5.2一次函数的概念 第1课时 教学设计 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦一次函数概念这一核心知识点，通过复习函数定义及表达方式，结合加油计价、蟋蟀鸣叫等实际问题列出函数解析式，引导学生观察共性特征，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架，衔接函数概念与一次函数概念。 此资料以真实情境为载体，让学生经历从实际问题抽象出y=kx+b（k≠0）形式的过程，发展抽象能力。通过对比辨析正比例函数与一次函数的包含关系，培养推理意识。例题与分层练习助力模型意识建立，既提升学生数学思维，又为教师提供结构化教学流程，促进高效教学。

第五章 一次函数 5.2一次函数的概念 第1课时   一、教材分析 “一次函数的概念”是学生在完成了对“函数”这一宏观概念的建构后，正式接触的第一个具体函数模型，在函数学习历程中具有里程碑式的意义．本章第一节“变量与函数”为学生理解变化过程中变量间的单值对应关系打下了坚实的理论基础，而本节则在此基础上，从大量具体的实际问题和数学情境中，抽象出一类具有共同特征的运动变化规律——一次函数．教材的编排遵循了从特殊到一般的原则，首先通过学生熟悉的实例，列出一系列函数解析式，引导学生观察这些式子在形式上的共同点：即都可以表示为自变量x的一次整式．进而，教材精确定义了一次函数的一般形式y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)，并特别地将b=0的情形定义为正比例函数，强调正比例函数是一次函数的一种特殊形式．这种定义方式不仅清晰地揭示了一次函数与正比例函数的包含关系，渗透了分类讨论的数学思想，更重要的是，它将现实世界中的许多线性变化过程纳入了统一的数学模型，为学生运用数学工具解决实际问题提供了强有力的武器，并为后续学习一次函数的图象与性质、以及更复杂的函数族（如二次函数）奠定了概念基础和研究范式.   二、学情分析 学生在知识储备上已经完全具备了学习本课内容的条件．他们不仅理解了函数的定义，能够判断两个变量间是否存在函数关系，并且已经掌握了函数的三种表示方法，能够根据解析式列出表格，这为从具体数据中归纳一次函数的特征提供了方法支持．同时，学生对于“列代数式”和“寻找规律”非常熟练，能够从实际问题中写出两个变量间的等量关系式．然而，将形式各异的具体解析式进行高度的抽象概括，统一到y=kx+b这一数学符号模型下，对学生来说仍是一个思维上的跨越．学生在学习过程中常见的困惑与难点包括：首先，对一次函数定义中“k是常数，且k≠0”这一条件理解不深，容易忽略k≠0的重要性；其次，对于正比例函数与一次函数之间的“特殊与一般”的包含关系，部分学生可能理解片面，误认为它们是并列关系；此外，在面对实际问题时，学生可能能够列出关系式，但缺乏将其与标准形式进行比照，并明确指出k和b的值的意识．因此，教学的关键在于提供丰富的实例，让学生在对比、分类的活动中，自主完成从具体到抽象的建构过程.   三、学习目标 1.能根据简单实际问题中的已知条件确定函数的表达式，并对函数表达式进行分类，归纳一类函数表达式的共性特征，形成一次函数概念，体会一次函数的意义，发展抽象能力. 2.认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律，认识到正比例函数是特殊的一次函数. 3.能举出一次函数(包括正比例函数)的实例，初步体会其中“k”“b”的实际意义.   四、教学重难点 重点：能根据简单实际问题中的已知条件确定函数的表达式，并对函数表达式进行分类，归纳一类函数表达式的共性特征，形成一次函数概念，体会一次函数的意义，发展抽象能力 难点：认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律，认识到正比例函数是特殊的一次函数.   五、教学过程 · 复习回顾 1.什么叫函数? 2.函数的表达方式有哪些？ 预设答案： 1.在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量. 2.函数有图象、表格、关系式三种表达方式. 追问：前面涉及到的函数的共同特点是什么呢？ 一起来探究吧！ 师生活动：教师演示，学生倾听、回答，独立思考． 设计意图：通过复习上一节课函数的概念和函数表达方式的相关知识，为接下来探究一次函数的概念的学习提供依据． · 探究新知 活动：探究一次函数的概念 探究：某人给汽车加油时的计价屏如图所示.加油枪流量是40L/min，加油前油箱中有油6L，在这个过程中有哪些常量、变量?有哪些函数关系? 预设答案：常量有单价、加油枪流量、加油前油箱中的油、油箱的总容量. 变量有加油时间、加油油量、油箱中油量、花费金额. 加油时，金额y元与加油油量xL具有函数关系，可以用函数表达式表示，即y=7.49x. 油箱中的油量QL与加油时间tmin具有函数关系，可以用函数表达式表示，即Q=40t+6. 师生活动：学生思考、讨论、回答，师提示，总结． 探究：(1)有人发现，在20℃～25℃时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度t（单位：℃）有关，即c的值约是t的7倍与35的差.变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式. （2）一种计算成年人标准体重G单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得的差是G的值.变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式. 预设答案：（1）c=7t−35（20≤t≤25）； （2）G=h−105. 探究：（1）Q=40t+6（2）c=7t35（20≤t≤25）（3）G=h105 说出这些函数的常数、自变量，这些函数解析式有哪些共同特征？ 发现：它们都是常数k与自变量的______与常数b的____的形式. 预设答案：（1）Q=40t+6的常数为40、6，自变量为t； （2）c=7t35的常数为7、35，自变量为t； （3）G=h105的常数为1、105，自变量为h； 乘积；和 思考：上述三个解析式有什么共同之处？ 总结：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的函数叫作一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 一次函数y=kx+b(k≠0)有三个特征： ①k≠0；②自变量x的次数是1；③常数b可以是任意实数. 特别地，当b=0时，y=kx(k为常数，k≠0)叫作x的正比例函数. 注意：正比例函数是特殊的一次函数，即正比例函数都是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数. 师生活动：学生思考、讨论、回答，师提示，总结． 设计意图：联系学生的生活经验和已有数学知识，创设了丰富的情境，让学生亲身经历从具体实例中抽象出数学概念的全过程．学生在探究活动中进行讨论、交流，总结一次函数的概念，培养发现新问题的能力． · 应用新知 例1写出下列各个变化过程中两个变量之间的函数表达式,并指出其中的一次函数、正比例函数. (1)正方形花圃的周长Cm随边长xm的变化而变化. (2)正方形花圃的面积Sm2随边长xm的变化而变化. (3)如图，A，B两站相距200km.若火车从B站出发以320km/h的速度匀速驶向C站，火车与A站的距离ykm随行驶时间th的变化而变化. (4)如图，搭1条“小鱼”需要8根火柴棒，每多搭1条“小鱼”就要增加6根火柴棒.所需火柴棒的根数S随着所搭“小鱼”条数n的变化而变化. 解：(1)C=4x，C是x的正比例函数; (2)S=x2，S不是x的一次函数; (3)y=200+320t，y是t的一次函数； (4)S=8+6(n-1)，即S=6n+2，S是n的一次函数. 总结：判断函数是否为一次函数的方法： (1)函数表达式的右边是否是整式的形式，需要化简的应先化简； (2)看它是否符合一次函数表达式y=kx+b的结构特征： ①k≠0；②自变量x的次数是1；③常数项b可以为任意实数. (3)当b=0时，既是正比例函数，又是一次函数. 例2 已知函数y=(m+1)x+(m2−1). (1)当m取什么值时，y是x的正比例函数； (2)当m取什么值时，y是x的一次函数. 解：（1）∵函数y=(m+1)x+(m2−1)是正比例函数， ∴m+1≠0且m2−1=0， 解得m=1. （2）根据一次函数的定义可知m+1≠0， 解得m≠−1. 设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计符号语言说理能力，让学生理解运用本节课所学． · 课堂练习 【教材习题】 1.水池中有水465m3，每小时排水15m3，排水th时，水池中还有水ym3，写出y关于t的函数表达式. 2.长方形草坪的长为15m，宽为10m.将草坪的长减少xm，宽保持不变. （1）写出长方形草坪的面积y(m2)关于x(m)的函数表达式，并写出自变量x的取值范围. （2）y是x的一次函数吗？如果是，写出k，b的值. 【自选习题】 3.下列函数是一次函数的是（ ） A.y=c(c为常数) B.y=kx+b(k，b为常数) C.y= D.y=kx(k≠0) 4.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3． (1)写出y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数； (2)求x＝2.5时，y的值． 5.已知函数y=(n2−4)x2+(2n−4)xm−2−(m+n−8). （1）当m、n为何值时，函数是一次函数？ （2）如果函数是一次函数，计算当x=1时的函数值. 【答案】 1.解：y=465−15t（0≤t≤31）. 2.解：（1）从题意可知长减少xm后，新长为（15−x）m，宽保持不变为10m. 因此，面积y为：y=(15−x)×10=150−10x 即函数表达式为：y=−10x+150 由于长减少xm，x不能为负数，且长必须大于0， 因此自变量x的取值范围为0≤x≤15 （2）是的，y是x的一次函数. 函数表达式为y=−10x+150，与一次函数标准形式y=kx+b对比， 可得：k=−10，b=150. 3.D. 4.解：(1)设y＝k(x−3)，把x＝4，y＝3代入上式， 得3＝k(4－3)，解得k＝3， 所以y＝3(x－3)＝3x－9， y是x的一次函数． (2)当x＝2.5时，y＝3×2.5－9＝－1.5． 5.解：（1）由题意可得, 解得：m=3，n=−2. 所以当m=3，n=−2时，函数是一次函数. （2）由（1）得：当m=3，n=−2时，函数是一次函数. 将m=3，n=−2代入，得一次函数解析式为y=−8x+7. 当x=1时，y=−8×1+7=−1. 师生活动：学生独立完成，教师批阅． 设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用． · 归纳总结 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识． 学科网（北京）股份有限公司 $