精品解析：河南郑州市第四初级中学2026-2027学年九年级上学期第一次课后练习数学试卷

2026-2027学年上期九年级第一次课后练习 数学试卷 总分： 120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 4， 3， 8，6 B. 1， 2， 3， 5 C. 3， 4， 5， 6 D. 2， 3， 6， 8 2. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 3. 如图所示的几何体，其主视图是(　　) A. B. C. D. 4. 在一个不透明的袋子中有除颜色外其他均相同的个黑球、个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中.通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可以估计袋中红球的个数约为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线m， n相交于点O，且分别与直线a，b，c相交于点A， B， C和点 D，E， F，已知， ， ， ，则的长度是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 根据下表： … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 边长分别为10、6、4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为（ ） A. 15 B. 18 C. 21 D. 30 8. 如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　） A. 8 B. 9 C. D. 9. 如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D、E，依据题意建立如图所示的平面直角坐标系，其中点D的坐标为，则点E的坐标是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，连结，E，F分别在边上，连结分别交于点M，N，若，则下列结论中：①；②；③；④．结论正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知 则 的值是________ 12. 如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB.若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB、宽是PB的矩形的面积，则S1_______S2.（填“＞”“="”“" ＜”） 13. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________度． 14. 如图，中两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且与的位似比为．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是_____________ （用含a的式子表示） 15. 如图，菱形的边长为12， ， E是边的中点，F是边 上的一个动点，连接，将线段绕着点E逆时针旋转得到，连接 ，，则 的最小值是________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 如图，公路旁有两个高度相同的路灯AB，CD，小明上午上学时发现路灯AB在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处晚自习放学时，小明站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处． （1）在图中画出小明的位置（用线段FG表示），并画出光线，标出太阳光、灯光； （2）若上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米，小明身高为1.5米，他离里程碑E恰好5米，求路灯的高度. 17. 已知关于x的一元二次方程 有两个实数根和． （1）求实数m的取值范围； （2）是否存在m的值使得 成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由 18. 如图①、图②均是的正方形网格，点，，，均在小正方形格点上．在图①②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（不写作法，保留痕迹）． （1）在图①中以点为位似中心、线段为边画一个三角形，使它与位似 （2）在图②中线段上画一个点，使 19. 如图，已知：在四边形中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）当______°时，四边形是正方形； （3）在（2）的条件下，若，则四边形的面积为 ． 20. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 21. 飞虹塔是山西具有代表性的古建筑之一．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表 主题 测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米．（以上数据均为近似值） 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 22. 某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答以下问题： （1）当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利___________元． （2）为了更多的让利于消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元？ （3）在本次销售活动中该商场每天利润能否达到15000元？请说说你的理由． 23. （1）【问题发现】如图1，和都是等边三角形，射线，射线相交于点F，则与的数量关系是__________，的度数是__________． （2）【变式探究】如图2，把等边和等边都换成等腰直角三角形，其中，其它条件不变，那么和数量关系是__________，的度数是__________，请说明理由． （3）【拓展迁移】如图3，四边形和四边形都是正方形，，，将正方形绕点A旋转，当C，E，F三点共线时，的长为__________． （4）【拓展延伸】如图4，矩形矩形，，，将矩形绕点C旋转，连接、，当与矩形的一边垂直时，的长为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上期九年级第一次课后练习 数学试卷 总分： 120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 4， 3， 8，6 B. 1， 2， 3， 5 C. 3， 4， 5， 6 D. 2， 3， 6， 8 【答案】A 【解析】 【分析】将每组线段排序后，通过比较首尾线段乘积与中间两线段乘积是否相等，判断是否成比例． 【详解】解：A、 排序为3，4，6，8，，成比例，符合题意； B、，不成比例，不符合题意； C、，不成比例，不符合题意； D、，不成比例，不符合题意． 2. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形和菱形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而菱形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等．根据矩形和菱形的性质进行解答即可． 【详解】解：矩形的对角线互相平分且相等，而菱形的对角线互相平分，不一定相等． 故选：C． 3. 如图所示的几何体，其主视图是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断几何体的三视图．根据主视图是从正面看得到的图形解答即可．掌握主视图是从正面看得到的图形，左视图是从左面看得到的图形，俯视图是从上面看得到的图形是解题关键． 【详解】解：从正面看看到的是一个长方形，中间有两条竖着的虚线， 即， 故选：A． 4. 在一个不透明的袋子中有除颜色外其他均相同的个黑球、个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中.通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可以估计袋中红球的个数约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据大量重复摸球试验后，摸到红球的频率稳定于，可知：红球个数占球的总数的40％，进而求出红球的个数. 【详解】设红球有x个， 根据题意：，解得：x=8， 答：估计袋中红球的个数约为:8个 故选A. 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，根据概率公式，列出方程，是解题的关键. 5. 如图，直线，直线m， n相交于点O，且分别与直线a，b，c相交于点A， B， C和点 D，E， F，已知， ， ， ，则的长度是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ， ， 即， ． 6. 根据下表： … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了估算一元二次方程的近似解．观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，， 时，； 时，； 时，， 可得方程的解取值范围是或． 故选：A． 7. 边长分别为10、6、4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为（ ） A. 15 B. 18 C. 21 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，先证可得，进而得到；再证可得，进而得到，最后根据梯形的面积公式计算即可；灵活运用正方形的性质及相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图：由题意可知： ∵，， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴,即, ∴, ∴图中阴影部分的面积为． 故选A． 8. 如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　） A. 8 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，首先证明△ABC是等边三角形，再证明△BGH∽△CAG，推出，由此构建方程即可解决问题． 【详解】解：连接AC． ∵菱形ABCD∽菱形AEFG， ∴∠B＝∠E＝∠AGF＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， 设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3， ∵∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝∠ACG+∠CAG，∠AGH＝∠ACG＝60°， ∴∠BGH＝∠CAG， ∵∠B＝∠ACG， ∴△BGH∽△CAG， ∴， ∴， ∴a2﹣10a+9＝0， ∴a＝9或1（舍去）， ∴AB＝9， 故选：B． 【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，连接AC证明△ABC是等边三角形是解题的关键． 9. 如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D、E，依据题意建立如图所示的平面直角坐标系，其中点D的坐标为，则点E的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可推出；得出，进而得，结合即可求解． 【详解】解：如图所示： 由题意得：轴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即： 故选：A 10. 如图，在矩形中，，连结，E，F分别在边上，连结分别交于点M，N，若，则下列结论中：①；②；③；④．结论正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由矩形的性质得到，由，得到，即可判断①；由勾股定理可得，证明，得到，可判断③；证明，得到，证得，可判断②；证明，得到，根据勾股定理求出，得到，证明，得到，可判断④；掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， 在中，由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④不符合题意； 综上，结论正确的有①②③，共个． 故选：C． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知 则 的值是________ 【答案】## 【解析】 【分析】已知的值，可将所求分式分子分母同除以，转化为只含的式子，代入计算即可． 【详解】解： ，且， 将的分子分母同时除以，得：， 代入得：原式． 12. 如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB.若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB、宽是PB的矩形的面积，则S1_______S2.（填“＞”“="”“" ＜”） 【答案】=． 【解析】 【分析】黄金分割点，二次根式化简． 【详解】设AB=1，由P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB， 根据黄金分割点的，AP=，BP=． ∴．∴S1=S2． 13. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________度． 【答案】22.5° 【解析】 【详解】四边形ABCD是矩形， AC=BD，OA=OC，OB=OD， OA=OB═OC， ∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA， ∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD， ∠EAC=2∠CAD， ∠EAO=∠AOE， AE⊥BD， ∠AEO=90°， ∠AOE=45°， ∠OAB=∠OBA=67.5°， 即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°． 14. 如图，中两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且与的位似比为．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是_____________ （用含a的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】设点B的横坐标为x，然后表示出B、C间的横坐标的长度，、C间的横坐标的长度，再根据位似比列式计算即可得解． 【详解】解：设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为，、C间的横坐标的长度为， ∵与的位似比为， ∴， 解得：． 15. 如图，菱形的边长为12， ， E是边的中点，F是边 上的一个动点，连接，将线段绕着点E逆时针旋转得到，连接 ，，则 的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，，连接，根据．当点，点E，点三点共线时，的值最小，且最小值为．过点E作交的延长线于点M，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：取的中点，连接，，如图， 菱形的边长为12， ， E是边的中点， ，， ． ， ， 是的中点， ． ， 为等边三角形， ，． 线段绕着点E逆时针旋转得到， ，． 为等边三角形， ，． 在和中， ， ． ，， ∴， ∴， ． 连接， ． 当点，点E，点三点共线时，的值最小，且最小值为． 过点E作交的延长线于点M， ， ， ， ， 根据勾股定理，得， 的最小值为． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 如图，公路旁有两个高度相同的路灯AB，CD，小明上午上学时发现路灯AB在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处晚自习放学时，小明站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处． （1）在图中画出小明的位置（用线段FG表示），并画出光线，标出太阳光、灯光； （2）若上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米，小明身高为1.5米，他离里程碑E恰好5米，求路灯的高度. 【答案】 （1）根据题意画图如图所示. （2）路灯的高度为2.4米. 【解析】 【分析】（1）作出太阳光线BE，过点C作BE的平行线，与DE的交点即为小明的头顶所在； （2）由题意易得小明的影长，利用△EGF∽△EDC可得路灯CD的长度． 【详解】解：（1）略 （2）∵上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米，小明的身高为1.5米， ∴小明的影长CF为3米. ， ， ， ， ∵小明离里程碑E恰好5米，即米， ， ， 答：路灯的高度为2.4米. 【点睛】综合考查了中心投影和平行投影的运用，注意平行投影的光线是平行的；用到的知识点为：在相同时间段，垂直于地面的物高与影长是成比例的；两三角形相似，对应边成比例． 17. 已知关于x的一元二次方程 有两个实数根和． （1）求实数m的取值范围； （2）是否存在m的值使得 成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由 【答案】（1）； （2）不存在的值，使得 成立． 理由如下： 、 是一元二次方程 的两个实数根， ， ． ， ， 解得，． 中 ， ∴不符合要求， 矛盾， 不存在的值，使得成立． 【解析】 【分析】（1）根据，建立不等式解答即可； （2）利用一元二次方程的根与系数关系定理，解答即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根和， ， 解得； 【小问2详解】 解：略． 18. 如图①、图②均是的正方形网格，点，，，均在小正方形格点上．在图①②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（不写作法，保留痕迹）． （1）在图①中以点为位似中心、线段为边画一个三角形，使它与位似 （2）在图②中线段上画一个点，使 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）取格点、，连接交于点，根据平行线分线段成比例得，从而，又，从而，从而得为所求； （2）取格点、连接交于点，根据得，从而得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，已知：在四边形中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）当______°时，四边形是正方形； （3）在（2）的条件下，若，则四边形的面积为 ． 【答案】（1） 证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是菱形． （2）45 （3）12 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可以得到 ，再证明，继而证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得到四边形是菱形． （2）欲证明四边形BECF是正方形，因为第一问已经证明四边形BECF是菱形，所以只需 要证明其中一个角是直角，根据题目条件分析，可证明当∠A= 45°时， ∠EBF= 2∠CBA= 90°，即四边形BECF是正方形． （3）在（2）的条件下，四边形EBCF是正方形，得出四边形ABFC为直角梯形，求出FC，AB，BF的长，再根据梯形的面积公式即可得四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当∠A = 45°时，四边形BECF是正方 形，证明如下： ∵∠A= 45°，∠ACB = 90° ∴∠CBA = 45° ∴∠EBF= 2∠CBA = 90° ∴菱形BECF是正方形． 所以，当∠A=45°时，四边形BECF是正方形． 【小问3详解】 解：在（2）的条件下，四边形EBCF是正方形，∠A=∠ECA=45°， ∴∠FBA=∠BFC=90°， 四边形ABFC为直角梯形， 又∵AC=4 ∴AE=EC= ∵CE=CF=2 ，AB=BE+AE=2 ∴ = 故四边形的面积为12． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，正方形的性质及判定以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握四条边都相等的四边形是菱形． 20. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，解题的关键是： （1）用标有“夏”书签的张数除以书签的总张数即得结果； （2）利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“秋”的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节， ∴恰好抽到“夏”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用树状图列出所有等可的结果： 等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）． 在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次， P（抽取的书签价好1张为“春”，1张为“秋”）． 21. 飞虹塔是山西具有代表性的古建筑之一．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表 主题 测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米．（以上数据均为近似值） 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】飞虹塔的大致高度是米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，判定，，得出比例式，进而代入数据，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 同理：， ，， ， ， 米，米，米， ， 米， ， 米， 飞虹塔的大致高度是米． 22. 某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答以下问题： （1）当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利___________元． （2）为了更多的让利于消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元？ （3）在本次销售活动中该商场每天利润能否达到15000元？请说说你的理由． 【答案】（1）14000 （2）每盒应降价40元 （3） 解：本次销售活动中每天利润不能达到15000元，理由如下： 设每盒应降价元，根据题意，得： 化简方程，得：， ， ∴方程无实数解， 所以，本次销售活动中每天利润不能达到15000元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，一元二次方程的根的判别式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据每盒的利润数量总利润求解即可； （2）根据每天销售这种节能材料获利达14400元，列一元二次方程，求解即可； （3）若销售活动中每天利润能达到15000元，得到方程，再根据根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，（元）， 故答案为：14000； 【小问2详解】 解：设每盒应降价元，根据题意，得： 化简方程，得： 解得：或， 因为更多的让利消费者，所以每盒应降价40元． 答：每盒应降价40元． 【小问3详解】 略 23. （1）【问题发现】如图1，和都是等边三角形，射线，射线相交于点F，则与的数量关系是__________，的度数是__________． （2）【变式探究】如图2，把等边和等边都换成等腰直角三角形，其中，其它条件不变，那么和数量关系是__________，的度数是__________，请说明理由． （3）【拓展迁移】如图3，四边形和四边形都是正方形，，，将正方形绕点A旋转，当C，E，F三点共线时，的长为__________． （4）【拓展延伸】如图4，矩形矩形，，，将矩形绕点C旋转，连接、，当与矩形的一边垂直时，的长为__________． 【答案】（1），；（2），；（3）或；（4）或 【解析】 【分析】（1）证明，可得，则，，如图，记，的交点为，结合，可得； （2）如图，记，的交点为，证明，，可得，证明，再利用相似三角形的性质可得答案； （3）如图，连接，当在线段上，由（2）得：，可得，求解， ，可得，可得此时答案，如图，当在的延长线上时，同理可得：，，，可得此时答案； （4）如图，当，则，连接，，证明，，共线，证明，可得，如图，当时，同理可得：，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 如图，记，的交点为， ∵， ∴； （2）如图，记，的交点为， ∵和都换成等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）如图，连接，当在线段上， 由（2）得：， ∴，即， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴，而C，E，F三点共线， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的延长线上时， 同理可得：，， ∴， ∴； （4）如图，当，则，连接，， 而， ∴，，共线， ∵矩形矩形，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，共线， ∴， ∴，， ∴， 如图，当时， 同理可得：，， ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，本题难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 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