专题09变量与函数及一次函数概念专题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题09变量与函数及一次函数概念专题通关讲义 知识点01:常量与变量 1.定义 常量：在某一变化过程中，数值始终不变的量； 变量：在某一变化过程中，数值可以发生变化的量。 2.自变量与因变量 在两个相关变量中，主动变化的量叫自变量；随自变量变化而唯一确定的量叫因变量（也叫函数）。 3.举例：路程公式 s=60t，速度 60 是常量；时间t是自变量，路程s是因变量。 知识点02:函数的概念（本章核心，必考定义） 1. 函数严格定义 在某个变化过程中，存在两个变量x、y，如果对于x在允许取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么称y是x的函数。 x：自变量 y：因变量（函数） 2. 函数判断标准（重中之重） 3.函数的三种表示方法 知识点03:自变量取值范围（必考） 取值原则：既要满足代数式有意义，也要贴合实际问题现实逻辑。 知识点04:函数值 定义：当自变量x取一个确定的值时，代入解析式计算得到的y值，叫做函数值。. 求函数值步骤 (1)将已知自变量的值代入解析式；(2)根据代数式运算法则计算；(3)得出对应的函数值。 知识点05:一次函数与正比例函数定义 1.一次函数 形如 y=kx+b(k、b)为常数，k≠0）的函数，x是自变量，y是x的一次函数。 2.正比例函数 当一次函数中 b=0 时，式子简化为 y=kx（k为常数，(k≠0），叫做正比例函数。 3.二者从属关系：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 左图一次函数 右图正比例函数 4.一次函数判定步骤 (1)整理式子，化为y=含x项+常数的形式； (2)x的最高次数必须为 1； (3)x的系数k不能等于 0； (4)满足以上两点即为一次函数；常数项b=0时为正比例函数。 举例判断 y=3x：k=3≠0，b=0 → 正比例函数（也是一次函数） y=-2x+5：k=-2≠0，b=5 → 普通一次函数 y=x2+1：x次数为 2 → 不是一次函数 y=：x在分母，次数-1 → 不是一次函数 5.含参数的一次函数求值题型（难点） 解题核心：根据定义列出限制条件，联立方程求解字母。 例：已知y=(m-2)x+3是一次函数，求m取值 解：一次函数要求k≠0，即m-2≠0，得m≠2。 知识点6:函数图象的画法（三步） 1.描点法作图 2.从图象获取信息 看起点 / 终点：初始 / 结束状态； 看增减性：上升（y随x增大而增大）、下降（y随x增大而减小）； 看交点：两函数值相等的点； 看特殊点：最值点、与坐标轴交点。 1、变量与常量识别判断错误 易错提醒：同一变化过程中，可以改变的量为变量，数值固定不变的量为常量；常量可以是负数、分数，并不局限于正数；变量与常量是相对指定变化过程而言，脱离该过程无法完成区分。 2、函数概念判定忽略唯一对应关系 易错提醒：函数判定的核心标准：自变量每取一个确定的值，因变量有且仅有唯一值与之对应；允许一个因变量值对应多个自变量值，但一个自变量值不能对应多个因变量值，以此作为判断函数关系的依据。 3、自变量、因变量相互混淆 易错提醒：主动发生改变的量是自变量，随自变量变化而跟随改变的量为因变量；审题阶段先区分两类量，不可颠倒二者的对应关系，防止解题结果答非所问。 4、求解自变量取值范围考虑不周全 易错提醒：代数式形式：分式要求分母不为0，二次根式要求被开方数≥0；实际情境还需要符合现实客观意义，如人数、长度不能取负值；综合所有约束条件确定自变量取值范围，不可遗漏任意一项限制。 5、一次函数判定遗漏k≠0前提条件 易错提醒：一次函数表达式y=kx+b，判定一次函数必须满足k≠0；当k=0时，解析式化为y=b，属于常值函数，不再是一次函数，不能仅观察解析式表面形式直接下结论。 6、正比例函数和一次函数从属关系混淆 易错提醒：当b=0、k≠0时，一次函数退化为正比例函数y=kx；正比例函数属于特殊的一次函数，但普通一次函数未必是正比例函数，分清二者包含关系。 7、未化简解析式直接判断函数类型 易错提醒：判断函数类别时，应先对解析式完成化简，再开展判定；不可直接依据原式表面形式下定论；化简结束后仍然要核验k≠0这个限制条件。 8、实际问题列解析式未标注自变量取值范围 易错提醒：根据实际情境写出一次函数解析式之后，必须配套写出自变量对应的取值范围；不可直接默认自变量可以取全体实数。 题型 考察方向 难度 题型一 函数的概念 ★ 题型二 函数解析式 ★ 题型三 求自变量的取值范围 ★★ 题型四 求自变量的值或函数值 ★ 题型五 用表格表示变量间的关系 ★ 题型六 用关系式表示变量间的关系 ★★ 题型七 用图象表示变量间的关系 ★★ 题型八 函数图象识别 ★★ 题型九 从函数的图象获取信息 ★★ 题型十 用描点法画函数图象 ★ 题型十一 动点问题的函数图象 ★★★ 题型十二 函数的三种表示方法 ★ 题型十三 正比例函数的定义 ★ 题型十四 识别一次函数 ★ 题型十五 根据一次函数的定义求参数 ★★ 题型十六 列一次函数解析式并求值 ★★★ 题型十七 求一次函数解析式 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 函数的概念 1．在火箭升空过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少，上述过程中，自变量是（    ） A．火箭质量 B．燃料的体积 C．火箭 D．火箭飞行高度 2．下列图象中，y不是x的函数的是（     ） A． B．C．D． 3．下列关系中，y不是x的函数是（ ） A． B． C． D． 题型二 函数解析式 4．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高千米温度下降，则山上距离地面竖直高度千米处的温度为（    ） A． B． C． D． 5．超市某种散装糖果的价格为30元，如果一次购买以上的糖果，超过部分的糖果价格打7折．设购买糖果的质量为（），付款金额为元，则关于的函数解析式是________． 6．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省后两个季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（    ）． A． B． C． D． 题型三 求自变量的取值范围 7．函数的自变量x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．在函数中，自变量x的取值范围为_____． 9．函数中的取值范围为___________． 题型四 求自变量的值或函数值 10．在函数中，当时，y的值为__________． 11．已知某函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 5 9 5 … 则可以表示以上变化过程的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 12．根据如图所示程序计算函数值，若输入的x值为，则输出的函数值y为________． 题型五 用表格表示变量间的关系 13．如图是李师傅某次给汽车加油时，加油机上的数据显示牌，其中的常量是（     ） 金额 143.64元 数量 18L 单价 7.98元/L A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和单价 14．2026年5月，我国科考团队升级新一代“极目三号”浮空艇，再次奔赴珠峰区域开展高空大气环境长期观测．下表记录了科考站不同海拔测量点的海拔高度（米）与对应实时气温（）的一组观测数据： 海拔高度/米 4270 5270 6270 7270 … 气温 … 根据表格数据，若浮空艇上升到某高度时，监测仪显示实时气温为，此时该观测位置的海拔高度__________米． 15．某快递公司同城快递的收费标准见下表（寄送物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（     ） A．寄送物品的质量越重，快递费用就越高 B．当寄送物品的质量为时，快递费用为元 C．估计当寄送物品的质量为时，快递费用为元 D．寄送物品的质量每增加，快递费用增加元 题型六 用关系式表示变量间的关系 16．用长为的篱笆围成一个长方形场地，设这个长方形场地的一边长为，周长为，面积为．则其中的变量是（   ） A．a，L B．L，S C．a，S D．a，L，S 17．下面是小明对某地某一时刻距离地面的高度与温度测量得到的表格．根据数据可得随变化的关系式是____． 距离地面高度   0 1 2 3 4 …… 温度 20 14 8 2 …… 18．在《音乐与数学》项目式学习的“律制探究”环节，各小组研究了十二平均律的数学原理．已知十二平均律将一个八度（频率比）等分为个半音．组员在推导“密率”（相邻两个音的后者与前者的频率比）时，列出了以下四种关系式，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型七 用图象表示变量间的关系 19．一个有进水管和出水管的空水塔，开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．下列能大致反映水塔内的水量（单位：）与时间（单位：）之间关系的图象的是（    ） A． B． C． D． 20．在标准大气压下，用电热水壶加热一壶水，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，从开始加热到放入茶叶后一段时间内，茶水的温度（单位：）与时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．已知该茶水在时饮用口感最佳，若按照上述程序冲泡一壶该茶水，并从开始加热时计时，则下列说法不正确的有_____（填序号）． ①还没开始加热时，水的温度是； ②加热分钟时水温上升了； ③加热分钟时水沸腾； ④若在口感最佳时饮用，需要在水沸腾加入茶叶后等待分钟． 21．如图，把一个长方体铁块嵌在透明圆柱形容器内，向容器内均匀注水，注满为止，那么容器内水面的高度h（单位：）与注水时间t（单位：s）之间的关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型八 函数图象识别 22．下列各曲线中表示是的函数的是（     ） A． B． C．D． 23．为缅怀先烈，某中学组织学生代表前往八路军西安办事处纪念馆参观．队伍从学校出发，乘坐大巴抵达纪念馆，随即在馆内聆听讲解．讲解结束后，师生按原路匀速返程．下列选项中能较好地刻画队伍离学校的距离与时间之间的关系的是（     ） A． B．C．D． 24．某游泳池有二阶游泳区域，其截面示意图如图所示（阴影部分是实心台阶），向空池匀速注水（到虚线位置停止）时，游泳池的水面高度h（m）与注水时间t（min）的函数图象大致为（     ） A． B．C．D． 题型九 从函数的图象获取信息 25．随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司，往返过程中行驶速度保持不变．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程（米）与时间的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为（     ） A．4 B．8 C．10 D．16 26．甲、乙两辆汽车从城出发前往城．在整个行驶过程中，两车离开城行驶的路程与甲车行驶的时间的对应关系如图所示．（1）甲车的平均速度是_________；（2）图中_________． 27．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（     ） A．小数比小文先出发 B．小文提速后的速度为 C． D．从小数出发至送餐结束，小数和小文最远相距 题型十 用描点法画函数图象 28．下列各坐标表示的点中，在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 29．在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 30．在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 题型十一 动点问题的函数图象 31．如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动到点C，图2是点P运动时线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则的面积为________．      32．如图1，在中，，，动点从点沿运动到点再沿运动到点后停止，速度为．其中的面积与运动时间的关系如图2，则的直角边长为___________． 33．某公交车匀速通过一条隧道．公交车在隧道内的车身长度（单位：）与它的行驶时间（单位：）之间的关系如图所示．则下列说法：①公交车车身长为；②公交车行驶速度为；③公交车车身全部在隧道内的行驶时间为；④这条隧道长为．其中正确的说法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十二 函数的三种表示方法 34．下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（  ） A．记录某病人一天内不同时刻的体温 B．反映某城市一年中各月份的平均降雨量 C．用公式计算圆柱高h一定的情况下的体积V与底面半径r之间的关系 D．展示某运动员在100米比赛中速度随时间的变化 35．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 36．农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分，我县某村要铺设一条全长为1000米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管道施工x天与铺设管道y米之间的关系用表格表示如下，则施工8天后，未铺设的管道长度为__米． 时间（x天） 1 2 3 4 5 … 管道长度（y米） 20 40 60 80 100 … 题型十三 正比例函数的定义 37．正比例函数中，比例系数为_________． 38．若函数是正比例函数（为常数），则的值为________． 39．已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，则当时，的值为_____． 题型十四 识别一次函数 40．下列函数中，是的一次函数的是（     ） A． B． C． D． 41．下列函数关系式中，属于一次函数的是（    ） A．y＝－1 B．y＝x2＋1 C．y＝kx＋b（k、b是常数） D．y＝1－2x 42．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 E．1 题型十五 根据一次函数的定义求参数 43．若函数是关于x的一次函数，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 44．函数，（为不等于的常数）恒经过点______． 45．点在直线上，则代数式的值是______． 题型十六 列一次函数解析式并求值 46．若点在直线上，则______． 47．下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．若温度的变化是均匀的，则18分钟时的温度是______ °C． 时间/分钟 0 5 10 15 20 25 温度/°C 10 25 40 55 70 85 48．对于一次函数（k，b为常数，）下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） 0 1 2 3 2 5 8 12 14 A．2 B．5 C．8 D．12 题型十七 求一次函数解析式 49．正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 50．一盏香薰点燃后剩余的高度与燃烧时间的关系如下表．若香薰燃烧时间为，估计剩余的高度是_________． 燃烧时间 0 1 2 剩余的高度 12 10 8 51．如图，已知等腰直角的顶点B，C分别在x、y轴上，，点B的坐标是，C的坐标是，则直线的函数关系式为____________． 解答题 1．某水果店售卖草莓，售价固定，每日销售额随售卖时长变化而变化．设售卖时长为小时（自变量），销售额为元（因变量），部分售卖数据如下表： 售卖时长（小时） 1 2 3 4 销售额（元） 80 160 240 320 (1)根据表格数据，写出与的变量关系式； (2)分析销售额随售卖时长的变化趋势； (3)若当日草莓全部售完用时6.5小时，求当日总销售额； (4)若当日固定成本为150元，求售卖5小时的纯利润． 2．新定义：为函数（a，b，c为实数）的“关联数”．若“关联数”为的函数为一次函数，试求m的值． 3．某银行一年期存款利率为，记存入的本金为x元，一年到期时的本息和为y元． (1)写出y关于x的函数解析式； (2)存入10000元，一年到期时的本息和是多少元？ 4．天府新区兴隆湖水上运动项目体验活动自今年1月面向大众开放以来，受到游客广泛关注及好评．一艘皮划艇和一艘电动艇沿同一线路从游客中心同时出发驶往白泽台码头，两船均匀速行驶（电动艇速度大于皮划艇速度），在行驶过程中，皮划艇休整了10分钟后按原速度继续行驶．两船之间的距离与时间的关系部分图象如图所示，当时，电动艇到达白泽台码头． (1)求电动艇的速度； (2)若两船到达白泽台码头后均停止行驶，求皮划艇在整个过程中共用了多少时间，并补全图象； (3)若电动艇到达白泽台码头后立即调头在原速度基础上降速行驶与皮划艇汇合，汇合后两船停止行驶．在整个行驶过程中，当电动艇行驶的路程是皮划艇行驶路程的2倍时，电动艇行驶的时间是多少? 5．小王骑摩托车从甲地去乙地，小李开汽车从乙地去甲地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，两人间的距离与小王行驶的时间之间的关系如图所示． (1)以下是点、点、点所代表的实际意义，请选择、、填入对应的横线上． ①两人相遇________，②小李到达终点________； (2)甲乙两地之间的路程为________千米； (3)求小王、小李各自的速度； (4)求两人相距千米时的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09变量与函数及一次函数概念专题通关讲义 知识点01:常量与变量 1.定义 常量：在某一变化过程中，数值始终不变的量； 变量：在某一变化过程中，数值可以发生变化的量。 2.自变量与因变量 在两个相关变量中，主动变化的量叫自变量；随自变量变化而唯一确定的量叫因变量（也叫函数）。 3.举例：路程公式 s=60t，速度 60 是常量；时间t是自变量，路程s是因变量。 知识点02:函数的概念（本章核心，必考定义） 1. 函数严格定义 在某个变化过程中，存在两个变量x、y，如果对于x在允许取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么称y是x的函数。 x：自变量 y：因变量（函数） 2. 函数判断标准（重中之重） 3.函数的三种表示方法 知识点03:自变量取值范围（必考） 取值原则：既要满足代数式有意义，也要贴合实际问题现实逻辑。 知识点04:函数值 定义：当自变量x取一个确定的值时，代入解析式计算得到的y值，叫做函数值。. 求函数值步骤 (1)将已知自变量的值代入解析式；(2)根据代数式运算法则计算；(3)得出对应的函数值。 知识点05:一次函数与正比例函数定义 1.一次函数 形如 y=kx+b(k、b)为常数，k≠0）的函数，x是自变量，y是x的一次函数。 2.正比例函数 当一次函数中 b=0 时，式子简化为 y=kx（k为常数，(k≠0），叫做正比例函数。 3.二者从属关系：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 左图一次函数 右图正比例函数 4.一次函数判定步骤 (1)整理式子，化为y=含x项+常数的形式； (2)x的最高次数必须为 1； (3)x的系数k不能等于 0； (4)满足以上两点即为一次函数；常数项b=0时为正比例函数。 举例判断 y=3x：k=3≠0，b=0 → 正比例函数（也是一次函数） y=-2x+5：k=-2≠0，b=5 → 普通一次函数 y=x2+1：x次数为 2 → 不是一次函数 y=：x在分母，次数-1 → 不是一次函数 5.含参数的一次函数求值题型（难点） 解题核心：根据定义列出限制条件，联立方程求解字母。 例：已知y=(m-2)x+3是一次函数，求m取值 解：一次函数要求k≠0，即m-2≠0，得m≠2。 知识点6:函数图象的画法（三步） 1.描点法作图 2.从图象获取信息 看起点 / 终点：初始 / 结束状态； 看增减性：上升（y随x增大而增大）、下降（y随x增大而减小）； 看交点：两函数值相等的点； 看特殊点：最值点、与坐标轴交点。 1、变量与常量识别判断错误 易错提醒：同一变化过程中，可以改变的量为变量，数值固定不变的量为常量；常量可以是负数、分数，并不局限于正数；变量与常量是相对指定变化过程而言，脱离该过程无法完成区分。 2、函数概念判定忽略唯一对应关系 易错提醒：函数判定的核心标准：自变量每取一个确定的值，因变量有且仅有唯一值与之对应；允许一个因变量值对应多个自变量值，但一个自变量值不能对应多个因变量值，以此作为判断函数关系的依据。 3、自变量、因变量相互混淆 易错提醒：主动发生改变的量是自变量，随自变量变化而跟随改变的量为因变量；审题阶段先区分两类量，不可颠倒二者的对应关系，防止解题结果答非所问。 4、求解自变量取值范围考虑不周全 易错提醒：代数式形式：分式要求分母不为0，二次根式要求被开方数≥0；实际情境还需要符合现实客观意义，如人数、长度不能取负值；综合所有约束条件确定自变量取值范围，不可遗漏任意一项限制。 5、一次函数判定遗漏k≠0前提条件 易错提醒：一次函数表达式y=kx+b，判定一次函数必须满足k≠0；当k=0时，解析式化为y=b，属于常值函数，不再是一次函数，不能仅观察解析式表面形式直接下结论。 6、正比例函数和一次函数从属关系混淆 易错提醒：当b=0、k≠0时，一次函数退化为正比例函数y=kx；正比例函数属于特殊的一次函数，但普通一次函数未必是正比例函数，分清二者包含关系。 7、未化简解析式直接判断函数类型 易错提醒：判断函数类别时，应先对解析式完成化简，再开展判定；不可直接依据原式表面形式下定论；化简结束后仍然要核验k≠0这个限制条件。 8、实际问题列解析式未标注自变量取值范围 易错提醒：根据实际情境写出一次函数解析式之后，必须配套写出自变量对应的取值范围；不可直接默认自变量可以取全体实数。 题型 考察方向 难度 题型一 函数的概念 ★ 题型二 函数解析式 ★ 题型三 求自变量的取值范围 ★★ 题型四 求自变量的值或函数值 ★ 题型五 用表格表示变量间的关系 ★ 题型六 用关系式表示变量间的关系 ★★ 题型七 用图象表示变量间的关系 ★★ 题型八 函数图象识别 ★★ 题型九 从函数的图象获取信息 ★★ 题型十 用描点法画函数图象 ★ 题型十一 动点问题的函数图象 ★★★ 题型十二 函数的三种表示方法 ★ 题型十三 正比例函数的定义 ★ 题型十四 识别一次函数 ★ 题型十五 根据一次函数的定义求参数 ★★ 题型十六 列一次函数解析式并求值 ★★★ 题型十七 求一次函数解析式 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 函数的概念 1．在火箭升空过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少，上述过程中，自变量是（    ） A．火箭质量 B．燃料的体积 C．火箭 D．火箭飞行高度 【答案】D 【详解】解：变化过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少，可知火箭飞行高度为自变量． 2．下列图象中，y不是x的函数的是（     ） A． B．C．D． 【答案】B 【分析】函数要求对自变量x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应．用竖直的直线去截图象，若直线与图象有两个或两个以上的交点，则y不是x的函数．逐一判断即可． 【详解】A、任意一条竖直线与图象最多只有一个交点， 故y是x的函数； B、图象中存在一条竖直线与图象交于两个点， 故y不是x的函数； C、任意一条竖直线与图象最多只有一个交点， 故y是x的函数； D、任意一条竖直线与图象最多只有一个交点， 故y是x的函数． 3．下列关系中，y不是x的函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义：对于 x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，结合图象利用“垂线法”进行判断即可． 【详解】解：A、作垂直于x 轴的直线，与图象有两个交点，即对于同一个 x值，有两个y值与之对应 ，不符合定义，不是的函数，故选项符合题意； B、作垂直于x 轴的直线，与图象都只有一个交点，即对于同一个 x值，都只有一个y值与之对应 ，符合定义，是的函数，该选项不合题意； C、作垂直于x 轴的直线，与图象都只有一个交点，即对于同一个 x值，都只有一个y值与之对应 ，符合定义，是的函数，该选项不合题意； D、作垂直于x 轴的直线，与图象都只有一个交点，即对于同一个 x值，都只有一个y值与之对应 ，符合定义，是的函数，该选项不合题意． 题型二 函数解析式 4．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高千米温度下降，则山上距离地面竖直高度千米处的温度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的地面温度，以及温度随海拔的变化规律，列出对应关系式即可． 【详解】解：∵ 地面温度为，每升高1千米温度下降， ∴ 高度为千米处，温度一共下降， ∴ 该处温度． 5．超市某种散装糖果的价格为30元，如果一次购买以上的糖果，超过部分的糖果价格打7折．设购买糖果的质量为（），付款金额为元，则关于的函数解析式是________． 【答案】 【分析】根据单价乘以重量等于价格，将不超过的价格加上超过的价格即可得到函数解析式． 【详解】解：当时，． 6．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省后两个季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】第三季度总产值为7.9(1+x) 千亿元，第四季度总产值为， 根据y是第三季度和第四季度的产值和计算即可． 【详解】∵第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省后两个季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x， ∴第三季度总产值为7.9(1+x) 千亿元，第四季度总产值为， ∴y=7.9(1+x)+ ， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了增长率问题，熟练掌握增长率的计算方法是解题的关键． 题型三 求自变量的取值范围 7．函数的自变量x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不等于得到，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， 解得， 故选：D． 8．在函数中，自变量x的取值范围为_____． 【答案】全体实数 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围计算，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且， 故自变量x的取值范围为全体实数， 故答案为：全体实数． 9．函数中的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查了函数的定义域，熟知定义域的概念是解题的关键．根据根式的被开方数非负、零次幂的底数不为零以及分母不为零，求定义域即可． 【详解】解：要使函数 有意义，需满足以下条件： 1. 根式的被开方数，解得． 2. 零次幂 的底数，解得． 3. 分母．当 时，，此时分母为，因此 ，即． 综上，定义域为， 故答案为：． 题型四 求自变量的值或函数值 10．在函数中，当时，y的值为__________． 【答案】5 【分析】将代入给定的函数解析式计算，即可得到的值． 【详解】解：把代入， 得． 11．已知某函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 5 9 5 … 则可以表示以上变化过程的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查函数表示法，通过代入给定的x值计算y值，验证哪个函数解析式匹配所有对应值. 【详解】解：A、当时，，故此函数解析式不符合题意； B、当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合； C、当时，故此函数解析式不符合题意； D、当时，，故此函数解析式不符合题意． 故选：B． 12．根据如图所示程序计算函数值，若输入的x值为，则输出的函数值y为________． 【答案】 【分析】先判断输入所属的取值区间，再代入对应区间的函数解析式计算的值． 【详解】解：，满足，因此选用解析式， 将代入，． 题型五 用表格表示变量间的关系 13．如图是李师傅某次给汽车加油时，加油机上的数据显示牌，其中的常量是（     ） 金额 143.64元 数量 18L 单价 7.98元/L A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和单价 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量的概念，在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量，只需判断各量是否变化即可得到结论. 【详解】∵ 加油过程中，加油数量可变化，金额会随加油数量的变化而变化，只有单价始终保持固定不变， ∴ 常量是单价. 14．2026年5月，我国科考团队升级新一代“极目三号”浮空艇，再次奔赴珠峰区域开展高空大气环境长期观测．下表记录了科考站不同海拔测量点的海拔高度（米）与对应实时气温（）的一组观测数据： 海拔高度/米 4270 5270 6270 7270 … 气温 … 根据表格数据，若浮空艇上升到某高度时，监测仪显示实时气温为，此时该观测位置的海拔高度__________米． 【答案】 【分析】观察数据可得，海拔高度每升高米，气温下降，先计算目标气温比初始气温下降的度数，再求对应的海拔升高量，最后得到总海拔高度． 【详解】解：由表格数据可知，海拔每增加米，气温降低， 目标气温为，对比米处的气温，气温下降量为：， 下降对应的海拔升高量为：米， 因此该位置的总海拔高度为：米． 15．某快递公司同城快递的收费标准见下表（寄送物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（     ） A．寄送物品的质量越重，快递费用就越高 B．当寄送物品的质量为时，快递费用为元 C．估计当寄送物品的质量为时，快递费用为元 D．寄送物品的质量每增加，快递费用增加元 【答案】D 【分析】先计算相邻质量对应的费用差值，得到费用增量规律，再判断各选项正误． 【详解】解：选项A：由表格数据可知，寄送物品质量越大，快递费用越高，A说法正确； 选项B：查表得，寄送物品质量为时，快递费用为元，B说法正确； 选项C：由表格规律，每增加，费用增加元，故估计质量为时，费用为元，C说法正确； 选项D：寄送物品质量每增加，快递费用增加元，不是元，D说法不正确． 题型六 用关系式表示变量间的关系 16．用长为的篱笆围成一个长方形场地，设这个长方形场地的一边长为，周长为，面积为．则其中的变量是（   ） A．a，L B．L，S C．a，S D．a，L，S 【答案】C 【详解】解：∵篱笆总长为， ∴，为常量； ∵长方形一边长为，则另一边得长为， ∴面积，可取不同数值，随的变化而变化，故变量为和． 17．下面是小明对某地某一时刻距离地面的高度与温度测量得到的表格．根据数据可得随变化的关系式是____． 距离地面高度   0 1 2 3 4 …… 温度 20 14 8 2 …… 【答案】 【分析】观察表格可知，当增加1时，减小6，即可得到关系式． 【详解】解：由表格可知，当增加1时，减小6， ∴． 18．在《音乐与数学》项目式学习的“律制探究”环节，各小组研究了十二平均律的数学原理．已知十二平均律将一个八度（频率比）等分为个半音．组员在推导“密率”（相邻两个音的后者与前者的频率比）时，列出了以下四种关系式，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，总频率比为2，相邻两个音频率比为，12个半音对应12次相邻比例相乘，即可推导得到正确关系式． 【详解】解：设第一个音的频率为， ∵相邻两个音的后者与前者的频率比为， ∴经过12次相邻变化后，最终频率为， 又∵一个八度的总频率比为，即最终频率为初始频率的2倍， ∴，即． 题型七 用图象表示变量间的关系 19．一个有进水管和出水管的空水塔，开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．下列能大致反映水塔内的水量（单位：）与时间（单位：）之间关系的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵开始内只进水不出水，每分钟的进水量是常数， ∴前10分钟水量匀速增加，图象是一条倾斜上升的直线； 由选项C，D可得，水塔内的水量继续增多， ∵在随后的内既进水又出水，出水量是常数， ∴图象是一条倾斜上升的直线，但倾斜程度要比第一段平缓． ∴C选项符合题意． 20．在标准大气压下，用电热水壶加热一壶水，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，从开始加热到放入茶叶后一段时间内，茶水的温度（单位：）与时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．已知该茶水在时饮用口感最佳，若按照上述程序冲泡一壶该茶水，并从开始加热时计时，则下列说法不正确的有_____（填序号）． ①还没开始加热时，水的温度是； ②加热分钟时水温上升了； ③加热分钟时水沸腾； ④若在口感最佳时饮用，需要在水沸腾加入茶叶后等待分钟． 【答案】①②④ 【详解】解：由题图可知，还没开始加热时，水的温度是，故①不正确，符合题意； 加热分钟时，水温上升了，故②不正确，符合题意； （分钟）， ∴加热分钟时水沸腾，故③正确，不符合题意； 由题图可知，当时，， （分钟）， ∴若在口感最佳时饮用，需要在水沸腾加入茶叶后等待分钟，故④不正确，符合题意． 综上，说法不正确的有①②④． 21．如图，把一个长方体铁块嵌在透明圆柱形容器内，向容器内均匀注水，注满为止，那么容器内水面的高度h（单位：）与注水时间t（单位：s）之间的关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可知，按一定的速度向容器内均匀注水， 所以函数图象均为匀速上升， 由此可排除B，D选项， 刚开始时由于实心长方体在水槽里，注水部分的底面积为圆柱体容器的底面积减去长方体的底面积，水面上升的速度较快，水淹没实心长方体后一直到水注满，底面积是圆柱体的底面积，水面上升的速度较慢，故排除A选项，选项C符合题意． 题型八 函数图象识别 22．下列各曲线中表示是的函数的是（     ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义逐个分析判断即可． 【详解】解：观察图象可知，选项A、B、D，存在的值，有2个值与之对应，故不是的函数，即A、B、D不符合题意； 选项C，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意． 23．为缅怀先烈，某中学组织学生代表前往八路军西安办事处纪念馆参观．队伍从学校出发，乘坐大巴抵达纪念馆，随即在馆内聆听讲解．讲解结束后，师生按原路匀速返程．下列选项中能较好地刻画队伍离学校的距离与时间之间的关系的是（     ） A． B．C．D． 【答案】D 【分析】将整个过程分为去程、停留、返程三个阶段，分析各阶段离学校的距离随时间的变化趋势即可． 【详解】解：第一阶段，队伍从学校出发前往纪念馆，离学校的距离随时间增加而增大，图像呈上升趋势； 第二阶段，在馆内聆听讲解，队伍位置不变，离学校的距离保持不变，图像呈水平线段； 第三阶段，师生按原路匀速返程，离学校的距离随时间增加而减小，直至回到学校距离为0，图像呈下降趋势． 观察各选项，只有D选项图像符合上述变化过程． 24．某游泳池有二阶游泳区域，其截面示意图如图所示（阴影部分是实心台阶），向空池匀速注水（到虚线位置停止）时，游泳池的水面高度h（m）与注水时间t（min）的函数图象大致为（     ） A． B．C．D． 【答案】B 【分析】看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系为先快后慢． 【详解】解：根据题意和图形的形状，可知水的深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢，只有选项B符合题意． 题型九 从函数的图象获取信息 25．随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司，往返过程中行驶速度保持不变．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程（米）与时间的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为（     ） A．4 B．8 C．10 D．16 【答案】A 【分析】先求出快递车的行驶速度，再求出快递车的行驶总时间，由此即可． 【详解】解：由函数图象可知，快递车的行驶速度为， ∴往返过程中，快递车的行驶总时间为， ∵在每个快递点卸包裹的时间相同， ∴快递车在每个快递点卸包裹的时间为． 26．甲、乙两辆汽车从城出发前往城．在整个行驶过程中，两车离开城行驶的路程与甲车行驶的时间的对应关系如图所示．（1）甲车的平均速度是_________；（2）图中_________． 【答案】 【分析】（1）由函数图象可知，甲车行驶的路程是，用的时间是，利用路程除以时间求出速度； （2）设甲车行驶时，甲、乙两车相遇，列方程求出两车相遇时甲车行驶的时间，再利用时间速度路程，求出． 【详解】（1）解：由函数图象可知，甲车行驶的路程是，用的时间是， 甲车的平均速度是； （2）解：由函数图象可知，乙车行驶的路程是，用的时间是， 乙车的平均速度是， 设甲车行驶时，甲、乙两车相遇， 根据题意可得：， 解得：， ． 27．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（     ） A．小数比小文先出发 B．小文提速后的速度为 C． D．从小数出发至送餐结束，小数和小文最远相距 【答案】C 【分析】根据函数图象所给的信息，逐一判断即可． 【详解】解：A、由函数图象可知，小数比小文先出发，原说法正确，故此选项不符合题意； B、由函数图象可知，小文提速前的速度为， ∴小文提速后的速度为，原说法正确，故此选项不符合题意； C、由函数图象可知，， ∴小数的速度为， ∴，原说法错误，符合题意； D、当时，两人最远相距， ∵当时，小文的速度大于小数的速度， ∴在相遇前，二者的距离不断缩小，即最远的距离一定小于； 在相遇后，二者的距离不断增大，到小文到达送餐地点时，二者的距离最大，最大为， ∴整个过程中，小数和小文最远相距，原说法正确，不符合题意． 题型十 用描点法画函数图象 28．下列各坐标表示的点中，在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．因此只要把四个点的坐标逐一代入 中，若该点的坐标使得函数左右两边的值相等，则该点必在函数图象上． 【详解】当x=-1时，，显然y既为-2也不为4，所以点(-1,-2)和点（-1,4）都不在函数的图象上； 当x=1时，，所以点(1,2)在的图象上，而点(1,4) 不在函数的图象上； 故选：C 【点睛】本题考查的是会判断点在函数图象上，这是形的方面；从数的方面来看，即验证点的坐标满足函数的解析式，体现了数形结合的思想． 29．在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析出 托运费y与物品重量x之间的函数关系，画出图像即可． 【详解】解：由题意可得， 当时，， ∵物品重量每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元， ∴托运费y与物品重量x之间的函数图像为： 故选：D． 【点睛】此题考查了函数的图像，解题的关键是根据题意正确分析出托运费y与物品重量x之间的函数关系． 30．在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的分析，正确分析解析式，得出函数图象的情况是解题的关键． 根据，得到当且时，，函数图象在轴下方，当时，，函数图象在轴上方，即可得到答案． 【详解】解：函数， 当且时，，函数图象在轴下方， 当时，，函数图象在轴上方， 小红得到的图象是 故选：A． 题型十一 动点问题的函数图象 31．如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动到点C，图2是点P运动时线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则的面积为________．      【答案】60 【分析】本题主要考查时间与路程的图象识别，涉及等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，当点P运动到点A和点B时距离均为13，则有，再结合等腰三角形性质可得点Q为的中点，利用勾股定理求得高即可求得面积． 【详解】解：根据图2中的曲线可知：当点P从的顶点A处，运动到点B处和运动到点C时的y值，则， ∵点P运动到中点时， ∴， 根据图2点Q为曲线部分的最低点，此时， ∴， ∴． 则． 故答案为：60． 32．如图1，在中，，，动点从点沿运动到点再沿运动到点后停止，速度为．其中的面积与运动时间的关系如图2，则的直角边长为___________． 【答案】 【分析】首先根据题意得到，则，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：由图象得，，则， ∵，， ∴， ∴， ∴． 33．某公交车匀速通过一条隧道．公交车在隧道内的车身长度（单位：）与它的行驶时间（单位：）之间的关系如图所示．则下列说法：①公交车车身长为；②公交车行驶速度为；③公交车车身全部在隧道内的行驶时间为；④这条隧道长为．其中正确的说法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据图像可知公交车车身长，结合匀速行驶的特点，可先求出公交车的行驶速度；再通过图象的时间分段，判断公交车整体在隧道内的行驶时间，最后结合速度与时间求出隧道长，从而判断各说法的正误． 【详解】解：由图像得，公交车在隧道内的车身长度最大为10米，所以该公交车车身长为10米，故①正确； 从秒时，公交车完全进入隧道，行驶了一个车身的距离，∴，故②正确； 从秒时，车身长度不变，则表示9秒公交车车身全部在隧道内，故③正确； 隧道长完全在隧道内行驶的路程车身长度，完全在隧道内行驶的路程：，隧道长：，故④错误； 则正确的说法有3个． 题型十二 函数的三种表示方法 34．下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（  ） A．记录某病人一天内不同时刻的体温 B．反映某城市一年中各月份的平均降雨量 C．用公式计算圆柱高h一定的情况下的体积V与底面半径r之间的关系 D．展示某运动员在100米比赛中速度随时间的变化 【答案】C 【分析】本题考查函数不同表示方法的适用场景，初中函数表示方法分为解析法、列表法、图象法三类，解析法通过数学解析式表达函数关系，需结合各情境特征判断． 【详解】解：∵ 解析法适合表示有明确数学关系式的函数关系，列表法适合整理离散的对应数据，图象法适合直观展示变化趋势． 又∵ A选项记录不同时刻的体温，为离散对应数据，优先选列表法；B选项反映各月份的平均降雨量，为离散对应数据，优先选列表法；D选项展示速度随时间的变化趋势，优先选图象法． C选项中h为定值，体积与底面半径有明确关系式，符合解析法的适用特征，优先用解析法． 35．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格数据，确定弹簧原长和每挂重物弹簧的伸长量，即可求出函数关系式． 【详解】解：观察表格数据可知， 当时，，即弹簧原长为，且x每增加，y增加， ∴弹簧总长与所挂重物之间的关系式为． 36．农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分，我县某村要铺设一条全长为1000米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管道施工x天与铺设管道y米之间的关系用表格表示如下，则施工8天后，未铺设的管道长度为__米． 时间（x天） 1 2 3 4 5 … 管道长度（y米） 20 40 60 80 100 … 【答案】840 【分析】观察表格数据可得y=20x，可得施工8天后y的值，进而求出未铺设的管道长度． 【详解】解：观察表格数据可知： y＝20x， 当x＝8时，y＝160， 所以未铺设的管道长度为：1000﹣160＝840（米）． 故答案为：840. 【点睛】本题考查了函数的表示方法，解决本题的关键是根据表格数据表示函数． 题型十三 正比例函数的定义 37．正比例函数中，比例系数为_________． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义，即可确定该函数的比例系数． 【详解】解：形如（是常数，）的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数. 正比例函数符合正比例函数的形式，对应可得比例系数． 38．若函数是正比例函数（为常数），则的值为________． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义，函数的常数项为0，一次项系数不为0，据此列等式求解即可． 【详解】解：∵ 正比例函数的一般形式为（，为常数），即常数项为，一次项系数不为， 又是正比例函数， ∴，且一次项系数， ∴． 39．已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，则当时，的值为_____． 【答案】0 【分析】根据正比例的定义设出和的表达式，得到关于的函数式，再代入已知的，的值求出待定系数，最后代入计算的值即可． 【详解】解：∵与成正比例，与成正比例， ∴，， ∵， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴， 当时，． 题型十四 识别一次函数 40．下列函数中，是的一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：中的次数为，中的次数为，中的系数为，均不是一次函数，不符合题意； 中的次数为且系数不为，是一次函数，故选项B符合题意． 41．下列函数关系式中，属于一次函数的是（    ） A．y＝－1 B．y＝x2＋1 C．y＝kx＋b（k、b是常数） D．y＝1－2x 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．等式的右边是分式，不是整式，不是一次函数，故本选项不符合题意； B．自变量的次数是二次，不是一次函数，故本选项不符合题意； C．当k=0时，不是一次函数，故本选项不符合题意； D．是一次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，注意：形如（k、b为常数，k≠0）的函数，叫一次函数． 42．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 E．1 【答案】C 【分析】本题考查一次函数定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的定义（形如，），逐一判断即可． 【详解】解：①可化为，符合一次函数定义； ②不符合一次函数定义； ③可化为，符合一次函数定义； ④化简为（），定义域不全为实数，不符合一次函数定义； ⑤展开化简为，符合一次函数定义； ⑥不符合一次函数定义． 综上，①、③、⑤符合条件，共3个，选C． 故选：C． 题型十五 根据一次函数的定义求参数 43．若函数是关于x的一次函数，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义：形如，为常数且，可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ． 故选：B． 44．函数，（为不等于的常数）恒经过点______． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征．将变形求解即可． 【详解】解：将整理得， ， 当时，， 函数恒过点， 故答案为：． 45．点在直线上，则代数式的值是______． 【答案】5 【分析】本题考查代数式求值，一次函数上的点与其解析式的关系，根据题意，将点代入直线得到，恒等变形得到，整体代入代数式即可得到答案，熟练掌握整体代入求代数式值的方法是解决问题的关键． 【详解】解：点在直线上， 将点代入直线得到， ， 故答案为：． 题型十六 列一次函数解析式并求值 46．若点在直线上，则______． 【答案】0 【分析】将点代入直线的解析式即可得． 【详解】解：由题意，将点代入直线得：， 则， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，将点的坐标代入函数的解析式是解题关键． 47．下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．若温度的变化是均匀的，则18分钟时的温度是______ °C． 时间/分钟 0 5 10 15 20 25 温度/°C 10 25 40 55 70 85 【答案】64 【分析】根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升，写出函数关系式，进而把代入计算即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升， 则关系式为：， 当时，． 故分钟时的温度是． 故答案为：64． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是分析表格得出温度与时间的关系式． 48．对于一次函数（k，b为常数，）下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） 0 1 2 3 2 5 8 12 14 A．2 B．5 C．8 D．12 【答案】D 【分析】试算，将数表中两组值代入一般式中，确定函数解析式，再将其它值代入，若仅有一组不能满足解析式，即为所求． 【详解】解：将，代入，得， 解得，于是， 将其它数组代入，可知，满足解析式；不满足解析式． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数解析式，待定系数法确定一次函数解析式；掌握待定系数法是解题的关键． 题型十七 求一次函数解析式 49．正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知点的坐标代入函数式，即可求出系数的值，进而得到函数解析式． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， 将代入，得 ， 解得 ． 这个正比例函数的解析式为． 50．一盏香薰点燃后剩余的高度与燃烧时间的关系如下表．若香薰燃烧时间为，估计剩余的高度是_________． 燃烧时间 0 1 2 剩余的高度 12 10 8 【答案】2 【分析】先判断与满足一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，再将代入解析式计算，得到剩余高度． 【详解】解：设与的函数解析式为， 将和分别代入解析式得 ， 解得， 因此与的函数解析式为， 当时，． 51．如图，已知等腰直角的顶点B，C分别在x、y轴上，，点B的坐标是，C的坐标是，则直线的函数关系式为____________． 【答案】 【分析】作轴于点，先根据证明，从而得，即可得直线的函数关系式为． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 又，即， ， 在与中， ， ， ，， 又，， ，， ， ， 设直线的函数关系式为， 把，代入，得， 解得：， 直线的函数关系式为． 解答题 1．某水果店售卖草莓，售价固定，每日销售额随售卖时长变化而变化．设售卖时长为小时（自变量），销售额为元（因变量），部分售卖数据如下表： 售卖时长（小时） 1 2 3 4 销售额（元） 80 160 240 320 (1)根据表格数据，写出与的变量关系式； (2)分析销售额随售卖时长的变化趋势； (3)若当日草莓全部售完用时6.5小时，求当日总销售额； (4)若当日固定成本为150元，求售卖5小时的纯利润． 【答案】(1) （）. (2) 销售额随售卖时长的增加而均匀增大，每增加1小时，销售额增加80元. (3) 当日总销售额为520元. (4) 售卖5小时的纯利润为250元. 【分析】（1）先判断变量关系类型，观察表格中x与y的比值是否为定值，因为售价固定，所以y与x成正比例函数关系，用待定系数法求函数关系式． （2）根据所得函数关系式的比例系数符号，如果比例系数为正，那么销售额随售卖时长增加而上升，直接分析变化趋势． （3）对于已知售卖时长求销售额的问题，将对应的x值代入已求得的函数关系式，计算得到y值即可． （4）计算纯利润时，先代入求得对应销售额，因为纯利润=销售额-固定成本，所以用所得销售额减去固定成本即可得到结果． 【详解】（1）解： ∵ 表格中销售额与售卖时长的比值为定值 ， ∴ 设（）． 将，代入， 得 ． ∴ 与的变量关系式为（）． （2） 解：∵ 中， ， ∴ 销售额随售卖时长的增加而均匀增大，每增加1小时，销售额增加80元． （3）解：当时 ， ． 答：当日总销售额为520元． （4）解：当时 ， 销售额为（元） ． 纯利润为（元） ． 答：售卖5小时的纯利润为250元． 2．新定义：为函数（a，b，c为实数）的“关联数”．若“关联数”为的函数为一次函数，试求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一次函数的定义，根据“关联数”的定义得，再结合一次函数的定义，得出且，即可解得． 【详解】解：根据题意，得， ∵是一次函数， ∴且， ∴． 3．某银行一年期存款利率为，记存入的本金为x元，一年到期时的本息和为y元． (1)写出y关于x的函数解析式； (2)存入10000元，一年到期时的本息和是多少元？ 【答案】(1)（） (2)10150元 【分析】（1）利用本息和=本金+本金×年利率的关系推导函数解析式； （2）将本金代入（1）中的解析式计算本息和． 【详解】（1）解：∵一年期存款年利率为，本金为元， ∴一年的利息为元， ∴本息和， ∵本金为正数， ∴自变量的取值范围是， 即（）； （2）解：当时，． 答：一年到期时的本息和是10150元． 4．天府新区兴隆湖水上运动项目体验活动自今年1月面向大众开放以来，受到游客广泛关注及好评．一艘皮划艇和一艘电动艇沿同一线路从游客中心同时出发驶往白泽台码头，两船均匀速行驶（电动艇速度大于皮划艇速度），在行驶过程中，皮划艇休整了10分钟后按原速度继续行驶．两船之间的距离与时间的关系部分图象如图所示，当时，电动艇到达白泽台码头． (1)求电动艇的速度； (2)若两船到达白泽台码头后均停止行驶，求皮划艇在整个过程中共用了多少时间，并补全图象； (3)若电动艇到达白泽台码头后立即调头在原速度基础上降速行驶与皮划艇汇合，汇合后两船停止行驶．在整个行驶过程中，当电动艇行驶的路程是皮划艇行驶路程的2倍时，电动艇行驶的时间是多少? 【答案】(1)电动艇的速度为 (2) 皮划艇在整个过程中共用了，补全图形如下： (3)或 【分析】（1）由图可知，至段，两船之间的距离增长较快，结合题意可知，这个时段为皮划艇休整的10分钟，根据速度、时间、路程之间关系即可求解； （2）由图可知，30分钟时电动艇到达码头，皮划艇行驶了20分钟，结合（1）中结论可得皮划艇的速度，进而即可求解； （3）先根据两船速度求出、和汇合时的时间，再分段讨论，根据两船行驶路程的倍数关系列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， 即电动艇的速度为； （2）解：皮划艇的速度为：， ， 即皮划艇在整个过程中共用了， 补全图形略； （3）解：由题意知， ， 两船汇合时所用时间为：， 设时间为时，电动艇行驶的路程是皮划艇行驶路程的2倍， 分情况讨论： 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得； 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得； 综上可得，当电动艇行驶的路程是皮划艇行驶路程的2倍时，电动艇行驶的时间为或． 5．小王骑摩托车从甲地去乙地，小李开汽车从乙地去甲地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，两人间的距离与小王行驶的时间之间的关系如图所示． (1)以下是点、点、点所代表的实际意义，请选择、、填入对应的横线上． ①两人相遇________，②小李到达终点________； (2)甲乙两地之间的路程为________千米； (3)求小王、小李各自的速度； (4)求两人相距千米时的值． 【答案】(1)， (2) (3)小王的速度是，小李的速度是 (4)或时，两人相距千米 【分析】（1）由图可知，甲乙两地之间的路程为，小王骑摩托车从甲地去乙地用了小时，当时，，结合点、的坐标，得出点表示此时小王到达终点，点表示此时小王、小李两人相遇，分别求出小王、小李的速度，即可求出时，小李到达甲地，得出点表示此时小李到达终点； （2）时，，即为甲乙两地之间的距离； （3）通过（1）即可求解； （4）分小王、小李相遇前和小王、小李相遇后，小李到达前两种情况，分别列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵小王行驶的时间为，两人间的距离为， 根据图像可得时，，的取值范围为， 即甲乙两地之间的路程为，小王骑摩托车从甲地去乙地用了小时； 当时，小王骑摩托车到达乙地， 点的坐标为，故点表示此时小王到达终点， 故小王的速度为； 根据图像可得小王、小李间的距离为时，即，此时， 点的坐标为，故点表示此时小王、小李两人相遇， 故小王、小李的速度和为， ∴小李的速度为， 时，小李开汽车从乙地去甲地，行驶了， 即时，小李到达甲地， 点的坐标为，故点表示此时小李到达终点． （2）解：根据图像可知：时，， 即小王、小李两人之间的最大距离是， 则两地间的距离为． （3）解：由（1）可得小王的速度为，小李的速度是． （4）解：分以下两种情况讨论： ①小王、小李相遇前（），两人相距千米， ， 解得； ②小王、小李相遇后，小李到达前（），两人相距千米， ， 解得； 故小王出发或时，两人相距千米． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $