精品解析：江苏省扬州市邗江区第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考检测数学试卷

高二数学月考试卷 一、单选题 1. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件求出复数，再根据复数模的计算公式求出． 【详解】， ， ． 故选：B． 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再直接求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 令该直线倾斜角为，则有， 而，于是， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 3. 若方程表示的曲线为一个圆，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】因为方程表示的曲线为一个圆， 所以， 即，解得或． 故选：B. 4. 从点发出的光线经过直线反射，若反射光线恰好通过点，且点的坐标为，则光线所在的直线方程是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用点关于直线的对称点在入射光线上，再由、两点的坐标，结合直线方程的两点式写出入射光线所在的直线方程，即为直线的方程． 【详解】解：点关于直线的对称点为 则，解得，所以M(3,3) 可得直线PM方程为：. 故选：A． 5. 设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系（ ） A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与圆相切计算与圆心距离即可得答案. 【详解】因与圆相切，则. 则到圆心的距离为，则在圆外. 故选：B 6. 直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直线方程求出直线的斜率，求出斜率的取值范围，由斜率与倾斜角的关系即可求解 【详解】因为a2＋1≠0，所以直线的斜截式方程为y＝， 所以斜率k＝，即tan α＝，所以－1≤tan α<0， 解得≤α<π，即倾斜角的取值范围是. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角以及正切函数的性质，需熟记直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题. 7. 已知圆M与直线和都相切，圆心在直线上，则圆的方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】到两直线及的距离都相等的直线方程为，联立方程组，解得.两平行线之间的距离为，所以，半径为，从而圆的方程为. 选. 8. 点在曲线上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆与直线的位置关系，结合点到直线距离公式、数形结合思想进行求解即可. 【详解】由， 曲线的图象如下图所示，它表示圆的一部分， 因为， 所以表示半圆上的点到直线距离的倍， 圆心到直线的距离为， 所以的最小值为， 点到直线的距离为， 所以的最大值为， 所以的取值范围为， 故选：B 二、多选题 9. 设、、表示三个不同的平面，、表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用线面、线线的位置关系可判断A选项；利用线面平行的性质定理可判断B选项；利用线面平行和线面垂直的性质定理可判断C选项；利用线面垂直和面面垂直的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，若若，，则、平行、相交或异面，A错； 对于B选项，若，过直线作平面，使得， 由线面平行的性质定理可知，因为，，则，故，B对； 对于C选项，若，，，设， 在平面内作直线，由面面垂直的性质定理可得， 因为，故，因为，，故，C对； 对于D选项，如下图所示： 因为，，， 设，在平面内作异于直线的直线，使得， 由面面垂直的性质定理得，由C选项可知， 因为，，则，故，D对. 故选：BCD. 10. 设为复数，.下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数模的概念判断A，利用复数的乘法运算判断B，根据共轭复数的性质及乘法运算判断C，根据特例法判断D. 【详解】由复数模的概念可知，不能得到， 例如，A错误； 由可得，因为，所以，即，B正确； 因为，而，所以，所以，C正确； 取，显然满足，但，D错误. 故选：BC 11. 已知点在上，点，，则（ ） A. 点到直线的距离最大值是 B. 满足的点有2个 C. 过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，取即可否定结论；对于B，考虑以为直径的圆和的公共点个数即可；对于C，设是直线上一点，利用其切点弦方程即得结论；对于D，构造并证明，再由两点之间线段最短即得结论. 【详解】 对于A，由于，，故直线的方程为. 当的坐标是时，点到直线的距离，故A错误； 对于B，满足的全部点即为以为直径的圆和的公共点，而的中点为，. 故以为直径的圆的方程为，即. 联立并等价变形为，由于点到直线的距离，所以直线和圆有两个不同的交点，从而满足条件的点有2个，故B正确； 对于C，设是圆外一点，熟知关于圆的两条切线的切点确定的直线的方程是，若在直线即直线上，则，即. 所以直线即直线恒过点，C正确； 对于D，设点，，则由点在圆上，知. 所以，故. 从而. 当时，在上，且. 所以的最小值是，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于D选项中点的构造，事实上，若非零且同向共线，则以为圆心，为半径的圆上的任意一点到两点的距离之比都恒为（仅和的相对位置有关的）定值. 三、填空题 12. 经过圆上一点且与圆相切的直线的一般式方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，得出切线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为， 因为，则， 则过点且与圆相切的直线的斜率为， 根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即， 即点且与圆相切的直线的一般式方程为. 故答案为： 13. 已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】设直线与直线的交点分别为，且，则，代入直线，即可得点的坐标，则可算出和直线的方程，再求的交点到的距离，最后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】设直线与直线的交点分别为，且，则由题意可知，点关于点的对称点在上,所以，解得， 所以，所以． 因为直线过点，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 联立的方程得解得的交点坐标为． 因为点到直线的距离， 所以这三条直线围成的三角形面积为． 故答案为：． 14. 1675年，卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹．已知点，动点满足，则面积的最大值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意可列等量关系，化简可得，即可求解，由面积公式即可求解. 【详解】已知定点为，， 因为动点满足， 所以点的轨迹方程为， 两边同时平方可得， 整理得， 所以， 此时，当且仅当，时，取得最大值， 故答案为：3 四、解答题 15. 已知复数． （1）求的最小值； （2）若的实部大于，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由复数减法模长公式得的表达式，进一步可得最小值； （2）由复数乘法、复数的概念列不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 由复数的模长公式得，而，得到，即，故当时，原式取得最小值． 【小问2详解】 因为，所以， 而的实部大于，则，解得，故的取值范围为． 16. 已知直线：与直线：，. （1）若，求的值； （2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由可得，进而检验求解即可； （2）将点的坐标代入直线的方程中，求出的值，从而可得点的坐标，然后再分直线的截距为0和不为0两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，解得或， 当时，：，：，即， 此时，满足题意； 当时，：，即，：， 此时重合，不满足题意. 综上所述，. 【小问2详解】 因为点在直线上， 所以，得，则点的坐标为， 而直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，直线的斜率为，则直线的方程为，即； 当两截距不为0时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 17. 已知圆C过点，，且圆心C在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）若过点的直线l被圆截得的线段长度为，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）易知圆心在的中垂线上，求得中垂线方程，联立两直线，可得圆心坐标，进而可得圆的方程； （2）根据圆心与直线方程，结合垂径定理可列方程，解方程即可. 【小问1详解】 由，，则中点为，， 易知圆心在的中垂线上，且中垂线斜率， 则中垂线方程为，即， 联立，解得，即圆心， 半径， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 直线l被圆截得的线段长度为， 所以圆心到直线的距离为， 当直线斜率存在时，设直线，即， 圆心到直线的距离， 解得，即直线； 当直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意， 综上所述，直线的方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，，，M，N分别是棱PA，PC上的点（含端点）． （1）证明：； （2）若N为棱的中点，且二面角的正切值为，求； （3）设点Q是边上的点（含端点），求的最小值． 【答案】（1）证明：连接， 在中，由余弦定理得，， 所以，所以， 又因为四边形为平行四边形，所以，即， 因为平面，平面， 所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以． （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求得，由勾股定理逆定理得出，进而得出，再根据线面垂直的性质与判定即可证明； （2）在平面中，过点作，垂足为，连接，由线面垂直的判定与性质得出为二面角的平面角，得出，再由已知得出为等边三角形，进而得出，在中，得出，再由余弦定理即可求解； （3）将在同一平面展开，将沿对称得，点沿对称得，根据三角形三边关系即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面中，过点作，垂足为，连接， 由（1）知，平面，平面， 所以， 又平面， 所以， 又平面，平面，平面平面， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 则在中，， 因为底面，平面，所以， 在中，， 又N为棱的中点，所以， 所以，则，所以， 在中，， 所以，设， 在中，由余弦定理得，， 所以． 【小问3详解】 将在同一平面展开，将沿对称得，点沿对称得， 则，当且仅当在同一直线上时，取得最小值， 所以， 当在同一直线上，且过点时，取得最小值，如图所示， 则， 故的最小值为． 【点睛】 19. 已知顶点坐标分别为． （1）求的外接圆的方程； （2）设点，若圆上存在点，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为的直线与圆交于两点（不与原点重合），直线斜率分别为，且，证明：直线恒过定点． 【答案】（1） （2） （3） 依题意，设直线的方程为， 由联立消去，可得， 则由可得， 设，则（*）， 则， 即， 将（*）式代入整理上式得：，故得或. 当时，直线经过原点，不合题意； 当时，直线经过定点. 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，代入三点坐标，求出参数值，即得圆的方程； （2）设，利用可得点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，由题意知圆与圆有公共点，故得，求解即得参数的取值范围； （3）设直线的方程为，与圆的方程联立，写出韦达定理，结合，推出，依题排除，得，将其代入直线方程即可求得定点. 【小问1详解】 设圆的一般方程为：， 依题意，有，解得， 故的外接圆圆的方程为. 【小问2详解】 设，由代入点的坐标，可得 ， 整理得，易得， 则点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆(当时为点，看作半径为0的圆). 依题意，圆与圆有公共点. 圆的方程化为标准方程，圆心，半径为2， 而， 所以在圆外，所以， 解得， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学月考试卷 一、单选题 1. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3. 若方程表示的曲线为一个圆，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 从点发出的光线经过直线反射，若反射光线恰好通过点，且点的坐标为，则光线所在的直线方程是(　　) A. B. C. D. 5. 设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系（ ） A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定 6. 直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆M与直线和都相切，圆心在直线上，则圆的方程为 A. B. C. D. 8. 点在曲线上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设、、表示三个不同的平面，、表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 设为复数，.下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知点在上，点，，则（ ） A. 点到直线的距离最大值是 B. 满足的点有2个 C. 过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D. 的最小值为 三、填空题 12. 经过圆上一点且与圆相切的直线的一般式方程为__________． 13. 已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为___________． 14. 1675年，卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹．已知点，动点满足，则面积的最大值为_________． 四、解答题 15. 已知复数． （1）求的最小值； （2）若的实部大于，求的取值范围． 16. 已知直线：与直线：，. （1）若，求的值； （2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程. 17. 已知圆C过点，，且圆心C在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）若过点的直线l被圆截得的线段长度为，求直线l的方程. 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，，，M，N分别是棱PA，PC上的点（含端点）． （1）证明：； （2）若N为棱的中点，且二面角的正切值为，求； （3）设点Q是边上的点（含端点），求的最小值． 19. 已知顶点坐标分别为． （1）求的外接圆的方程； （2）设点，若圆上存在点，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为的直线与圆交于两点（不与原点重合），直线斜率分别为，且，证明：直线恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $