河南郑州第四初级中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

2026-2027学年上期九年级第一次课后练习 数学试卷 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A．4，3，8，6 B．1，2，3，5 C．3，4，5，6 D．2，3，6，8 2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 3．如图所示的几何体，其主视图是（ ） A． B． C． D． 4．在一个不透明的袋子中有除颜色外其它均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（ ） A．8 B．6 C．12 D．4 5．如图，直线，直线，相交于点，且分别与直线，，的相交于点，，和点，，，已知，，，，则的长度是（ ）． A．3 B．2 C． D． 6．根据下表： -3 -2 -1 … 4 5 6 13 5 -1 … -1 5 13 确定方程的解的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．边长分别为10、6、4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为（ ） A．15 B．18 C．21 D．30 8．如图，菱形菱形，菱形的顶点在菱形的边上运动，与相交于点，，若，，则菱形的边长为（ ） A．8 B．9 C． D． 9．高0.8米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为、，依据题意建立如图所示的平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，，连结，，分别在边，上，连结，分别交于点，，若，，则下列结论中：①；②；③；④．结论正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（每小题3分，共15分） 11．已知，则的值是_____________． 12．如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是_________． 13．如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则的度数是_________． 14．如图，中两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，且与的位似比为．设点的对应点的横坐标是，则点横的坐标是_____________（用含的式子表示） 15．如图，菱形的边长为12，，是边的中点，是边上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，，则的最小值是___________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（9分）如图，公路旁有两个高度相同的路灯，，小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子恰好落到里程碑处，他自己的影子恰好落在路灯的底部处．晚自习放学时，小明站在上午同一个地方，发现在路灯的灯光下自己的影子恰好落在里程碑处． （1）①在图中画出光线，标出太阳光、灯光； ②画出小明的位置（用线段表示）． （2）若上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米，小明身高为1.5米，他离里程碑的距离恰好为5米，求路灯的高度． 17．（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）是否存在的值使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．（6分）如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，在图①、图②中、只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以点为位似中心、以线段为边画一个三角形，使它与位似； （2）在图②中线段上画一个点，使． 19．（10分）．如图，已知：在四边形中，，的垂直平分线交于点，交于点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）当_________时，四边形是正方形； （3）在（2）的条件下，若，则四边形的面积为________． 20．（8分）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为________； （2）若从盒子中任意抽取2张书签，求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表的方法说明理由） 21．（10分）飞虹塔是山西具有代表性的古建筑之一．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见表． 主题 测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米． 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米．（以上数据均为近似值） 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 22．（10分）某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答以下问题： （1）当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利_________元． （2）为了更多的让利于消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元？ （3）在本次销售活动中该商场每天利润能否达到15000元？请说说你的理由． 23．（14分）（1）【问题发现】如图1，和都是等边三角形，射线，射线相交于点，则与的数量关系是_________，的度数是_________． （2）【变式探究】如图2，把等边和等边都换成等腰直角三角形，其中，其它条件不变，那么和数量关系是_________．的度数是____________，请说明理由． （3）【拓展迁移】如图3，四边形和四边形都是正方形，，，将正方形绕点旋转，当，，三点共线时，的长为_________． （4）【拓展延伸】如图4，矩形矩形，，，将矩形绕点旋转，连接、，当与矩形的一边垂直时，的长为_________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上期九年级第一次课后练习 数学试卷答案 一、选择题(每小题3分，共30分) 1.A 2.D 3.A 4.A 5.D 6.A 7.A 8.B 9.A 10.C 二、填空题(每小题3分，共15分) 11.- 12.= S₂ 13. 14.- 15.4 三、解答题(共8小题，共75分) 16.解：(1)根据题意画图如图所示. (2)∵上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米，小明的身高为1.5米， ∴小明的影长CF为3米. ∵小明离里程碑 E的距离恰好为5米，即EF=5米， 米. ∴路灯的高度为2.4米. 17.解：(1) 关于 的一元二次方程 有两个实数根 和 ， ，解得 ； (2) 不存在 的值，使得 成立． 理由如下： 、 是一元二次方程 的两个实数根， ， ． 若 成立，则 ，解上述方程得， ． 中 ， 中 ， 矛盾， 不存在 的值，使得 成立． 18.解:(1)如图1, 即为所求。 (2)如图 2,点 P 即为所求。 19.(1)证明：∵ EF垂直平分 BC， ∴ BF=FC，BE=EC， ∴ ∠FCB=∠FBC， ∵ CF // AE ∴ ∠FCB=∠CBE， ∴ ∠FBC=∠CBE， ∵ ∠FDB=∠EDB，BD=BD， ∴ △FDB≡△EDB(ASA)， ∴ BF=BE， ∴ BE=EC=FC=BF， ∴ 四边形 BECF 是菱形； (2)解：当 时，四边形 是正方形，理由如下： 若四边形 是正方形，则 ， ， ， ， ， 由(1)知四边形 是菱形， 四边形 是正方形； 故答案为：45； (3)解：由(2)知，四边形 是正方形， ， 四边形 的面积为 ， 故答案为：24． 20.解：(1) 由题意知，共有 4 种等可能的结果，其中恰好抽到“夏”的结果有 1 种， 从盒子中任意抽取 1 张书签，恰好抽到“夏”的概率为 。 故答案为： 。 (2) 列表如下： 春 (春,夏) (春,秋) (春,冬) 夏 (夏,春) (夏,秋) (夏,冬) 秋 (秋,春) (秋,夏) (秋,冬) 冬 (冬,春) (冬,夏) (冬,秋) 共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有：(春，秋),(秋,春),共2种, ∴抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率为 21.【详解】解: ∵CD⊥PB, AB⊥PB, ∴CD∥AB, ∴△QCD∽△QAB, 同理: △PEF∽△PAB, ∵EF=CD, ∵QD=4米, PF=6米, FD=28米, ∴BD=56米, ∴AB=45米, ∴飞虹塔的大致高度是45米. 22.解：(1)根据题意得： （120−20）×（100+2×20）=（120−20）×（100+40）=100×140=14000（元）， ∴ 当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利14000元． 故答案为：14000； (2)设每盒应降价 x 元，则每盒的销售利润为 120−x 元，平均每天可售出 100+2x 盒，根据题意得： 120−x100+2x=14400，化简得： x2−70x+1200=0，解得： x1=30， x2=40， ∵ 要更多的让利消费者， ∴ 每盒应降价40元． 答：每盒应降价40元； (3) 在本次销售活动中该商场每天利润不能达到 15000 元，理由如下： 假设在本次销售活动中该商场每天利润能达到 15000 元，设每盒应降价 y 元，则每盒的销售利润为 120−y 元，平均每天可售出 100+2y 盒， 根据题意得： 120−y100+2y=15000，化简得： x2−70x+1500=0， ∵ Δ=−702−4×1×1500=−1100<0， ∴ 原方程没有实数根， ∴ 假设不成立，即在本次销售活动中该商场每天利润不能达到 15000 元． 23.解: (1)∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴BE=BD, AB=BC, ∠DBE=∠ABC=60°, ∴∠DBA=∠EBC, ∴△DBA≌△EBC(SAS), ∴AD=CE, ∠DAB=∠ECB, 如图，记AB，CF的交点为T， ∵∠ATD=∠BTC, ∴∠CFA=∠ABC=60°; (2)如图,记AF, CB的交点为T, 和 都换成等腰直角三角形， (3)如图,连接AF,当F在线段CE上, 由(2)得: 即 ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， 而C,E,F三点共线， 如图，当F在CE的延长线上时， 同理可得： (4)如图,当 则 连接AC, CF, 而∠CEF=∠GFE=90°, ∴A, E, F共线, ∵矩形ABCD≌矩形CEFG, AB=2,BC=1, ∠ACD=∠FCG, DC=CG=2, ∴△ACF∽△DCG, 即 ∵A, E, F共线, 如图，当 时， 同理可得： AF=AG+GF=2, 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $