专题01三角形中的线段和角专题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题01三角形中的线段和角专题通关讲义 知识梳理 知识点01：三角形基础概念 1.定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角 形。 注意： (1)1不在同一条直线上. (2) 三条线段， B (3)首尾顺次相接 2.三要素：3个顶点、3条边、3个内角，记作△ABC。 边：组成三角形的线段 顶点B 角：相邻两边组成三角形的内角 叫做三角形的边 简称三角形的角 边 边a 顶点：相邻两边的公共端点是三角 顶点 边6 顶点C 形的顶点 3.三角形分类（表格汇总） 试卷第1页（共3页） (1)按边分类 三边都不相等的三角形 三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 (2)按角分类 直角三角形 三角形 锐角三角形 斜三角形 钝角三角形 知识点02：三角形左条重要线段（本节重中之重） 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的 线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段： 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点， 顶点与交点之间的线段： 试卷第2页（共3页） 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与 从三角形的一个顶点向它的对边所在的 三角形中，连接一个顶点和 文字语言 它的对边相交，这个角的项 直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。 它对边中点的线段， 点与交点之间的线段. 图形语言 B B B D D D 过点A作AD⊥BC于点D. 取BC边的中点D,连接AD.作∠BAC的平分线AD,交 作图语言 BC于点D. 标示图形 6 B B∠ D D 1,AD是△ABC的高. 1.AD是△ABC的中线. 1.AD是△ABC的角平分线. 符号语言 2.AD是△ABC中BC边上的高 2.AD是△ABC中BC边上 2.AD平分∠BAC,交BC于 3. AD⊥BC于点D 的中线 点D. 区分易错：角平分线（线段）≠角的平分线（射线） “三线的交点”一个三角形有3条中线3条角平分线3条高 线的名称 线的位置 交点位置 高 锐角三角形：三条高都在三角形内部 垂心 直角三角形：其中两条高恰好与两条直角边重合 钝角三角形：其中两条高在三角形外部 中线 三条中线都在三角形内部 重心 角平分线 三条角平分线都在三角形内部 内心 知识点03：三角形三边关系（高频考点） 1.定理：三角形任意两边之和大于第三边：任意两边之差小于第三边。 若三边为a、b、c,则：la-b|<c<a+b 两大应用 试卷第3页（共3页） ①给定三条线段，判断能否围成三角形（只需验证最短两边之和>最长 边)； ②已知两边长，求第三边取值范围。 易错：忽略“任意”，只用一组两边和判断。 三角形任意两边之差小于第三边 la-bl<c la-c<b c-b<a 知识点04：三角形的重心 1.定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2.重心定理（性质) 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍（即重心分中线为 2:1)。 试卷第4页（共3页） B 在△ABC中，：O是△ABC的重心，AD、BE、CF是中线， .∴.A0=20D,B0=20E,C0=20F(或AO:0D=B0:0E=C0:0F=2:1)。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 条中线的交点 数量 3条 1个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2：1 关键作用证平行、算边长 算线段比、分面积 知识点05：常考基础题型总结（配套知识使用） 1.给定三条线段，判断能否组成三角形： 2已知两边，求第三边整数取值、取值范围； 3.在不同类型三角形中规范画出三条高、中线、角平分线： 4.利用中线面积等分性质，求解三角形面积： 高频易错点 试卷第5页（共3页） 1、三角形构成判定忽略前提条件 易错提醒：三角形由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成封闭 图形：三条线段共线时无法组成三角形，判定过程不可忽略该限定。 2、三角形三边关系判断方法错误 易错提醒：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三 边：判断线段能否构成三角形，只需验证较短两条线段之和大于最长线 段，不需要两两逐一验证。 3、第三边取值范围书写出错 易错提醒：已知三角形两边长，第三边取值范围为两边之差<第三边< 两边之和：取值边界不能取等号，书写时不可添加等号。 4、三角形高的概念理解偏差 易错提醒：三角形的高是从顶点向对边所作的垂线段，属于线段，不是 直线：钝角三角形有两条高位于三角形外部，不能默认全部高均在三角 形内部。 5、三角形中线性质理解错误 易错提醒：三角形中线将原三角形分为面积相等的两部分：分割后的两 个小三角形面积相等，但周长不一定相等，不可误认为周长同样相等。 6、三角形角平分线概念混淆 易错提醒：三角形的角平分线是线段，不是角的射线：一端位于三角形 顶点，另一端落在对应对边上。 7、直角三角形锐角性质记忆错误 试卷第6页（共3页） 易错提醒：三角形内角和等于180°；直角三角形两个锐角互余，两角之 和等于90°，不可记错角度数量关系。 8、三角形外角性质错用 易错提醒：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和：外角大 于任意一个不相邻的内角，计算时不能纳入相邻内角参与运算。 9、等腰三角形边长分类讨论未做检验 易错提醒：等腰三角形没有明确腰和底边时，必须对边长进行分类讨 论；每一组结果都要用三边关系进行检验，舍去不能构成三角形的解。 题型通关 题型 考察方向 难度 题型一 三角形的识别与有关概念 题型二 三角形的个数问题 题型三 构成三角形的条件 ★★ 题型四 确定第三边的取值范围 ★★ 题型五 三角形三边关系的应用 ★★ 题型六 大（小）边对大（小）角定理 ★★ 题型七 根据三角形中线求长度 ★★ 题型八 根据三角形中线求面积 题型九 重心的概念 试卷第7页（共3页） 题型十 三角形角平分线的定义 题型十一 画三角形的高 题型十二 与三角形的高有关的计算问题 题型十三 利用网格求三角形面积 题型十四 垂心 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 分题型精讲 题型一三角形的识别与有关概念 1.观察下列图形，是三角形的是() 2.在△ABC中，已知：AB>BC>CA,用“>”连接∠A、∠B、∠C应为 3.如图，将三角形纸片折叠，使点B,C重合，折痕DE与AB,BC分别交于点D、点 E,连接AE,下列是△ABC的中线的是() E人 A.线段AE B.线段BE C,线段CE D.线段 DE 题型二三角形的个数问题 4.如图，在△ABC中，AD1BC,图中以AD为高的三角形共有() 试卷第8页（共3页） D A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 5.如图所示，图中共有三角形一个。 6.在平面内，分别用3根、4根、5根、6根…火柴首尾依次相接（不能折断，且需全 部用完)，能搭成不同的三角形.小嘉发现用3根、5根、6根火柴分别可以搭成如下表所 示的三角形： 火柴数 3 5 6 2 2 示意图 以此类推，12根火柴能搭成( )种不同的三角形 A.2 B.3 C.4 D.5 题型三 构成三角形的条件 7.下列长度的三条线段，能组成三角形的是() A.3 cm,5 cm,9cm B.6 cm,7 cm,13 cm C.9cm,9 cm,19 cm D.11 cm,18 cm,22 cm 8.把25厘米长的吸管剪成3段，能围成三角形，如果每段都是整厘米数，有( )种 不同的分法。 9.下列各线段能构成三角形的是() A.7cm、5cm、12cm B.6cm、7cm、14cm C.9cm、5cm、11cm D.4cm、10cm、6cm 试卷第9页（共3页） 题型四确定第三边的取值范围 10.一个三角形两条边是4cm、7cm,第三条边不可能是() A.5cm B.8cm C.11cm D.6cm 11.如果长度分别为4,4,7的三条线段能组成一个三角形，那么a的取值范围是 12.一个衣架的示意图如图所示，若AB=AC=25Cm,则衣架底部横杆BC的长可能为 () A.40cm B.50cm C.60cm D.70cm 题型五三角形三边关系的应用 13.如图，为估计池塘两岸A,B间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P,测得 PA=19m PB=15m A,B ,那么之间的距离不可能是() A.18m B.26m c.30m D.34m 14.已知三角形三边长分别为3，x,13,若x为正整数，则这样的三角形有 个. 15.如图，为了估计池塘岸边两点A,B之间的距离，小万同学在池塘的一侧选择一点O, 测得A0=80m,B0=40m,则A,B两点之间的距离可能是() 试卷第10页（共3页） A.30m B.40m c.105m D.125m 题型六大（小）边对大（小）角定理 16.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c,若∠B>∠A>∠C,则a、b c的大小关系为() A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D b>azc 17.如图，己知∠ADB>∠B>∠C,下列说法正确的是() ( A,AC>AB>AD B.AC>AD>AB C.AB>AD>AC D.AB>AC>AD 18.如图，直线BD是四边形ABCD的对称轴，∠ADB>90°，点E、F分别是AD,CD上 一点，且BE=BF,若AE=2,CD=5,则DF= 4 D 题型七根据三角形中线求长度 19.如图，已知点D是△ABC的重心，连接BD并延长，交AC于点E.若AE=2,则AC 的长为() E D A.3 B.4 C.5 D.6 20.如图AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在点C'的位 置，则BD与DC'之间的关系是 试卷第11页（共3页） A D 21.如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF⊥DC, DGLAC,垂足分别为F,G:若AABC的周长为43，AB=) ,AC=10:EF=4’ 则DG的长为() 17 A.5 B.3 C.9 D. 39 题型八根据三角形中线求面积 22.如图，△ABC为休闲公园，拟从顶点A向路边BC修一条小路AD,使两块绿地△ABD 和△ADC的面积相等，供老年人分区休憩聊天，则小路AD是△ABC的() D A.高 B.角平分线 C.中线 D.不能确 定 23.如图， S.4BC =18 SAe=Sac=SaM,则 , D 试卷第12页（共3页） 24.如图，在△ABC中，AD经过△ABC的重心G交BC于点D,若△ABC的面积为16cm ，则阴影部分的面积为() G D 16 A 8cm B.7cm2 C. 6cm2 D. 5 cm2 题型九重心的概念 25.如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板 与支点的接触点应该是() A.三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B.三角形匀质薄板三边中线的交点 C.三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D.三角形匀质薄板三边上高的交点 26.如图，O是△ABC的重心，若△ABC的面积是12，则阴影部分的面积和是 D 27.如图，有一块质地均匀的3×4的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形 硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么 这一点是( ) 试卷第13页（共3页） A.点A B.点B C.点C D.点D 题型十三角形角平分线的定义 28.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，下列选项正确的是() D A.∠BAD=∠CADB.BD=CD C.AD⊥BC D ∠B=∠C 29.如图所示，△ABC的两条角平分线相交于点D,过点D作EF∥BC,交AB于点E,交 AC于点F,若△AEF的周长为30cm,则AB+AC=_cm, B 30.如图，在△ABC中，∠C=90°，D,E是边AC上两点，AE=DE,BD平分∠EBC ,下列说法中不正确的是() D 3 B A.BE是△ABD的中线 B.BD是△BCE的角平分线 C.∠1=∠2=∠3 D.BC是△ABE的高 题型十一画三角形的高 31.下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是() B 试卷第14页（共3页） B D C D 32.如图，点B,C,D,E在同一条直线上，在△ABC中，BC边上的高是线段 33.如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则CD是△ABC的高的是() E B B A. D. .B 题型十二与三角形的高有关的计算问题 34.如图，在△ABC中，∠B=90°；AB=I5cm,BC=20cm,AC=25cm,则△ABC的边 AC上的高线为() C A.12cm B.15cm C.20cm D.24cm 35.如图，AD,BE分别是△ABC的高，AC=10,BC=12,BE=9,AD=_ D 试卷第15页（共3页） 36.如图，在△ABC中，∠ACB=65°，∠BAC=70°，AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E ,AD与BE交于点F,则∠CFD的度数是() A.25° B.45° C.60° D.75° 题型十三利用网格求三角形面积 37.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，以A、B、C为顶点的三角形的面 积为1，则点C的个数为（点C在格点上）() B A.5 B.6 C.7 D.8 38.如图，边长为342的三个正方形顺次排列，则三角形ABC的面积是 3 B 39.如图，△ABC的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则BC边上的高等 于() A B 2 A.2 B.2 C.2 D.2W2 题型十四垂心 试卷第16页（共3页） 40.下列说法不正确的是（) A,三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 B.锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部 C.直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点 D,钝角三角形三条边的垂直平分线的交点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外 部 41.如图，在△ABC中，AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD与CE交于点O ,连接BO并延长交AC于点F.若AB=5,BC=4,AC=6,则CE:AD:BF=() A.546 B.12:l510 C.151012 D 10:l5:12 42.如图，△ABC的两条高AD,CE相交于点F.连接BF并延长交AC于点G,若 AB=8.AC=10,CE=6,则BG=一· B D 解答题 1.若一个三角形三边的长互不相等，且其边长a,b,c满足a-b>b-c(a为最长边， C为最短边)，则称它为“不均衡三角形”.例如，一个三角形三边的长分别为7,5,4. 7-5>5-4,这个三角形为“不均衡三角形”. ()下列长度的小木棍中，能组成“不均衡三角形”的是（填序号） ①4cm,2cm，,lcm;②l3cm,18cm,9cm;③19cm,20cm,19cm;④9cm, 试卷第17页（共3页） 8cm,6cm (2)若一个“不均衡三角形”三边的长分别为2x+2,16,2x+6;求出x的整数值. 2.已知△ABC的三边长分别为a,b,c. (1)化简a+b-c-a-b-d [2a+b=14 (2)若a,b满足a+2b=16 ①求c的取值范围； ②若c为小于7的奇数，求△ABC的周长， 3.如图，已知：在△ABC中，AC<AB,AD是BC边上的中线.求证：∠BAD<∠CAD D 4.如图，AF、AD分别为△ABC的边BC上的高线和中线，BG为AC边上的高线，己知 AF=6.BD=10,BG=5. G D (I)求△ADC的面积： (2)求AC的长， 5.如图，在△ABC中，AD是高，EF⊥BC于点F,DG是△ADC的角平分线，且 DG∥AB,试说明：∠BEF=∠GDC. F D 试卷第18页（共3页） 专题01三角形中的线段和角专题通关讲义 知识点01:三角形基础概念 1. 定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。 2.三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角，记作△ ABC。 3.三角形分类（表格汇总） 知识点02:.三角形三条重要线段（本节重中之重） 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； 区分易错：角平分线（线段）≠ 角的平分线（射线） “三线的交点”一个三角形有3条中线.3条角平分线.3条高 知识点03:三角形三边关系（高频考点） 1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 若三边为a、b、c，则：|a-b|<c<a+b 两大应用 ①给定三条线段，判断能否围成三角形（只需验证最短两边之和＞最长边）； ②已知两边长，求第三边取值范围。 易错：忽略 “任意”，只用一组两边和判断。 知识点04:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 知识点05:常考基础题型总结（配套知识使用） 1.给定三条线段，判断能否组成三角形； 2.已知两边，求第三边整数取值、取值范围； 3.在不同类型三角形中规范画出三条高、中线、角平分线； 4.利用中线面积等分性质，求解三角形面积； 1、三角形构成判定忽略前提条件 易错提醒：三角形由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成封闭图形；三条线段共线时无法组成三角形，判定过程不可忽略该限定。 2、三角形三边关系判断方法错误 易错提醒：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；判断线段能否构成三角形，只需验证较短两条线段之和大于最长线段，不需要两两逐一验证。 3、第三边取值范围书写出错 易错提醒：已知三角形两边长，第三边取值范围为两边之差＜第三边＜两边之和；取值边界不能取等号，书写时不可添加等号。 4、三角形高的概念理解偏差 易错提醒：三角形的高是从顶点向对边所作的垂线段，属于线段，不是直线；钝角三角形有两条高位于三角形外部，不能默认全部高均在三角形内部。 5、三角形中线性质理解错误 易错提醒：三角形中线将原三角形分为面积相等的两部分；分割后的两个小三角形面积相等，但周长不一定相等，不可误认为周长同样相等。 6、三角形角平分线概念混淆 易错提醒：三角形的角平分线是线段，不是角的射线；一端位于三角形顶点，另一端落在对应对边上。 7、直角三角形锐角性质记忆错误 易错提醒：三角形内角和等于180；直角三角形两个锐角互余，两角之和等于90，不可记错角度数量关系。 8、三角形外角性质错用 易错提醒：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；外角大于任意一个不相邻的内角，计算时不能纳入相邻内角参与运算。 9、等腰三角形边长分类讨论未做检验 易错提醒：等腰三角形没有明确腰和底边时，必须对边长进行分类讨论；每一组结果都要用三边关系进行检验，舍去不能构成三角形的解。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形的识别与有关概念 ★ 题型二 三角形的个数问题 ★ 题型三 构成三角形的条件 ★ 题型四 确定第三边的取值范围 ★★ 题型五 三角形三边关系的应用 ★★ 题型六 大（小）边对大（小）角定理 ★★ 题型七 根据三角形中线求长度 ★★ 题型八 根据三角形中线求面积 ★★ 题型九 重心的概念 ★ 题型十 三角形角平分线的定义 ★ 题型十一 画三角形的高 ★ 题型十二 与三角形的高有关的计算问题 ★★ 题型十三 利用网格求三角形面积 ★★ 题型十四 垂心 ★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 三角形的识别与有关概念 1．观察下列图形，是三角形的是（     ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】根据三角形的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：因为由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，所以只有选项D符合题意． 2．在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的边角关系，利用三角形中大边对大角的性质，确定各边对应的对角，即可比较三个角的大小． 【详解】解：在任意三角形中，大边对大角，在中，边的对角为，边的对角为，边的对角为， ， ． 3．如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形中线的定义，解题的关键是掌握三角形顶点与对边中点的连线是三角形的中线．根据折叠的性质可得出，得出点E为中点，即可得出结论． 【详解】 解：∵将三角形纸片折叠，使点B，C重合， ∴， ∴线段是的中线， 故选：A． 题型二 三角形的个数问题 4．如图，在中，，图中以为高的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高，理解三角形的高定义是解题的关键． 由于于D，找出所有一边在直线上且以A为顶点的三角形即可解答． 【详解】解：∵于D， ∴图中有一边在直线上，且以A为顶点的三角形有， 共6个， ∴以为高的三角形有6个． 故选：D． 5．如图所示，图中共有三角形______个． 【答案】5/五 【详解】解：图中有：，，，，，共个． 6．在平面内，分别用根、根、根、根……火柴首尾依次相接（不能折断，且需全部用完），能搭成不同的三角形．小嘉发现用根、根、根火柴分别可以搭成如下表所示的三角形： 火柴数 示意图 以此类推，根火柴能搭成（     ）种不同的三角形． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及有序枚举的方法，不重不漏地找出所有满足周长为12的整数边长组合，并验证其能否构成三角形． 【详解】解：设三角形三边的火柴数为，均为正整数，． 总火柴数12根：． 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边： 又，所以是最大边， ． 的取值为：4、5 当时，，又，得， 当时， ， ， 或， 得到三组：、、 题型三 构成三角形的条件 7．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A，，不能组成三角形． B，，不能组成三角形． C，，不能组成三角形． D，，能组成三角形． 8．把25厘米长的吸管剪成3段，能围成三角形，如果每段都是整厘米数，有( )种不同的分法． 【答案】16 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可． 【详解】解：满足条件的三角形边长组合有： ，，，，，， ，，，，， ，，， ，， 共有种． 9．下列各线段能构成三角形的是（    ） A．7cm、5cm、12cm B．6cm、7cm、14cm C．9cm、5cm、11cm D．4cm、10cm、6cm 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系逐一判断即可 【详解】A、7+5=12，不能组成三角形，故本选项不符题意； B、6+7＜14，不能组成三角形，故本选项不符题意； C、9+5＞11，能组成三角形，故本选项符合题意； D、4+6=10，不能组成三角形，故本选项不符题意 故选：C 【点睛】本题考查了三角形三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成三角形． 题型四 确定第三边的取值范围 10．一个三角形两条边是、，第三条边不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设第三边长为，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，即可解答． 【详解】解：设第三边长为， 根据三角形的三边关系得，即， ∴x不能为11， ∴第三边不可能是． 11．如果长度分别为a，4，7的三条线段能组成一个三角形，那么a的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，即可求解的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系， ∵ 三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴ ， 计算得 ． 12．一个衣架的示意图如图所示，若，则衣架底部横杆的长可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由三角形三边关系得：，即， ∴衣架底部横杆的长可能为 ． 题型五 三角形三边关系的应用 13．如图，为估计池塘两岸间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得，，那么之间的距离不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”求解． 【详解】解：由题意知，点组成为角形， ∴， ∵， ∴， 只有不在范围内． 14．已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，找出范围内符合条件的正整数，统计其个数即可． 【详解】解：三角形三边长分别为，，， ，即， 为正整数， 可以为、、、、，共个． 15．如图，为了估计池塘岸边两点A，B之间的距离，小万同学在池塘的一侧选择一点O，测得，，则A，B两点之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系得出，根据的取值范围判断即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系定理得： ， 即：， ∴A、B的距离在和之间， ∴A、B之间的距离可能是． 题型六 大（小）边对大（小）角定理 16．在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中“大角对大边”的性质．根据三角形中“大角对大边”的性质，由可直接得出其对边的大小关系． 【详解】解：∵在中，（已知）， 又∵三角形中大角对大边， ∴， 故选：D． 17．如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 18．如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称、三角形的边角关系，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．先利用轴对称的性质、三角形的边角关系可得点与点重合，再根据轴对称的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是上一点， ∴点关于直线的对称点在上， 设点关于直线的对称点为点， 如图1，假设点在（不含点）上，连接， 由轴对称的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴在中，，在中，， ∴， ∴在中，， ∴，这与不符， ∴假设不成立，即点不在（不含点）上； 如图2，假设点在（不含点）上，连接， 同理可得：点不在（不含点）上； ∴点与点重合， ∴与关于直线对称，点的对应点是点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 题型七 根据三角形中线求长度 19．如图，已知点是的重心，连接并延长，交于点．若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】首先根据是的重心，可得是边上的中线，是的中点；然后根据，求出的长度是多少即可． 【详解】解：是的重心， 是边的中线，是的中点； 又， ． 20．如图是的中线，，把沿对折，使点落在点的位置，则与之间的关系是_________． 【答案】，且． 【分析】本题考查折叠性质、三角形的中线性质，熟练掌握各知识的灵活运用是解答的关键． 由折叠性质证明，，再由是的中线证得，则． 【详解】解：由折叠性质得：，， ∴， 即， ∵是的中线， ∴， ∴， 故答案为：，且． 21．如图，在中，是的中线，是的中线，，，垂足分别为，．若的周长为43，，，，则的长为（　　）    A．5 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】根据的周长和题中条件即可求出，再根据中线的性质即可求出，最后运用等面积法即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为43， ∴， ∵是的中线，是的中线， ∴，， ∵，即， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查简单几何中求线段长度，能够想到等面积法是关键． 题型八 根据三角形中线求面积  22．如图，为休闲公园，拟从顶点向路边修一条小路，使两块绿地和的面积相等，供老年人分区休憩聊天，则小路是的（     ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：∵从顶点向路边修一条小路，使两块绿地和的面积相等， ∴小路是的中线． 23．如图，，若，则________． 【答案】3 【分析】先求出，根据题意得，进而求出，即可求解． 【详解】解：，， ∴， ∵，且的边上的高是同一条高， ∴， ∴， ∴． 24．如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积和三角形的重心，解题的关键是掌握在高相等的情况下，面积比等于底之比． 延长交于，设，则根据重心的概念可得是中线，通过面积转换可得，，，，最后在中，求解x即可． 【详解】解：延长交于，如图， 设． ∵是的重心， ∴是中线， ∴D是中点，则和等底同高， ∴． ∴． ∵是中点， ∴ ． ∵， ∴ ， 又∵是中点，和等底同高， ∴ ∴ 解得， 在中， 解得， ∴ ， ∴． 故选A． 题型九 重心的概念 25．如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（   ）    A．三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B．三角形匀质薄板三边中线的交点 C．三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D．三角形匀质薄板三边上高的交点 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键． 支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三边中线的交点． 故选：B． 26．如图，O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是______． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识．三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到，由此即可求解． 【详解】解：∵O是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：6． 27．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】物体处于平衡状态被提起，说明提起的点是三角形的重心，即三条中线的交点，判断四个点中哪个点在中线上即可． 【详解】解：如图，由网格特点可得，点N是的中点，则是的中线， ∴的重心在上， ∴重心是点， 即在三角形硬纸片上选点C，在这个点处用细绳将其提起来，该三角形纸片处于平衡状态． 题型十 三角形角平分线的定义 28．如图，在中，为的平分线，下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：为的平分线， ， 不能得到，，． 29．如图所示，的两条角平分线相交于点，过点作EFBC，交于点，交于点，若的周长为，则______cm． 【答案】30 【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义得到，证出，同理，则的周长即为，可得出答案． 【详解】解：， ， 平分， ， 同理：， 即 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，证出，是解题的关键． 30．如图，在中，，，是边上两点，，平分，下列说法中不正确的是（　　） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线、中线和高，根据三角形角平分线、中线和高等概念逐一判断即可，掌握三角形角平分线、中线和高有关概念是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴是的中线，原选项说法正确，不符合题意； 、∵平分， ∴是的角平分线，原选项说法正确，不符合题意； 、∵平分， ∴， 但无法得到，原选项说法错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴是的高，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 题型十一 画三角形的高 31．下面四个图形中，线段是的高的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题突破口为三角形高的定义，即从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 【详解】∵ 线段 是 的高 ， ∴ ． A选项中 ，不符合题意． B选项中 ，不符合题意． C选项中 ，不符合题意． D选项中 ，符合题意． 32．如图，点在同一条直线上，在中，边上的高是线段________． 【答案】/ 【分析】根据三角形高线的定义，求解即可，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高． 【详解】解：由三角形高线的定义可得：中，边上的高是线段． 33．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质和三角形的高的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、由折叠可得，则是的角平分线，不合题意； B、由折叠可得，则，但无法得到，故不是的高，不合题意； C、由折叠可得，但无法得到，不合题意； D、由折叠可得，则，故是的高，符合题意． 题型十二 与三角形的高有关的计算问题 34．如图，在中，，，，，则的边上的高线为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高的相关计算，根据等面积法即可求解． 【详解】解：设的边上的高线为， 依题意， ∴ 故选：A． 35．如图，，分别是的高，，，，______． 【答案】 【分析】根据三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵，分别是的高， ∴， ∵，，， ∴． 36．如图，在中，，，于点，于点，与交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理与三角形高线的性质，解题的关键是利用三角形高线交于一点的性质，结合直角三角形的角的关系计算角度． 先由三角形内角和求出的度数，再根据三角形三条高线交于一点得出，最后结合直角三角形的两个锐角互余，计算出的度数． 【详解】解：延长交于点M， 因为，， 所以． 因为，，与交于F， 根据“三角形的三条高线交于一点”，可得也是的一条高，即， 所以， 所以． 故选：B． 题型十三 利用网格求三角形面积  37．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，以A、B、C为顶点的三角形的面积为1，则点C的个数为（点C在格点上）（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查借助网格求面积，根据题意，画出点的位置，利用数形结合的思想，进行求解即可． 【详解】解：由题意，画图如下： 由图可知：共有8个； 故选D． 38．如图，边长为的三个正方形顺次排列，则三角形的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了求阴影部分面积，由，然后代入即可求解，掌握三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图， 由 ， 故答案为：． 39．如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积计算．利用等积法求解是解题关键．由图可知，且其边上的高为，即可求出．由勾股定理可求出，设边上的高为x，结合三角形面积公式可列出关于x的方程，解出x的值即可． 【详解】解：由图可知，且其边上的高为2， ∴． 由图可知， 设边上的高为x， ∴， ∴， 解得：， ∴边上的高是． 故选：B． 题型十四 垂心 40．下列说法不正确的是（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 B．锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部 C．直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点 D．钝角三角形三条边的垂直平分线的交点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部 【答案】D 【分析】根据三角形三条边的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】A、三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故正确； B、锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部，故正确； C、直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点，故正确； D、钝角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，故错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形三条边的垂直平分线的性质，熟练掌握三角形三条边的垂直平分线的性质是解题的关键． 41．如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，由三角形面积公式推出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，，与交于点， ∴（三角形三条高所在的直线交于一点）， ∵， ∵，，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形的性质，熟知三角形三条高所在的直线交于一点是解题的关键． 42．如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据锐角三角形的三条高交于一点，判断出为边上的高，利用等面积法建立方程求解即可． 【详解】解：是的两条高，且相交于点， ∴也是的高 ， ， ， ， ， ． 解答题 1．若一个三角形三边的长互不相等，且其边长，，满足（为最长边，为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边的长分别为7，5，4．∵，∴这个三角形为“不均衡三角形”． (1)下列长度的小木棍中，能组成“不均衡三角形”的是 （填序号） ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． (2)若一个“不均衡三角形”三边的长分别为，，；求出的整数值． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了新定义、三角形的三边关系以及解不等式，掌握新定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】（1）解：①， ，，不能组成三角形； ②， ，，能组成“不均衡三角形”； ③， ，，不能组成“不均衡三角形”； ④， ，，不能组成“不均衡三角形”； 故答案为：②； （2）解：因为，分情况讨论： 当为最长边时，即，解得， ， 解得， 三角形是“不均衡三角形”， ， 解得， ， 无符合条件的整数解； 当为最长边时，即，解得， ，恒成立， 三角形是“不均衡三角形”， ， 解得， ， 无符合条件的整数解； 当为最短边时，即，解得， ，恒成立， 三角形是“不均衡三角形”， ， 解得， ， 有符合条件的整数解； （为整数）． 2．已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简； (2)若a，b满足 ①求c的取值范围； ②若c为小于7的奇数，求的周长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据三角形的三边关系得到：，，根据绝对值的性质进行化简，即可求解； （2）①由解方程组求出，，根据三角形三边关系求出c的取值范围； ②根据题意确定c的值，根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：（1）的三边长为a，b，c， ， ，， ，， ∴原式 ． （2）解：①方程组， ①+②，得， ， ②-①，得， ，； ②由①可知，，， ∵c为小于7的奇数，∴c为3或5， ∴的周长为或． 【点睛】熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 3．如图，已知：在中，，是边上的中线．求证：． 【答案】证明：把绕点顺时针旋转到的位置，如图， ∴，而， ∴， ∴， 所以． 【分析】把绕点顺时针旋转到的位置，则，进而得到，，然后可得． 【详解】略 4．如图，、分别为的边上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1)30 (2)24 【分析】（1）先根据中线的定义得到的长度，然后根据三角形面积公式解答即可； （2）先根据中线的性质可知，然后根据三角形面积公式，据此即可求得的长． 【详解】（1）解：是的边上的中线，，， ， 的面积为； （2）解：由题意得， ，， ． 5．如图，在中，是高，于点，是的角平分线，且，试说明：． 【答案】解：是高，， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ． 【分析】先说明，根据平行线的性质，可得，，再根据角平分线的定义，说明，等量代换即可． 【详解】略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $