第2讲 因式分解(2)(因式分解提高) (精讲+典例+练习)优等生讲义2026-2027学年鲁教版(五四制)八年级数学上册

第2讲 因式分解(2)(因式分解提高) 优等生讲义 2026-2027学年鲁教版五四制九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握十字相乘法分解二次三项式 · 掌握分组分解法，会选择合适的分组方式 · 能综合运用多种方法进行因式分解 · 能利用因式分解解决化简求值、密码设计等应用问题 · 理解配方法因式分解的原理，能进行拓展探究 📚 知识梳理 ☆ 1.十字相乘法 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 二次项系数为1时，找两个数p、q使p+q=一次项系数、pq=常数项 二次项系数不为1时，画十字交叉线试凑 注意符号：同号得正、异号得负 概念辨析例题：分解因式：x2+7x+10 解析：找两个数2和5，2+5=7，2×5=10，故x2+7x+10=(x+2)(x+5) ☆ 2.分组分解法 将多项式适当分组后分别分解，再整体提取公因式 二二分法：am+an+bm+bn=(a+b)(m+n) 三一分法：a2+2ab+b2-c2=(a+b)2-c2=(a+b+c)(a+b-c) 分组原则：分组后能继续分解 概念辨析例题：分解因式：x2-y2-2x+1 解析：三一分组：(x2-2x+1)-y2=(x-1)2-y2=(x-1+y)(x-1-y) ☆ 3.因式分解综合运用 一提二套三分组：先提公因式，再套公式，最后分组 分解必须彻底，直到每个因式都不能再分 结果检查：用整式乘法还原验证 注意整体换元简化复杂结构 概念辨析例题：分解因式：x4-10x2+9 解析：先把x2看作整体：(x2-1)(x2-9)，再分别用平方差公式分解 ☆ 4.因式分解的应用 化简求值：先分解再代入，简化计算 密码设计：分解后代入数值生成数字密码 整除问题：若f(a)=0则有因式(x-a) 配方法：添项构造完全平方再分解 概念辨析例题：已知a+b=-4，ab=-21，求a2b+ab2-a-b的值 解析：原式=ab(a+b)-(a+b)=(a+b)(ab-1)=(-4)(-21-1)=88 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 十字相乘法 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 找p、q满足和与积 分组分解法 分组后分别分解再合并 二二分或三一分 综合分解步骤 一提二套三分组 分解要彻底 因式分解应用 分解后代入求值 简化计算 配方法 添项构造完全平方 再加回保持值不变 整除判定 f(a)=0则有(x-a)因式 试根法 ⚠️ 核心考点 【考点1】十字相乘法（第1-14题） · 二次项系数为1时找p、q · 二次项系数不为1画十字交叉线 · 注意符号：同号积正、异号积负 · 分解后用乘法验证 1．（2025秋•怀柔区校级期末）下列因式分解结果正确的是（　　） A．x2+3x﹣2＝x（x+3）﹣2 B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3） C．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x+3） 2．（2025春•龙泉驿区期中）若二次三项式x2+mx﹣6可分解为（x﹣1）（x+6），则m的值为（　　） A．7 B．﹣7 C．﹣6 D．5 3．（2025秋•汉川市期末）将x2+7x+10分解因式正确的是（　　） A．（x+2）（x+5） B．（x+2）2 C．（x+5）2 D．（x+1）（x+10） 4．（2025秋•驻马店期末）若x2+mx+6＝（x﹣3）（x﹣2），则m的值为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．6 5．（2025秋•瓦房店市期末）把多项式x2+ax+b分解因式得（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（　　） A．a＝2，b＝﹣3 B．a＝2，b＝3 C．a＝1，b＝﹣6 D．a＝﹣1，b＝﹣6 6．（2025秋•澧县期末）若x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则m的值为_______ ． 7．（2025秋•碾子山区期末）已知二次三项式x2+6x+a有一个因式是（x+5），则另一个因式为________ ． 8．（2024秋•嘉定区期末）因式分解：a2+a﹣12＝ _______________ ． 9．（2025秋•同步）把二次三项式4x2﹣12x+1因式分解，得____________________ ． 10．（2025秋•蓬莱区期中）二次三项式x2﹣12x+k在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有_______ 个． 11．用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3． （1）二次项系数2＝1×2，常数项﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3）； （2）验算：“交叉相乘之和”； ①1×3+2×（﹣1）＝1； ②1×（﹣1）+2×3＝5； ③1×（﹣3）+2×1＝﹣1； ④1×1+2×（﹣3）＝﹣5． （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果为﹣1，等于一次项系数﹣1，即（x+1）（2x﹣3）＝2x2﹣3x+2x﹣3＝2x2﹣x﹣3，∴2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）． 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作十字相乘法． 仿照此方法，分解因式：3x2+5x﹣12＝________________ ． 12．（2026春•龙泉驿区校级期中）因式分解： （1）2x2+7x+3； （2）4x（x﹣a）+2y（a﹣x）+6（x﹣a）； （3）x2﹣6xy+9y2﹣4． 13．（2025•朝阳区校级开学）因式分解： （1）p2﹣4q2﹣6p+9； （2）x4﹣10x2+9； （3）a4﹣18a2+1． 14．（2026春•新吴区校级期中）因式分解： （1）（p﹣4）（p﹣1）+p； （2）4m2（x﹣y）﹣n2（x﹣y）． 【考点2】分组分解法（第15-30题） · 二二分法：两两分组提公因式 · 三一分法：三项凑完全平方再用平方差 · 分组后必须能继续分解 · 注意符号变形 15．（2024秋•云阳县期末）若关于x的多项式x3+x2﹣7x﹣3可以分解为（x2+nx﹣1）（x+3），则n3的值是（　　） A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6 16．（2024秋•牟平区期末）下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（　　） A． B．x6﹣8x3﹣16 C．2xy﹣x2+y2 D．x2﹣x+1 17．（2023秋•肥城市期中）下列各式不是2x3﹣3x2﹣3x+2因式的是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．2x﹣1 D．x﹣2 18．已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025，且a≠b，则﹣abc的值为（　　） A．2025 B．﹣2025 C．4050 D．﹣4050 19．（2024秋•林州市期末）分解因式：4x2+12xy+9y2﹣9＝ ____________________ ． 20．（2026•广州校级模拟）因式分解：x3﹣x+x2﹣1＝________________ ． 21．（2025•绥化二模）分解因式：m2+9n2﹣x6﹣6mn＝ ____________________ ． 22．（2025秋•徐汇区校级期中）将多项式a2+2ab+b2﹣1分解因式得___________________ ． 23．（2026•郫都区校级模拟）分解因式：mn+2m﹣n﹣2＝_______________ 24．（2025秋•杨浦区期末）因式分解：9x2﹣3x+y﹣y2． 25．（2022秋•青浦区期中）因式分解：4x2+6y﹣9y2﹣1． 26．（2024秋•杨浦区期末）因式分解：x2﹣x﹣2y﹣4y2． 27．（2025春•单元）分解因式：a2﹣b2+4a+2b+3． 28．分解因式： （1）x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3； （2）x4+4． 29．阅读理解． 观察下列因式分解的过程： （1）x2﹣xy+4x﹣4y． 原式＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）＝x（x﹣y）+4（x﹣y）＝（x﹣y）•（x+4）． （2）a2﹣b2﹣c2+2bc． 原式＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）＝a2﹣（b﹣c）2＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）． 第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式．仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： （1）a2﹣ab+ac﹣bc． （2）x2﹣4y2﹣z2+4yz． 30．（2023秋•鼓楼区校级期末）材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）． （1）分解因式：ab+a+b+1； （2）若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，求a+b的值； （3）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣5＝0，S＝2a2+3ab+b2+5a﹣b，求S的最小值． 【考点3】因式分解应用（第31-40题） · 化简求值先分解再代入 · 密码设计按规则排序数字 · 整除问题用试根法 · 配方法添项构造完全平方 31．（2025秋•永州期末）利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如x4﹣y4＝（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为|x﹣y|＝1，|x+y|＝7，|x2+y2|＝25组合可得到1725，1257，7125，7251，2517，2571，其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．x3﹣xy2，当x取12，y取14时，其密码为（　　） A．21226 B．12262 C．26212 D．62212 32．（2025秋•大连期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式x2y﹣4y，将其分解因式为y（x+2）（x﹣2）．若取x＝15，y＝12，则有y＝12，x+2＝17，x﹣2＝13，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．已知多项式9a3﹣16a，小明取自己的年龄13为a的值，用上述方法生成的密码为___________ ． 33．（2025秋•芝罘区期末）已知a+b＝﹣4，ab＝﹣21，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为 _______ ． 34．（2023春•赫山区校级期中）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值．2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x2+2x+1﹣1﹣3）＝2[（x+1）2﹣4]＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5； （2）当a、b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2+4b+27有最小值，并求出这个最小值； （3）当a、b为何值时，多项式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，并求出这个最小值． 35．（2026春•三水区期末）阅读与思考 如果p＝m2﹣n2（p，m，n均为正整数且m＞n），则称p为“智慧数”，等式“p＝m2﹣n2”称为p的智慧分解．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧数，等式“16＝52﹣32”为16的一个智慧分解．下面是小颖的思考过程：设两个数分别为k+1，k（k≥1且k为整数），则（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1． （1）根据上述探究可得：除1外所有_____ 数都是智慧数，请直接写出15的一个智慧分解____________________ ； （2）小颖发现：8＝32﹣12，12＝42﹣22，所以8和12均是智慧数，由此，她猜想：4k（k≥2，且k为整数）均为智慧数，请证明她的猜想； （3）第120个智慧数是________ ； （4）144是智慧数吗？如果是，请求出它的所有智慧分解；如果不是，请说明理由． 36．若多项式2x4+4x3+ax2+8x﹣b能被x2﹣x+1整除，求ab值． 37．（2024春•沛县校级期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）通过图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式 ____________________ ； （2）通过图2中阴影部分的面积能解释的因式分解的公式 ____________________ ； （3）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积直接写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系：____________________ ． （4）根据（3）中你探索发现的结论，完成下列计算：已知a﹣b＝5，ab＝﹣4，求代数式（a+b）2的值． 38．（2026春•保定期末）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法；根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为b2（a﹣b），ab（a﹣b），a2（a﹣b）． （1）分解因式：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝ ____________________ ； （2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有a，b的代数式表示）①__________ ；②____________________ ； 思考：类比平方差公式，你能得到的等式（写成因式分解的形式）为 ____________________ ． （3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：x3﹣8； （4）拓展：已知a﹣b＝1，ab＝2，代数式a4b﹣ab4的值为 _______ ． 39．（2026春•莱西市期末）在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知a+b＝5，ab＝3，可以在不求a、b的值的情况下，求出a2+b2的值．具体做法如下： a2+b2＝a2+2ab+b2﹣2ab＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19 （1）若a+b＝6，ab＝1.5，则a2+b2＝_______ ． （2）若m满足（8﹣m）（m﹣3）＝3，求（8﹣m）2+（m﹣3）2的值， 同样可以应用上述方法解决问题，具体操作如下： 解：设8﹣m＝a，m﹣3＝b， 则a+b＝（8﹣m）+（m﹣3）＝5，ab＝（8﹣m）（m﹣3）＝3， 所以（8﹣m）2+（m﹣3）2＝a2+b2＝a2+2ab+b2﹣2ab＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19 请参照上述方法解决下列问题：若（5x﹣2）（9﹣5x）＝4，求（5x﹣2）2+（9﹣5x）2的值； （3）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为2，请求出图1的阴影部分面积． 40．（2026春•裕华区校级期中）【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的图形． （1）上述操作能验证的等式是_____ ．（请选择正确的一个） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2+ab＝a（a+b） D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【应用】 （2）已知m﹣2n＝2，m+2n＝8，请计算m2﹣4n2的值． 【拓展】 （3）已知A＝2024×2026，B＝20252，则A与B的大小关系为A_____ B（填“＞”“＜”或“＝”）． 💯 课后巩固 【作业 1】（2026春•电白区期中）若多项式x2+ax+b可因式分解为（x+9）（x﹣6），则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣54 D．54 【作业 2】（2025春•姑苏区校级期中）若整数x、y、z满足xy+yz+zx＝1，则（1+x2）（1+y2）（1+z2）可能取到的值为（　　） A．16900 B．17900 C．18900 D．以上结论都不对 【作业 3】（2025秋•重庆月考）用提公因式法对6xn+2﹣12xn+18xn﹣2进行因式分解时，提取的公因式是（　　） A．18xn+1 B．6xn C．6xn﹣2 D．18x 【作业 4】（2024•海曙区校级自主招生）已知实数a，b满足a2b2+a2+b2﹣6ab﹣2a+2b+5＝0，则a7﹣b7的值为________ ． 【作业 5】（2025秋•双流区校级月考）已知a+b＝23，则（a+18）2025+（b﹣41）2025＝ _____ ． 【作业 6】（2025秋•闵行区期末）如果关于x的整式x2+px+12可以因式分解为（x﹣a）（x﹣b），其中a、b均为整数，那么满足条件的p的值有_____ 个． 【作业 7】（2025秋•海珠区期末）若1+a+a2+a3+a4＝0，则1+a+a2+a3+a4+a5+…+a2024+a2025的值为_____ ． 【作业 8】（2025秋•金山区期中）如果一个正整数能表示为两个连续非负偶整数的平方差，那么我们称这个正整数为“黄金数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此，4，12，20这三个数都是“黄金数”．已知2028是黄金数，即2028＝m2﹣n2（m，n为连续的正偶整数），那么2m﹣n＝ ________ ． 【作业 9】（2025•南山区校级模拟）若x2﹣x+2＝0，则x3+2x2﹣x+3＝_______ ． 【作业 10】（2025秋•岳阳楼区期末）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 _______ 三角形． 【作业 11】（2025秋•资阳期中）若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为5＝22+12，再如：M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数）．所以M也是“完美数”． （1）请你判断29是否为“完美数”； （2）已知S＝x2+y2+4x﹣6y+k（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 【作业 12】（2025秋•松江区校级月考）[阅读材料] 进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制﹣X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位．十进制就是逢十进一，十六进制就是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进一．为了与十进制进行区分，我们常把X进制表示的数a写成（a）X． 类比于十进制，我们可以知道：X进制表示的数（1111）X中，右起第一位上的1表示1×X0，第二位上的1表示1×X1，第三位上的1表示1×X2，第四位上的1表示1×X3，所以（1111）X＝1×X0+1×X1+1×X2+1×X3即：（1111）X转化为的十进制表示的数为1×X0+1×X1+1×X2+1×X3如：（1111）2＝1×20+1×21+1×22+1×23＝15．（1111）5＝1×50+1×51+1×52+1×53＝156． 根据材料完成以下问题： （1）把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： （101011）2＝_______ ；（302）4＝_______ ；（257）8＝________ ； （2）若一个五进制的三位数（a4b）5与八进制三位数（ba4）8之和能被13整除（1≤a≤5，1≤b≤5，且a，b均为整数），求a的值； （3）若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，（mm1）6与（nn5）8是否互为“如意数”？若是，求出这两个数，若不是，说明理由． 【作业 13】（2025秋•杨浦区期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），这时就说（x﹣1）和（x+2）是x2+x﹣2的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断（x﹣a）这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式x2+x﹣2我们分别计算： 当x＝1时，原式＝12+1﹣2＝0，当x＝﹣2时，原式＝（﹣2）2+（﹣2）﹣2＝0； 当我们把x＝1和x＝﹣2分别代入x2+x﹣2，整式x2+x﹣2的值都等于0，那么（x﹣1）和（x+2）就是整式x2+x﹣2的两个因式，通过归纳发现： 如果当x＝a时，一个整式的值等于0，那么（x﹣a）就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果（x﹣a）是整式的一个因式，那么当x＝a时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式P＝x4﹣x3﹣7x2+5x+10． （1）请判断（x+1）是否是整式P的一个因式； （2）当整式P的一次项系数变为k时，而（x+1）仍是它的一个因式．求此时k的值； （3）请尝试将整式P进行因式分解． 复习建议 · 十字相乘法核心：找两个数使和=一次项系数、积=常数项 · 分组分解法：二二分提公因式、三一分凑完全平方 · 综合分解按「一提二套三分组」顺序进行 · 因式分解应用关键是先分解再代入，简化计算 · 配方法：添项构造完全平方，再减去保持值不变 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 因式分解(2)(因式分解提高) 优等生讲义 2026-2027学年鲁教版五四制九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握十字相乘法分解二次三项式 · 掌握分组分解法，会选择合适的分组方式 · 能综合运用多种方法进行因式分解 · 能利用因式分解解决化简求值、密码设计等应用问题 · 理解配方法因式分解的原理，能进行拓展探究 📚 知识梳理 ☆ 1.十字相乘法 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 二次项系数为1时，找两个数p、q使p+q=一次项系数、pq=常数项 二次项系数不为1时，画十字交叉线试凑 注意符号：同号得正、异号得负 概念辨析例题：分解因式：x2+7x+10 解析：找两个数2和5，2+5=7，2×5=10，故x2+7x+10=(x+2)(x+5) ☆ 2.分组分解法 将多项式适当分组后分别分解，再整体提取公因式 二二分法：am+an+bm+bn=(a+b)(m+n) 三一分法：a2+2ab+b2-c2=(a+b)2-c2=(a+b+c)(a+b-c) 分组原则：分组后能继续分解 概念辨析例题：分解因式：x2-y2-2x+1 解析：三一分组：(x2-2x+1)-y2=(x-1)2-y2=(x-1+y)(x-1-y) ☆ 3.因式分解综合运用 一提二套三分组：先提公因式，再套公式，最后分组 分解必须彻底，直到每个因式都不能再分 结果检查：用整式乘法还原验证 注意整体换元简化复杂结构 概念辨析例题：分解因式：x4-10x2+9 解析：先把x2看作整体：(x2-1)(x2-9)，再分别用平方差公式分解 ☆ 4.因式分解的应用 化简求值：先分解再代入，简化计算 密码设计：分解后代入数值生成数字密码 整除问题：若f(a)=0则有因式(x-a) 配方法：添项构造完全平方再分解 概念辨析例题：已知a+b=-4，ab=-21，求a2b+ab2-a-b的值 解析：原式=ab(a+b)-(a+b)=(a+b)(ab-1)=(-4)(-21-1)=88 📋 知识总结表 【考点1】十字相乘法（第1-14题） · 二次项系数为1时找p、q · 二次项系数不为1画十字交叉线 · 注意符号：同号积正、异号积负 · 分解后用乘法验证 1．（2025秋•怀柔区校级期末）下列因式分解结果正确的是（　　） A．x2+3x﹣2＝x（x+3）﹣2 B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3） C．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x+3） 【分析】利用因式分解的定义、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法逐个分析得结论． 【解答】解：选项A不是整式积的形式，故分解结果不正确； 4x2﹣9＝（2x+3）（2x﹣3）≠（4x+3）（4x﹣3），故选项B分解结果不正确； 选项C符合完全平方公式的结构特点，分解正确； x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）≠（x﹣2）（x+3），故选项D分解结果不正确． 故选：C． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的定义、因式分解的公式法和十字相乘法是解决本题的关键． 2．（2025春•龙泉驿区期中）若二次三项式x2+mx﹣6可分解为（x﹣1）（x+6），则m的值为（　　） A．7 B．﹣7 C．﹣6 D．5 【分析】将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出b的值． 【解答】解：由题意得：x2+mx﹣6＝（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6， ∴m＝5． 故选：D． 【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法等，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解本题的关键． 3．（2025秋•汉川市期末）将x2+7x+10分解因式正确的是（　　） A．（x+2）（x+5） B．（x+2）2 C．（x+5）2 D．（x+1）（x+10） 【分析】利用十字相乘法分解即可． 【解答】解：根据x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）可得： x2+7x+10＝（x+2）（x+5）． 故选：A． 【点评】本题考查了十字相乘法因式分解，即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b），熟练掌握十字相乘法方法是解答本题的关键． 4．（2025秋•驻马店期末）若x2+mx+6＝（x﹣3）（x﹣2），则m的值为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．6 【分析】原式右边利用多项式乘多项式法则计算后与左边比较即可求解． 【解答】解：x2+mx+6＝（x﹣3）（x﹣2）＝x2﹣5x+6， 解得：m＝﹣5． 故选：A． 【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，掌握因式分解的方法是关键． 5．（2025秋•瓦房店市期末）把多项式x2+ax+b分解因式得（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（　　） A．a＝2，b＝﹣3 B．a＝2，b＝3 C．a＝1，b＝﹣6 D．a＝﹣1，b＝﹣6 【分析】根据把多项式x2+ax+b分解因式得（x﹣2）（x+3）得出a＝﹣2+3，b＝﹣2×3，再求出答案即可． 【解答】解：∵把多项式x2+ax+b分解因式，得（x﹣2）（x+3）， ∴a＝﹣2+3＝1，b＝（﹣2）×3＝﹣6， 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，能熟记x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）是解此题的关键． 6．（2025秋•澧县期末）若x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则m的值为　﹣3　 ． 【分析】先根据多项式与多项式的乘法法则把x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n）化简，然后根据对应项相等即可求解． 【解答】解：根据多项式与多项式的乘法法则可得： x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n）＝x2+（n﹣5）x﹣5n， ∴m＝﹣3，n＝2， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了因式分解与乘法运算的关系，掌握因式分解与乘法运算是两个互逆的过程是解答本题的关键． 7．（2025秋•碾子山区期末）已知二次三项式x2+6x+a有一个因式是（x+5），则另一个因式为x+1　 ． 【分析】设另一个因式为（x+n），整理后对比等式左右两边各项系数即可解决问题． 【解答】解：设另一个因式为（x+n），根据题意得： （x+5）（x+n）＝x2+（5+n）x+5n＝x2+6x+a； 所以5+n＝6， 解得n＝1， 故答案为：x+1． 【点评】本题考查了整式的乘法与因式分解，合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键． 8．（2024秋•嘉定区期末）因式分解：a2+a﹣12＝ 　（a+4）（a﹣3）　 ． 【分析】利用十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：原式＝（a+4）（a﹣3）． 故答案为：（a+4）（a﹣3）． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，关键是熟练掌握因式分解﹣十字相乘法． 9．（2025秋•同步）把二次三项式4x2﹣12x+1因式分解，得　（2x﹣3+2）（2x﹣3﹣2）　 ． 【分析】根据完全平方公式求解即可． 【解答】解：4x2﹣12x+1 ＝（2x）2﹣2•（2x）•3+32﹣8 ＝（2x﹣3）2﹣8 ＝（2x﹣3）2﹣（2）2 ＝（2x﹣3+2）（2x﹣3﹣2）． 【点评】本题主要考查了分解因式的定义，完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 10．（2025秋•蓬莱区期中）二次三项式x2﹣12x+k在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有　无数　 个． 【分析】先设x2﹣12x+k分解的两个因式为（x+a）（x+b）（a、b都是整数），根据因式分解与整式的关系得a+b、ab与﹣12、k间关系，判断满足条件的a、b得结论． 【解答】解：∵x2﹣12x+k在整数范围内可以分解成两个一次因式，可以分解成两个一次因式， 设x2﹣12x+k分解的两个因式为（x+a）（x+b）（a、b都是整数）． ∴（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2﹣12x+k． ∴a+b＝﹣12，ab＝k． 在实数范围内，满足两个整数的和为﹣12的a、b有无数对， 所以满足条件的k有无数个． 故答案为：无数． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握整式和因式分解的关系是解决本题的关键． 11．用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3． （1）二次项系数2＝1×2，常数项﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3）； （2）验算：“交叉相乘之和”； ①1×3+2×（﹣1）＝1； ②1×（﹣1）+2×3＝5； ③1×（﹣3）+2×1＝﹣1； ④1×1+2×（﹣3）＝﹣5． （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果为﹣1，等于一次项系数﹣1，即（x+1）（2x﹣3）＝2x2﹣3x+2x﹣3＝2x2﹣x﹣3，∴2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）． 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作十字相乘法． 仿照此方法，分解因式：3x2+5x﹣12＝　（x+3）（3x﹣4）　 ． 【分析】根据所给方法进行因式分解即可． 【解答】解：由题知， 3＝1×3，﹣12＝﹣1×12＝1×（﹣12）＝﹣3×4＝3×（﹣4）＝﹣2×6＝2×（﹣6）， 因为1×12+3×（﹣1）＝9， 1×（﹣12）+3×1＝﹣9， 1×4+3×（﹣3）＝﹣5， 1×（﹣4）+3×3＝5， 1×6+3×（﹣2）＝0， 1×（﹣6）+3×2＝0， 所以3x2+5x﹣12＝（x+3）（3x﹣4）． 故答案为：（x+3）（3x﹣4）． 【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，理解所给解题方法是解题的关键． 12．（2026春•龙泉驿区校级期中）因式分解： （1）2x2+7x+3； （2）4x（x﹣a）+2y（a﹣x）+6（x﹣a）； （3）x2﹣6xy+9y2﹣4． 【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）先提取公因式x﹣a，再次提取公因数2即可； （3）利用分组分解因式法、完全平方公式和平方差公式进行解答即可． 【解答】解：（1）原式＝（2x+1）（x+3）； （2）原式＝4x（x﹣a）﹣2y（x﹣a）+6（x﹣a） ＝（4x﹣2y+6）（x﹣a） ＝2（2x﹣y+3）（x﹣a）； （3）原式＝（x2﹣6xy+9y2）﹣4 ＝（x﹣3y）2﹣22 ＝（x﹣3y+2）（x﹣3y﹣2）． 【点评】本题主要考查了分解因式，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法． 13．（2025•朝阳区校级开学）因式分解： （1）p2﹣4q2﹣6p+9； （2）x4﹣10x2+9； （3）a4﹣18a2+1． 【分析】（1）三一分组后，先利用完全平方公式，再利用平方差公式； （2）先利用十字相乘法，再利用平方差公式； （3）先把18a2化为16a2和2a2，再三一分组，利用完全平方公式和平方差公式分解． 【解答】解：（1）p2﹣4q2﹣6p+9 ＝p2﹣6p+9﹣4q2 ＝（p﹣3）2﹣4q2 ＝（p﹣3+2q）（p﹣3﹣2q）； （2）x4﹣10x2+9 ＝（x2﹣9）（x2﹣1） ＝（x+3）（x﹣3）（x+1）（x﹣1）； （3）a4﹣18a2+1 ＝a4﹣2a2+1﹣16a2 ＝（a2﹣1）2﹣16a2 ＝（a2﹣1+4a）（a2﹣1﹣4a）． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法、十字相乘法、分组分解法等知识点是解决本题的关键． 14．（2026春•新吴区校级期中）因式分解： （1）（p﹣4）（p﹣1）+p； （2）4m2（x﹣y）﹣n2（x﹣y）． 【分析】（1）先展开括号，合并同类项整理成二次三项式，再用公式因式分解； （2）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解． 【解答】（1）（p﹣4）（p﹣1）+p ＝p2﹣5p+4+p ＝p2﹣4p+4 ＝（p﹣2）2； （2）4m2（x﹣y）﹣n2（x﹣y） ＝（x﹣y）（4m2﹣n2） ＝（x﹣y）（2m+n）（2m﹣n）． 【点评】本题考查因式分解．熟练掌握提公因式和乘法公式是解题的关键． 【考点2】分组分解法（第15-30题） · 二二分法：两两分组提公因式 · 三一分法：三项凑完全平方再用平方差 · 分组后必须能继续分解 · 注意符号变形 15．（2024秋•云阳县期末）若关于x的多项式x3+x2﹣7x﹣3可以分解为（x2+nx﹣1）（x+3），则n3的值是（　　） A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6 【分析】根据整式的乘法运算，再根据多项式的特点列方程求解． 【解答】解：由题意得：x3+x2﹣7x﹣3＝（x2+nx﹣1）（x+3）＝x3+（n+3）x2+（3n﹣1）x﹣3， ∴n+3＝1且3n﹣1＝﹣7， 解得：n＝﹣2， ∴n3的值为：﹣8， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解，理解因式分解和整式乘法的关系是解题的关键． 16．（2024秋•牟平区期末）下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（　　） A． B．x6﹣8x3﹣16 C．2xy﹣x2+y2 D．x2﹣x+1 【分析】根据完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，逐一验证各选项是否符合公式结构． 【解答】解；根据完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，逐项分析判断如下： A：，故符合； B：x6﹣8x3﹣16，无法通过完全平方公式分解，故不符合； C：2xy﹣x2+y2，无法通过完全平方公式分解，故不符合； D：x2﹣x+1，无法通过完全平方公式分解，故不符合； 故选：A． 【点评】本题考查利用完全平方公式因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 17．（2023秋•肥城市期中）下列各式不是2x3﹣3x2﹣3x+2因式的是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．2x﹣1 D．x﹣2 【分析】首先进行分组分解因式，再提取公因式（2x﹣1），再分解因式即可． 【解答】解：∵2x3﹣3x2﹣3x+2 ＝2x3﹣x2﹣2x2﹣3x+2 ＝（2x3﹣x2）﹣（2x2+3x﹣2） ＝x2（2x﹣1）﹣（x+2）（2x﹣1） ＝（2x﹣1）（x2﹣x﹣2） ＝（2x﹣1）（x+1）（x﹣2）． ∴不是2x3﹣3x2﹣3x+2因式的是x﹣1． 故选：A． 【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 18．已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025，且a≠b，则﹣abc的值为（　　） A．2025 B．﹣2025 C．4050 D．﹣4050 【分析】由题意a2（b+c）＝b2（a+c），整理变形，得a2b+a2c﹣ab2﹣b2c＝0，然后再因式分解可得：（a﹣b）（ab+ac+bc）＝0，再根据a≠b，可得：a﹣b≠0，由此可得：ab+ac+bc＝0，即可得出.再根据a2（b+c）＝2025，把b+c代入，即可得出答案． 【解答】解：∵a2（b+c）＝b2（a+c）， ∴a2b+a2c＝ab2+b2c， ∴a2b+a2c﹣ab2﹣b2c＝0， ∴（a2b﹣ab2）+（a2c﹣b2c）＝0， ∴ab（a﹣b）+c（a+b）（a﹣b）＝0， ∴（a﹣b）[ab+c（a+b）]＝0， ∴（a﹣b）（ab+ac+bc）＝0， ∵a≠b， ∴a﹣b≠0， ∴ab+ac+bc＝0． ∴a（b+c）＝﹣bc， ∴． ∵a2（b+c）＝2025， ∴， ∴﹣abc＝2025． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 19．（2024秋•林州市期末）分解因式：4x2+12xy+9y2﹣9＝ 　（2x+3y﹣3）（2x+3y+3）　 ． 【分析】利用分组分解法，先对4x2+12xy+9y2因式分解得（2x+3y）2，再利用平方差公式因式分解． 【解答】解：4x2+12xy+9y2﹣9 ＝（2x+3y）2﹣32 ＝（2x+3y﹣3）（2x+3y+3）， 故答案为：（2x+3y﹣3）（2x+3y+3）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 20．（2026•广州校级模拟）因式分解：x3﹣x+x2﹣1＝　（x+1）2（x﹣1）　 ． 【分析】先分组提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直至分解彻底． 【解答】解：原式＝（x3﹣x）+（x2﹣1） ＝x（x2﹣1）+（x2﹣1） ＝（x+1）（x2﹣1） ＝（x+1）（x+1）（x﹣1） ＝（x+1）2（x﹣1）． 故答案为：（x+1）2（x﹣1）． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解的方法是关键． 21．（2025•绥化二模）分解因式：m2+9n2﹣x6﹣6mn＝ 　（m﹣3n+x3）（m﹣3n﹣x3）　 ． 【分析】先进行分组﹣三一结合，再利用完全平方公式、平方差公式分解因式即可． 【解答】解：m2+9n2﹣x6﹣6mn ＝（m2﹣6mn+9n2）﹣x6 ＝（m﹣3n）2﹣（x3）2 ＝（m﹣3n+x3）（m﹣3n﹣x3）， 故答案为：（m﹣3n+x3）（m﹣3n﹣x3）． 【点评】本题考查了分解因式﹣分组分解法，熟练掌握分组分解因式的方法以及完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 22．（2025秋•徐汇区校级期中）将多项式a2+2ab+b2﹣1分解因式得　（a+b+1）（a+b﹣1）　 ． 【分析】前三项利用完全平方公式，再利用平方差公式． 【解答】解：原式＝（a2+2ab+b2）﹣1 ＝（a+b）2﹣1 ＝（a+b+1）（a+b﹣1）． 故答案为：（a+b+1）（a+b﹣1）． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法和分组分解法是解决本题的关键． 23．（2026•郫都区校级模拟）分解因式：mn+2m﹣n﹣2＝　（m﹣1）（n+2）　 【分析】利用分组分解法分解因式即可． 【解答】解：利用分组分解法分解因式可得： mn+2m﹣n﹣2 ＝m（n+2）﹣（n+2） ＝（m﹣1）（n+2）． 故答案为：（m﹣1）（n+2）． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法进行因式分解是解题的关键． 24．（2025秋•杨浦区期末）因式分解：9x2﹣3x+y﹣y2． 【分析】观察式子9x2﹣3x+y﹣y2，分组为（9x2﹣y2）﹣（3x﹣y）．对9x2﹣y2用平方差公式分解，得（3x+y）（3x﹣y）．提取公因式（3x﹣y），得到（3x﹣y）（3x+y﹣1）． 【解答】解：9x2﹣3x+y﹣y2 ＝9x2﹣y2﹣（3x﹣y） ＝（3x+y）（3x﹣y）﹣（3x﹣y） ＝（3x﹣y）（3x+y﹣1）． 【点评】本题考查了因式分解，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式． 25．（2022秋•青浦区期中）因式分解：4x2+6y﹣9y2﹣1． 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可得出答案． 【解答】解：4x2+6y﹣9y2﹣1 ＝4x2﹣（9y2﹣6y+1） ＝4x2﹣（3y﹣1）2 ＝（2x+3y﹣1）（2x﹣3y+1）． 【点评】此题主要考查因式分解，解题的关键是掌握利用平方差公式进行因式分解． 26．（2024秋•杨浦区期末）因式分解：x2﹣x﹣2y﹣4y2． 【分析】先分组利用平方差公式，再提取公因式． 【解答】解：x2﹣x﹣2y﹣4y2 ＝x2﹣4y2﹣x﹣2y ＝（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+2y） ＝（x+2y）（x﹣2y﹣1）． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握平方差公式和提公因式法是解决本题的关键． 27．（2025春•单元）分解因式：a2﹣b2+4a+2b+3． 【分析】先把a2﹣b2+4a+2b+3转化为（a2+4a+4）﹣（b2﹣2b+1），因为前三项、后三项符合完全平方公式，然后根据平方差公式进一步分解． 【解答】解：a2﹣b2+4a+2b+3 ＝（a2+4a+4）﹣（b2﹣2b+1） ＝（a+2）2﹣（b﹣1）2 ＝（a+b+1）（a﹣b+3）． 【点评】本题考查了分组分解法分解因式，本题的关键是将原式转化为完全平方的形式，然后分组分解．解题时要求同学们要有构造意识和想象力． 28．分解因式： （1）x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3； （2）x4+4． 【分析】（1）利用分组分解法分解因式即可； （2）先填项4x2，再利用分组分解法分解因式即可． 【解答】解：（1）x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3 ＝（x2﹣2x+1）﹣（y2+4y+4） ＝（x﹣1）2﹣（y+2）2 ＝（x﹣1+y+2）（x﹣1﹣y﹣2） ＝（x+y+1）（x﹣y﹣3）； （2）x4+4 ＝x4+4x2﹣4x2+4 ＝（x2+2）2﹣（2x）2 ＝（x2+2﹣2x）（x2+2+2x） ＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）． 【点评】本题考查了分组分解法分解因式，熟练掌握该知识点是关键． 29．阅读理解． 观察下列因式分解的过程： （1）x2﹣xy+4x﹣4y． 原式＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）＝x（x﹣y）+4（x﹣y）＝（x﹣y）•（x+4）． （2）a2﹣b2﹣c2+2bc． 原式＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）＝a2﹣（b﹣c）2＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）． 第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式．仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： （1）a2﹣ab+ac﹣bc． （2）x2﹣4y2﹣z2+4yz． 【分析】（1）一二项、三四项分组提取公因式，分组后再提取公因式； （2）后三项加上一个负括号利用完全平方公式，再与第一项利用平方差公式． 【解答】解：（1）a2﹣ab+ac﹣bc ＝a（a﹣b）+c（a﹣b） ＝（a﹣b）（a﹣c）； （2）x2﹣4y2﹣z2+4yz ＝x2﹣（4y2+z2﹣4yz） ＝x2﹣（2y﹣z）2 ＝（x+2y﹣z）（x﹣2y+z）． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握分组分解法和提公因式法、公式法是解决本题的关键． 30．（2023秋•鼓楼区校级期末）材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）． （1）分解因式：ab+a+b+1； （2）若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，求a+b的值； （3）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣5＝0，S＝2a2+3ab+b2+5a﹣b，求S的最小值． 【分析】（1）先分组，再运用提公因式法进行因式分解． （2）现将ab﹣a﹣b﹣4＝0变形为ab﹣a﹣b+1＝5，即（a﹣1）（b﹣1）＝5，然后再解决本题． （3）先将ab﹣a﹣b﹣5＝0变形为ab＝a+b+5，再代入S，然后进行变形，得到S＝2（a+2）2+（b+1）2+6，最后探究S的最小值． 【解答】解：（1）ab+a+b+1 ＝（ab+a）+（b+1） ＝a（b+1）+（b+1） ＝（a+1）（b+1）； （2）由题得ab﹣a﹣b+1＝5，即（a﹣1）（b﹣1）＝5， ∵a，b为正整数且a＞b， ∴，即， ∴a+b＝8； （2）由题得ab＝a+b+5， S＝2a2+3ab+b2+5a﹣b ＝2a2+3a+3b+15+b2+5a﹣b ＝2a2+8a+b2+2b+15 ＝2（a2+4a+4）+（b2+2b+1）+6 ＝2（a+2）2+（b+1）2+6， ∵（a+2）2≥0，（b+1）2≥0， ∴S≥6，（当且仅当a＝﹣2，b＝﹣1时取等号）， 经验证：a＝﹣2，b＝﹣1满足ab﹣a﹣b﹣5＝0， 综上，S的最小值为6． 【点评】本题主要考查分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解决本题的关键． 【考点3】因式分解应用（第31-40题） · 化简求值先分解再代入 · 密码设计按规则排序数字 · 整除问题用试根法 · 配方法添项构造完全平方 31．（2025秋•永州期末）利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如x4﹣y4＝（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为|x﹣y|＝1，|x+y|＝7，|x2+y2|＝25组合可得到1725，1257，7125，7251，2517，2571，其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．x3﹣xy2，当x取12，y取14时，其密码为（　　） A．21226 B．12262 C．26212 D．62212 【分析】先进行因式分解，再根据题干给定方法，进行求解即可． 【解答】解：先进行因式分解，再根据题干给定方法求解可知： x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x﹣y）（x+y）， 当x取12，y取14时，|x|＝12，|x﹣y|＝|12﹣14|＝2，|x+y|＝|12+14|＝26， ∴三个数为12、2、26． 所有组合数字：12226、12262、21226、22612、26122、26212，其中最大数字为26212． ∴密码为26212， 故选：C． 【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握该知识点是关键． 32．（2025秋•大连期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式x2y﹣4y，将其分解因式为y（x+2）（x﹣2）．若取x＝15，y＝12，则有y＝12，x+2＝17，x﹣2＝13，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．已知多项式9a3﹣16a，小明取自己的年龄13为a的值，用上述方法生成的密码为　133543　 ． 【分析】利用因式分解的方法解答． 【解答】解：9a3﹣16a ＝a（9a2﹣16） ＝a（3a﹣4）（3a+4）， ∵a＝13， ∴3a﹣4＝35，3a+4＝43， ∴生成的密码为133543． 故答案为：133543． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 33．（2025秋•芝罘区期末）已知a+b＝﹣4，ab＝﹣21，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为 　88　 ． 【分析】题中给了a+b，ab的值，那么应该把所求的代数式进行因式分解，整理成包含a+b，ab的形式．所求的代数式有四项，应采用分组分解法：“三、一”分组或“两、两”分组．题中没有符合完全平方式的三项，适合“两、两”分组：前两项为一组，后两项为一组．分解到底后，代入求值即可． 【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b+ab2）﹣（a+b）＝ab（a+b）﹣（a+b）＝（ab﹣1）（a+b）． ∵a+b＝﹣4，ab＝﹣21， ∴原式＝（﹣21﹣1）×（﹣4）＝88． 故答案为：88． 【点评】本题考查了因式分解的应用．关键是把所给代数式先进行因式分解．用到的知识点为：要进行因式分解的多项式有四项，应采用分组分解法：“三、一”分组或“两、两”分组． 34．（2023春•赫山区校级期中）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值．2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x2+2x+1﹣1﹣3）＝2[（x+1）2﹣4]＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5； （2）当a、b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2+4b+27有最小值，并求出这个最小值； （3）当a、b为何值时，多项式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，并求出这个最小值． 【分析】（1）根据阅读材料，先将m2﹣4m﹣5变形为m2﹣4m+4﹣9，再根据完全平方公式写成（m﹣2）2﹣9，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用分解因式将多项式a2﹣4ab+5b2+4b+27转化为（a﹣2b）2+（b+2）2+23，然后利用非负数的性质进行解答； （3）利用分解因式将多项式2a2+3b2﹣4a+12b+18转化为2（a﹣1）2+3（b+2）2+4，然后利用非负数的性质进行解答． 【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5 ＝m2﹣4m+4﹣9 ＝（m﹣2）2﹣9 ＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3） ＝（m+1）（m﹣5）； （2）a2﹣4ab+5b2+4b+27 ＝a2﹣4ab+4b2+b2+4b+4+23 ＝（a﹣2b）2+（b+2）2+23 当a＝﹣4，b＝﹣2时，a2﹣4ab+5b2+4b+27有最小值，最小值为23； （3）2a2+3b2﹣4a+12b+18 ＝2a2﹣4a+2+3b2+12b+12+4 ＝2（a2﹣2a+1）+3（b2+4b+4）+4 ＝2（a﹣1）2+3（b+2）2+4 ∴当a＝1，b＝﹣2时，多项式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值4． 【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 35．（2026春•三水区期末）阅读与思考 如果p＝m2﹣n2（p，m，n均为正整数且m＞n），则称p为“智慧数”，等式“p＝m2﹣n2”称为p的智慧分解．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧数，等式“16＝52﹣32”为16的一个智慧分解．下面是小颖的思考过程：设两个数分别为k+1，k（k≥1且k为整数），则（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1． （1）根据上述探究可得：除1外所有　奇　 数都是智慧数，请直接写出15的一个智慧分解　15＝82﹣72或15＝42﹣12 ； （2）小颖发现：8＝32﹣12，12＝42﹣22，所以8和12均是智慧数，由此，她猜想：4k（k≥2，且k为整数）均为智慧数，请证明她的猜想； （3）第120个智慧数是　163　 ； （4）144是智慧数吗？如果是，请求出它的所有智慧分解；如果不是，请说明理由． 【分析】（1）利用平方差公式（k+1）2﹣k2＝2k+1的规律，发现除1以外的所有奇数都可以表示为两个连续整数的平方差，从而得出“奇数”这一结论；对于15的分解，只需找到满足m2﹣n2＝15的整数对即可； （2）通过观察8和12的分解形式，构造出（k+1）2﹣（k﹣1）2的代数式进行证明．利用平方差公式展开后恰好等于4k，且当k≥2时底数均为正整数，从而证明了4k均为智慧数； （3）采用“分组找规律”的方法．将正整数按每4个一组划分（如1，2，3，4为第0组），分析每组中智慧数的个数（第0组有1个，其余组每组有3个）．建立方程1+3k＝120确定第120个智慧数所在的组数和位置，进而推算出具体数值； （4）利用平方差公式逆运算，将144分解为（m+n）（m﹣n）．根据144的偶数性质，确定m+n和m﹣n必须同为偶数．列出144的所有偶数因子对，分别解二元一次方程组求出对应的m，n值，从而得到所有的智慧分解． 【解答】解：（1）由题意，大于1的奇数都可以写成两个连续正整数的平方差：2k+1＝（k+1）2﹣k2， 因此除1外所有大于1的奇数都是智慧数．15是奇数，可分解为15＝42﹣12（也可写成15＝82﹣72）； 故答案为：奇；15＝82﹣72或15＝42﹣12； （2）∵（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k， ∴4k＝（k+1）2﹣（k﹣1）2， ∴4k（k≥2，且k为整数）均是智慧数； （3）除1以外的所有奇数都是智慧数，除4以外的所有4的倍数都是智慧数． 因此，可以将正整数按1，2，3，4的顺序每4个数分成一组，第0组为（1，2，3，4）， 第1组为（5，6，7，8）， 第k组为（4k+1，4k+2，4k+3，4k+4），k为自然数． 可以发现，第0组有1个智慧数，其余各组都有3个智慧数，于是0∼k组共有（1+3k）个智慧数． 因为当1+3k＝120时，k＝39余数为2， 所以第120个智慧数为第40组的第3个数，即（161，162，163，164）的第3个数， 所以第120个智慧数是163． 故答案为：163； （4）144是智慧数． 设144＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），（m，n均是正整数且m＞n） 根据题意得，m+n，m﹣n都是偶数， ∵144＝72×2＝36×4＝24×6＝18×8∴有以下4种情况： ①当时，解得， ②当时，解得， ③当时，解得， ④当时，解得， 综上所述：144是智慧数，所有智慧分解有：144＝372﹣352，144＝202﹣162，144＝152﹣92，144＝132﹣52． 【点评】题目考查了因式分解的应用，解题的关键在于对于平方差公式的灵活运用，无论是判断智慧数还是进行分解，核心都在于理解p＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）这一结构．在处理第（3）问的计数和第（4）问的分解时，需要结合整数的奇偶性（如同奇同偶）以及周期性规律进行严谨的逻辑推导． 36．若多项式2x4+4x3+ax2+8x﹣b能被x2﹣x+1整除，求ab值． 【分析】多项式整除问题，把商假设出来，转化为多项式的乘法进行计算． 【解答】解：设2x4+4x3+ax2+8x﹣b＝（x2﹣x+1）（2x2+mx+n） ＝2x4+（m﹣2）x3+（2﹣m+n）x2+（m﹣n）x+n， ∴， 解得a＝﹣6，b＝2， ∴ab值为（﹣6）2＝36． 【点评】6．若多项式2x4+4x3+ax2+8x﹣b能被x2﹣x+1整除，求ab值． 37．（2024春•沛县校级期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）通过图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式 　（a+b）2＝a2+2ab+b2 ； （2）通过图2中阴影部分的面积能解释的因式分解的公式 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ； （3）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积直接写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系：　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ． （4）根据（3）中你探索发现的结论，完成下列计算：已知a﹣b＝5，ab＝﹣4，求代数式（a+b）2的值． 【分析】（1）通过图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）通过图2中阴影部分的面积能解释的因式分解的公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （3）阴影部分的面积：小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个长方形的面积； （4）根据（3）发现的结论，可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，代入计算即可． 【解答】解：（1）通过图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2； 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）通过图2中阴影部分的面积能解释的因式分解的公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （3）阴影部分的面积：小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个长方形的面积， 即：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； 故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （4）根据（3）发现的结论，可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ∵a﹣b＝5，ab＝﹣4， ∴（a+b）2＝52+4×（﹣4）＝9． 【点评】本题考查的是因式分解的应用和完全平方公式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 38．（2026春•保定期末）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法；根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为b2（a﹣b），ab（a﹣b），a2（a﹣b）． （1）分解因式：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝ 　（a﹣b）（a2+ab+b2）　 ； （2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有a，b的代数式表示）①a3﹣b3 ；②a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）　 ； 思考：类比平方差公式，你能得到的等式（写成因式分解的形式）为 a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）　 ． （3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：x3﹣8； （4）拓展：已知a﹣b＝1，ab＝2，代数式a4b﹣ab4的值为 　14　 ． 【分析】（1）利用提取公因式法进行因式分解即可得出答案； （2）①根据图1中的立体图形的体积＝棱长为a的正方体的体积﹣棱长为b的正方体的体积即可得出答案； ②根据图1中的立体图形的体积＝图3中三个立体图形的体积和即可得出答案； （3）根据两种方法求出图1中的立体图形的体积即可得出答案； （3）根据x3﹣8＝x3﹣23，再利用（3）中的结论可得出答案； （4）利用（3）中的结果，将a4b﹣ab4因式分解得ab（a﹣b）（a2+ab+b2），再根据a﹣b＝1，ab＝2得a2+b2＝1+2ab＝5，然后在整体代入ab（a﹣b）（a2+ab+b2）之中进行计算即可得出答案． 【解答】解：（1）a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， 故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）． （2）①∵图1中的立体图形的体积＝棱长为a的正方体的体积﹣棱长为b的正方体的体积 ∴图1中的立体图形的体积＝a3﹣b3， ②∵图1中的立体图形的体积＝图3中三个立体图形的体积和， ∴图1中的立体图形的体积＝a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）， 故答案为：①a3﹣b3；②a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）． 思考：根据图1中的立体图形的体积得：a3﹣b3＝a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）， 由（1）得：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， ∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， 故答案为：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． （3）x3﹣8 ＝x3﹣23 ＝（x﹣2）（x2+2x+22） ＝（x﹣2）（x2+2x+4）， （4）a4b﹣ab4 ＝ab（a3﹣b3） ＝ab（a﹣b）（a2+ab+b2）， ∵a﹣b＝1，ab＝2， ∴（a﹣b）2＝1， ∴a2﹣2ab+b2＝1， ∴a2+b2＝1+2ab＝5， ∴a4b﹣ab4＝ab（a﹣b）（a2+ab+b2）＝2×1×（5+2）＝14． 【点评】此题主要考查了因式分解的应用，立方差公式的几何背景，乘法公式在因式分解中的应用，正方体的体积公式等，理解题意，熟练掌握因式分解的方法与技巧，乘法公式的结构特征是解决问题的关键． 39．（2026春•莱西市期末）在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知a+b＝5，ab＝3，可以在不求a、b的值的情况下，求出a2+b2的值．具体做法如下： a2+b2＝a2+2ab+b2﹣2ab＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19 （1）若a+b＝6，ab＝1.5，则a2+b2＝　33　 ． （2）若m满足（8﹣m）（m﹣3）＝3，求（8﹣m）2+（m﹣3）2的值， 同样可以应用上述方法解决问题，具体操作如下： 解：设8﹣m＝a，m﹣3＝b， 则a+b＝（8﹣m）+（m﹣3）＝5，ab＝（8﹣m）（m﹣3）＝3， 所以（8﹣m）2+（m﹣3）2＝a2+b2＝a2+2ab+b2﹣2ab＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19 请参照上述方法解决下列问题：若（5x﹣2）（9﹣5x）＝4，求（5x﹣2）2+（9﹣5x）2的值； （3）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为2，请求出图1的阴影部分面积． 【分析】（1）根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab代入数据即可； （2）仿照材料设5x﹣2＝a，9﹣5x＝b即可解答； （3）由题干思路得到图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝2，再根据（x+y）2＝64求得x2+y2＝33，从而即可求出图一阴影面积． 【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝36﹣2×1.5＝33， 故答案为：33； （2）设5x﹣2＝a，9﹣5x＝b， 则a+b＝（5x﹣2）+（9﹣5x）＝7，ab＝（5x﹣2）（9﹣5x）＝4， 所以（5x﹣2）2+（9﹣5x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×4＝41； （3）解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x+y＝8， ∴（x+y）2＝64， ∴x2+y2+2xy＝64， ∵点H为AE的中点， ∴AH＝EH＝4， ∵图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝2， ∴（x+y）2+（x﹣y）2＝64+2＝66， ∴x2+y2＝33， ∴图1的阴影部分面积＝x2+y24•x4•y ＝x2+y2﹣2（x+y） ＝33﹣2×8 ＝17． 【点评】本题主要考查因式分解和完全平方公式的应用，理解公式并灵活运用是关键． 40．（2026春•裕华区校级期中）【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的图形． （1）上述操作能验证的等式是A ．（请选择正确的一个） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2+ab＝a（a+b） D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【应用】 （2）已知m﹣2n＝2，m+2n＝8，请计算m2﹣4n2的值． 【拓展】 （3）已知A＝2024×2026，B＝20252，则A与B的大小关系为A　＜　 B（填“＞”“＜”或“＝”）． 【分析】（1）根据拼接前后的面积相等可得出答案； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）利用平方差公式求出A的值，再与B进行比较即可． 【解答】解：（1）图①的剩余面积为a2﹣b2，图②拼接得到的图形面积为（a+b）（a﹣b）， 因此有，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故A正确； 故选：A． （2）由条件可知m2﹣4n2 ＝（m﹣2n）（m+2n） ＝2×8 ＝16； （3）∵A＝2024×2026 ＝（2025﹣1）（2025+1） ＝20252﹣1， ∴B﹣A＝20252﹣（20252﹣1）＝20252﹣20252+1＝1， ∴B﹣A＞0， ∴B＞A， 即A＜B． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握该知识点是关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 十字相乘法核心：找两个数使和=一次项系数、积=常数项 · 分组分解法：二二分提公因式、三一分凑完全平方 · 综合分解按「一提二套三分组」顺序进行 · 因式分解应用关键是先分解再代入，简化计算 · 配方法：添项构造完全平方，再减去保持值不变 【作业 1】（2026春•电白区期中）若多项式x2+ax+b可因式分解为（x+9）（x﹣6），则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣54 D．54 【分析】根据因式分解﹣十字相乘法解答即可． 【解答】解：∵（x+9）（x﹣6）＝x2+3x﹣54，且多项式x2+ax+b可因式分解为（x+9）（x﹣6）， ∴a＝3，b＝﹣54， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 2】（2025春•姑苏区校级期中）若整数x、y、z满足xy+yz+zx＝1，则（1+x2）（1+y2）（1+z2）可能取到的值为（　　） A．16900 B．17900 C．18900 D．以上结论都不对 【分析】首先根据已知条件对1+x2进行变形，得到与x+y、z+x相关的式子，进而推出（1+x2）（1+y2）（1+z2）的表达式然后通过设方程组找到满足条件的x、y、z的值，代入式子计算出结果，并与选项进行对比． 【解答】解：因为xy+yz+zx＝1， 所以（1+x2）（1+y2）（1+z2） ＝（xy+yz+zx+x2）（xy+yz+zx+y2）（xy+yz+zx+z2） ＝（x+y）（x+z）（x+y）（y+z）（x+z）（y+z） ＝[（x+y）（x+z）（y+z）]2， 很显然[（x+y）（x+z）（y+z）]2是一个完全平方数， 因为1302＝16900， 17900、18900不是完全平方数． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解的应用、多项式乘多项式，解决本题的关键是运用整体代入思想，将式子进行因式分解． 【作业 3】（2025秋•重庆月考）用提公因式法对6xn+2﹣12xn+18xn﹣2进行因式分解时，提取的公因式是（　　） A．18xn+1 B．6xn C．6xn﹣2 D．18x 【分析】提取公因式需要找到系数最大公约数和变量最小幂次，据此进行分析，即可作答． 【解答】解：根据提取公因式需要找到系数最大公约数和变量最小幂次可得： 6xn+2﹣12xn+18xn﹣2＝6xn﹣2（x4﹣2x2+3）， 故选：C． 【点评】本题考查了提取公因式进行因式分解．熟练掌握该知识点是关键． 【作业 4】（2024•海曙区校级自主招生）已知实数a，b满足a2b2+a2+b2﹣6ab﹣2a+2b+5＝0，则a7﹣b7的值为　127　 ． 【分析】把所给等式的左边整理成两个完全平方式相加的形式，进而判断出a，b可能的数值，代入计算即可． 【解答】解：∵a2b2+a2+b2﹣6ab﹣2a+2b+5＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+（a2b2﹣4ab+4）﹣2（a﹣b）+1＝0， （a﹣b）2+（ab﹣2）2﹣2（a﹣b）+1＝0， [（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1]+（ab﹣2）2＝0， （a﹣b﹣1）2+（ab﹣2）2＝0， ∴， ∴或， ∴a7﹣b7＝27﹣17＝128﹣1＝127，或a7﹣b7＝（﹣1）7﹣（﹣2）7＝﹣1+128＝127， 故答案为127． 【点评】本题考查因式分解的应用．把所给的等式整理成两个完全平方式相加等于0的形式，是解决本题的难点． 【作业 5】（2025秋•双流区校级月考）已知a+b＝23，则（a+18）2025+（b﹣41）2025＝ 　0　 ． 【分析】由a+b＝23，计算（a+18）+（b﹣41）的结果，判断两者互为相反数；根据“互为相反数的两个数的奇次幂之和为0”，得出式子的值． 【解答】解：∵a+b＝23， ∴（a+18）+（b﹣41）＝（a+b）+（18﹣41）＝23﹣23＝0， 即a+18＝﹣（b﹣41）， 则（a+18）2025＝[﹣（b﹣41）]2025＝﹣（b﹣41）2025； ∴（a+18）2025+（b﹣41）2025＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查了代数式的变形、互为相反数的奇数次幂性质，解题的关键是通过已知条件推导（a+18）与（b﹣41）的关系，利用奇次幂性质计算结果． 【作业 6】（2025秋•闵行区期末）如果关于x的整式x2+px+12可以因式分解为（x﹣a）（x﹣b），其中a、b均为整数，那么满足条件的p的值有　6　 个． 【分析】根据因式分解与多项式乘法的关系，比较系数得出整数a和b满足ab＝12，且p＝﹣（a+b），列举所有整数对并计算p，得到不同的p值的个数． 【解答】解：整式x2+px+12因式分解为（x﹣a）（x﹣b），则展开后得x2﹣（a+b）x+ab，与原式比较系数，有ab＝12和p＝﹣（a+b）， 由于a和b均为整数， ∴a＝12，b＝1或a＝1，b＝12，则p＝﹣（a+b）＝﹣13； a＝﹣12，b＝﹣1或a＝﹣1，b＝﹣12，则p＝﹣（a+b）＝13； a＝6，b＝2或a＝2，b＝6，则p＝﹣（a+b）＝﹣8； a＝﹣6，b＝﹣2或a＝﹣2，b＝﹣6，则p＝﹣（a+b）＝8； a＝﹣4，b＝﹣3或a＝﹣3，b＝﹣4，则p＝﹣（a+b）＝7； a＝4，b＝3或a＝3，b＝4，则p＝﹣（a+b）＝﹣7； 因此不同的p值有﹣13，﹣8，﹣7，7，8，13，共6个， 故答案为：6． 【点评】本题考查了因式分解与多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【作业 7】（2025秋•海珠区期末）若1+a+a2+a3+a4＝0，则1+a+a2+a3+a4+a5+…+a2024+a2025的值为　1　 ． 【分析】将原式分组并利用提公因式法因式分解，然后整体代入已知数值计算即可． 【解答】解：∵1+a+a2+a3+a4＝0， ∴1+a+a2+a3+a4+a5+…+a2024+a2025 ＝（1+a+a2+a3+a4）+（a5+a6+a7+a8+a9）+…+（a2020+a2021+a2022+a2023+a2024）+a2025 ＝（1+a+a2+a3+a4）+a5（1+a+a2+a3+a4）+…+a2020（1+a+a2+a3+a4）+a2025 ＝0+0+…+0+a2025 ＝a2025， ∵a5﹣1＝（a﹣1）（1+a+a2+a3+a4）＝0， ∴a5＝1， ∴a2025＝（a5）405＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查因式分解的应用，将原式进行正确地分组是解题的关键． 【作业 8】（2025秋•金山区期中）如果一个正整数能表示为两个连续非负偶整数的平方差，那么我们称这个正整数为“黄金数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此，4，12，20这三个数都是“黄金数”．已知2028是黄金数，即2028＝m2﹣n2（m，n为连续的正偶整数），那么2m﹣n＝ 　510　 ． 【分析】由题可知m＝n+2，进而代入求解即可． 【解答】解：由题意可知m＝n+2， ∴2028＝m2﹣n2 ＝（n+2）2﹣n2 ＝4n+4， ∴n＝506， ∴m＝n+2＝508， ∴2m﹣n＝2×508﹣506＝510， 故答案为：510． 【点评】本题主要考查了乘法公式及应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业 9】（2025•南山区校级模拟）若x2﹣x+2＝0，则x3+2x2﹣x+3＝　﹣3　 ． 【分析】先降次，x3+2x2﹣x+3＝3x2﹣3x+3，再利用因式分解，根据已知x2﹣x+2＝0，可得代数式的值． 【解答】解：∵x2﹣x+2＝0， ∴x2＝x﹣2，x2﹣x＝﹣2． x3+2x2﹣x+3 ＝x（x﹣2）+2x2﹣x+3 ＝x2﹣2x+2x2﹣x+3 ＝3x2﹣3x+3 ＝3（x2﹣x）+3 ＝3×（﹣2）+3 ＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了整体代入求多项式的值，关键是把多项式降次，因式分解． 【作业 10】（2025秋•岳阳楼区期末）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 　等腰　 三角形． 【分析】把已知条件中的等式的右边移到等号左边，然后利用平方差公式、提取公因式法分解因式，进行解答即可． 【解答】解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc， ∴a2﹣b2﹣ac+bc＝0， （a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0， （a﹣b）（a+b﹣c）＝0， ∵a，b，c为△ABC的三边， ∴a+b﹣c≠0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形， 故答案为：等腰． 【点评】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法． 【作业 11】（2025秋•资阳期中）若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为5＝22+12，再如：M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数）．所以M也是“完美数”． （1）请你判断29是否为“完美数”； （2）已知S＝x2+y2+4x﹣6y+k（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 【分析】（1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用完全平方公式，将S配成完美数，可求k的值， 【解答】解：（1）已知一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”， ∵29＝52+22， ∴29是完美数， （2）k＝13时，S为“完美数”，理由如下： S＝x2+y2+4x﹣6y+k ＝x2+4x+4+（y2﹣6y+9）+k﹣13 ＝（x+2）2+（y﹣3）2+k﹣13， ∵x、y是整数， ∴x+2，y﹣3也是整数， ∴当k﹣13＝0，即k＝13，S是完美数． 【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用． 【作业 12】（2025秋•松江区校级月考）[阅读材料] 进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制﹣X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位．十进制就是逢十进一，十六进制就是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进一．为了与十进制进行区分，我们常把X进制表示的数a写成（a）X． 类比于十进制，我们可以知道：X进制表示的数（1111）X中，右起第一位上的1表示1×X0，第二位上的1表示1×X1，第三位上的1表示1×X2，第四位上的1表示1×X3，所以（1111）X＝1×X0+1×X1+1×X2+1×X3即：（1111）X转化为的十进制表示的数为1×X0+1×X1+1×X2+1×X3如：（1111）2＝1×20+1×21+1×22+1×23＝15．（1111）5＝1×50+1×51+1×52+1×53＝156． 根据材料完成以下问题： （1）把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： （101011）2＝　43　 ；（302）4＝　50　 ；（257）8＝　175　 ； （2）若一个五进制的三位数（a4b）5与八进制三位数（ba4）8之和能被13整除（1≤a≤5，1≤b≤5，且a，b均为整数），求a的值； （3）若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，（mm1）6与（nn5）8是否互为“如意数”？若是，求出这两个数，若不是，说明理由． 【分析】（1）（101011）2＝1×25+1×23+1×21+1×20＝43，（302）4＝3×42+2×40＝50，（257）7＝2×82+5×81+7×80＝175； （2）由（a4b）5＝a×52+4×51+b×50＝25a+20+b，（ba4）8＝b×82+a×81+4×80＝64b+8a+4，可得（a4b）5+（ba4）8＝25a+20+b+64b+8a+4＝33a+65b+24能被13整除，则33a+24能被13整除，由a的取值范围，确定a的具体值即可； （3）（mm1）6＝m×62+m×61+1×60＝42m+1，（nn5）8＝n×82+n×81+5×80＝72n+5，则有（mm1）6+（nn5）8＝42m+72n+6＝666，得到7m+12n＝110，在讨论m与n的值即可． 【解答】解：（1）（101011）2＝1×25+1×23+1×21+1×20＝43， （302）4＝3×42+2×40＝50， （257）8＝2×82+5×81+7×80＝175； 故答案为：43，50，175； （2）（a4b）5＝a×52+4×51+b×50＝25a+20+b， （ba4）8＝b×82+a×81+4×80＝64b+8a+4， ∴（a4b）5+（ba4）8＝25a+20+b+64b+8a+4＝33a+65b+24能被13整除， ∴33a+24能被13整除， ∵1≤a≤5， ∴a＝4； （3）不是，理由如下： （mm1）6＝m×62+m×61+1×60＝42m+1， （nn5）8＝n×82+n×81+5×80＝72n+5， ∴（mm1）6+（nn5）8＝42m+72n+6＝666， ∴7m+12n＝110， ∵1≤m≤5，1≤n≤7， ∴m＝2，n＝8， ∴（mm1）6与（nn5）8不互为“如意数”． 【点评】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键． 【作业 13】（2025秋•杨浦区期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），这时就说（x﹣1）和（x+2）是x2+x﹣2的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断（x﹣a）这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式x2+x﹣2我们分别计算： 当x＝1时，原式＝12+1﹣2＝0，当x＝﹣2时，原式＝（﹣2）2+（﹣2）﹣2＝0； 当我们把x＝1和x＝﹣2分别代入x2+x﹣2，整式x2+x﹣2的值都等于0，那么（x﹣1）和（x+2）就是整式x2+x﹣2的两个因式，通过归纳发现： 如果当x＝a时，一个整式的值等于0，那么（x﹣a）就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果（x﹣a）是整式的一个因式，那么当x＝a时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式P＝x4﹣x3﹣7x2+5x+10． （1）请判断（x+1）是否是整式P的一个因式； （2）当整式P的一次项系数变为k时，而（x+1）仍是它的一个因式．求此时k的值； （3）请尝试将整式P进行因式分解． 【分析】（1）根据题意，将x＝﹣1代入整式计算即可判断； （2）根据题意将x＝﹣1代入整式计算，然后解方程即可； （3）根据题意，分别将x＝﹣1、x＝2、x2＝5代入整式计算，然后求解即可． 【解答】解：（1）当x＝﹣1时， P＝（﹣1）4﹣（﹣1）3﹣7×（﹣1）2+5×（﹣1）+10＝0， ∴（x+1）是整式P的一个因式； （2）当整式P的一次项系数变为k时， P＝x4﹣x3﹣7x2+kx+10， ∵（x+1）是它的一个因式， ∴P＝（﹣1）4﹣（﹣1）3﹣7×（﹣1）2+k×（﹣1）+10＝0， 解得：k＝5； （3）P＝x4﹣x3﹣7x2+5x+10， 当x＝﹣1时， P＝（﹣1）4﹣（﹣1）3﹣7×（﹣1）2+5×（﹣1）+10＝0； 当x＝2时， P＝24﹣23﹣7×22+5×2+10＝0； 当x2＝5时， P＝52﹣5x﹣7×5+5x+10＝0； ∴（x+1）和（x﹣2）、（x2﹣5）就是整式P＝x4﹣x3﹣7x2+5x+10的因式， ∴P＝x4﹣x3﹣7x2+5x+10＝（x+1）（x﹣2）（x2﹣5）． 【点评】本题主要考查因式分解、有理数的混合运算，理解题意是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $