专题05立方根.实数及近似值专题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题05立方根.实数及近似值专题通关讲义 知识点01:立方根的定义与性质 1. 定义 如果一个数 x 的立方等于 a（即 x3=a），那么这个数 x 叫做 a 的立方根（也叫三次方根）。 符号：记作 ，读作 “三次根号 a”。重点：根指数 3 绝对不能省略。 2.立方根性质（和平方根核心区分点） (1)正数的立方根是正数； (2)0 的立方根是0； (3)负数的立方根是负数； (4)任意实数都有且只有 1 个立方根。 3.重要公式 立方无双重非负性限制，不用加绝对值。 知识点02:开立方 1.求一个数的立方根的运算叫作开立方。 2.开平方与开立方的区别 知识点03:立方根与平方根的区别 知识点04.无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见类型： 开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 含π的数：如π、2π、π-1等。 特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 3.与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点05.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 知识点06.实数与数轴 一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。 大小比较：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大。 知识点07:实数的相关概念 知识点08:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点09:实数的运算 1.运算范围：有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然成立。 2.运算顺序：先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内。 3.近似计算：遇到无理数且需要求值时，可取近似小数计算。 题型10.近似值 1.基础概念 (1)准确数：完全符合实际、无误差的数（班级人数、桌椅数量） (2)近似数（近似值）：接近准确数、通过四舍五入 / 测量得到的数（身高、长度） (3)精确度：表示近似数近似程度，常见两种表示方式 2.两种精确要求 (1)精确到某一位：精确到个位、十分位、百分位、千位…… 例：1.56 精确到十分位是 1.6 (2)保留若干个有效数字 有效数字定义：从左边第一个非 0 数字起，到末尾数字止，全部都是有效数字。 例：0.0205 有效数字：2、0、5（共 3 个） 3.四舍五入取近似值步骤 (1)看清要求：精确到哪一位 / 保留几位有效数字； (2)找到指定数位，观察后一位数字； (3)后一位≥5 进 1，＜5 直接舍去； (4)大数先化为科学记数法再取近似值，避免出错。 4.科学记数法取近似 大数 a10n(1a<10)，有效数字只看前面的 a。 例：3.14104 保留 2 个有效数字为 3.1104 1、平方根与立方根概念相互混淆 易错提醒：平方根的被开方数必须是非负数，一个正数存在两个互为相反数的平方根；任意实数均有对应的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0；负数不存在平方根，但可以求取立方根。 2、立方根化简时符号处理错误 易错提醒：=-，负号可以移至立方根号外侧；切忌错误写成=；恒等式()3=a与=a}适用于全部实数范围。 3、无理数判定标准把握错误 易错提醒：无理数定义为无限不循环小数；常见类别为开方开不尽的数、含有的数、人为构造的无限不循环小数；分数全部属于有理数，不可仅凭表达式带有根号就判定该数是无理数。 4、实数分类判断出现失误 易错提醒：实数划分为有理数与无理数两大类别；有理数包含整数和分数（有限小数、无限循环小数）；0属于有理数；按照正负划分实数时分为正实数、0、负实数，分类过程不可遗漏0。 5、实数大小比较方法选用不当 易错提醒：比较带根号实数的大小，可以通过平方或者立方去掉根号后再比较；负数进行大小对比时，绝对值越大，实数数值越小；不能仅凭根号的外在形式直接判断数值大小。 6、实数范围内相反数、绝对值求解出错 易错提醒：相反数、绝对值的定义在实数范围内依然成立；求解无理数的绝对值，应当先判断该无理数与0的大小关系；例如|-2|=2-，去掉绝对值符号前必须判断内部式子正负，不可直接去掉绝对值。 7、近似数精确数位判断错误 易错提醒：判断近似数精确到哪一位，以最后一位有效数字所处实际数位为准；遇到科学记数法形式a10n的近似数，需要先还原原始数值，再判定精确数位，不可直接读取a的小数位数。 8、近似值求取中途提前四舍五入 易错提醒：近似取舍只能作用于题目的最终计算结果；运算中间步骤不得提前进行四舍五入，中途提前取近似值会造成最终答案出现误差。 9、精确数与近似数概念混淆 易错提醒：计数统计得到的数据一般为精确数；测量所得的数据属于近似数；审题时辨别两类数据，不可将测量值视作精确数。 题型 考察方向 难度 题型一 立方根概念理解 ★ 题型二 求一个数的立方根 ★ 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 ★★ 题型四 与立方根有关的规律探索 ★★★ 题型五 立方根的实际应用 ★★ 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 ★★★ 题型七 无理数 ★ 题型八 无理数的大小估算 ★★ 题型九 无理数整数部分的有关计算 ★★ 题型十 实数概念理解 ★ 题型十一 实数的分类 ★ 题型十二 实数的性质 ★★ 题型十三 实数与数轴 ★★ 题型十四 实数的大小比较 ★★ 题型十五 程序设计与实数运算 ★★★ 题型十六 求一个数的近似数 ★ 题型十七 求近似数的精确度 ★★ 题型十八 近似数推断取值范围 ★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 立方根概念理解 1．的立方根是（     ） A． B． C． D． 2．＝_____，＝_____． 3．给出下列各式：，，，．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 求一个数的立方根 4．的立方根是（     ） A． B． C． D． 5．方程的解是_____． 6．若，则________，________． 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 7．若是实数M的立方根，则实数M是（   ） A．9 B．27 C． D． 8．已知，且与互为相反数，则y的值为______． 9．若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 题型四 与立方根有关的规律探索 10．若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 11．已知，，，则___________． 12．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 题型五 立方根的实际应用 13．王师傅有一个体积为的铁块原料，他将这个铁块熔化并重新锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为．则制作成的每一个小正方体铁块的棱长为_________． 14．若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少_______（用含的代数式表示），若，则棱长应减少_______． 15．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 16．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 17．已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 18．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 题型七 无理数 19．实数中无理数的个数为___________． 20．在，，，（每两个之间的个数依次增加），，中，无理数的个数有______个． 21．，3.14，，，0.454455444555…（4和5的个数依次增加1），，中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型八 无理数的大小估算 22．估算无理数在哪两个数之间，其中最精确的是（     ） A． B． C． D． 23．若为正整数，且满足，则的值为______． 24．估计（）的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 25．南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．现已知，则使用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为（   ） A． B． C． D． 题型九 无理数整数部分的有关计算  26．已知，则整数的值（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 27．的小数部分是，则等于__． 28．已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 题型十 实数概念理解 29．下列实数中的无理数是（    ） A． B． C． D．0 30．已知实数m，n满足，则________． 31．已知实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型十一 实数的分类 32．下列各数中，是有理数的是（    ） A． B． C．0 D． 33．在下列实数，，，，，中，无理数的个数有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 34．下列实数，，3.14159，，，-0.1010010001……．(每两个1之间依次多1个0)中无理数有(      ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十二 实数的性质 35．2的相反数是（     ） A． B． C． D． 36．如图，数轴上点A表示的数是，点A与点B到原点的距离相等，则点B表示的数是（     ） A． B．0 C． D． 37．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．-3与 B．和 C．与 D．3和 题型十三 实数与数轴 38．如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数轴上对应的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点A表示的数为___________． 39．如图，在数轴上竖直摆放一个直径为2个单位长度的半圆，该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动地滚动，半圆直径的一个端点从原点O到达点（如图），则点对应的数是______．（结果保留） 40．如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转2000次后，数轴上1998这个数所对应的点是（   ） A．A点 B．D点 C．E点 D．F点 题型十四 实数的大小比较 41．下列实数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 42．比较下列各组数的大小： （1）________4； （2）________1． 43．已知三个实数，，满足，，， 则下列结论一定正确的是(   ) A．， B．， C． D． 题型十五 程序设计与实数运算 44．如图是一个数值转换器． 当输入的值为时，输出的值为_________． 45．如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为______． 46．在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是（     ） A． B． C． D． 题型十六 求一个数的近似数 47．古希腊以来黄金分割就被视为最美丽的几何学比例，它的值约为……用四舍五入法精确到百分位为_________． 48．一只羊重为，精确到得到的近似数为________． 49．用四舍五入法对下列各数取近似值，其中结果错误的是（    ） A．（精确到个位） B．（精确到十分位） C．（精确到） D．（精确到百位） 题型十七 求近似数的精确度 50．下列说法正确的是（     ） A．1.8945精确到0.001 B．0.520精确到百分位 C．3.72精确到百分位 D．5000精确到千位 51．近似数精确到______位，它有______个有效数字． 52．下列说法中，正确的是（     ） A．0.009精确到百分位 B．精确到千分位 C．800精确到个位 D．56.7万精确到十分位 题型十八 近似数推断取值范围 53．某同学测量茶杯口的直径长度说大约是，那么下列给出的直径的实际数据不可能是（　　） A． B． C． D． 54．近似数3.14所表示的准确数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 55．据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 解答题 1．用计算器计算： (1)； (2)； (3)（精确到）． 2．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 3．比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与． 4．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)请求出、、的值： (2)若是的小数部分．求的算术平方根． 5．如图1，教材有这样一个探究，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的大正方形面积为______，它的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为_______； (3)请你参照上面的方法：把图中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的面积是______，则长为宽为的长方形的对角线长为________．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） (4)参照图的画法，在（）的基础上，画出数轴上表示数以及的点、．（图中保留必要的作图痕迹）． 6．图①是一个由27个同样大小的小正方体组成的大正方体，它的体积为． (1)这个大正方体的棱长是________m； (2)图①中正方形的面积是________； (3)建立如图②所示的平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，在轴上截取，则点的坐标为________． 7．探究某些数的算术平方根、立方根： (1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整： ①由，可以确定是______位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________． (2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05立方根.实数及近似值专题通关讲义 知识点01:立方根的定义与性质 1. 定义 如果一个数 x 的立方等于 a（即 x3=a），那么这个数 x 叫做 a 的立方根（也叫三次方根）。 符号：记作 ，读作 “三次根号 a”。重点：根指数 3 绝对不能省略。 2.立方根性质（和平方根核心区分点） (1)正数的立方根是正数； (2)0 的立方根是0； (3)负数的立方根是负数； (4)任意实数都有且只有 1 个立方根。 3.重要公式 立方无双重非负性限制，不用加绝对值。 知识点02:开立方 1.求一个数的立方根的运算叫作开立方。 2.开平方与开立方的区别 知识点03:立方根与平方根的区别 知识点04.无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见类型： 开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 含π的数：如π、2π、π-1等。 特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 3.与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点05.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 知识点06.实数与数轴 一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。 大小比较：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大。 知识点07:实数的相关概念 知识点08:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点09:实数的运算 1.运算范围：有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然成立。 2.运算顺序：先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内。 3.近似计算：遇到无理数且需要求值时，可取近似小数计算。 题型10.近似值 1.基础概念 (1)准确数：完全符合实际、无误差的数（班级人数、桌椅数量） (2)近似数（近似值）：接近准确数、通过四舍五入 / 测量得到的数（身高、长度） (3)精确度：表示近似数近似程度，常见两种表示方式 2.两种精确要求 (1)精确到某一位：精确到个位、十分位、百分位、千位…… 例：1.56 精确到十分位是 1.6 (2)保留若干个有效数字 有效数字定义：从左边第一个非 0 数字起，到末尾数字止，全部都是有效数字。 例：0.0205 有效数字：2、0、5（共 3 个） 3.四舍五入取近似值步骤 (1)看清要求：精确到哪一位 / 保留几位有效数字； (2)找到指定数位，观察后一位数字； (3)后一位≥5 进 1，＜5 直接舍去； (4)大数先化为科学记数法再取近似值，避免出错。 4.科学记数法取近似 大数 a10n(1a<10)，有效数字只看前面的 a。 例：3.14104 保留 2 个有效数字为 3.1104 1、平方根与立方根概念相互混淆 易错提醒：平方根的被开方数必须是非负数，一个正数存在两个互为相反数的平方根；任意实数均有对应的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0；负数不存在平方根，但可以求取立方根。 2、立方根化简时符号处理错误 易错提醒：=-，负号可以移至立方根号外侧；切忌错误写成=；恒等式()3=a与=a}适用于全部实数范围。 3、无理数判定标准把握错误 易错提醒：无理数定义为无限不循环小数；常见类别为开方开不尽的数、含有的数、人为构造的无限不循环小数；分数全部属于有理数，不可仅凭表达式带有根号就判定该数是无理数。 4、实数分类判断出现失误 易错提醒：实数划分为有理数与无理数两大类别；有理数包含整数和分数（有限小数、无限循环小数）；0属于有理数；按照正负划分实数时分为正实数、0、负实数，分类过程不可遗漏0。 5、实数大小比较方法选用不当 易错提醒：比较带根号实数的大小，可以通过平方或者立方去掉根号后再比较；负数进行大小对比时，绝对值越大，实数数值越小；不能仅凭根号的外在形式直接判断数值大小。 6、实数范围内相反数、绝对值求解出错 易错提醒：相反数、绝对值的定义在实数范围内依然成立；求解无理数的绝对值，应当先判断该无理数与0的大小关系；例如|-2|=2-，去掉绝对值符号前必须判断内部式子正负，不可直接去掉绝对值。 7、近似数精确数位判断错误 易错提醒：判断近似数精确到哪一位，以最后一位有效数字所处实际数位为准；遇到科学记数法形式a10n的近似数，需要先还原原始数值，再判定精确数位，不可直接读取a的小数位数。 8、近似值求取中途提前四舍五入 易错提醒：近似取舍只能作用于题目的最终计算结果；运算中间步骤不得提前进行四舍五入，中途提前取近似值会造成最终答案出现误差。 9、精确数与近似数概念混淆 易错提醒：计数统计得到的数据一般为精确数；测量所得的数据属于近似数；审题时辨别两类数据，不可将测量值视作精确数。 题型 考察方向 难度 题型一 立方根概念理解 ★ 题型二 求一个数的立方根 ★ 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 ★★ 题型四 与立方根有关的规律探索 ★★★ 题型五 立方根的实际应用 ★★ 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 ★★★ 题型七 无理数 ★ 题型八 无理数的大小估算 ★★ 题型九 无理数整数部分的有关计算 ★★ 题型十 实数概念理解 ★ 题型十一 实数的分类 ★ 题型十二 实数的性质 ★★ 题型十三 实数与数轴 ★★ 题型十四 实数的大小比较 ★★ 题型十五 程序设计与实数运算 ★★★ 题型十六 求一个数的近似数 ★ 题型十七 求近似数的精确度 ★★ 题型十八 近似数推断取值范围 ★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 立方根概念理解 1．的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根的定义解答即可． 【详解】解： ， 的立方根是． 2．＝_____，＝_____． 【答案】 / 【分析】用立方根的定义和性质解答，立方根的定义是如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，立方根的性质有和． 【详解】解：，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了求立方根，解决问题的关键是熟练掌握立方根的定义和性质． 3．给出下列各式：，，，．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的定义与计算，掌握通过计算立方值来验证立方根的正确性是解题的关键． 逐一验证每个立方根表达式是否正确． 【详解】解：对于第一个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第二个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第三个：∵ ，∴ ，错误； 对于第四个：∵ ，∴ ，∴ 错误； 综上，正确的个数为． 故选：B． 题型二 求一个数的立方根 4．的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据立方根的定义求解即可，任意一个数都有立方根，正数立方根是正值、负数的立方根是负值、的立方根是本身． 【详解】解：∵， ∴的立方根是． 5．方程的解是_____． 【答案】 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同除以27得：， 开立方得：． 6．若，则________，________． 【答案】 【分析】根据立方根的性质，进行运算，即可求解． 本题考查了立方根的性质，解题的关键是：熟练掌握立方根的性质． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：12；． 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 7．若是实数M的立方根，则实数M是（   ） A．9 B．27 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一个数的立方根求这个数，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：∵是实数M的立方根， ∴实数M是， 故选：C． 8．已知，且与互为相反数，则y的值为______． 【答案】4或或5 【分析】根据题意可得，根据立方根是它本身的数有和0得到或或，据此求出x的值，进而求出的值，根据题意可得到，即，据此建立方程求解即可． 【详解】解：， ， 或或， 或或， 或或． 与互为相反数， ， ， 或或， 或或 ． 9．若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可． 【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69， ∴a=297.5625，b=-656.234909． ∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9， ∴x=2.975625，y=656234.909， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义． 题型四 与立方根有关的规律探索 10．若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 【答案】A 【分析】将所求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根的性质计算即可． 【详解】， ， 又 ， ． 11．已知，，，则___________． 【答案】 【分析】根据立方根与被开方数的关系：被开方数的小数点每向左或向右移动三位，它的立方根也相应地向左或向右移动一位，选择即可． 【详解】解：， . 12．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 题型五 立方根的实际应用 13．王师傅有一个体积为的铁块原料，他将这个铁块熔化并重新锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为．则制作成的每一个小正方体铁块的棱长为_________． 【答案】 【分析】原铁块总体积减去余料体积等于三个小正方体的体积和，据此列方程求解即可得到小正方体的棱长． 【详解】解：设制作成的每一个小正方体铁块的棱长为， 根据题意，得 ， 整理得 ， 解得， 因此制作成的每一个小正方体铁块的棱长为． 14．若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少_______（用含的代数式表示），若，则棱长应减少_______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，代数式求值，根据题意求出立方体体积减少的体积，进而得到减少后立方体的棱长，可得棱长减少的数量，再把代入计算即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵立方体的棱长为， ∴立方体的体积为， ∴立方体体积减少后剩余的体积为， ∴此时的棱长为， ∴棱长应减少， 当时，， ∴若，则棱长应减少， 故答案为：；． 15．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 16．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 17．已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，得到关于和的等式，求出、的值后代入计算，最后求该式的平方根即可． 【详解】解：∵是4的算术平方根，4的算术平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 解得， 将，代入得， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 18．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 题型七 无理数 19．实数中无理数的个数为___________． 【答案】 【详解】解：实数中，无理数有、，共个． 20．在，，，（每两个之间的个数依次增加），，中，无理数的个数有______个． 【答案】 【分析】先将化简，再根据无理数的定义逐个判断各数即可求解． 【详解】解：是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； （每两个之间的个数依次增加）是无限不循环小数，是无理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是开方开不尽的数，是无理数； 无理数有个． 21．，3.14，，，0.454455444555…（4和5的个数依次增加1），，中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数），逐个化简判断各数，统计无理数的个数即可． 【详解】解：是分数，3.14是有限小数，是分数，是分数，以上都属于有理数； 中是无限不循环小数，故是无理数； （4和5的个数依次增加1）是无限不循环小数，故是无理数； 是开方开不尽的数，故是无理数； ∴无理数共3个． 题型八 无理数的大小估算 22．估算无理数在哪两个数之间，其中最精确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方后比较大小的方法，逐步缩小的范围，得到最精确的区间即可． 【详解】解：∵ ，，，， ∴ ， 观察四个选项，选项C符合题意． 23．若为正整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的取值范围，结合条件即可求出的值． 【详解】解：， ， 不等式两边同进减去2，得， 为正整数，且满足， ． 24．估计（）的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】先对原式化简，再通过计算原式的平方，代入近似值求出平方后的范围，最后开平方得到原式的取值范围，从而确定答案． 【详解】解：原式， ， ，， ， ，， ， ，即，且原式为正数， 原式 故选：C． 【点睛】估算带根号的式子范围时，可先计算其平方，通过平方后的数值范围反推原式的范围，平方法是初中阶段估算无理数范围的常用方法． 25．南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．现已知，则使用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，理解“调日法”的算法规则是解题关键，按照规则依次进行三次计算即可得到结果． 【详解】解：∵． ∴第一次使用“调日法”得． ∵． ∴此时． 第二次使用“调日法”得． ∵． ∴此时． 第三次使用“调日法”得． ∴使用三次“调日法”得到的近似分数为， 故选：C． 题型九 无理数整数部分的有关计算  26．已知，则整数的值（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先找到与相邻的两个完全平方数，即可确定的范围，进而得到整数的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即 ， 又∵ ，且为整数， ∴ ． 27．的小数部分是，则等于__． 【答案】 【详解】， ， ， ， 的小数部分． 28．已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 【答案】A 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得 ； ∵的立方根是， ∴，解得 ； ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴. 题型十 实数概念理解 29．下列实数中的无理数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】直接根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A、是无理数，故选项A符合题意；     B、是无限循环小数，是有理数，故选项B不符合题意； C、是分数，属于有理数，故选项C不符合题意；     D、0属于有理数，故选项D不符合题意， 故选：A 【点睛】本题考查了无理数的定义，熟记无限不循环小数是无理数是解题的关键． 30．已知实数m，n满足，则________． 【答案】9 【详解】解：，且， ，， 解得，， ． 31．已知实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了非负数的性质和有理数的计算，解题关键是理解非负数的性质，求出字母的值． 题型十一 实数的分类 32．下列各数中，是有理数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【详解】解：∵选项A中可能表示有理数，也可能表示无理数，∴A错误． ∵是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，∴B错误． ∵0是整数，整数属于有理数，∴C正确． 属于开方开不尽的无理数，∴D错误． 33．在下列实数，，，，，中，无理数的个数有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】先化简已知各数，再根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐一判断即可得到无理数的个数． 【详解】解：，是整数，属于有理数； π是无限不循环小数，因此是无理数； 开方开不尽，是无理数； 是分数，属于有理数， ，是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； ∴无理数共有2个． 34．下列实数，，3.14159，，，-0.1010010001……．(每两个1之间依次多1个0)中无理数有(      ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据无理数的概念即可判断． 【详解】解：=-3， 无理数有：， ，-0.1010010001……．(每两个1之间依次多1个0)，共有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数．解题的关键是熟练掌握无理数的概念． 题型十二 实数的性质 35．2的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：2的相反数是． 36．如图，数轴上点A表示的数是，点A与点B到原点的距离相等，则点B表示的数是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点A与点B到原点的距离相等， ∴点A与点B表示的数互为相反数， ∵数轴上点A表示的数是， ∴点B表示的数是. 37．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．-3与 B．和 C．与 D．3和 【答案】C 【分析】先依据相反数和绝对值的定义化简各数，然后再依据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、-3的相反数是3，故A不符合题意 B、|-3|=3，3的相反数是-3，故B不符合题意； C、=，的相反数是，故C符合题意； D、=3，3的相反数是-3，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查相反数定义，即相加为0的两个数互为相反数，要注意细心运算每个选项． 题型十三 实数与数轴 38．如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数轴上对应的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点A表示的数为___________． 【答案】/ 【分析】先把两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形面积为2，可得小正方形对角线长为，再根据题意即可得点A表示的数． 【详解】解：如图，由两个小正方形拼成正方形，则正方形的面积为2， ∴, ∵以数轴上对应的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点A， ∴， ∴点A表示的数为． 39．如图，在数轴上竖直摆放一个直径为2个单位长度的半圆，该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动地滚动，半圆直径的一个端点从原点O到达点（如图），则点对应的数是______．（结果保留） 【答案】/ 【分析】根据题意得，点对应的数为该半圆的周长，即可． 【详解】解：点对应的数是半圆周长，为直径半圆弧长，即． 40．如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转2000次后，数轴上1998这个数所对应的点是（   ） A．A点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】C 【分析】由题意可知，E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5，可知其6次一循环，由此可以确定出数轴上1998这个数所对应的点． 【详解】解：正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转第一圈时E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5， ∴6次一循环， ∴， 数轴上1998这个数所对应的点是E点， 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 题型十四 实数的大小比较 41．下列实数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正数大于0，0大于负数比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个实数中，最大的数是． 42．比较下列各组数的大小： （1）________4； （2）________1． 【答案】 【分析】本题考查实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法，是解题的关键． （1）先将化成，然后比较即可； （2）利用作差法比较即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ 故答案为：． （2）∵ ∴ 故答案为：． 43．已知三个实数，，满足，，， 则下列结论一定正确的是(   ) A．， B．， C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴异号，同号，则A不正确 ∴异号， ∵， ∴，则，则B，C不正确 故选：D． 题型十五 程序设计与实数运算 44．如图是一个数值转换器． 当输入的值为时，输出的值为_________． 【答案】 【分析】根据图示流程进行计算，并判断是否无理数． 【详解】解：输入， 则， 取算术平方根为，是有理数， 取算术平方根为，是无理数， 故输出的值为． 45．如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为______． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图列式计算，求解即可． 【详解】解：当输入的x值为时：为有理数， 输入3，为无理数，输出； 故答案为：． 46．在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的x值是64时，取算术平方根得， 由于8是有理数，所以再取立方根得， 由于2是有理数，所以再取算术平方根得， 由于是无理数，所以输出y的值是． 题型十六 求一个数的近似数 47．古希腊以来黄金分割就被视为最美丽的几何学比例，它的值约为……用四舍五入法精确到百分位为_________． 【答案】 【分析】本题考查近似数的四舍五入法，解题思路为确定精确数位，观察下一位数字，根据四舍五入规则求解． 【详解】解：根据题意，精确到百分位，即保留小数点后两位，需要观察小数点后第三位，即千分位的数字．，千分位数字为，因为，根据四舍五入规则，向百分位进．因此得到的结果为． 48．一只羊重为，精确到得到的近似数为________． 【答案】 【分析】根据四舍五入法，向十位进1，十位数字4加1变为5，个位及后续数字舍去，得到近似数即可． 【详解】解∶精确到得到的近似数为． 49．用四舍五入法对下列各数取近似值，其中结果错误的是（    ） A．（精确到个位） B．（精确到十分位） C．（精确到） D．（精确到百位） 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数的精确到哪一位，熟知近似数的精确度是解题的关键． 根据四舍五入法，精确到某一位时，需看该位的后一位数字：若小于5则舍去，否则进位，据此求解即可． 【详解】解：A．精确到个位：个位为4，后一位， ∴舍去，得304，正确； B．精确到十分位：十分位为8，后一位， ∴舍去，得，正确； C．精确到（百分位）：百分位为0，后一位， ∴应得，但选项为（表示精确到十分位），错误； D．原数1205，精确到百位：百位为2，后一位， ∴舍去，得1200，即，正确． 故选C． 题型十七 求近似数的精确度 50．下列说法正确的是（     ） A．1.8945精确到0.001 B．0.520精确到百分位 C．3.72精确到百分位 D．5000精确到千位 【答案】C 【分析】根据近似数的精确度，分别进行判断即可． 【详解】解：A、精确到，故选项错误，不符合题意； B、精确到千分位，故选项错误，不符合题意； C、精确到百分位，故选项正确，符合题意； D、精确到个位，故选项错误，不符合题意． 51．近似数精确到______位，它有______个有效数字． 【答案】 万分 四 【详解】解：近似数精确到万分位，它有四个有效数字． 52．下列说法中，正确的是（     ） A．0.009精确到百分位 B．精确到千分位 C．800精确到个位 D．56.7万精确到十分位 【答案】C 【分析】判断近似数精确度需确定末位数字所在数位，带计数单位或科学记数法的数先还原为原数再判断． 【详解】解：A．的末位数字在千分位，精确到千分位，故该选项错误； B．，末位数字在百位，精确到百位，故该选项错误； C．的末位数字在个位，精确到个位，正确，符合题意； D．，末位数字在千位，精确到千位，故该选项错误． 题型十八 近似数推断取值范围 53．某同学测量茶杯口的直径长度说大约是，那么下列给出的直径的实际数据不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数，掌握四舍五入是解题的关键． 先根据四舍五入确定实际直径x应满足的取值范围，然后再判断即可． 【详解】解：∵ 近似值是通过四舍五入到小数点后一位得到的，   ∴ 实际直径x应满足．   ∴C选项不可能，符合题意． 故选：C． 54．近似数3.14所表示的准确数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查近似数的取值范围，根据四舍五入法则，近似数3.14表示准确数a四舍五入到百分位后为3.14，因此a的范围需满足千分位进一和舍去的情况． 【详解】解：∵近似数3.14是通过四舍五入到百分位得到的， ∴当千分位大于等于5时，进一，原百分位为3，故； 当千分位小于5时，舍去，原百分位为4，故． ∴ a的取值范围是3.135 ≤ a < 3.145． 故选D． 55．据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 【答案】C 【详解】解：∵万是四舍五入到千位得到的近似数，原数为整数人数，要使原数最大，需满足四舍条件，即百位数字最大为，个位和十位取最大数字， ∴最大原数为． 解答题 1．用计算器计算： (1)； (2)； (3)（精确到）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 2．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）整理方程后根据平方根的定义求解即可； （2）整理方程后根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 整理得， 化简得， 开平方得； （2）解：， 两边同除以得， 开立方得， 解得． 3．比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实数比较大小的方法求解即可； （2）根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 4．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)请求出、、的值： (2)若是的小数部分．求的算术平方根． 【答案】(1) ，， (2) 的算术平方根为 【分析】（1）根据平方根、立方根定义列等式求、，估算的取值范围得整数部分； （2）先表示的小数部分，代入式子计算后求其算术平方根． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∵，即， ∴的整数部分． （2）解：∵是的小数部分， ∴， ∴， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根为． 5．如图1，教材有这样一个探究，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的大正方形面积为______，它的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为_______； (3)请你参照上面的方法：把图中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的面积是______，则长为宽为的长方形的对角线长为________．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） (4)参照图的画法，在（）的基础上，画出数轴上表示数以及的点、．（图中保留必要的作图痕迹）． 【答案】(1)； (2) (3)； (4)图形见解析 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． （1）根据题意，得到大正方形的面积，求出边长，即可得到小正方形的对角线； （2）由（1）可得边长为的正方形的对角线为，再根据数轴，即可得到点表示的数； （3）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可； （4）从原点开始画一个长是，高是的长方形，对角线长即是，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点，再把这个长方形向左平移个单位，用同样的方法得到点． 【详解】（1）解：由图可得，大正方形的面积为， ∴边长为： ∴小正方形对角线为：． （2）解：由题意可得，小正方形的边长为， ∴对角线为， ∴点表示的数为：． （3）解：如图所示： ∵长方形的面积为 ∴拼成的正方形的面积也为； ∴正方形的边长为： ∴长为宽为的长方形的对角线长为． （4）解：如图，即为所求． 6．图①是一个由27个同样大小的小正方体组成的大正方体，它的体积为． (1)这个大正方体的棱长是________m； (2)图①中正方形的面积是________； (3)建立如图②所示的平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，在轴上截取，则点的坐标为________． 【答案】(1)3 (2)5 (3)或 【分析】本题考查立方根的实际应用，勾股定理与网格问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）求出立方根即可； （2）勾股定理进行求解即可； （3）勾股定理求出的长，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：由题意，这个大正方体的棱长是； 故答案为：3； （2）由题意，小正方形的边长为， 由勾股定理，得； 故正方形的面积是； 故答案为：5； （3）由图可知：， 由勾股定理，得：， ∴， ∴或． 7．探究某些数的算术平方根、立方根： (1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整： ①由，可以确定是______位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________． (2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程． 【答案】(1)①两；②3或7；③43或47；43 (2)见解析 【分析】（1）根据所提供的方法进行计算即可；（2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可． （1）①因为要确定算术平方根的位数，所以利用平方数的位数规律，通过对比已知的整十数、整百数的平方与1849的大小关系来判断． ②因为一个数的平方的个位数字由原数的个位数字决定，所以根据1849的个位数字，结合平方的个位特征来确定算术平方根的个位数字． ③因为要确定算术平方根的十位数字，所以划去后两位得到的数，对比相邻整数的平方，再结合给定的判断方法缩小范围，最终确定算术平方根． （2）因为求立方根的思路与求算术平方根类似，所以先利用立方数的位数规律确定立方根的位数；再根据立方数的个位数字特征确定立方根的个位数字；最后划去后三位得到的数，对比相邻整数的立方，结合类似的判断方法缩小范围确定十位数字，进而得到立方根． 【详解】（1）解：①∵，，且， ∴， ∴是两位数； ②∵1849的个位上的数是9，一个数平方后的数个位上为9的只有3和7， ∴的个位上的数是3或7； ③划去1849后面的两位49得到数18，而，， ∴十位上的数是4， ∴1849的算术平方根可能是43或47； ∵十位上的数是4，若个位上的数是7，需进位，，而， ∴个位上的数是3， ∴． （2）解：，， 103823的立方根是两位数； 103823个位上的数字是3， 103823的立方根个位上的数字是7； 如果划去103823后面的三位“823”得到数103，而，， 由此可确定103823的立方根十位上的数字是4， 那么103823的立方根是47． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $