯形，则甲、乙、丙三个图形的面积之比是（　　） A．2：5：3 B．1：5：3 C．1：5：4 D．2：5：4 【分析】根据直角三角形，平行四边形，直角梯形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：如图，∵直角三角形的面积2AB，平行四边形的面积＝5AB，直角梯形的面积（3+5）AB， ∴甲、乙、丙三个图形的面积之比是2AB：5AB：（3+5）AB＝1：5：4， 故选：C． 【点评】本题考查了直角梯形，直角三角形，平行四边形的性质，熟练掌握直角三角形，平行四边形，直角梯形的面积公式是解题的关键． 12．（2026春•昆山市期中）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，CD＝CB＝4，AD＝2，则梯形ABCD的面积为　6　 ． 【分析】过点D作DE⊥BC于点E，根据矩形的性质求出BE，进而求出EC，根据勾股定理求出DE，根据梯形面积公式计算得到答案． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E， 则四边形ABED为矩形， ∴AB＝DE，BE＝AD＝2， ∴EC＝BC﹣BE＝4﹣2＝2， 由勾股定理得：DE2， ∴梯形ABCD的面积为：（2+4）×26， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是直角梯形，掌握梯形的性质、勾股定理、梯形的面积公式是解题的关键． 13．（2026春•雁塔区期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，将梯形ABCD沿AB方向平移得到梯形A′B′C′D′，BC与C′D′相交于点E．若BC＝10，CE＝4，C′E＝3，则阴影部分的面积为　24　 ． 【分析】根据平移的性质得到S梯形ABCD＝S梯形A′B′C′D′，B′C′＝BC＝10，再根据梯形面积公式计算得到答案． 【解答】解：∵BC＝10，CE＝4， ∴BE＝BC﹣CE＝10﹣4＝6， 由平移的性质可知：S梯形ABCD＝S梯形A′B′C′D′，B′C′＝BC＝10， ∴S梯形ABCD﹣S四边形A′BED′＝S梯形A′B′C′D′﹣S四边形A′BED′， ∴S阴影部分＝S梯形BB′C′E（6+10）×3＝24， 故答案为：24． 【点评】本题考查的是梯形的性质、平移的性质，熟记经过平移新图形与原图形的形状和大小完全相同是解题的关键． 14．（2026春•栖霞区期中）如图，将直角梯形ABCD沿AD方向平移，平移的距离为线段AE的长度，得到直角梯形EFGH．已知DK＝5，KC＝2，KG＝3，则图中阴影部分面积为　18　 ． 【分析】根据平移的性质得到HG＝DC＝7，S梯形ABCD＝S梯形EFGH，再根据梯形面积公式计算得到答案． 【解答】解：∵DK＝5，KC＝2， ∴DC＝DK+KC＝7， 由平移的性质可知：HG＝DC＝7，S梯形ABCD＝S梯形EFGH， ∴S梯形ABCD﹣S梯形EFKD＝S梯形EFGH﹣S梯形EFKD， ∴S阴影部分＝S梯形DKGH（5+7）×3＝18， 故答案为：18． 【点评】本题考查的是直角梯形、平移的性质，正确理解平移的性质、掌握梯形面积公式是解题的关键． 15．（2026春•常州校级期中）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝1，AB＝4，BC＝5，则梯形ABCD的面积为　12　 ． 【分析】根据梯形面积公式求解即可． 【解答】解：∵在直角梯形ABCD中，AD＝1，AB＝4，BC＝5，∠B＝90°， ∴梯形ABCD的面积为： ， 故答案为：12． 【点评】本题考查梯形，掌握梯形的面积求法是解题的关键． 16．（2024春•同步）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，且AB⊥BC于点B，点M在BC上，MA＝MD，又∠AMB＝75°，∠DMC＝45°．求证：AB＝BC． 【分析】连接AC，根据平行线的性质得到CD⊥BC，由垂直的定义得到∠DCB＝90°，推出△DCM是等腰直角三角形，得到CM＝CD，求得∠AMD＝180°﹣∠AMB﹣∠DMC＝60°，得到AM＝DM，推出AC垂直平分DM，得到△ABC是等腰直角三角形，于是得到AB＝BC． 【解答】证明：连接AC， ∵AB∥CD且AB⊥BC， ∴CD⊥BC， ∴∠DCB＝90°， ∵∠DMC＝45°， ∴△DCM是等腰直角三角形， ∴CM＝CD， ∵∠AMB＝75°， ∴∠AMD＝180°﹣∠AMB﹣∠DMC＝60°， ∵MA＝MD， ∴△AMD是等边三角形， ∴AM＝DM， ∴AC垂直平分DM， ∴∠ACB＝∠DMC＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝BC． 【点评】本题考查了直角梯形，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． 17．（2024秋•陈仓区期中）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝6，AB＝3．请建立恰当的平面直角坐标系，并写出四个顶点的坐标． 【分析】以点B为坐标原点，以BC边所在直线为x轴，AB边所在直线为y轴，建立直角坐标系，根据题意，写出点的坐标即可． 【解答】解：以点B为坐标原点，以BC边所在直线为x轴，AB边所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示（答案不唯一）： ∵AD∥BC，AD＝4，BC＝6，AB＝3， ∴四个顶点的坐标分别为A（0，3），B（0，0），C（6，0），D（4，3）． 【点评】本题考查直角梯形，坐标与图形性质，解答本题的关键是理解坐标系上的点表示的意义， 18．（2025秋•鲁山县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BE＝AD，CE⊥BD，垂足为E． （1）求证：△ABD≌△ECB； （2）若∠DBC＝50°，则∠DCE＝ 　25°　 ． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADB＝∠EBC，利用ASA定理证明△ABD≌△ECB； （2）根据全等三角形的性质得到BD＝BC，求出∠BCD，进而求出∠DCE． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠EBC， 在△ABD和△ECB中， ， ∴△ABD≌△ECB（ASA）； （2）解：在Rt△BEC中，∠DBC＝50°， 则∠BCE＝90°﹣50°＝40°， 由（1）可知，△ABD≌△ECB， ∴BD＝BC， ∴∠BCD＝∠BDC（180°﹣50°）＝65°， ∴∠DCE＝65°﹣40°＝25°． 【点评】本题考查的是直角梯形、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判断定理是解题的关键． 【考点3】等腰梯形的性质（第19-27题） · 两腰相等、同一底上两底角相等是基本等量关系，据此列方程 · 对角线相等常与全等三角形结合（如△ABC≌△DCB、△ABO≌△DCO） · 作高可得「下底＝上底＋2×水平截段」，配合45°、60°特殊角求高 · 利用轴对称性把等腰梯形问题转化为直角三角形问题求解 19．（2026春•阜宁县期中）如图，在等腰梯形ABCO中，点A坐标为（1，2），点C坐标为（3，0），则点B坐标为（　　） A．（2，2） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，3） 【分析】过点A作AD⊥OC于点D，过点B作BE⊥OC于点E，证明Rt△OAD≌Rt△CBE，根据全等三角形的性质求出EC，进而求出OE，得出点B的坐标． 【解答】解：如图，过点A作AD⊥OC于点D，过点B作BE⊥OC于点E， ∵点A坐标为（1，2），点C坐标为（3，0）， ∴OD＝1，OC＝3，AD＝2， ∵AB∥OC，AD⊥OC，BE⊥OC， ∴BE＝AD＝2， 在Rt△OAD和Rt△CBE中， ， ∴Rt△OAD≌Rt△CBE（HL）， ∴EC＝OD＝1， ∴OE＝OC﹣EC＝3﹣1＝2， ∴点B的坐标为（2，2）， 故选：A． 【点评】本题考查的是等腰梯形的性质、坐标与图形性质，证明Rt△OAD≌Rt△CBE是解题的关键． 20．（2026春•镇江期中）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，∠B＝60°，，现有P、Q两个动点分别从点A、N同时沿梯形的边开始移动，点P依顺时针，方向环行，点Q依逆时针方向环行，若点P的速度与点Q的速度之比为2：3，则点P、点Q第2026次相遇在（　　）点． A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【分析】设梯形腰长为a，根据等腰梯形性质及∠B＝60°求出各边长及周长；根据P、Q的运动方向确定第一次相遇时的路程和，结合速度比求出第一次相遇位置；利用周期性规律计算第2026次相遇位置． 【解答】解：设AB＝AD＝DC＝a， ∵∠B＝60°，四边形ABCD是等腰梯形， ∴BC＝2AB＝2a， ∴梯形周长L＝AB+BC+CD+DA＝5a， ∵， ∴， ∵点Q依顺时针方向环行，点P依逆时针方向环行， ∴点P从A向B运动，点Q从N向B运动 第一次相遇时，两点路程之和为， ∵点P与点Q的速度之比为2：3， ∴第一次相遇时，点P的路程为， ∵AB＝a， ∴第一次相遇在点B 此后每次相遇，两点路程之和增加一个周长5a点P每次相遇增加的路程为， 第2026次相遇时，点P的总路程a+（2026﹣1）×2a＝4051a， ∵4051a＝810×5a+a， ∴在点B． 故选：B． 【点评】本题考查等腰梯形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 21．（2026春•邳州市期中）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC与BD交于点O，下列四个结论中： ①∠BAD＝∠CDA； ②AO＝CO； ③∠ACB＝∠ACD； ④△ABO≌△DCO． 正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据等腰梯形的性质判断①；根据等腰梯形的概念判断②；根据平行线的性质、等腰三角形的性质判断③；证明全等三角形的判定和性质判断④． 【解答】解：①根据等腰梯形的两底角相等可知：∠BAD＝∠CDA，故本小题结论正确； ②∵AD∥BC， ∴∠DAO＝∠BCO， 又∠AOD＝∠COB， 当AO＝CO时，△AOD≌△COB， ∴AD＝BC，不符合题意，故本小题结论错误； ③∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠DAC， 当AD＝DC时，∠DAC＝∠ACD，才能得出∠ACB＝∠ACD故本小题结论错误； ④在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴∠BAC＝∠CDB， ∴△ABO≌△DCO（AAS），故本小题结论正确； 故选：B． 【点评】本题考查的是等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的性质、定理是解题的关键． 22．（2026春•锦江区校级期末）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD＝4cm，BC＝14cm，DE⊥BC于E，则DE的长为　9　 cm． 【分析】过点D作DF∥AC，交BC的延长线于点F，由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，易得△BDF是等腰直角三角形，继而可求得答案． 【解答】解：如图，过点D作DF∥AC，交BC的延长线于点F， ∵AD∥BC， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∴CF＝AD＝4cm，DF＝AC， ∴BF＝BC+CF＝14+4＝18（cm）， ∵AC⊥BD， ∴BD⊥DF， ∵梯形ABCD是等腰梯形， ∴AC＝BD， ∴DF＝BD， ∵DE⊥BC， ∴BE＝EF， 在Rt△BDF中，BE＝EF， 则DEBF＝9cm， 故答案为：9． 【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及等腰直角三角形的性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 23．（2026春•金凤区校级期末）等腰梯形的一个锐角等于45°，腰长为5cm，下底为11cm，则上底为 　（11﹣5）　 cm． 【分析】首先过点A作AE∥CD交BC于点E，即可得四边形AECD是平行四边形；根据平行四边形的对边相等，可得AD＝CE，AE＝CD，又由∠B＝45°，易得△ABE是等腰直角三角形，即可求得BE的长，即可求出AD的长． 【解答】解：过点A作AE∥CD交BC于点E， ∵AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴AD＝CE，AE＝CD， ∵AB＝CD， ∴AB＝AE＝5cm， ∵∠B＝45°， ∴∠AEB＝∠B＝45°， ∴∠BAE＝90°， ∴BE5cm， ∵BC＝BE+CE＝BE+AD＝11cm， ∴AD＝BC﹣BE＝（11﹣5）cm． ∴这个梯形的上底为（11﹣5）cm， 故答案为：（11﹣5）． 【点评】此题主要考查了等腰梯形的性质以及等腰直角三角形性质．解此题的关键是要注意平移梯形的腰，构造三角形与平行四边形． 24．（2026春•龙泉驿区期末）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝4，BC＝8，∠ABC＝60°，则等腰梯形ABCD的面积为　12　 ． 【分析】过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，进而利用等腰梯形的性质得出BE＝CF，进而利用含30°角的直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AB＝DC＝4，BE＝FC，AD＝EF， ∵∠ABC＝60°， ∴BE＝CFAB＝2，AE＝2， ∴AD＝EF＝BC﹣BE﹣CF＝8﹣2﹣2＝4， ∴等腰梯形ABCD的面积， 故答案为：12． 【点评】此题考查等腰梯形的性质，关键是利用等腰梯形的性质得出BE＝CF解答． 25．（2026春•永寿县校级期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝110°，将腰BC沿CD方向平移至AE的位置，则∠DAE的度数是　40　 °． 【分析】先利用等腰梯形性质求出∠C，再根据平移性质得AE∥BC，推出∠AED＝∠C，结合等腰梯形两腰相等得AD＝AE，最后用三角形内角和求出∠DAE． 【解答】解：∵等腰梯形ABCD，AB∥CD， ∴∠C＝180°﹣∠B＝70°，AD＝BC． ∵将腰BC平移至AE， ∴AE∥BC，AE＝BC． ∴∠AED＝∠C＝70°，且AD＝AE， ∴△ADE为等腰三角形，∠D＝∠AED＝70°． ∴∠DAE＝180°﹣∠D﹣∠AED＝180°﹣70°﹣70°＝40°， 故答案为：40． 【点评】本题主要考查了等腰梯形的性质平移的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 26．（2025春•浦东新区校级期中）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M、N分别在边AD、BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E、F． （1）求梯形ABCD的面积； （2）若M、N分别是AD、BC的中点，连接AN、DN，求△ADN的面积． 【分析】（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．得到四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1，再证明Rt△AGD≌Rt△BHC（HL），得到，利用勾股定理求出DG＝4，最后根据梯形面积公式计算即可； （2）由M、N分别是AD、BC的中点得到，MN是梯形ABCD中位线，则，AB∥MN∥CD，根据直角三角形斜边中线得到，再根据等腰三角形三线合一得到，最后根据求解即可． 【解答】解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H． ∵AB∥CD， ∴DG∥CH，DG＝CH， ∴GH＝CD＝1，四边形DGHC为矩形， ∵DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°， ∴Rt△AGD≌Rt△BHC（HL）， ∴， ∴在Rt△AGD中，， ∴梯形ABCD的面积为：； （2）如图，连接AN、DN，过点D作DQ⊥AB于点Q，连接MQ， ∵M、N分别是AD、BC的中点， ∴MN是梯形ABCD中位线，MD＝AM， ∴AB∥MN∥CD，， ∵DQ⊥AB， ∴∠DQA＝∠DPM＝90°，， ∴， ∴S△ADN＝S△DMN+S△AMN ． 【点评】本题考查梯形的性质，勾股定理，梯形的中位线，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 27．（2025春•徐汇区校级期中）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AC⊥BD，AD＝2，BC＝8，求梯形ABCD的面积． 【分析】本题要靠辅助线的帮助，首先求出△BDEE是等腰直角三角形推出DFF与BE的关系，进而根据梯形的面积公式即可求解． 【解答】解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E，过D作DF⊥BC于F． ∵AD∥CB，DE∥AC， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴DE＝AC，AD＝CE＝2， ∵等腰梯形ABCD中，AB＝CD， ∴DE＝AC＝BD， ∵AC⊥BD，CE∥AD， ∴DE⊥BD， ∴△BDE是等腰直角三角形， 又∵AD＝2，BC＝8， ∴DFBE（AD+BC）（2+8）＝5cm， ∴梯形的面积为：（2+8）×5＝25cm2． 【点评】本题考查等腰梯形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，平行四边形的性质和判定等，能把梯形转化成平行四边形和等腰三角形是解此题的关键． 【考点4】等腰梯形的判定（第28-33题） · 判定前提：先确认四边形是梯形（一组对边平行、另一组不平行） · 两腰相等或同一底上两底角相等→等腰梯形 · 对角线相等→等腰梯形，常与全等三角形互证 · 方案设计与动点问题注意验证步骤的完备性，必要时分类讨论 28．（2024•青浦区二模）已知四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（　　） A．AC＝BD B．∠ABC＝∠BCD C．OB＝OC，OA＝OD D．OB＝OC，AB＝CD 【分析】根据等腰梯形的判定推出即可． 【解答】解：A、AC＝BD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误； B、∠ABC＝∠BCD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误； C、∵OB＝OC，OA＝OD， ∴∠OBC＝∠OCB，∠OAD＝∠ODA， 在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， ∴∠ABO＝∠DCO，AB＝CD， 同理：∠OAB＝∠ODC， ∵∠ABC+∠DCB+∠CDA+∠BAD＝360°， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是梯形， ∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是等腰梯形，正确； D、OB＝OC，AB＝CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误． 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的判定的应用，解此题的关键是求出AD∥BC，题目的综合性较强，难度中等． 29．（2024•杨浦区四模）已知梯形的四条边长分别是4、5、7、8，则中位线长可以为（　　） A．4.5 B．5.5 C．6 D．6.5 【分析】根据三角形的三边关系得到梯形的两底长分别为4和8，腰分别为5和7，根据梯形中位线定理即可得到结论． 【解答】解：如图，过D作DE∥AB， ∴BE＝AD，AB＝DE， ∵梯形的四条边长分别是4、5、7、8， 当梯形的两底长分别为4和8，腰分别为5和7， 即DE＝5，BE＝4， ∴CE＝4， ∵4+5＞7， ∴DE，CE，CD能构成三角形， ∴中位线长（4+8）＝6， 当梯形的两底长分别为5和8，腰分别为4和7，DE，CE，CD不能构成三角形，其他情况也是一样， 综上所述，中位线长可以为6， 故选：C． 【点评】本题考查了梯形中位线定理，三角形的三边关系，熟练掌握梯形的中位线定理是解题的关键． 30．（2026春•东昌府区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠ADC的平分线与AB交于点E，与AC交于点F，连接OE，∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1．则下列结论：①四边形DEBC是等腰梯形；②AC；③OEAB；④S△OEDS▱ABCD，其中正确的有　①②③　 （填写序号）． 【分析】根据平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线定理、三角形面积公式解答． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD， ∴∠ADC+∠BAD＝180°， ∵∠BAD＝60°， ∴∠ADC＝120°， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝60°， ∴△ADE为等边三角形， ∴AD＝DE， ∴DE＝CB， 又BE∥CD， ∴四边形DEBC是等腰梯形，故①正确； 如图，过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H， ∵AD∥BC，∠BAD＝60°， ∴∠CBH＝60°， ∴∠BCH＝30°， ∴BHBC， ∴AH＝AB+BH， 由勾股定理得：CH， ∴AC，故②正确； ∵OB＝OD，BE＝EA， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OEADAB，故③正确； ∵OB＝OD， ∴S△OEDS△BED， ∵BE＝EA， ∴S△BEDS△ABD， ∴S△OEDS四边形ABCD，故④错误； 故答案为：①②③． 【点评】本题考查的是等腰梯形的判定、平行四边形的性质、三角形中位线定理、三角形的面积计算，掌握相关的定理和计算公式是解题的关键． 31．（2026秋•同步）如图，四边形ABDE由三个全等的等边三角形组成，它是一个等腰梯形吗？为什么？ 【分析】根据等边三角形的性质、全等三角形的性质得到BD＝AE，∠D＝∠DBC＝60°，∠ABC＝60°，证明AB∥DE，根据等腰梯形的判定定理证明即可． 【解答】解：四边形ABDE是一个等腰梯形， 理由如下：∵△BDC、△ABC、△ACE是全等的等边三角形， ∴BD＝AE，∠D＝∠DBC＝60°，∠ABC＝60°， ∴∠D+∠DBC+∠ABC＝180°， ∴AB∥DE， ∵BD和AE不平行， ∴四边形ABDE是一个梯形， ∵BD＝AE， ∴四边形ABDE是一个等腰梯形． 【点评】本题考查的是等腰梯形的判定、等边三角形的性质，掌握等腰梯形的判定定理是解题的关键． 32．（2026•黄浦区二模）学校新建了一个录播教室，为了适应不同教学场景的需要，学校定制了一批新的课桌，要求这批课桌的桌面是等腰梯形的．这天数学老师带领八年级同学到录播教室开展数学探究活动，探究内容就是如何验证这批课桌的桌面是不是等腰梯形的．老师给同学们的探究工具是带刻度的直尺（可以精确量出给定两点的距离）和记号笔． （1）雏鹰小组给出了他们的验证方案，如下：先依次标记四边形桌面的顶点为A、B、C、D，接着测量AC与BD的长，如果AC≠BD，那么桌面不是等腰梯形；如果AC＝BD，再继续测量AB、CD、AD与BC的长，如果AB＝CD，AD≠BC，或者AB≠CD，AD＝BC，那么桌面是等腰梯形，不然，桌面就不是等腰梯形． 其他小组讨论了雏鹰小组给出的验证方案，一致认为这个方案是可行的．如果按雏鹰小组的验证方案，他们小组验证的结果为桌面确实是等腰梯形，就请你来说明一下理由（结合图示，写出已知、求证，并加以证明）； （2）请再设计一个验证方案，并说明验证的步骤． 【分析】（1）设AC，BD交于点O，证明△ABC≌△DCB（SSS），△ABD≌△DCA（SSS），得到∠ACB＝∠DBC，∠ADB＝∠DAC；进步可证明∠ACB＝∠DAC，得到AD∥BC，据此可证明四边形ABCD是等腰梯形； （2）在BC上取BE＝AD，连接DE，测量AB，DE，DC的长，若AB＝DE＝DC，则可证明四边形ABED是平行四边形，得到AD＝BE＜BC，AD∥BC，则可证明四边形ABCD是等腰梯形． 【解答】解：（1）已知：AC＝ BD，AB＝CD，AD≠BC， 求证：四边形ABCD是等腰梯形． 证明如下：如图所示，设AC，BD交于点O， 在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SSS）， ∴∠ACB＝∠DBC； 同理可证明△ABD≌△DCA（SSS）， ∴∠ADB＝∠DAC； ∴∠ACB+∠DBC+∠BOC＝180°＝∠ADB+∠DAC+∠AOD，∠AOD＝∠BOC． ∴∠ACB+∠DBC＝∠ADB+∠DAC． ∴2∠ACB＝2∠DAC．即∠ACB＝∠DAC． ∴AD∥BC． ∵AD≠BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是等腰梯形； （2）如图所示，测量出AD的长，在BC上取BE＝AD，连接DE， 测量AB，DE，DC的长，若AB＝DE＝DC，那么四边形ABCD是等腰梯形，若不满足AB＝DE＝DC，则四边形ABCD不是等腰梯形． 【点评】本题考查等腰梯形的定义和性质，全等三角形的判定和性质，综合运用以上知识是解题关键． 33．（2026春•宝应县期中）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝20cm，BC＝10cm，DC＝12cm，P，Q同时从A，C出发，点P以4cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度运动，其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts．当t为何值时，四边形BCQP是等腰梯形？ 【分析】当PQ＝BC时，四边形BCQP是等腰梯形，过Q作QM⊥AB于M，过C作CN⊥AB于N，判定Rt△PMQ≌Rt△BNC（HL），推出PM＝BN，判定四边形ADCN和四边形ADQM是矩形，得到AN＝DC＝12cm，DQ＝AM，求出BN＝8cm，求出DQ＝（12﹣t）cm，AM＝（4t+8）cm，得到12﹣t＝4t+8，求出t． 【解答】解：如图，当PQ＝BC时，四边形BCQP是等腰梯形， 过Q作QM⊥AB于M，过C作CN⊥AB于N， ∵DC∥AB， ∴MQ＝CN， ∵PQ＝BC， ∴Rt△PMQ≌Rt△BNC（HL）， ∴PM＝BN， ∵DC∥AB，NC⊥AB，QM⊥AB，AD⊥AB， ∴四边形ADCN和四边形ADQM是矩形， ∴AN＝DC＝12cm，DQ＝AM， ∴BN＝AB﹣AN＝20﹣12＝8（cm）， ∴PM＝8cm， ∵QC＝tcm，AP＝4tcm， ∴DQ＝（12﹣t）cm，AM＝（4t+8）cm， ∴12﹣t＝4t+8， ∴t， ∴当t时，四边形BCQP是等腰梯形． 【点评】本题考查等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，关键是掌握等腰梯形的判定方法，判定Rt△PMQ≌Rt△BNC（HL），推出PM＝BN． 【考点5】梯形中位线定理（第34-45题） · 中位线＝(上底＋下底)÷2，知二求一 · 面积＝中位线×高，可绕开上下底直接求面积 · 与三角形中位线、平行四边形结合证明平行与倍半关系 · 阅读探究题按「已知—求证—证明」规范作答，先补全图形再推理 34．（2024春•同步）如果等腰梯形的两个底角是30°，腰长是8cm，高与上底相等，那么梯形的中位线长为（　　） A．8cm B．10cm C．（44）cm D．10cm 【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F，根据含30°角的直角三角形的性质求出DE，根据勾股定理求出AE，根据梯形中位线定理计算即可． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F， ∵DC∥AB， ∴四边形DEFC为矩形， ∴DC＝EF， 在Rt△DAE中，∠A＝30°，AD＝8cm， ∴DEAD＝4（cm）， 由勾股定理得：AE4（cm）， ∵梯形ABCD为等腰梯形， ∴BF＝AE＝4（cm）， 由题意得：CD＝DE＝4cm， ∴梯形中位线（4+4+44）＝（4+4）cm， 故选：C． 【点评】本题考查的是梯形的中位线定理、直角三角形的性质，掌握梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键． 35．（2024•杨浦区四模）在四边形ABCD中，如果AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定四边形ABCD是等腰梯形的是（　　） A．AC＝BD＝BC B．AB＝AD＝CD C．OB＝OC，OA＝OD D．OB＝OC，AB＝CD 【分析】根据等腰梯形的判定推出即可． 【解答】解：A、AC＝BD＝BC，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误； B、AB＝AD＝CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误； D、OB＝OC，AB＝CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误； C、∵OB＝OC，OA＝OD， ∴∠OBC＝∠OCB，∠OAD＝∠ODA， 在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， ∴∠ABO＝∠DCO，AB＝CD， 同理：∠OAB＝∠ODC， ∵∠ABC+∠DCB+∠CDA+∠BAD＝360°， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是梯形， ∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是等腰梯形． 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的判定的应用，解此题的关键是求出AD∥BC． 36．（2024春•同步）若等腰梯形两底角为30°，腰长为8厘米，高和上底相等，那么梯形中位线长为（　　） A．8 厘米 B．10厘米 C．（44 ） 厘米 D．16 厘米 【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F，根据含30°角的直角三角形的性质求出DE，根据勾股定理求出AE，根据梯形中位线定理计算即可． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F， ∵DC∥AB， ∴四边形DEFC为矩形， ∴DC＝EF， 在Rt△DAE中，∠A＝30°，AD＝8cm， ∴DEAD＝4（cm）， 由勾股定理得：AE4（cm）， ∵梯形ABCD为等腰梯形， ∴BF＝AE＝4（cm）， 由题意得：CD＝DE＝4cm， ∴梯形中位线（4+4+44）＝（4+4）cm， 故选：C． 【点评】本题考查的是梯形的中位线定理、直角三角形的性质，掌握梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键． 37．（2024秋•闵行区校级月考）一个等腰梯形的周长为50，如果它的中位线与腰长相等，它的高为10，那么这个梯形的面积是　125　 ． 【分析】根据已知可求得梯形的中位线，从而得到上下底之和，根据面积公式即可求得其面积． 【解答】解：设中位线是x，则4x＝50， 解得x＝12.5， 那么这个梯形的面积＝12.5×2×10÷2＝125． 故答案为：125． 【点评】主要考查了梯形中位线定理．求得梯形上下底之和是解题的关键． 38．（2025春•长宁区校级期中）如果梯形的中位线长为4，一条底边长为2，那么另外一条底边长为 　6　 ． 【分析】设梯形的另外一条底边长为x，根据梯形中位线定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：设梯形的另外一条底边长为x， 由题意得：（2+x）＝4， 解得：x＝6， 则另外一条底边长为6， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 39．（2025春•虹口区校级月考）梯形的两条对角线互相垂直，且长度分别为x，y，则此梯形中位线长 　　 ． 【分析】过点D作DE∥AC，交BC的延长线于E，根据平行四边形的性质得到DE＝AC＝y，AD＝CE，根据勾股定理求出BE，再根据梯形中位线定理计算即可． 【解答】解：如图，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于E， ∵AC⊥BD， ∴DE⊥BD， ∵AD∥BC，DE∥AC， ∴四边形ACED为平行四边形， ∴DE＝AC＝y，AD＝CE， ∴BE＝BC+CE＝BC+AD， 由勾股定理得：BE， ∴梯形中位线长为， 故答案为：． 【点评】本题考查的是梯形的中位线，熟记梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键． 40．（2025春•虹口区校级月考）梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，MN是中位线，∠DBC＝30°，且MN＝a，则对角线BD＝ 　a ． 【分析】过点D作DE∥AC，交BC的延长线于E，根据平行四边形的性质得到CE＝AD，根据梯形中位线定理求出BE，再根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于E， ∵AC⊥BD， ∴DE⊥BD， ∵AD∥BC，DE∥AC， ∴四边形ACED为平行四边形， ∴CE＝AD， ∵MN是中位线，MN＝a， ∴AD+BC＝2a， ∴BE＝2a， 在Rt△BDE中，∠DBC＝30°， 则DEBE＝a， 由勾股定理得：BDa， 故答案为：a． 【点评】本题考查的是梯形的中位线，熟记梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键． 41．（2025春•长宁区校级月考）我们把有两个内角互余的梯形叫做“余角梯形”．如果一个的较短底边长为5，两腰长分别为3和4，那么这个梯形的中位线长是 　或　 ． 【分析】过点D作DE∥AB交BC于E，根据平行四边形的性质得到BE＝AD＝5，DE＝AB＝3，证明∠EDC＝90°，根据勾股定理求出EC，再根据梯形中位线定理计算即可． 【解答】解：第一种情况，如图，过点D作DE∥AB交BC于E， ∵四边形ABCD为梯形， ∴AD∥BC， ∴四边形ABED为平行四边形， ∴BE＝AD＝5，DE＝AB＝3，∠DEC＝∠B， ∵∠B+∠C＝90°， ∴∠DEC+∠C＝90°， ∴∠EDC＝90°， ∴EC5， ∴BC＝BE+EC＝5+5＝10， ∴梯形的中位线长为：， 第二种情况，如图，作AF∥CD，交BC于点F，作AE⊥BC于E， 得到△AEF∽△BEA， 根据相似三角形的性质求出BF， ∴梯形的中位线长为：， 故答案为：或． 【点评】本题考查的是梯形的中位线、梯形的性质、平行四边形的判定和性质，熟记梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键． 42．（2025春•金山区期末）如果梯形一底边为6，中位线长为8，那么另一底边长为　10　 ． 【分析】根据梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半，设另一底边长为x，可得方程（6+x）÷2＝8，解方程即可． 【解答】解：设另一底边长为x， （6+x）÷2＝8， 解得：x＝10， 故答案为：10． 【点评】此题主要考查了梯形的中位线定理，关键是熟练掌握中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 43．（2024•寿光市三模）已知梯形ABCD中，AD∥BC，点E，点F分别为AB，CD的中点． （1）请直接写出EF与AD，BC之间的位置关系和数量关系； （2）请证明（1）的结论． 【分析】（1）根据题意得到EF∥AD∥BC，EF（AD+BC）； （2）连接AF并延长交BC的延长线于G，根据平行线的性质得到∠D＝∠FCG，∠DAF＝∠G，根据全等三角形的性质得到AF＝FG，AD＝CG，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【解答】（1）解：EF∥AD∥BC，EF（AD+BC）； （2）证明：连接AF并延长交BC的延长线于G， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠FCG，∠DAF＝∠G， 在△ADF与△GCF中， ， ∴△ADF≌△GCF（SSA）， ∴AF＝FG，AD＝CG， ∵AE＝BE， ∴EF为△ABG的中位线． ∴EFBG，EF∥BG， ∴EF∥AD∥BC， ∴EF（AD+BC）． 【点评】本题考查了梯形中位线定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 44．（2024春•同步）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC＝BD，且AC⊥BD，如果梯形的高DE＝3，求梯形ABCD的中位线长． 【分析】过点D作DF∥AC交BC的延长线于F，可得四边形ACFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AD＝CF，再判定△BDF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出DEBF，再根据梯形的中位线等于两底边和的一半解答． 【解答】解：如图，过点D作DF∥AC交BC的延长线于F， 则四边形ACFD是平行四边形， ∴AD＝CF， ∴AD+BC＝BF， ∵AC＝BD，AC⊥BD， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴DEBF， ∴梯形的中位线长等于DE的长度， ∵DE＝3， ∴梯形的中位线长为3． 【点评】本题考查了梯形的中位线，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，梯形的问题关键在于准确作出辅助线． 45．（2024春•官渡区校级期中）阅读下面的内容： 求证：三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半 已知：△ABC中D、E分别是AB、AC的中点 求证：DE∥BC，且 证明：过点C作AB的平行线交DE的延长线于点F（图1） ∵CF∥AD ∴∠A＝∠ACF，∠ADE＝∠F 又∵AE＝EC ∴△ADE≌△CFE． ∴CF＝AD， ∵AD＝DB ∴CF＝BD 又∵CF∥BD ∴四边形BCDF是平行四边形 ∴DF∥BC并且DF＝BC ∴DE∥BC且 类似的，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线． 如图2，梯形ABCD中AD∥BC，E、F分别是腰AB、CD的中点，EF就是梯形中位线． 梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半． 请参考例题证明梯形的中位线性质． 已知：如图梯形ABCD中AD∥BC，E、F分别是腰AB、CD的中点． 求证：FE∥BC∥AD，且　 ． 证明： 【分析】连接AF并延长，交BC延长线于G，如图所示，由平行线性质得到∠ADF＝∠FCG，再由两个三角形全等的判定与性质得到CG＝AD，AF＝FG，在△ABG中，根据三角形中位线的判定与性质即可得证． 【解答】解：求证：FE∥BC∥AD，且． 证明：连接AF并延长，交BC延长线于G，如图所示： ∵BC∥AD， ∴∠ADF＝∠FCG， ∵F是腰CD的中点， ∴DF＝CF， ∵∠AFD＝∠GFC， ∴△ADF≌△GCF， ∴CG＝AD，AF＝FG， 在△ABG中，E是腰AB的中点，F是腰AG的中点，即EF是△ABG的中位线， ∴EF∥BG，且， 又∵AD∥BC， ∴FE∥BC∥AD，且． 故答案为：FE∥BC∥AD，且． 【点评】本题考查阅读理解、涉及平行线性质、中点定义、三角形全等的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识，读懂题意，掌握题中的证明方法，结合三角形全等的判定与性质、三角形中位线的判定与性质是解决问题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 牢记等腰梯形判定三步：先确认是梯形，再看腰相等、同一底上底角相等或对角线相等 · 遇到等腰梯形优先作高或平移一腰，构造直角三角形，用30°、45°、60°特殊角求高与边长 · 中位线是「桥梁」：求面积直接用中位线×高，证平行与倍半关系用它转化 · 动点与最值问题把所求线段转化为中位线或垂线段，借助「垂线段最短」定位最值 · 解答题按「已知—求证—证明」规范书写，综合题注意平移、旋转中的对应线段关系 46．（2026春•姑苏区期末）如图，在梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，点P，Q分别是AB，BC上的动点，连接PD，PQ，点E是PD的中点，点F是PQ的中点，连接EF．若BC＝2AD＝8，CD＝5，则线段EF长度的最小值为（　　） A．1 B． C．1.5 D．2 【分析】连接QD，过点D作DH⊥BC于H，根据矩形的性质求出BH，进而求出CH，根据勾股定理求出DH，再根据三角形中位线定理、垂线段最短解答． 【解答】解：如图，连接QD，过点D作DH⊥BC于H， 则四边形ABHD为矩形， ∴BH＝AD＝4， ∴CH＝BC﹣BH＝8﹣4＝4， 由勾股定理得：DH3， ∵点E是PD的中点，点F是PQ的中点， ∴EF是△PDQ的中位线， ∴EFDQ， 由垂线段最短可知：当点Q与点H重合时，DQ的值最小，最小值是3， ∴EF的最小值为1.5， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、垂线段最短，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 47．（2026春•青浦区校级期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AB⊥AE．若AB＝5，AE＝6，则梯形上下底之和为　13　 ． 【分析】由在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，易证得△ADE≌△FCE，即可得EF＝AE＝6，CF＝AD，又由AB⊥AE，AB＝5，AE＝6，由勾股定理即可求得BF的长，继而可求得梯形上下底之和． 【解答】解：延长AE交BC延长线的F， ∵在梯形ABCD中，AD∥BC， ∴∠F＝∠DAE，∠ECF＝∠D， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴CF＝AD，EF＝AE＝6， ∴AF＝AE+EF＝12， ∵AB⊥AE， ∴∠BAF＝90°， ∵AB＝5， ∴BF， ∴AD+BC＝BC+CF＝BF＝13． 故答案为：13． 【点评】此题考查了梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 48．（2026春•同步）如图，梯形ABCD是一座水库堤坝的横断面．已知AD∥BC，∠B＝45°，∠DCB＝30°，坝顶AD＝6m，，求CD的长及堤坝横断面（即梯形ABCD）的面积． 【分析】过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，根据勾股定理求出AE，根据含30°角的直角三角形的性质求出CD，再根据梯形面积公式计算得到答案． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F， 则四边形AEFD为矩形， ∴EF＝AD＝6m，AE＝DF， 在Rt△ABE中，∠B＝45°， 则AE＝BE， 由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2＝（10）2＝200， 解得：AE＝BE＝10m， ∴DF＝AE＝10m， 在Rt△DCF中，∠DCF＝30°， 则CD＝2DF＝20m， 由勾股定理得：CF10（m）， ∴梯形ABCD的面积为：（6+10+6+10）×10＝（110+50）m2． 【点评】本题考查的是梯形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，掌握梯形面积公式是解题的关键． 49．（2025春•江夏区校级期中）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，CM＝BM，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于（　　） A．1cm B．2cm C．2.5cm D．3cm 【分析】可过点D作DE⊥AB，过M作MF⊥BC，推出Rt△ADE≌Rt△NMF，所以FN＝AE，进而可求解BN的长． 【解答】解：过点D作DE⊥AB，过M作MF⊥BC， ∵BM＝CM， ∴CF＝BF， ∵∠ABC＝90°， ∴AB∥FM， ∵AB∥CD， ∴AB∥MF∥CD， ∴AM＝DM， ∴MF（DC+AB）＝8cm ∴MF＝DE＝8，又MN⊥AD， ∴∠NMF+∠DMF＝90°，又∠DMF+∠ADE＝90°，MF∥AB， ∴∠ADE＝∠NMF ∴Rt△ADE≌Rt△NMF（AAS）， ∴FN＝AE＝AB﹣CD＝2cm， 又FBBC＝4cm， ∴BN＝FB﹣FN＝2cm， 故选：B． 【点评】本题考查梯形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 50．（2026春•湘乡市校级期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠A＝90°，AD＝4cm，BC＝7cm，CD＝5cm，则梯形高＝　4cm ． 【分析】线段AB的长度即为梯形高的长度，过点D作DE⊥BC于点E，证明四边形ABED是矩形，得到BE＝AD＝4cm，AB＝DE，结合勾股定理可得． 【解答】解：根据题意可知，线段AB的长度即为梯形高的长度． 过点D作DE⊥BC于点E． ∵∠A＝∠B＝∠BED＝∠90°， ∴四边形ABED是矩形． ∴AB＝DE，BE＝AD＝4cm， ∴EC＝BC﹣BE＝3cm． 在Rt△DEC中，由勾股定理得． ∴梯形的高＝4cm． 故答案为：4cm． 【点评】本题考查直角梯形，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 51．（2025秋•安溪县期中）为加强劳动教育，增加学生实践机会，清溪中学拟用总长为10米的篱笆，一面靠墙（足够长），围出一块8平方米的直角梯形ABCD菜地作为实践基地，如图所示．已知AD∥BC，∠B＝90°，AB＝AD＜BC．求梯形的两底长． 【分析】根据梯形面积公式列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：设AD＝x米，则AB＝x米，BC＝（10﹣2x）米， 由题意得：（x+10﹣2x）×x＝8， 整理得：x2﹣10x+16＝0， 解得：x1＝2，x2＝8（不合题意）， 则10﹣2x＝6米， 答：梯形的两底长分别为2米和6米． 【点评】本题考查的是直角梯形、一元二次方程的解法，掌握梯形面积公式是解题的关键． 52．（2026春•广陵区期末）等腰梯形两底之差为8，高为4，则等腰梯形的钝角度数是（　　） A．120° B．135° C．145° D．150° 【分析】过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，求出矩形AEFD和全等三角形，得出AE＝DF＝4，BE＝CF＝4，求出∠B，根据平行线性质求出∠DAB即可． 【解答】解： 则AE∥DF，∠AEF＝90°， ∵AD∥BC， ∴四边形AEFD是矩形， ∴AE＝DF＝4，AD＝EF， ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， 在Rt△AEB和Rt△DFC中， ， ∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL）， ∴BE＝CF（BC﹣EF）（BC﹣AD）8＝4， ∴BE＝AE＝4， ∵∠AEB＝90°， ∴∠B＝∠BAE＝45°， ∵AD∥BC， ∴∠DAB＝180°﹣45°＝135°， 同理∠ADC＝135°． 故选：B． 【点评】本题考查了等腰梯形性质，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，关键是能正确作辅助线，把等腰梯形转化成矩形和直角三角形． 53．（2026春•临渭区期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，CD＝2，AB＝4，则AC＝　　 ． 【分析】过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，证明四边形BECD是平行四边形，可得BE＝CD＝2，证明∠ACE＝90°，AC＝CE，由勾股定理进行求解即可． 【解答】解：过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E， 又∵AB∥CD， ∴BE∥DC． ∴四边形BECD是平行四边形， ∴BE＝CD，CE＝BD． ∵CD＝2，AB＝4， ∴AE＝AB+BE＝6． ∵AC⊥BD， ∴AC⊥CE， ∴∠ACE＝90°， ∵在等腰梯形ABCD中，AB∥CD， ∴AC＝BD， ∴AC＝CE， 在Rt△ACE中，由勾股定理得，， ∴． 故答案为：3． 【点评】本题考查的是等腰梯形的性质，正确作出辅助线、掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 54．（2026秋•单元）已知，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠A＝∠B＝60°，DC＝2，AB＝6，求四边形ABCD面积． 【分析】根据等腰梯形的性质，作高，构造矩形和直角三角形，再利用已知条件进行解答． 【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB∥DC，∠A＝∠B＝60°， ∴四边形ABCD是等腰梯形， 如图，作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足为E、F， ∵AB∥DC， ∴∠DEF＝∠EFC＝∠FCD＝∠CDE＝90°， ∴四边形EFCD是矩形， ∵DC＝2， ∴EF＝2， ∵梯形ABCD是等腰梯形， ∴AE＝FB2， 又∵∠B＝60°， ∴DE＝2， ∴梯形的面积为：8． 【点评】本题是考查梯形等腰梯形性质的典型题目，同时考查了梯形面积的计算． 55．（2026春•徐州期中）如图，正六边形中包含　6　 个等腰梯形． 【分析】根据等腰梯形的定义寻找即可． 【解答】解：如图阴影所示，根据六边形的中心对称性质，每条边对应一个等腰梯形，共有6个． 故答案为：6． 【点评】本题考查了等腰梯形的判定，熟练掌握该知识点是关键． 56．（2026春•扬州期中）如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，延长CB到点E，使BE＝AD，∠E＝∠ACE． （1）试说明梯形ABCD是等腰梯形． （2）连接BD，试判断BD与AE的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据平行线的性质求出∠E＝∠DAC，根据∠E＝∠ACE推出AE＝AC，证△ABE≌△ADC，推出AB＝DC即可． （2）根据等腰梯形性质得出AC＝BD，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵BC∥AD， ∴∠DAC＝∠ACE， ∵∠E＝∠ACE， ∴∠E＝∠DAC， ∵∠E＝∠ACE， ∴AE＝AC， 在△ABE和△ADC中， ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴AB＝DC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是等腰梯形． （2）BD＝AE， 理由是：∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴BD＝AC， ∵AE＝AC， ∴BD＝AE． 【点评】本题考查了等腰梯形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有两腰相等的梯形是等腰梯形． 57．（2024春•同步）如果等腰梯形底角为45°，高等于上底，那么梯形的中位线和高的比为（　　） A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．2：3 【分析】根据等腰梯形的性质和等腰直角三角形的性质，用上底和高表示出梯形的下底，再根据梯形的中位线定理进行求解． 【解答】解：设上底长＝高为h，中位线长为m， ∵已知等腰梯形的一个底角是45°，高为h， ∴下底为3h． ∵中位线长为m， ∴m（h+3h）＝2h， ∴m：h＝2：1， 故选：B． 【点评】本题考查梯形的中位线定理，等腰直角三角形的性质，等腰梯形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 58．（2025春•长宁区期末）下列关于三角形的中位线、梯形的中位线的表述，正确的是（　　） A．联结三角形两腰中点的线段叫做三角形的中位线 B．联结梯形两底边中点的线段叫做梯形的中位线 C．三角形的一条中位线一定与该三角形第三边上的中线互相平分 D．梯形的中位线一定将该梯形分成面积相等的两部分 【分析】根据梯形中位线、三角形中位线的概念、梯形中位线定理、三角形中位线定理判断． 【解答】解：A、联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，故本选项表述错误，不符合题意； B、联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，故本选项表述错误，不符合题意； C、三角形的一条中位线一定与该三角形第三边上的中线互相平分，表述正确，符合题意； D、梯形的中位线不能将该梯形分成面积相等的两部分，故本选项表述错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是梯形中位线定理、三角形中位线定理，掌握它们的概念和性质是解题的关键． 59．（2025春•奉贤区月考）如果一个梯形的四条边的长度分别为3，5，5，11，那么这个梯形的中位线长是 　7或8　 ． 【分析】分三种情况，由梯形中位线定理，即可求解． 【解答】解：当梯形的底是3和11时，中位线长7； 当梯形的底是5和11时，中位线长8； 当梯形的底是5和3时，构不成梯形， ∴这个梯形的中位线长是7或8． 故答案为：7或8． 【点评】本题考查梯形中位线定理，关键是要分三种情况讨论，掌握梯形中位线定理：梯形的中位线等于两底和的一半． 60．（2025春•嘉定区期末）叙述并证明梯形的中位线定理（写出已知、求证，画出图形，写出证明过程）． 【分析】连接AF并延长，交BC的延长线于G，证明△AFD≌△GFC，根据全等三角形的性质得到AD＝CG，AF＝FG，根据三角形中位线定理证明即可． 【解答】已知：四边形ABCD为梯形，AD∥BC，EF是梯形中位线． 求证：EF∥AD，EF∥BC，EF（AD+BC）． 证明：如图，连接AF并延长，交BC的延长线于G， ∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠G， 在△AFD和△GFC中， ， ∴△AFD≌△GFC（AAS）， ∴AD＝CG，AF＝FG， ∵AE＝EB，AF＝FG， ∴EF是△ABG的中位线， ∴EF∥BG，EFBG（AD+BC）， ∵AD∥BC， ∴AD∥EF， ∴EF∥AD，EF∥BC，EF（AD+BC）． 【点评】本题考查的是梯形的中位线，掌握三角形全等的判定、三角形中位线定理是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $