第11讲 多边形内角和与外角和 优等生讲义 2026-2027学年鲁教版(五四制)八年级数学上册

第11讲 多边形内角和与外角和 优等生讲义 (精讲+典例+练习) 2026-2027学年鲁教版(五四制)八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解多边形及正多边形的概念 · 掌握多边形内角和公式 · 掌握多边形外角和定理（恒为360°） · 会计算对角线条数 · 能综合运用内角和外角解决实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.多边形的概念 由不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形 按边数分为三角形、四边形、五边形……n边形 正多边形：各边相等、各内角相等 多边形内角的一边与另一边反向延长线组成外角 概念辨析例题：正六边形每个内角是多少 解析：内角和(6-2)×180°=720°，每个内角=720°÷6=120° ☆ 2.多边形内角和定理 n边形内角和=(n-2)×180° 三角形180°、四边形360°、五边形540° 内角和随边数增加而增加 每增加一条边内角和增加180° 概念辨析例题：一个多边形内角和为900°，求边数 解析：(n-2)×180°=900°，n-2=5，n=7 ☆ 3.多边形外角和定理 任意多边形外角和恒等于360° 与边数无关 正多边形每个外角=360°÷n 内角=180°-相邻外角 概念辨析例题：正多边形每个外角40°，求边数 解析：360°÷40°=9，是正九边形 ☆ 4.对角线与综合应用 n边形对角线总数=n(n-3)÷2 从一个顶点出发引(n-3)条对角线 分成(n-2)个三角形 内角+相邻外角=180°，结合使用 概念辨析例题：八边形对角线有多少条 解析：8×(8-3)÷2=20 📋 知识总结表 名称 公式/结论 用途 内角和 (n-2)×180° 求内角/边数 外角和 恒=360° 与边数无关 正多边形内角 (n-2)×180°÷n 求角度 正多边形外角 360°÷n 求边数 对角线总数 n(n-3)÷2 数对角线 内外角关系 内角+外角=180° 互化 ⚠️ 核心考点 【考点1】多边形内角和（第1-17题） · 内角和=(n-2)×180° · 列方程求边数 · 正多边形除n · 注意钝角锐角判断 1．菲菲为了推理出多边形的内角和，将多边形的某一个顶点分别与其他各顶点相连，这样把原来的多边形分割成了5个三角形，则这个多边形的内角和为（　　） A．720° B．900° C．1800° D．1440° 【分析】根据三角形的内角和为180°可计算求解． 【解答】解：5×180°＝900°， 答：这个多边形的内角和为900°． 故选：B． 【点评】题主要考查多边形及三角形的内角和，掌握三角形的内角和为180°是解题的关键． 2．（2026春•碑林区校级期末）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章ABCDE上，若直尺的下沿MN⊥DE于点O，且经过点B，上沿PQ经过点E且与AB相交于点F，则∠BFE的度数为（　　） A．60° B．126° C．108° D．72° 【分析】根据正五边形的性质以及平行线的性质进行解答即可． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠ABC108°， ∵MN⊥DE，由正五边形的对称性可知，BN是正五边形的对称轴， ∴∠ABN＝∠CBN∠ABC＝54°， ∵MN∥PQ， ∴∠BFE＝180°﹣54°＝126°， 故选：B． 【点评】本题考查多边形的内角与外角，平行线的性质，掌握正五边形的性质以及平行线的性质是正确解答的关键． 3．（2026•娄底一模）如图，由六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中∠ABC的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 【分析】利用多边形的内角和公式及正多边形的性质求得正九边形每个内角的度数，然后利用角的和差即可求得答案． 【解答】解：正九边形每个内角的度数为140°， 则∠ABC＝360°﹣140°×2＝80°， 故选：C． 【点评】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质，结合已知条件求得正九边形每个内角的度数是解题的关键． 4．（2025秋•杭锦后旗期末）六边形的内角和为（　　） A．720° B．630° C．540° D．360° 【分析】根据多边形内角和公式计算即可． 【解答】解：六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°， 故选：A． 【点评】本题考查了多边形内角和公式，熟练掌握（n﹣2）•180°是关键． 5．（2023秋•怀柔区期末）若一个正多边形的每个内角都是120°，则该图形是（　　） A．正七边形 B．正三角形 C．正六边形 D．不能确定 【分析】根据多边形的内角和公式，即可得到答案． 【解答】解：设多边形为n边形，由题意得： （n﹣2）•180＝120n， 解得n＝6，该多边形是正六边形， 故选：C． 【点评】本题考查了多边形内角与外角，等边三角形的性质，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 6．（2025秋•埇桥区校级月考）从n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其他顶点，可以得到2023个三角形，则n等于（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】根据从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个n边形分割成（n﹣2）个三角形的规律作答． 【解答】解：由题意得：n﹣2＝2023， ∴n＝2023+2＝2025． 故选：D． 【点评】本题主要考查多边形的性质，解题关键是熟记多边形顶点数与分割成的三角形个数的关系． 7．（2025春•环翠区期中）从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，分割得到2025个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【分析】可根据多边形的一顶点，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解． 【解答】解：根据题意可知，这个多边形的边数为2025+2＝2027． 故选：D． 【点评】本题考查了多边形的对角线，掌握“三角形个数+2＝多边形的边数”是解题的关键． 8．（2025•南岸区校级模拟）若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是（　　）边形． A．六 B．七 C．八 D．九 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线求解即可． 【解答】解：设多边形的边数为n，由条件可知n﹣3＝6， 解得n＝9． 则这个多边形是九边形． 故选：D． 【点评】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．熟练掌握该知识点是关键． 9．（2026•建邺区一模）如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，∠C＝∠B，m代表的度数为　60°　 ． 【分析】利用四边形的内角和为360°，再列方程求解即可． 【解答】解：∵AD⊥CD， ∴∠D＝90°， ∵∠A＝150°，∠B＝∠C＝m，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°， ∴150°+90°+m+m＝360°， ∴m＝60°． 故答案为：60°． 【点评】本题考查的是四边形的内角和定理的应用，掌握“四边形的内角和为360°”是解本题的关键． 10．（2025•丛台区校级开学）用含有字母的式子表示如图组合图形的周长L＝　2（a+b+c）　 ，面积S＝b（a+c）　 ． 【分析】根据多边形周长定义，结合图形即可计算出周长，根据割补法把图形如图切割即可计算出面积． 【解答】解：如图， 用平移法：把凹进去的线段向外平移，图形周长等价于长为a、宽为b+c的长方形周长， 长方形周长公式：（长+宽）×2， ∴L＝（a+b+c）×2＝2（a+b+c）． 组合图形的面积为： S＝ab+bc＝b（a+c）． 【点评】题目考查了多边形，解题关键在于相关知识的灵活运用． 11．用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”．20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中Dn表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形ABCD，有两种剖分方式（即：D4＝2），请你用上面的公式计算D6＝　14　 ． 【分析】根据D4＝2，可得出D5，由D5可得出D6． 【解答】解：用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． ∵D4＝2，， ∴D5＝5， ∵， ∴D6＝14； 故答案为：14． 【点评】本题考查了多边形的对角线，解答本题的关键是发现D4＝2． 12．（2025秋•城西区校级期中）将一个六边形进行三角剖分可以剖成　4　 个三角形． 【分析】根据n边形，进行三角剖分后，得到的三角形个数为n﹣2解答即可． 【解答】解：对于一个n边形，剖分后，得到的三角形个数为n﹣2． 六边形的边数n＝6， 三角形个数为6﹣2＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了多边形对角线分三角形个数问题，多边形三角剖分后三角形的个数与边数有关，正确记忆相关知识点是解题关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，多边形ABCDEFGH的各边相等，各角也相等，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，1），则点E的坐标为　（1，2）　 ． 【分析】根据正八边形的性质，等腰直角三角形的性质以及点的坐标的定义进行计算即可． 【解答】解：∵点A（1，0），点B（0，1）， ∴OA＝OB＝1， ∴AB， ∵八边形ABCDEFGH是正八边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE 在Rt△CDM中，∠CDM45°，CD， ∴CM＝DMCD＝1， ∴OM＝OB+BC+CM＝11＝2，EM＝DM+DE＝1， ∴点E（1，2）． 故答案为：（1，2）． 【点评】本题考查多边形的内角与外角，点的坐标，掌握正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及点的坐标的定义是正确解答的关键． 14．（2026•宝鸡模拟）如图，正八边形ABCDEFGH的对角线AF与BH相交于点O，则∠AOB＝　67.5　 °． 【分析】先求出∠AHG＝∠HAB＝135°，再根据正八边形的性质求出∠AHB和∠GHB，最后根据平行线的性质即可求得． 【解答】解：∵八边形ABCDEFGH为正八边形， ∴，HG∥AF， ∵AB＝AH， ∴， ∴∠GHB＝∠AHG﹣∠AHB＝112.5°， ∴∠AOB＝∠HOF＝180°﹣∠GHB＝180°﹣112.5°＝67.5°． 故答案为：67.5°． 【点评】本题考查多边形内角与外角，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．（2025秋•金凤区校级期末）过m边形的一个顶点有8条对角线，n边形没有对角线，则（m﹣n）的值为　8　 ． 【分析】由题意得到m﹣3＝8，求出m＝11，由n边形没有对角线，得到n＝3，即可求出m﹣n＝8． 【解答】解：∵过m边形的一个顶点有8条对角线， ∴m﹣3＝8， ∴m＝11， ∵n边形没有对角线， ∴n＝3， ∴m﹣n＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查多边形的对角线，关键是掌握过m边形的一个顶点有（n﹣3）条对角线． 16．（2023秋•同步）用量角器分别量出图中∠A，∠B，∠C，∠D的大小，并用“＜”号把它们连接起来． 【分析】先用量角器测量出∠A，∠B，∠C，∠D的大小，再用“＜”号连接起来即可． 【解答】解：量角器测量的度数是：∠A＝70°，∠B＝90°，∠C＝122°，∠D＝78°， 则∠A＜∠D＜∠B＜∠C． 【点评】此题考查了多边形的内角，用量角器测量出各角的大小是解题的关键． 17．（2022秋•西城区校级期中）解决几何问题时，不一定能够求出每个角的度数，但依据多边形内角和可以求出它们的和，这时整体代换的思想对于解题的帮助是巨大的，下面看这样一个问题． （1）如图1，在△ABC中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCA的外角平分线，BE，CF交于一点P，已知∠A＝α，求∠BPC的度数（用含有α的式子表示）． ∵∠A＝α，△ABC； ∴∠1+∠2＝180°﹣∠A＝180°﹣α； ∵BE，CF分别是∠ABC和∠BCA的外角平分线； ∴∠3，∠4， ∵△BCP， ∴∠BPC＝　180°﹣（∠3+∠4）　 （三角形内角和为180°）　　 （用含有α的式子表示）． （2）如图2，在四边形ABDC中，BE，CF分别是∠ABD和∠ACD的外角平分线，BE，CF交于一点P，已知∠A＝α，∠D＝β（α＜β），求∠BPC的度数（用含有α和β的式子表示）． ∵∠A＝α，∠D＝β，四边形ABDC； ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠D）＝360°﹣（α+β）； ∵BE，CF分别是∠ABD和∠ACD的外角平分线； ∴∠3∠1，∠4∠2； ∵四边形ACPB， ∴∠BPC＝360°﹣∠A﹣（∠2+∠4）﹣（∠1+∠3）＝360°﹣∠A﹣（∠1+∠2）﹣（∠3+∠4）　　 （用含有α和β的式子表示）． （3）若（2）中的条件变为β＜α，补全图形，并直接写出∠BPC＝　　 （用含有α和β的式子表示）． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理进行角的运算即可求解； （2）根据角平分线的定义和四角形的内角和为360°进行角的运算即可求解； （3）根据角平分线的定义和四角形的内角和为360°进行角的运算即可求解． 【解答】解：（1）∵∠A＝α，△ABC； ∴∠1+∠2＝180°﹣∠A＝180°﹣α； ∵BE、CF分别是∠ABC和∠BCA的外角平分线； ∴，， ∵△BCP， ∴∠BPC＝180°﹣（∠3+∠4）（三角形内角和为180°） ，（用含有α的式子表示）， 故答案为：180°﹣（∠3+∠4），； （2）∵∠A＝α，∠D＝β，四边形ABDC； ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠D）＝360°﹣（α+β）； ∵BE、CF分别是∠ABD和∠ACD的外角平分线； ∴，； ∵四边形ACPB， ∴∠BPC＝360°﹣∠A﹣（∠2+∠4）﹣（∠1+∠3）＝360°﹣∠A﹣（∠1+∠2）﹣（∠3+∠4） （用含有α和β的式子表示）， 故答案为：； （3）如图3， ∵∠A＝α，∠D＝β，四边形ABDC； ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠D）＝360°﹣（α+β）； ∵BE、CF分别是∠ABD和∠ACD的外角平分线； ∴，； ∵四边形DCPB， ∴∠BPC＝360°﹣∠D﹣（∠2+∠4）﹣（∠1+∠3）＝360°﹣∠D﹣（∠1+∠2）﹣（∠3+∠4） ， 故答案为：． 【点评】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、四边形的内角和，理解题意，能从图形中找到角之间的运算关系是解答的关系． 【考点2】多边形外角和（第18-33题） · 外角和恒360° · 正多边形外角=360÷n · 内外角互补 · 结合内角和列方程 18．（2026•秦都区校级模拟）已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是　六　 边形． 【分析】根据题意，设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和公式和多边形的外角和定理，可得（n﹣2）×180°＝360°×2，解一元一次方程即可得出答案． 【解答】解：设这个多边形的边数为n， 由题意，得（n﹣2）×180°＝360°×2， 解得：n＝6，即这个多边形是六边形． 故答案为：六． 【点评】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式，多边形外角和定理是解题的关键． 19．（2025春•鄞州区期中）若n边形的每个外角都是18°，则n的值为 　20　 ． 【分析】根据多边形的外角和公式即可得出答案． 【解答】解：360°÷18°＝20（条）． 故答案为：20． 【点评】本题主要考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形的外角和公式是解题的关键． 20．（2025春•衡东县期末）把边长相等的正六边形和等边三角形按如图所示的方式叠放在一起，则∠1的度数为 　60°　 ． 【分析】根据正多边形的内角相等及多边形内角和定理求解即可． 【解答】解：如图， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠ABC120°， ∵三角形MBC是等边三角形， ∴∠MBC＝60°， ∴∠1＝∠ABC﹣∠MBC＝60°， 故答案为：60°． 【点评】此题考查了多边形的内角，熟记多边形内角和定理是解题的关键． 21．（2024秋•海淀区校级期中）如图，已知正方形ABCD的中心为O．将正方形ABCD绕点O逆时针旋转60°得到正方形A'B'C'D'，两个正方形的公共点为G，H，I，J，K，L，M，N．对八边形GHIJKLMN给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点O到该八边形各顶点的距离都相等； ④点O到该八边形各边的距离都相等． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③④ 【分析】连接OH，AA'，ON，OA'，OG，OD，再根据题意分别求该八边形各边长和内角，点O到该八边形各顶点的距离，点O到该八边形各边的距离，逐个判断即可． 【解答】解：连接OH，AA'，ON，OA'，OG，OD，OA，OB， 将正方形ABCD绕点O逆时针旋转60°得到正方形A'B'C'D'， ∴∠OAB＝∠OAD＝∠OA'G＝∠OA'N＝45°，∠AOA'＝60°，OA＝OD＝OA'， ∴△AOA'是等边三角形， ∴∠OAA'＝∠OA'A＝60°， ∴∠GAA'＝∠GA'A＝15°， ∴∠HGA＝∠NGA'＝∠GAA'+∠GA'A＝30°，GA＝GA'， ∴∠NGH＝180°﹣∠NGA'＝150°，∠GHI﹣∠HGA+∠GAH＝90°+30°＝120°，， 同理可得GH＝GN＝HI＝IJ＝JK＝KL＝LM＝MN， ∴①该八边形各边长都相等，说法正确； ②该八边形各内角都相等，∠NGH＝150°≠∠GHI＝120°，说法错误； ∵GA＝GA'，OA＝OA'，OG＝OG， ∴△AOG≌△A'OG（SSS）， ∴∠AOG＝∠A'OG∠A'OA＝30°，， ∴∠NGO＝∠HGO＝∠AGO﹣∠AGH＝105°﹣30°＝75°， ∵，OD＝OA'，ON＝ON， ∴△DON≌△A'ON（SSS）， ∴， ∴∠GNO＝∠A'NO﹣∠A'NG＝120°﹣60°＝60°， ∴∠NGO≠∠GNO， ∴NO≠GO， ∴③点O到该八边形各顶点的距离都相等，说法错误； 点O到该八边形各边的距离就是中心到正方形各边的距离， ∴④点O到该八边形各边的距离都相等，说法正确； 综上所述，正确的有①④； 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等，掌握性质是解题的关键． 22．（2023秋•涵江区期中）如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，若∠BAC＝36°，则∠DAC的度数是（　　） A．30° B．36° C．45° D．72° 【分析】根据AC垂直平与BD可得AB＝AD，得∠ABE＝∠ADE 解答即可． 【解答】解：∵AC垂直平与BD．垂足为E， ∴点A在BD的垂直平与线上， ∴AB＝AD， ∴∠ABE＝∠ADE， 又∵∠BEA＝∠DEA＝90°， ∴∠DAC＝∠BAC＝36°， 故选：B． 【点评】本题主要考查垂直平分线的运用，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 23．（2025秋•淄川区期末）一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（　　） A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形 【分析】设这个多边形为n，根据题意列出方程式，即可得出答案． 【解答】解：设这个多边形为n， 180°（n﹣2）＝360°×4， 解得：n＝10． 故选：C． 【点评】本题主要考查多边形内角与外角，熟练掌握方程思想是解题的关键． 24．（2026•天桥区一模）已知正多边形的一个内角为150°，则这个多边形是（　　） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形 【分析】根据正多边形的性质和已知条件求出它的一个外角，再根据正多边形的外角和是360°，列出算式进行计算即可． 【解答】解：∵正多边形的一个内角为150°， ∴与这个内角相邻的外角为：180°﹣150°＝30°， ∵正多边形的每个内角都相等， ∴正多边形的每个外角都相等，都为30°， ∵正多边形的外角和为360°， ∴正多边形的本数为：360°÷30°＝12， ∴这个正多边形是正十二边形， 故选：D． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的性质． 25．（2024秋•惠城区期中）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEC+∠AFB等于（　　） A．360° B．720° C．180° D．540° 【分析】如图可知∠A、∠B、∠AFB是△ABF的内角，∠C、∠D、∠DEC是△CDE的内角，进而即可求出答案． 【解答】解：∵∠A、∠B、∠AFB是△ABF的内角，∠C、∠D、∠DEC是△CDE的内角， ∴∠A+∠B+∠AFB＝180°，∠C+∠D+∠DEC＝180°， 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEC+∠AFB＝360°． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，多边形内角与外角，掌握相应的定义是关键． 26．（2026春•惠东县期末）如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠1+∠2+∠3+∠4＝300°，则∠D的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．125° 【分析】根据多边形的外角和是360°即可求出∠D的外角的度数，再根据邻补角互补即可求出∠D的度数． 【解答】解：如图，作出∠CDE的外角∠5， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°， ∵∠1+∠2+∠3+∠4＝300°， ∴∠5＝60°， ∴∠CDE＝180°﹣60°＝120°， 故选：C． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和是360°是解题的关键． 27．（2026春•昆山市期末）已知：如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接EF，∠BAD+∠B+∠BEF＝360°． 求证：∠EFC＝∠D． 【分析】过点B作BH∥AD，则∠BAD+∠ABH＝180°，可证明∠EBH+∠BEF＝180°，得到BH∥EF，则可证明AD∥EF，进而可证明∠EFC＝∠D． 【解答】证明：如图所示，过点B作BH∥AD， ∴∠BAD+∠ABH＝180°； ∵∠BAD+∠ABE+∠BEF＝360°， ∴∠BAD+∠ABH+∠EBH+∠BEF＝360°， ∴∠EBH+∠BEF＝180°， ∴BH∥EF， ∴AD∥EF， ∴∠EFC＝∠D． 【点评】本题考查了多边形的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 28．（2023秋•赤壁市期中）如图1，点P是△ABC两外角平分线的交点． （1）若∠A＝50°，则∠P＝　65°　 ； （2）探究∠P与∠A的数量关系并说明理由； （3）如图2，点P是四边形ABCD相邻两外角平分线的交点，请直接写出∠P与∠A，∠D的数量关系． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论； （3）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：（1）∵点P是△ABC两外角平分线的交点， ∴∠PBC+∠PCB（∠MBC+∠NCB）（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）[360°﹣（180°﹣∠A）]（180+∠A）， 在△PBC中，∠P＝180°（180°+∠A）＝90°∠A， ∵∠A＝50°， ∴∠P＝65°； 故答案为：65°； （2）∵BP，CP分别是外角∠DBC，∠ECB的平分线， ∴∠PBC+∠PCB（∠DBC+∠ECB）（180°+∠A）， 在△PBC中，∠P＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A． （3）如图， 延长BA、CD交于Q， 则∠P＝90°∠Q， ∴∠Q＝180°﹣2∠P． ∴∠BAD+∠CDA ＝180°+∠Q ＝180°+180°﹣2∠P ＝360°﹣2∠P． 【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键． 29．（2024春•镇江期中）如图：已知点E在四边形ABCD的边BC的延长线上，BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，设∠BAD＝α，∠ADC＝β． （1）如图1：若α+β＝180°，判断BM、CN的位置关系，并说明理由． （2）如图2：若α+β＞180°，BM、CN相交于点O． ①当α＝65°，β＝155°时，则∠BOC＝　20°　 ； ②∠BOC与α、β有怎样的数量关系？说明理由； （3）如图3：若α+β＜180°，BM、CN的反向延长线相交于点O，则∠BOC＝　　 ．（用含α、β的代数式表示） 【分析】（1）根据平行线的性质与判定得到CD∥AB，∠ECD＝∠CBA，再根据角平分线的性质和平行的判定证明即可； （2）①根据角平分线性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，设∠1＝∠2＝x，∠3＝∠4＝y，根据四边形内角和得到∠5＝360°﹣α﹣β﹣2y，从而得出2x﹣2y＝α+β﹣180°，再根据三角形外角性质得到∠6＝∠1﹣∠3＝x﹣y，结合等式代入度数求解即可；②同①的步骤进行证明即可； （3）根据角平分线性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，设∠1＝∠2＝x，∠4＝∠5＝y，根据四边形内角和得到∠BCD＝360°﹣α﹣β﹣2y，从而得出2x﹣2y＝α+β﹣180°，再根据三角形外角性质得到∠BOC＝∠4﹣∠3＝∠4﹣∠1＝y﹣x，进而可求解． 【解答】解：（1）CN∥BM，理由如下： ∵α+β＝180°， ∴∠D+∠A＝180°， ∴CD∥AB， ∴∠ECD＝∠CBA， 又∵CN平分∠ECD，BM平分∠CBA， ∴，， ∴∠1＝∠2， ∴BM∥CN； （2）①∵OB、OC分别是角平分线， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴可设∠1＝∠2＝x，∠3＝∠4＝y， ∴∠ECD＝∠1+∠2＝2x，∠CBA＝∠3+∠4＝2y， 又∵∠5+∠CBA+∠A+∠D＝360°，且∠A＝α，∠D＝β， ∴∠5＝360°﹣α﹣β﹣2y， 又∵∠5+∠ECD＝180°， ∴∠5＝180°﹣2x， ∴360°﹣α﹣β﹣2y＝180°﹣2x， ∴2x﹣2y＝α+β﹣180°， 又∵∠1＝∠3+∠6， ∴∠6＝∠1﹣∠3＝x﹣y， ∴2∠6＝α+β﹣180°＝65°+155°﹣180°＝40°， ∴∠6＝20°，即∠BOC＝20°； 故答案为：20°； ②，理由如下： ∵OB、OC分别是角平分线， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴可设∠1＝∠2＝x，∠3＝∠4＝y， ∴∠ECD＝∠1+∠2＝2x，∠CBA＝∠3+∠4＝2y， 又∵∠5+∠CBA+∠A+∠D＝360°，且∠A＝α，∠D＝β， ∴∠5＝360°﹣α﹣β﹣2y， 又∵∠5+∠ECD＝180°， ∴∠5＝180°﹣2x， ∴360°﹣α﹣β﹣2y＝180°﹣2x， ∴2x﹣2y＝α+β﹣180°， 又∵∠1＝∠3+∠6， ∴∠6＝∠1﹣∠3＝x﹣y， ∴2∠6＝α+β﹣180°， ∴，即； （3）∵OB、OC分别是角平分线， ∴∠1＝∠2，∠4＝∠5， ∴可设∠1＝∠2＝x，∠4＝∠5＝y， ∴∠BCD＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣2x，∠CBA＝∠4+∠5＝2y， 又∵∠BCD+∠CBA+∠A+∠D＝360°，且∠A＝α，∠D＝β， ∴∠BCD＝360°﹣α﹣β﹣2y， ∴360°﹣α﹣β﹣2y＝180°﹣2x， ∴2x﹣2y＝α+β﹣180°， 又∵∠4＝∠3+∠BOC， ∴∠BOC＝∠4﹣∠3＝∠4﹣∠1＝y﹣x， ∴﹣2∠BOC＝α+β﹣180°， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了角平分线的性质与判定，平行线的性质与判定，四边形的内角和，三角形的外角性质，熟练运用相关知识点是解题的关键． 30．（2023秋•中江县期中）（1）已知一个多边形的每个内角都是144°，求这个多边形的内角和． （2）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察现实生活世界，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的： ①如图1，求∠BCE的度数． ②如图2，已知AE∥CD，求∠CFE的度数． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n，由题意列得方程求得n的值后代入（n﹣2）•180°中计算即可； （2）①利用三角形的内角和定理即可求得答案； ②首先利用平行线的性质求得∠BCD的度数，再利用角的和差计算即可． 【解答】解：（1）设这个多边形的边数为n， 则（n﹣2）•180°＝144°n， 解得：n＝10， 则（14﹣2）×180°＝1440°， 即这个多边形的内角和是1440°； （2）①由题意可得∠DEF＝45°，∠B＝30°， 则∠BEC＝180°﹣45°＝135°， 那么∠BCE＝180°﹣135°﹣30°＝15°； ②由题意可得∠DCE＝45°，∠B＝30°， ∵AE∥CD， ∴∠BCD＝∠B＝30°， ∴∠BCE＝45°﹣30°＝15°． 【点评】本题考查平行线性质，三角形的内角和及多边形的内角和，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 31．小明在完成教材第93页第6题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图①，在△ABC中，∠A＝40°，点E是△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线的交点，则∠E的度数为 　20°　 ； （2）如图②，在△ABC中，∠A＝40°，延长AB至点E，延长BC至点D，已知∠ABC、∠CBE的平分线与∠ACD的平分线及其反向延长线分别交于点P、F，求∠F的度数； 【拓展延伸】 （3）如图③，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示的形状，请直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的数量关系． 【分析】（1）根据结论直接计算即可； （2）根据（1）的结论以及邻补角的平分线相交成直角以及三角形内角和定理进行计算即可； （3）作辅助线，构造原题中的条件，利用原题的结论以及三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：（1）∵△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于点E，而∠A＝40°， ∴∠E∠A＝20°， 故答案为：20°； （2）∵点P是△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线的交点， ∴∠P∠A＝20°， ∵BP是∠ABC的平分线，BF是∠CBE的平分线，而∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠PBF＝∠PBC+∠FBC ∠ABC∠CBE （∠ABC+∠CBE） 180° ＝90°， ∴∠F＝180°﹣90°﹣20°＝70°； （3）2（∠BFE+∠CEF）＝∠BAD+∠ADC+180°，理由如下： 如图，延长BA、CD交于点P，延长BF、CE交于点Q， ∵点Q是△PBC的内角∠PCB的平分线与外角∠PBG的平分线的交点， ∴∠Q∠P， ∵∠BAD＝∠P+∠ADP，∠ADC＝∠P+∠PAD，而∠P+∠PAD+∠ADP＝180°， ∴∠BAD+∠ADC＝∠P+∠ADP+∠P+∠PAD＝180°+∠P， 即∠P＝∠BAD+∠ADC﹣180°， 同理∠BFE+∠CEF＝180°+∠Q， 即∠Q＝∠BFE+∠CEF﹣180°， ∵∠Q∠P，即∠BFE+∠CEF﹣180°（∠BAD+∠ADC﹣180°） ∴∠BFE+∠CEF（∠BAD+∠ADC）+90° 即2（∠BFE+∠CEF）＝∠BAD+∠ADC+180°． 【点评】本题考查三角形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质是正确解答的关键． 32．（2025秋•右玉县期中）在学习了三角形的内角和与外角和后，老师给大家布置了一道题目：如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．下面是小华的解答过程． 解：∵BP平分∠ABC （已知）， ∴， 同理，可得∠PCB＝　25°　 ， 在△BPC中，三角形三个内角和等于180°， ∴　∠BPC+∠PBC+∠PCB ＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣　∠PBC﹣∠PCB ＝　115°　 ． 请将小华的解答过程中的空白处填上恰当的内容． 【分析】根据角平分线的定义求出∠PBC，∠PCB的值，然后根据三角形内角和求解即可． 【解答】解：∵BP平分∠ABC，（已知）， ∴． 同理可得． 在△BPC中，三角形三个内角和等于180°， ∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝115°． 故答案为：BP平分∠ABC，25°，∠BPC+∠PBC+∠PCB，∠PBC﹣∠PCB，115°． 【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，正确进行计算是解题关键． 33．（2025秋•黄冈月考）在八年级上册第十三章《三角形》的学习中，涉及到三角形角的性质和应用广泛，其中有内角、外角、对顶角、邻补角、角平分线，还有内角和、外角和，有的还要设未知数建立方程，或设参数建立等式解决问题，内涵丰富，方法多样． （1）如图1，AP，CP分别平分∠BAD和∠BCD，若∠ABC＝30°，∠ADC＝20°，求∠P的度数． （2）如图2，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝40°，∠ADC＝25°，求此时∠P的度数． （3）在图3中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B，∠D之间的数量关系，并直接写出结论． 【分析】（1）根据“8字形”图形可得，∠BAP+∠ABC＝∠BCP+∠P，∠PAO+∠P＝∠PCD+∠ADC，再结合角平分线的性质可得，∠BAP＝∠PAO，∠BCP＝∠PCD，代入整理并求解即可． （2）根据角平分线的性质可得，∠1＝∠2，∠3＝∠4，再结合“8字形”图形求解即可． （3）根据角平分线的性质可得，∠PAO＝∠BAP，∠PCE＝∠BCP，再结合“8字形”图形求解即可． 【解答】解：（1）如图所示， ∵∠1+∠ABC＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠ADC， 由条件可知∠1＝∠2，∠3＝∠4， 则有∠2+∠ABC＝∠4+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠ADC， 两式相减可得，∠ABC﹣∠P＝∠P﹣∠ADC， 即2∠P＝∠ABC+∠ADC， ∵∠ABC＝30°，∠ADC＝20°， ∴ （2）如图所示， ∵直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， ∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3， ∵∠PAB＝∠1，∠P+∠PAB＝∠ABC+∠4， ∴∠P+∠1＝∠ABC+∠4， ∵∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD， ∴∠P+（180°﹣∠2）＝∠ADC+（180°﹣∠3）， 整理可得，∠P﹣∠2＝∠ADC﹣∠3， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠P﹣∠1＝∠ADC﹣∠4， 将∠P+∠1＝∠ABC+∠4与∠P﹣∠1＝∠ADC﹣∠4两式作加法， 2∠P＝∠ABC+∠ADC， ∵∠ABC＝40°，∠ADC＝25°， ∴． （3）由条件可知∠PAO＝∠BAP，∠PCE＝∠BCP， 又∵∠PAO+∠P＝∠PCD+∠D，∠BAO+∠B＝∠OCD+∠D， 又∵∠PCD＝180°﹣∠PCE＝180°﹣∠BCP， ∵∠BAO＝2∠PAO，∠OCD＝180°﹣∠BCE＝180°﹣2∠BCP， ∴∠PAO+∠P＝180°﹣∠BCP+∠D，2∠PAO+∠B＝180°﹣2∠BCP+∠D， ∴． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质与三角形内角和定理是解决本题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•肇庆校级月考）已知一个多边形的边数为a，若该多边形的内角和的比外角和多90°，求a的值． 【分析】根据多边形内角和公式及多边形外角和为360°，列出一元一次方程求解即可． 【解答】解：根据多边形内角和公式及多边形外角和为360°可得： ， 解得a＝12． 【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，解一元一次方程，解题的关键是牢记多边形的内角和与外角和． 【练习 2】（2026春•上蔡县月考）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． 【结论证明】 （1）如图1，在△ABC中，E是△ABC内角∠ACB的平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在△ABC中，∠B＝40°，延长BA至点G，延长AC至点H．若∠BAC，∠CAG的平分线与∠BCH的平分线及其反向延长线交于点E，F，求∠F的度数． 【变式拓展】 （3）如图3，四边形ABCD的内角∠BAD与外角∠CBE的平分线交于点F．若∠C＝140°，∠D＝122°，求∠F的度数． 【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案； （2）先推导出，再推导出∠EAC+∠FAC＝90°，进而可以求解； （3）延长AD，BC交于点G，可得，即可求解． 【解答】解：（1）由条件可知∠ACE＝∠ECB，∠ABE＝∠EBD． ∵∠ABD＝∠A+∠ACB＝∠A+2∠ECD，∠EBD＝∠E+∠ECD，∠ABD＝2∠EBD， ∴2（∠E+∠ECD）＝∠A+2∠ECD， ∴∠A＝2∠E， 即． （2）由条件可知， ∴， ∴∠F＝180°﹣90°﹣20°＝70°． （3）如图，延长AD，BC交于点G． 由条件可知∠GCD＝180°﹣∠BCD＝40°，∠GDC＝180°﹣∠ADC＝58°， ∴∠G＝180°﹣∠GCD﹣∠GDC＝82°． ∵四边形ABCD的内角∠BAD与外角∠CBE的平分线交于点F， ∴． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． 【练习 3】（2025秋•曾都区期中）已知一个多边形的内角和等于其外角和的4倍，求这个多边形的边数． 【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案． 【解答】解：设这个多边形的边数为x，依题意得： （x﹣2）×180＝360×4， 解得x＝10， 答：这个多边形的边数为10． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，明确多边形的内角和公式是解题关键． 【练习 4】（2025春•绿园区期末）已知正x边形的内角和为1080°，边长为2． （1）求正x边形的周长； （2）若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°，求n的值． 【分析】（1）根据多边形的内角和公式（n﹣2）×180°列式进行计算求得边数． （2）根据（1）求出正x边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为360°解题即可． 【解答】解：（1）由题意可得180×（x﹣2）＝1080， 解得x＝8． 正x边形的周长为8×2＝16； （2）正x边形每个内角的度数为1080°÷8＝135°， 正n边形的每个外角的度数为135°﹣63°＝72°， 360°÷72°＝5， ∴n的值为5． 【点评】本题主要考查多边形内角和外角，正确记忆相关知识点是解题关键． 【练习 5】（2023春•中阳县月考）如图，已知∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠E+∠G＝α，三角形ADG的外角和与四边形BCEF的外角和分别为β与γ．若α﹣β+γ的度数恰好与n边形内角和的度数相等，求n的值． 【分析】根据三角形的内角和180°，四边形内角和360°，多边形的外角和360°，得α﹣β+γ＝540°，再根据多边形的内角和公式（n﹣2）×180°，得（n﹣2）×180°＝540°，计算即可． 【解答】解：根据题意，得α＝180°+360°＝540°，β＝360°，γ＝360°， ∴α﹣β+γ＝540°﹣360°+360°＝540°， ∴（n﹣2）×180°＝540°， ∴n＝5． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，三角形内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握多边形的外角和360°，多边形的内角和公式（n﹣2）×180°． 💯 课后巩固 复习建议 · 内角和=(n-2)×180° · 外角和恒为360°与边数无关 · 正多边形每个外角=360°÷n · 对角线总数=n(n-3)÷2 · 内外角互补，列方程求边数 【作业 1】（2023秋•同步）如图，在n边形的边上取一点，连接这点与各顶点，可以把n边形分成几个三角形？你能利用这个图形求出n边形的内角和吗？试一试． 【分析】根据从n边形的一个顶点可以做（n﹣3）条对角线，这（n﹣3）条对角线要和多边形的两边组成三角形，得出把三角形分割成的三角形个数．欲证明多边形的内角和定理，可以把多边形的内角转移到三角形中，利用三角形内角和等于180°及平角的性质解答． 【解答】解：在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形， 这（n﹣1）个三角形的内角和等于（n﹣1）•180°， 以P为公共顶点的（n﹣1）个角的和是180°， 所以n边形的内角和是（n﹣1）•180°﹣180°＝（n﹣2）•180°． 【点评】本题考查了多边形的内角和定理的证明，解题关键是将多边形的内角和问题转化为三角形中解决． 【作业 2】（2026春•宝山区校级期中）如果一个多边形的内角和是四边形内角和的5倍，那么这个多边形的边数是多少？ 【分析】根据多边形的内角和是四边形的内角和的5倍，列出方程求解即可． 【解答】解：设多边形的边数是n，内角和为（n﹣2）•180°， ∵四边形的内角和是360°，根据多边形的内角和是四边形的内角和的5倍， ∴（n﹣2）•180°＝360°×5，解得：n＝12． 【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和公式是解题关键． 【作业 3】（2026秋•同步）已知一个正多边形的内角为176.4°，这个正多边形是几边形？有没有内角为100°的正多边形？ 【分析】根据n边形内角和公式即可得到答案即可． 【解答】解设正多边形的边数为n，由内角为176.4°，得176.4， 解得n＝100． 所以内角为176.4°的正多边形为100边形； 设正n边形的内角为100°，则100， 解得n＝4.5． 因为n应是整数，所以不存在内角为100°的正多边形． 【点评】本题主要考查多边形的内角，熟练掌握多边形的内角和与内角的关系是解决本题的关键． 【作业 4】（2024春•南明区校级月考）如图①，AB∥CD，点E是直线AB，CD之间的一点，连接EA，EC． （1）【探究猜想】 ①若∠A＝20°，∠C＝50°，则∠AEC＝ 　70°　 ； ②若∠A＝25°，∠C＝40°，则∠AEC＝ 　65°　 ； ③猜想图①中∠A，∠C，∠AEC的关系，并证明你的结论； （2）【拓展应用】 如图②，AB∥CD，线段MN把四边形ABDC这个封闭区域分为Ⅰ、Ⅱ两部分（不含边界），点E是位于这两个区域内的任意一点，请直接写出∠EMB，∠END，∠MEN的关系． 【分析】（1）①根据如∠AEC＝∠A+∠C进行计算即可；②根据如∠AEC＝∠A+∠C进行计算即可；③∠AEC＝∠A+∠C，根据平行线的性质进行计算即可； （2）根据点E的位置画出图形，由图形中各个角之间的和差关系进行计算即可． 【解答】解：（1）①如图，过点E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD， ∴∠AEF＝∠A，∠CEF＝∠C， ∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠C， ∵∠A＝20°，∠C＝50°， ∴∠AEC＝∠A+∠C ＝20°+50° ＝70°， 故答案为：70°； ②由①得，∠AEC＝∠A+∠C， ∵∠A＝25°，∠C＝40°， ∴∠AEC＝∠A+∠C ＝25°+40° ＝65°， 故答案为：65°； ③∠AEC＝∠A+∠C，理由如下： 如图，过点E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD， ∴∠AEF＝∠A，∠CEF＝∠C， ∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠C； （2）如图②，当点E在区域Ⅰ时，∠EMB+∠END+∠MEN＝360°，理由： 过点E作EF∥AB， ∴∠EMB+∠MEF＝180°， 又∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠END+∠NEF＝180°， ∴∠EMB+∠MEF+∠END+∠NEF＝180°+180°＝360°， 即∠EMB+∠END+∠MEN＝360°； 如图③，当点E在Ⅱ区域时，∠EMB+∠END＝∠MEN，理由如下： 过点E作EF∥AB， ∴∠EMB＝∠MEF， 又∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠END＝∠NEF， ∴∠EMB+∠END＝∠NEF+∠MEF＝∠MEN． 【点评】本题考查多边形的内角与外角，平行线的性质，掌握平行线的性质是正确解答的关键． 【作业 5】（2026春•市中区期末）解决下列问题： （1）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线交于点E，求∠E的度数； （2）如图2，已知四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC＝230°，∠BCD的平分线CF与四边形ABCD的外角∠ABE的平分线BF相交于点F，求∠F的度数． 【分析】（1）根据角平分线得出，再由外角的定义得出∠ACD＝∠A+∠ABC＝60°+2∠CBE，∠DCE＝∠E+∠CBE，然后求解即可； （2）根据四边形内角和为360度推出∠ABC＝130°﹣∠BCD，由平角的定义和角平分线的性质得到，再根据三角形外角的性质可得答案． 【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD， ∴， ∠ECD∠ACD． ∵∠ACD是△ABC外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC， ∵∠ECD是△EBC外角， ∴∠ECD＝∠E+∠EBC． ∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝5（∠ACD﹣∠ABC）∠A． ∵∠A＝60°， ∴∠E60°＝30°； （2）∵四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC＝230°， ∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣（∠BAD+∠ADC）＝130°， ∴∠ABC＝130°﹣∠BCD， ∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（130°﹣∠BCD）＝50°+∠BCD； ∵四边形ABCD的内角∠BCD的平分线与外角∠ABE的平分线相交于点F， ∴， ∵∠EBF＝∠F+∠BCF， ∴∠F＝25°． 【点评】题目考查多边形内角与外角、三角形内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 【作业 6】（2026春•徐汇区校级月考）如果一个多边形每个内角都是160°，求这个多边形的边数和内角和，并直接写出该多边形对角线的条数． 【分析】先根据已知内角度数求出每个外角度数，利用任意多边形外角和为360°求出边数，再根据多边形内角和公式计算内角和，最后根据n边形对角线条数公式计算对角线的条数． 【解答】解：∵多边形每个内角为160°， ∴每个外角为180°﹣160°＝20°， ∵任意多边形的外角和为360°， ∴多边形的边数为， ∴内角和为（18﹣2）×180°＝2880°， ∴十八边形对角线条数为， 答：这个多边形的边数为18，内角和为2880°，对角线的条数为135． 【点评】本题考查多边形内角与外角，掌握多边形的特点是解题的关键． 【作业 7】（2025秋•鼓楼区校级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AB边上一点，EF∥AD交DC于点F． （1）用无刻度的直尺与圆规作EF；（保留作图痕迹） （2）连接CE，若∠A＝140°，∠D＝100°，∠ECD＝48°，求∠AEC的度数． 【分析】（1）根据作一个角等于已知角以及平行线的判定进行解答即可； （2）根据四边形的内角和是360°进行计算即可． 【解答】解：（1）用无刻度的直尺与圆规作EF； 做法：①连接EC，以点C为圆心，任意长为半径画弧交BC于点M，交EC于点N， ②以点E为圆心，以CM为半径画弧交EC于点P， ③以点P为圆心，以MN为半径画弧与点E为圆心，EP为半径的弧交于点Q， ④连接EQ并延长交CD于点F， EF就是要求作的线段； （2）在四边形ADCE中， ∵∠A+∠D+∠ECD+∠AEC＝360°，而∠A＝140°，∠D＝100°，∠ECD＝48°， ∴∠AEC＝360°﹣100°﹣140°﹣48°＝72°． 【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握作一个角等于已知角，平行线的性质和判定以及四边形的内角和是360°是正确解答的关键． 【作业 8】（2026春•奉贤区期中）如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，那么这个多边形的边数是多少？ 【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解． 【解答】解：设这个多边形的边数为n， 依题意得：（n﹣2）•180°＝3×360°， 解得n＝8， 所以这个多边形的边数为8． 【点评】此题考查根据多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．解题的关键是熟练掌握多边形的外角和等于360°． 【作业 9】（2026春•开福区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，G是BC上一点，DE平分∠ADG交CB的延长线于点E． （1）若∠EDG＝34°，∠A＝45°，求∠CDG的度数； （2）若∠A＝∠C，试说明：∠DGC＝2∠E． 【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠ADG＝2∠EDG＝68°，根据平行线的性质得出∠ADC＝180°﹣∠A＝135°，根据∠CDG＝∠ADC﹣∠ADG即可求解； （2）根据AB∥CD，可得，∠ABE＝∠C，根据已知得出∠A＝∠ABE，即可得出AD∥CE，根据平行线的性质得出∠ADE＝∠E，∠ADG＝∠DGC，根据角平分线的定义，即可求解． 【解答】（1）解：∵DE平分∠ADG，∠EDG＝34°， ∴∠ADG＝2∠EDG＝68°， ∵AB∥CD，∠A＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣∠A＝135°， ∴∠CDG＝∠ADC﹣∠ADG＝135°﹣68°＝67°， ∴∠CDG＝67°； （2）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠C， ∵∠A＝∠C， ∴∠A＝∠ABE， ∴AD∥CE， ∴∠ADE＝∠E，∠ADG＝∠DGC， ∵DE平分∠ADG， ∴∠ADG＝2∠ADE＝2∠E， ∴∠DGC＝2∠E． 【点评】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 【作业 10】（2026春•金山区期中）已知一个多边形的内角和为1080°． （1）求这个多边形的边数； （2）如果这个多边形每个内角都相等，求每个外角的度数． 【分析】（1）根据多边形内角和的计算方法进行计算即可； （2）根据正八边形的外角的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（1）设这个多边形为n边形，由题意得， （n﹣2）×180°＝1080°， 解得n＝8， 答：这个多边形是八边形； （2）由（1）得这个多边形是八边形， 由于八边形的各个内角都相等，所以它的各个外角也相等， 所以每一个外角的度数为45°． 【点评】本题考查多边形的内角和外角，掌握多边形内角和的计算方法以及外角和是360°是正确解答的关键． 【作业 11】（2025春•南木林县校级期中）如图，在四边形ABCD中，已知DE平分∠ADC，∠CDE＝∠CED，∠B＝120°． （1）求证：AD∥BC． （2）求∠A的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义结合已知条件可得∠ADE＝∠CED，即可得出结论； （2）根据两直线平行，同旁内角互补即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠ADE， ∵∠CED＝∠CDE， ∴∠ADE＝∠CED， ∴AD∥BC； （2）解：∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∴∠A＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°． 【点评】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【作业 12】（2026春•同心县期末）已知一个正多边形的边数为n． （1）若n＝8，求这个正多边形的内角和； （2）若这个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的6倍还多12°，求n的值． 【分析】（1）根据多边形内角和定理解答，即可求解； （2）设这个正多边形的每个外角为x°，则每个内角为（6x+12）°，根据邻补角的性质列出方程，即可求解． 【解答】解：（1）这个正多边形的内角和＝（8﹣2）×180°＝1080°； 答：这个正多边形的内角和为1080°； （2）这个正多边形的每个外角为x°，则每个内角为（6x+12）°，则： x°+（6x+12）°＝180°， 解得x＝24， ∴n＝360°÷24°＝15． 【点评】本题考查了求多边形内角与外角，掌握多边形内角和的公式是解题的关键． 【作业 13】如图，六边形ABCDEF的每个内角都相等．若m∥n，求∠1+∠2的度数． 【分析】延长AF交直线m于点M，在图中标注∠3，∠4，由六边形ABCDEF的每个内角都相等，可得出六边形ABCDEF是正六边形，进而可得出CD∥AF，利用“两直线平行，同位角相等”及对顶角相等，可得出∠1＝∠3，由m∥n，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可得出∠3+∠2＝180°，进而可得出∠1+∠2＝180°． 【解答】解：延长AF交直线m于点M，在图中标注∠3，∠4，如图所示． ∵六边形ABCDEF的每个内角都相等， ∴六边形ABCDEF是正六边形， ∴CD∥AF， ∴∠3＝∠4，∠1＝∠4， ∴∠1＝∠3． 又∵m∥n， ∴∠3+∠2＝180°， ∴∠1+∠2＝180°． 【点评】本题考查了多边形内角和外角以及平行线的性质，利用平行线的性质及对顶角相等，找出∠1+∠2＝180°是解题的关键． 【作业 14】（2025春•长春期末）已知一个多边形的内角和等于1620°，求这个多边形的边数． 【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解． 【解答】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得（n﹣2）•180°＝1620°， 解得 n＝11． 即这个多边形的边数为11． 【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 【作业 15】（2025春•崇义县校级月考）（1）在△ABC中，若∠A﹣∠B＝16°，∠C＝54°，求∠B的度数． （2）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，可得∠A+∠B+∠C＝180°，结合∠C＝54°，即可得出∠A+∠B＝180°﹣54°＝126°，再根据已知∠A﹣∠B＝16°，将两个式子相减，即可得出∠B的度数； （2）设这个多边形的边数为n，由题意可得：（n﹣2）×180°＝360°×3，进而得出答案． 【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝54°， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠C ＝180°﹣54° ＝126°①， ∵∠A﹣∠B＝16°②， ①﹣②，得2∠B＝110°， ∴∠B＝55°； （2）设这个多边形的边数为n， 由题意可得：（n﹣2）×180°＝360°×3， 解得：n＝8，即这个多边形的边数是8． 【点评】本题考查了多边形内角与外角，三角形的内角和定理，掌握多边形的内角和公式，多边形的外角和定理，三角形的内角和定理是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 多边形内角和与外角和 优等生讲义 (精讲+典例+练习) 2026-2027学年鲁教版(五四制)八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解多边形及正多边形的概念 · 掌握多边形内角和公式 · 掌握多边形外角和定理（恒为360°） · 会计算对角线条数 · 能综合运用内角和外角解决实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.多边形的概念 由不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形 按边数分为三角形、四边形、五边形……n边形 正多边形：各边相等、各内角相等 多边形内角的一边与另一边反向延长线组成外角 概念辨析例题：正六边形每个内角是多少 解析：内角和(6-2)×180°=720°，每个内角=720°÷6=120° ☆ 2.多边形内角和定理 n边形内角和=(n-2)×180° 三角形180°、四边形360°、五边形540° 内角和随边数增加而增加 每增加一条边内角和增加180° 概念辨析例题：一个多边形内角和为900°，求边数 解析：(n-2)×180°=900°，n-2=5，n=7 ☆ 3.多边形外角和定理 任意多边形外角和恒等于360° 与边数无关 正多边形每个外角=360°÷n 内角=180°-相邻外角 概念辨析例题：正多边形每个外角40°，求边数 解析：360°÷40°=9，是正九边形 ☆ 4.对角线与综合应用 n边形对角线总数=n(n-3)÷2 从一个顶点出发引(n-3)条对角线 分成(n-2)个三角形 内角+相邻外角=180°，结合使用 概念辨析例题：八边形对角线有多少条 解析：8×(8-3)÷2=20 📋 知识总结表 名称 公式/结论 用途 内角和 (n-2)×180° 求内角/边数 外角和 恒=360° 与边数无关 正多边形内角 (n-2)×180°÷n 求角度 正多边形外角 360°÷n 求边数 对角线总数 n(n-3)÷2 数对角线 内外角关系 内角+外角=180° 互化 ⚠️ 核心考点 【考点1】多边形内角和（第1-17题） · 内角和=(n-2)×180° · 列方程求边数 · 正多边形除n · 注意钝角锐角判断 1．菲菲为了推理出多边形的内角和，将多边形的某一个顶点分别与其他各顶点相连，这样把原来的多边形分割成了5个三角形，则这个多边形的内角和为（　　） A．720° B．900° C．1800° D．1440° 2．（2026春•碑林区校级期末）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章ABCDE上，若直尺的下沿MN⊥DE于点O，且经过点B，上沿PQ经过点E且与AB相交于点F，则∠BFE的度数为（　　） A．60° B．126° C．108° D．72° 3．（2026•娄底一模）如图，由六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中∠ABC的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 4．（2025秋•杭锦后旗期末）六边形的内角和为（　　） A．720° B．630° C．540° D．360° 5．（2023秋•怀柔区期末）若一个正多边形的每个内角都是120°，则该图形是（　　） A．正七边形 B．正三角形 C．正六边形 D．不能确定 6．（2025秋•埇桥区校级月考）从n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其他顶点，可以得到2023个三角形，则n等于（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 7．（2025春•环翠区期中）从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，分割得到2025个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 8．（2025•南岸区校级模拟）若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是（　　）边形． A．六 B．七 C．八 D．九 9．（2026•建邺区一模）如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，∠C＝∠B，m代表的度数为________ ． 10．（2025•丛台区校级开学）用含有字母的式子表示如图组合图形的周长L＝_____________ ，面积S＝___________ ． 11．用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”．20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中Dn表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形ABCD，有两种剖分方式（即：D4＝2），请你用上面的公式计算D6＝_______ ． 12．（2025秋•城西区校级期中）将一个六边形进行三角剖分可以剖成_____ 个三角形． 13．如图，在平面直角坐标系中，多边形ABCDEFGH的各边相等，各角也相等，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，1），则点E的坐标为____________________ ． 14．（2026•宝鸡模拟）如图，正八边形ABCDEFGH的对角线AF与BH相交于点O，则∠AOB＝_________ °． 15．（2025秋•金凤区校级期末）过m边形的一个顶点有8条对角线，n边形没有对角线，则（m﹣n）的值为_____ ． 16．（2023秋•同步）用量角器分别量出图中∠A，∠B，∠C，∠D的大小，并用“＜”号把它们连接起来． 17．（2022秋•西城区校级期中）解决几何问题时，不一定能够求出每个角的度数，但依据多边形内角和可以求出它们的和，这时整体代换的思想对于解题的帮助是巨大的，下面看这样一个问题． （1）如图1，在△ABC中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCA的外角平分线，BE，CF交于一点P，已知∠A＝α，求∠BPC的度数（用含有α的式子表示）． ∵∠A＝α，△ABC； ∴∠1+∠2＝180°﹣∠A＝180°﹣α； ∵BE，CF分别是∠ABC和∠BCA的外角平分线； ∴∠3，∠4， ∵△BCP， ∴∠BPC＝_________________ （三角形内角和为180°）____________________ （用含有α的式子表示）． （2）如图2，在四边形ABDC中，BE，CF分别是∠ABD和∠ACD的外角平分线，BE，CF交于一点P，已知∠A＝α，∠D＝β（α＜β），求∠BPC的度数（用含有α和β的式子表示）． ∵∠A＝α，∠D＝β，四边形ABDC； ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠D）＝360°﹣（α+β）； ∵BE，CF分别是∠ABD和∠ACD的外角平分线； ∴∠3∠1，∠4∠2； ∵四边形ACPB， ∴∠BPC＝360°﹣∠A﹣（∠2+∠4）﹣（∠1+∠3）＝360°﹣∠A﹣（∠1+∠2）﹣（∠3+∠4）____________________ （用含有α和β的式子表示）． （3）若（2）中的条件变为β＜α，补全图形，并直接写出∠BPC＝____________________ （用含有α和β的式子表示）． 【考点2】多边形外角和（第18-33题） · 外角和恒360° · 正多边形外角=360÷n · 内外角互补 · 结合内角和列方程 18．（2026•秦都区校级模拟）已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是_____ 边形． 19．（2025春•鄞州区期中）若n边形的每个外角都是18°，则n的值为 _______ ． 20．（2025春•衡东县期末）把边长相等的正六边形和等边三角形按如图所示的方式叠放在一起，则∠1的度数为 ________ ． 21．（2024秋•海淀区校级期中）如图，已知正方形ABCD的中心为O．将正方形ABCD绕点O逆时针旋转60°得到正方形A'B'C'D'，两个正方形的公共点为G，H，I，J，K，L，M，N．对八边形GHIJKLMN给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点O到该八边形各顶点的距离都相等； ④点O到该八边形各边的距离都相等． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③④ 22．（2023秋•涵江区期中）如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，若∠BAC＝36°，则∠DAC的度数是（　　） A．30° B．36° C．45° D．72° 23．（2025秋•淄川区期末）一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（　　） A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形 24．（2026•天桥区一模）已知正多边形的一个内角为150°，则这个多边形是（　　） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形 25．（2024秋•惠城区期中）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEC+∠AFB等于（　　） A．360° B．720° C．180° D．540° 26．（2026春•惠东县期末）如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠1+∠2+∠3+∠4＝300°，则∠D的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．125° 27．（2026春•昆山市期末）已知：如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接EF，∠BAD+∠B+∠BEF＝360°． 求证：∠EFC＝∠D． 28．（2023秋•赤壁市期中）如图1，点P是△ABC两外角平分线的交点． （1）若∠A＝50°，则∠P＝________ ； （2）探究∠P与∠A的数量关系并说明理由； （3）如图2，点P是四边形ABCD相邻两外角平分线的交点，请直接写出∠P与∠A，∠D的数量关系． 29．（2024春•镇江期中）如图：已知点E在四边形ABCD的边BC的延长线上，BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，设∠BAD＝α，∠ADC＝β． （1）如图1：若α+β＝180°，判断BM、CN的位置关系，并说明理由． （2）如图2：若α+β＞180°，BM、CN相交于点O． ①当α＝65°，β＝155°时，则∠BOC＝________ ； ②∠BOC与α、β有怎样的数量关系？说明理由； （3）如图3：若α+β＜180°，BM、CN的反向延长线相交于点O，则∠BOC＝____________________ ．（用含α、β的代数式表示） 30．（2023秋•中江县期中）（1）已知一个多边形的每个内角都是144°，求这个多边形的内角和． （2）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察现实生活世界，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的： ①如图1，求∠BCE的度数． ②如图2，已知AE∥CD，求∠CFE的度数． 31．小明在完成教材第93页第6题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图①，在△ABC中，∠A＝40°，点E是△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线的交点，则∠E的度数为 ________ ； （2）如图②，在△ABC中，∠A＝40°，延长AB至点E，延长BC至点D，已知∠ABC、∠CBE的平分线与∠ACD的平分线及其反向延长线分别交于点P、F，求∠F的度数； 【拓展延伸】 （3）如图③，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示的形状，请直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的数量关系． 32．（2025秋•右玉县期中）在学习了三角形的内角和与外角和后，老师给大家布置了一道题目：如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．下面是小华的解答过程． 解：∵_____________ （已知）， ∴， 同理，可得∠PCB＝________ ， 在△BPC中，三角形三个内角和等于180°， ∴___________________ ＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣______________ ＝_________ ． 请将小华的解答过程中的空白处填上恰当的内容． 33．（2025秋•黄冈月考）在八年级上册第十三章《三角形》的学习中，涉及到三角形角的性质和应用广泛，其中有内角、外角、对顶角、邻补角、角平分线，还有内角和、外角和，有的还要设未知数建立方程，或设参数建立等式解决问题，内涵丰富，方法多样． （1）如图1，AP，CP分别平分∠BAD和∠BCD，若∠ABC＝30°，∠ADC＝20°，求∠P的度数． （2）如图2，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝40°，∠ADC＝25°，求此时∠P的度数． （3）在图3中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B，∠D之间的数量关系，并直接写出结论． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•肇庆校级月考）已知一个多边形的边数为a，若该多边形的内角和的比外角和多90°，求a的值． 【练习 2】（2026春•上蔡县月考）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． 【结论证明】 （1）如图1，在△ABC中，E是△ABC内角∠ACB的平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在△ABC中，∠B＝40°，延长BA至点G，延长AC至点H．若∠BAC，∠CAG的平分线与∠BCH的平分线及其反向延长线交于点E，F，求∠F的度数． 【变式拓展】 （3）如图3，四边形ABCD的内角∠BAD与外角∠CBE的平分线交于点F．若∠C＝140°，∠D＝122°，求∠F的度数． 【练习 3】（2025秋•曾都区期中）已知一个多边形的内角和等于其外角和的4倍，求这个多边形的边数． 【练习 4】（2025春•绿园区期末）已知正x边形的内角和为1080°，边长为2． （1）求正x边形的周长； （2）若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°，求n的值． 【练习 5】（2023春•中阳县月考）如图，已知∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠E+∠G＝α，三角形ADG的外角和与四边形BCEF的外角和分别为β与γ．若α﹣β+γ的度数恰好与n边形内角和的度数相等，求n的值． 💯 课后巩固 【作业 1】（2023秋•同步）如图，在n边形的边上取一点，连接这点与各顶点，可以把n边形分成几个三角形？你能利用这个图形求出n边形的内角和吗？试一试． 【作业 2】（2026春•宝山区校级期中）如果一个多边形的内角和是四边形内角和的5倍，那么这个多边形的边数是多少？ 【作业 3】（2026秋•同步）已知一个正多边形的内角为176.4°，这个正多边形是几边形？有没有内角为100°的正多边形？ 【作业 4】（2024春•南明区校级月考）如图①，AB∥CD，点E是直线AB，CD之间的一点，连接EA，EC． （1）【探究猜想】 ①若∠A＝20°，∠C＝50°，则∠AEC＝ ________ ； ②若∠A＝25°，∠C＝40°，则∠AEC＝ ________ ； ③猜想图①中∠A，∠C，∠AEC的关系，并证明你的结论； （2）【拓展应用】 如图②，AB∥CD，线段MN把四边形ABDC这个封闭区域分为Ⅰ、Ⅱ两部分（不含边界），点E是位于这两个区域内的任意一点，请直接写出∠EMB，∠END，∠MEN的关系． 【作业 5】（2026春•市中区期末）解决下列问题： （1）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线交于点E，求∠E的度数； （2）如图2，已知四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC＝230°，∠BCD的平分线CF与四边形ABCD的外角∠ABE的平分线BF相交于点F，求∠F的度数． 【作业 6】（2026春•徐汇区校级月考）如果一个多边形每个内角都是160°，求这个多边形的边数和内角和，并直接写出该多边形对角线的条数． 【作业 7】（2025秋•鼓楼区校级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AB边上一点，EF∥AD交DC于点F． （1）用无刻度的直尺与圆规作EF；（保留作图痕迹） （2）连接CE，若∠A＝140°，∠D＝100°，∠ECD＝48°，求∠AEC的度数． 【作业 8】（2026春•奉贤区期中）如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，那么这个多边形的边数是多少？ 【作业 9】（2026春•开福区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，G是BC上一点，DE平分∠ADG交CB的延长线于点E． （1）若∠EDG＝34°，∠A＝45°，求∠CDG的度数； （2）若∠A＝∠C，试说明：∠DGC＝2∠E． 【作业 10】（2026春•金山区期中）已知一个多边形的内角和为1080°． （1）求这个多边形的边数； （2）如果这个多边形每个内角都相等，求每个外角的度数． 【作业 11】（2025春•南木林县校级期中）如图，在四边形ABCD中，已知DE平分∠ADC，∠CDE＝∠CED，∠B＝120°． （1）求证：AD∥BC． （2）求∠A的度数． 【作业 12】（2026春•同心县期末）已知一个正多边形的边数为n． （1）若n＝8，求这个正多边形的内角和； （2）若这个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的6倍还多12°，求n的值． 【作业 13】如图，六边形ABCDEF的每个内角都相等．若m∥n，求∠1+∠2的度数． 【作业 14】（2025春•长春期末）已知一个多边形的内角和等于1620°，求这个多边形的边数． 【作业 15】（2025春•崇义县校级月考）（1）在△ABC中，若∠A﹣∠B＝16°，∠C＝54°，求∠B的度数． （2）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数． 复习建议 · 内角和=(n-2)×180° · 外角和恒为360°与边数无关 · 正多边形每个外角=360°÷n · 对角线总数=n(n-3)÷2 · 内外角互补，列方程求边数 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $