专题03线段垂直平分线.角平分线与等腰三角形专题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题03线段垂直平分线.角平分线与等腰三角形专题通关讲义 知识点01:线段的垂直平分线 1.定义 经过线段的中点，并且与这条线段互相垂直的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 2. 性质定理+判定定理（重点） 3.尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 AB。作法： 1.分别以 A,B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交于 C,D 两点； 2.作直线 CD，即为 AB 的垂直平分线。 知识点02:角平分线 1.定义 把一个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 3尺规作图：作已知角的平分线 已知：∠AOB。作法： 1.以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA,OB 于 M,N； 2.分别以 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角内交于点 C； 3.作射线 OC，即为 ∠AOB 的平分线。 知识点03:等腰三角形基本概念 1.等腰三角形定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 名称区分：相等的两边叫腰，第三条边叫底边；两腰的夹角是顶角，腰与底边的夹角是底角。 对称性：轴对称图形，1 条对称轴，为顶角平分线所在直线。 2.等边三角形定义 三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形；有3 条对称轴。 知识点04:等腰三角形的性质 知识点05:核心判定（高频考点） 知识点06:直角三角形 1.定义 直角三角形：有一个角是 ** 直角（90°）** 的三角形叫做直角三角形。 夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。 2.性质 3.核心判定（高频考点） 1、混淆线段垂直平分线性质与判定 易错提醒：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端距离相等；反之，单点到线段两端距离相等，仅能证明该点在垂直平分线上，无法直接判定直线为垂直平分线，确定一条垂直平分线需要两个符合条件的点。 2、角平分线性质误用缺少垂直条件 易错提醒：使用角平分线性质，必须满足点到角两边所作线段为垂线段；若所作是斜线段，不满足点到直线距离的定义，不能直接得到线段相等，不可套用角平分线性质。 3、角平分线判定忽略点在角内部 易错提醒：平面内到角两边距离相等的点有两处，分布于角内部以及对顶角区域；只有点位于角的内部，才可判定该点在这个角的平分线上。 4、等腰三角形边长求解未分类讨论漏解 易错提醒：题目没有指明已知边是腰还是底边时，应当分两类进行讨论；每一类结果均要用三角形三边关系校验，舍去不能构成三角形的解，防止出现漏解。 5、等腰三角形角度求解未分类讨论漏解 易错提醒：题干未指明已知内角属于顶角或者底角时需要分类计算；等腰三角形底角一定为锐角，直角、钝角只能充当顶角，不能作为底角。 6、等腰三角形三线合一滥用 易错提醒：三线合一定理只适用于等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边上的高；腰上的中线、腰上的高以及底角平分线不存在重合关系，不能直接使用该定理。 7、等腰三角形对称轴概念理解错误 易错提醒：对称轴属于直线；等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线，底边上的高、中线、顶角平分线都是线段，不能作为图形的对称轴。 8、等腰三角形外角求内角判断失误 易错提醒：计算内角前先要分清外角对应的是顶角还是底角；顶角的外角平分后可得底角度数，底角的外角通过180°减去外角得到底角度数，两类计算规则不可混用。 题型 考察方向 难度 题型一 线段垂直平分线的性质 ★★ 题型二 线段垂直平分线的判定 ★★ 题型三 角平分线的性质定理 ★★ 题型四 角平分线的判定定理 ★★ 题型五 角平分线性质的实际应用 ★★★ 题型六 等腰三角形的定义 ★ 题型七 等边对等角 ★★ 题型八 三线合一 ★★ 题型九 格点图中画等腰三角形 ★★ 题型十 找出图中的等腰三角形 ★★ 题型十一 根据等角对等边证明等腰三角形 ★★ 题型十二 根据等角对等边证明边相等 ★★ 题型十三 根据等角对等边求边长 ★★★ 题型十四 等腰三角形的性质和判定 ★★★ 题型十五 等边三角形的性质 ★★ 题型十六 等边三角形的判定 ★★ 题型十七 等边三角形的判定和性质 ★★★ 题型十八 含 30 度角的直角三角形 ★★ 题型十九 斜边的中线等于斜边的一半 ★★ 题型二十 直角三角形的两个锐角互余 ★ 题型二十一 锐角互余的三角形是直角三角形 ★ 拔高题 10题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，若，的周长为7，则的周长为_________． 3．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点和点，作直线交于点，交于点．若，，的周长是，则的周长为（     ） A． B． C． D． 题型二 线段垂直平分线的判定 4．如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（   ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 5．如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 6．如图，，，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 题型三 角平分线的性质定理 7．如图，在中，，，平分交于点D，若的面积为7，则的长为（     ） A．1 B． C．2 D．3 8．如图，在中，垂直平分，平分，则的长为__________． 9．如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是（    ） A．84 B．48 C．42 D．24 题型四 角平分线的判定定理 10．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线，重合，另一边相交于点，则平分的依据是（     ） A．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．角平分线是对称轴 D．以上均不正确 11．如图，已知点是内一点，且点到、的距离，，则____． 12．如图，在中，，，点D在边上，连接，若，点D到的距离为3，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型五 角平分线性质的实际应用 13．某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　） A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处 14．如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于______． 15．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 题型六 等腰三角形的定义 16．若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（     ） A． B． C． D．或 17．已知a，b，c是等腰三边长，满足，则周长是______． 18．如图，在等腰中，，，当点E在的延长线上时，作且．连接与的延长线交于D点，若，则______． 题型七 等边对等角 19．如图，中，，，点在边上，的周长为13，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 20．如图，，若，则的度数是______． 21．如图，在中，，，，垂足为点．若，分别是线段，上的动点，且，当最小时，的大小为（   ） A． B． C． D． 题型八 三线合一  22．为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳，，当固定点，到电线杆底端的距离相等且点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于了，工程人员这种操作方法的依据是（     ） A．等腰三角形“三线合一”的性质 B．垂线段最短 C．等角对等边 D．垂直平分线上的点到两个端点的距离相等 23．如图，在中，，点D是的中点．图中全等三角形有__________对． 24．如图，中，，是边的中线，点是上的动点，点是边上的动点，若的最小值为9.6，则的面积为（   ） A．96 B．48 C．38 D．24 题型九 格点图中画等腰三角形 25．如图，点，在方格图的格点上，在此图中再确定一格点，使得是等腰三角形，则满足条件的格点共有(    ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 26．如图所示的是正方形网格，则____（点，，，，为网格线交点）． 27．如图，在正方形网格中，网格的交点称为格点．已知点在格点上，若点也在格点上，使得以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形，则符合条件的点的所有个数为（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 题型十 找出图中的等腰三角形 28．如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 29．如图是一张长方形纸片，已知，，点、在上，，，现要剪下一张等腰三角形纸片，使点落在长方形的某一条边上，则构成等腰三角形的个数为___________．，其中一个等腰三角形边最长是___________ 30．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型十一 根据等角对等边证明等腰三角形 31．如图，是等边三角形，点D、E、F在内部，点D在上，点E在上，点F在上，且，则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 32．如图，在中，，是的高，请你再添加一个条件使得，这个条件可以是___________． 33．如图①，②，③，下列3个三角形中，均有，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①② D．②③ 题型十二 根据等角对等边证明边相等 34．如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E，若、，则线段的长为（　　） A．6 B．12 C．10 D．8 35．如图，是的角平分线，过点作交于点，交的平分线于点，若，，则的长为（） A． B． C． D． 36．如图，将一张长方形纸片沿着线段折叠，已知B到的距离为，若重叠部分的的面积是，则线段的长为______． 题型十三 根据等角对等边求边长 37．如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 38．如图，为的边上一点，且，平分，与相交于点，．若，，则的长为_________________． 39．如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（     ） A．3 B．2 C．1.5 D．1.2 题型十四 等腰三角形的性质和判定 40．如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，连接，若的周长为7，且，则的周长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 41．如图，在中，，，，，分别是和的角平分线，且，，则的周长为_________． 42．图1是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图2的方法裁剪5条宽度都为的长方形纸条，用这些长方形纸条为一幅正方形美术作品镶边（如图3，长方形纸条不重叠且全部用完），则的长为（     ） A． B． C． D． 题型十五 等边三角形的性质  43．一个含角的三角尺如图①所示，用两个完全相同的这种三角尺恰好能拼成一个如图②所示的等边三角形．若，则（    ） A．3 B． C．12 D．9 44．如图，将等边沿着向右平移一定距离后得到，点在上．若，，则平移的距离为________． 45．如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 题型十六 等边三角形的判定 46．下列关系图中，①处可以填的条件是_______． 47．如图，在中，点分别在边上，，是的平分线，．给出下面四个结论：①；②；③若，则是等边三角形；④若平分，则．上述结论中，正确结论的序号有______． 48．如图，是的平分线．若点，分别在射线，上，且为等边三角形，则满足上述条件的的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 题型十七 等边三角形的判定和性质 49．在中，已知，，则的周长为（   ） A．8 B．16 C．20 D．24 50．如图，已知是等边三角形，点E，F分别在边上，若，的周长为21，，则的长为________． 51．如图，在等边三角形中，是边上的高，，则与相等的线段条数为（     ） A．2 B．5 C．7 D．9 题型十八 含 30 度角的直角三角形 52．如图，某商场楼层之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示地面的水平线．已知，m．那么乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A．4 B．4.1 C．4.2 D．4.3 ，∵， ∴， ∵， 53．如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，则的长是________． 54．如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是（     ） A．6.5 B．10.5 C．11 D．11.5 题型十九 斜边的中线等于斜边的一半 55．如图，在中，，为边上的中线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 56．如图，在中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，连接．若，则的长是________． 57．如图，在中，，边上的中线，过点A作于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 题型二十 直角三角形的两个锐角互余 58．在中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 59．如图，梯子与地面的夹角，梯子上端靠墙，底端到墙角距离，则梯子的长度为（     ） A． B． C． D． 60．如图，，，，，垂足分别为，若，则的长为_____． 题型二十一 锐角互余的三角形是直角三角形 61．在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 62．如图，，为四边形的对角线，，，，四边形的面积是15，则的长为______． 63．如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，在中，是的垂直平分线，，为的中点．求证：． 2．如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 3．如图，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，若，延长交线段于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．如图（1），已知等腰直角中，为斜边上的中线，为上的一点，且于，交于． (1)求证：； (2)如图（2）若点在的延长线上，且于，与的延长线交于，问与能相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． 5．已知：如图，，是的高交于O点，且． (1)求证：是等腰三角形． (2)求证：． 6．如图，在四边形中，，过点作交于点，．求证：是等边三角形． 7．已知，是等边边上的点． (1)如图1，过点作，且交于点，求证：； (2)如图2，连接，过点作，与的邻补角的平分线交于点，过作于点． ①求证：； ②猜想写出，，之间的数量关系式，并加以证明； (3)如图3，（2）中其它条件不变，若点在延长线上时，（2）中两个结论还成立吗？若不成立请直接写出新的数量关系式（不必证明）． 8．如图，已知：在中，，，于D． (1)求的度数； (2)求证：． 9．如图，在中，，点为斜边AB上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，求证：是直角三角形． 10．如图，是等边三角形，于，为边中线，、相交于点，连接． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03线段垂直平分线.角平分线与等腰三角形专题通关讲义 知识点01:线段的垂直平分线 1.定义 经过线段的中点，并且与这条线段互相垂直的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 2. 性质定理+判定定理（重点） 3.尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 AB。作法： 1.分别以 A,B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交于 C,D 两点； 2.作直线 CD，即为 AB 的垂直平分线。 知识点02:角平分线 1.定义 把一个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 3尺规作图：作已知角的平分线 已知：∠AOB。作法： 1.以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA,OB 于 M,N； 2.分别以 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角内交于点 C； 3.作射线 OC，即为 ∠AOB 的平分线。 知识点03:等腰三角形基本概念 1.等腰三角形定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 名称区分：相等的两边叫腰，第三条边叫底边；两腰的夹角是顶角，腰与底边的夹角是底角。 对称性：轴对称图形，1 条对称轴，为顶角平分线所在直线。 2.等边三角形定义 三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形；有3 条对称轴。 知识点04:等腰三角形的性质 知识点05:核心判定（高频考点） 知识点06:直角三角形 1.定义 直角三角形：有一个角是 ** 直角（90°）** 的三角形叫做直角三角形。 夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。 2.性质 3.核心判定（高频考点） 1、混淆线段垂直平分线性质与判定 易错提醒：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端距离相等；反之，单点到线段两端距离相等，仅能证明该点在垂直平分线上，无法直接判定直线为垂直平分线，确定一条垂直平分线需要两个符合条件的点。 2、角平分线性质误用缺少垂直条件 易错提醒：使用角平分线性质，必须满足点到角两边所作线段为垂线段；若所作是斜线段，不满足点到直线距离的定义，不能直接得到线段相等，不可套用角平分线性质。 3、角平分线判定忽略点在角内部 易错提醒：平面内到角两边距离相等的点有两处，分布于角内部以及对顶角区域；只有点位于角的内部，才可判定该点在这个角的平分线上。 4、等腰三角形边长求解未分类讨论漏解 易错提醒：题目没有指明已知边是腰还是底边时，应当分两类进行讨论；每一类结果均要用三角形三边关系校验，舍去不能构成三角形的解，防止出现漏解。 5、等腰三角形角度求解未分类讨论漏解 易错提醒：题干未指明已知内角属于顶角或者底角时需要分类计算；等腰三角形底角一定为锐角，直角、钝角只能充当顶角，不能作为底角。 6、等腰三角形三线合一滥用 易错提醒：三线合一定理只适用于等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边上的高；腰上的中线、腰上的高以及底角平分线不存在重合关系，不能直接使用该定理。 7、等腰三角形对称轴概念理解错误 易错提醒：对称轴属于直线；等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线，底边上的高、中线、顶角平分线都是线段，不能作为图形的对称轴。 8、等腰三角形外角求内角判断失误 易错提醒：计算内角前先要分清外角对应的是顶角还是底角；顶角的外角平分后可得底角度数，底角的外角通过180°减去外角得到底角度数，两类计算规则不可混用。 题型 考察方向 难度 题型一 线段垂直平分线的性质 ★★ 题型二 线段垂直平分线的判定 ★★ 题型三 角平分线的性质定理 ★★ 题型四 角平分线的判定定理 ★★ 题型五 角平分线性质的实际应用 ★★★ 题型六 等腰三角形的定义 ★ 题型七 等边对等角 ★★ 题型八 三线合一 ★★ 题型九 格点图中画等腰三角形 ★★ 题型十 找出图中的等腰三角形 ★★ 题型十一 根据等角对等边证明等腰三角形 ★★ 题型十二 根据等角对等边证明边相等 ★★ 题型十三 根据等角对等边求边长 ★★★ 题型十四 等腰三角形的性质和判定 ★★★ 题型十五 等边三角形的性质 ★★ 题型十六 等边三角形的判定 ★★ 题型十七 等边三角形的判定和性质 ★★★ 题型十八 含 30 度角的直角三角形 ★★ 题型十九 斜边的中线等于斜边的一半 ★★ 题型二十 直角三角形的两个锐角互余 ★ 题型二十一 锐角互余的三角形是直角三角形 ★ 拔高题 10题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点， ∴ ∵的周长为 ∴ ∴的周长为． 2．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，若，的周长为7，则的周长为_________． 【答案】13 【分析】首先根据垂直平分线的定义和性质可得，，再由的周长为7，易得，然后计算的周长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∵的周长为7，即， ∴， ∴的周长． 3．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点和点，作直线交于点，交于点．若，，的周长是，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到、，将周长进行等量代换得，再由求出，结合得到，相加求出周长． 【详解】解：，垂直平分，则， 的周长是， ， ，即， ， ， ， 的周长为． 题型二 线段垂直平分线的判定 4．如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（   ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质的应用，由题意知，超市在三边的垂直平分线的交点处，由此即可解决． 【详解】解：由于要求超市到三个小区的距离相等，则超市应在三边的垂直平分线的交点处， 故选：Ｃ． 5．如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 【答案】16 【分析】根据垂直平分线的性质，得到，求出，推导出是的垂直平分线，，得到，进而求出的周长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵垂直于点，且为的中点， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∴的周长是． 6．如图，，，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的判定定理，根据垂直平分线的判定定理直接可得结论 【详解】解：∵，， ∴点A、 B 在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 故选：C 题型三 角平分线的性质定理 7．如图，在中，，，平分交于点D，若的面积为7，则的长为（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】过点D作于点E，首先利用三角形面积求出，然后利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，的面积为7， ∴， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴． 8．如图，在中，垂直平分，平分，则的长为__________． 【答案】 【分析】利用角平分线的性质和垂直平分线的性质解答即可． 【详解】垂直平分， ， 平分、、， ， ． 9．如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是（    ） A．84 B．48 C．42 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周长来求面积．先利用角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，再将三角形分成3个三角形，将它们的面积相加即可． 【详解】解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为与的平分线的交点，且， ∴， ∵，的周长是， ∴ ； 故选：A． 题型四 角平分线的判定定理 10．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线，重合，另一边相交于点，则平分的依据是（     ） A．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．角平分线是对称轴 D．以上均不正确 【答案】A 【详解】解：∵两把相同的直尺宽度相同， ∴点到，的距离相等， ∴平分的依据是：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 11．如图，已知点是内一点，且点到、的距离，，则____． 【答案】/40度 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的判定与性质，由三角形内角和定理得出，再由角平分线的判定定理得出平分，最后由角平分线的定义即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∵点到、的距离， ∴平分， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，，，点D在边上，连接，若，点D到的距离为3，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点E，证明平分，即可得到． 【详解】解：过点作于点E， ∵点D到的距离为3， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 题型五 角平分线性质的实际应用 13．某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　） A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质．解答此题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理． 利用角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，所以是三个内角平分线的交点有个，所以只有三个内角平分线的交点符合要求． 【详解】解：解：∵砂石场到三条公路的距离相等， ∴该点应该是三个角的角平分线的交点， ∵要求砂石场要在三条公路围成的一块平地上修建， ∴满足条件的只有一处，即为三个内角的角平分线的交点． 故选：A 14．如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于______． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线性质的实际应用和三角形面积的求法，作辅助线很关键． 过点O作于于于F，得到，从而得到． 【详解】过点O作于于于F， ∵是三角形三条角平分线的交点， ， ， ． 故答案为：． 15．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 题型六 等腰三角形的定义 16．若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】需分两种情况讨论腰长，根据三角形任意两边之和大于第三边验证是否能构成三角形，再计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为腰长，为底边长时 ∵，符合三角形三边关系 ∴该三角形周长为 ； 当为腰长，为底边长时 ∵，符合三角形三边关系 ∴该三角形周长为 因此等腰三角形的周长为或． 17．已知a，b，c是等腰三边长，满足，则周长是______． 【答案】19 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出，的值，分情况讨论等腰三角形的腰长，根据三角形三边关系排除不能构成三角形的情况，计算得到周长． 【详解】解：∵ ，且，， ∴ ，， ∴ ，， ∵ 是等腰三角形，分两种情况讨论： ① 若腰长为，则三边长为，，， ∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去， ② 若腰长为，则三边长为，，， ∵ ，满足三角形三边关系，可以构成三角形 此时周长为， ∴ 的周长为． 18．如图，在等腰中，，，当点E在的延长线上时，作且．连接与的延长线交于D点，若，则______． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，证明，得到，，再证明，得到，结合设未知数计算即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点 ∵，， ∴ ∵且 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ 不妨设 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 题型七 等边对等角 19．如图，中，，，点在边上，的周长为13，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据题意可得，从而得到，即可解答． 【详解】解：∵，，点在边上，的周长为13， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C选项正确； 根据题干无法得到的大小关系，故A，B选项错误； 且题干中没有给出的大小，故D选项错误； 故选：C 20．如图，，若，则的度数是______． 【答案】/25度 【分析】利用“等边对等角”和三角形外角的性质可以得到，，从而解得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 21．如图，在中，，，，垂足为点．若，分别是线段，上的动点，且，当最小时，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最短路线问题，全等三角形的性质，等边对等角．在右侧作，使，连接，当A、N、三点在同一直线上时，最小值为，推出，所以，据此求解即可． 【详解】解：在右侧作，使，连接． 则，． ∴， 当A、N、三点在同一直线上时，最小值为． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型八 三线合一  22．为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳，，当固定点，到电线杆底端的距离相等且点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于了，工程人员这种操作方法的依据是（     ） A．等腰三角形“三线合一”的性质 B．垂线段最短 C．等角对等边 D．垂直平分线上的点到两个端点的距离相等 【答案】A 【分析】根据题意，得到，三线合一得到. 【详解】解：由题意，工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”的性质. 23．如图，在中，，点D是的中点．图中全等三角形有__________对． 【答案】3 【分析】根据已知条件，D是中点，结合等腰三角形三线合一的性质，推导与的位置关系，以及图中相等的线段、相等的角．按照从大到小或从局部到整体的顺序，有序枚举所有可能的三角形组合，用等全等三角形判定定理逐一验证是否全等．统计符合全等条件的三角形对数，避免重复计数． 【详解】解：第一对： 已知，D是的中点， 故， 又公共边， ∴． 第二对：． 由，第一对全等可得，加上公共边， ∴． 第三对：． 由、第一对全等可得，即，加上公共边，． 综上，共有3对全等三角形． 24．如图，中，，是边的中线，点是上的动点，点是边上的动点，若的最小值为9.6，则的面积为（   ） A．96 B．48 C．38 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三线合一、中垂线的性质与判定、垂线段最短等知识点，解题的关键是：得到边上的高即为的最小值．连接，，得出当是边上的高时，取最小值，进而求出结论． 【详解】解：连接，， ，是边的中线， ∴直线是等腰三角形的对称轴， ， ， 又∵点是边上的动点， ∴当是边上的高时，取最小值， 的最小值为9.6， ∴边上的高为9.6， 的面积为． 故选：B． 题型九 格点图中画等腰三角形 25．如图，点，在方格图的格点上，在此图中再确定一格点，使得是等腰三角形，则满足条件的格点共有(    ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握分类讨论思想的运用是解题的关键．满足的点的位置有个，满足的点的位置有个，满足的点的位置有个，由此得出答案即可． 【详解】解：如图，满足条件的格点共个， 故选：D． 26．如图所示的是正方形网格，则____（点，，，，为网格线交点）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，得到，推出，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，结合，即可求解． 【详解】解：如图，在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点， 由图可知，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ，即 故答案为：． 27．如图，在正方形网格中，网格的交点称为格点．已知点在格点上，若点也在格点上，使得以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形，则符合条件的点的所有个数为（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，正确找出所有符合条件的点，不重复不遗漏是解题的关键． 【详解】解：作的垂直平分线，如图，没有符合条件的点； 以点B为圆心，为半径画弧，如图，有5个符合条件的点； 以点A为圆心，为半径画弧，如图，有3个符合条件的点； 综上：符合条件的点有8个， 故选：B． 题型十 找出图中的等腰三角形 28．如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键． 根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰的等腰三角形得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 29．如图是一张长方形纸片，已知，，点、在上，，，现要剪下一张等腰三角形纸片，使点落在长方形的某一条边上，则构成等腰三角形的个数为___________．，其中一个等腰三角形边最长是___________ 【答案】 3 【分析】分三种情况当，是等腰三角形时，当，是等腰三角形时，当，是等腰三角形时，利用等腰三角形的性质与勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 如图所示，当，是等腰三角形时，则； 如图所示，当，是等腰三角形时，则； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得； 如图所示，当，是等腰三角形时，过点作于H，则四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得 综上所述，长是或或，最长的为 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 30．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 题型十一 根据等角对等边证明等腰三角形 31．如图，是等边三角形，点D、E、F在内部，点D在上，点E在上，点F在上，且，则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定， 根据题意设，则，，然后根据等边三角形的性质得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵ ∴设，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴的形状是等腰三角形． 故选：A． 32．如图，在中，，是的高，请你再添加一个条件使得，这个条件可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键．根据等腰三角形的判定与性质得到，，添加，证明为等边三角形得到，进而可得结论． 【详解】解：，是的高， 我，， 添加，可得为等边三角形， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 33．如图①，②，③，下列3个三角形中，均有，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①② D．②③ 【答案】D 【详解】解：如图，图②和图③满足题意，图①不能分成两个小等腰三角形. 题型十二 根据等角对等边证明边相等 34．如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E，若、，则线段的长为（　　） A．6 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质可得，，从而可得，，然后利用等角对等边可得，，即可解答． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴． 35．如图，是的角平分线，过点作交于点，交的平分线于点，若，，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“角平分线+平行线”构造出等腰三角形，从而将线段和转化为和的长． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， ， ， 平分， ， ，即， ， ， ， ． 36．如图，将一张长方形纸片沿着线段折叠，已知B到的距离为，若重叠部分的的面积是，则线段的长为______． 【答案】 5 【分析】根据折叠的性质和平行线的性质可得，进而得到，然后利用三角形的面积公式求出即可解决问题． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵长方形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵到的距离为， ∴点到的距离为， ∵重叠部分的面积是， ∴ ， ∴， ∴． 题型十三 根据等角对等边求边长 37．如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“等角对等边”可得，与相加即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 38．如图，为的边上一点，且，平分，与相交于点，．若，，则的长为_________________． 【答案】1 【分析】由等腰三角形的性质得，再由，可得，则，即可求解． 【详解】解：平分，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴． 39．如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（     ） A．3 B．2 C．1.5 D．1.2 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十四 等腰三角形的性质和判定 40．如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，连接，若的周长为7，且，则的周长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是转化的周长． 根据垂直平分线的性质可得，则的周长为，再由，求解与的长即可． 【详解】解：∵的中垂线交于点D， ∴， ∴的周长为①， ∵②， ∴①②可得，，解得， ∴， ∵在中，， ∴， 则的周长为． 故选：C ． 41．如图，在中，，，，，分别是和的角平分线，且，，则的周长为_________． 【答案】17 【分析】由角平分线的定义和平行线的性质得出，，从而可得，，再结合三角形周长公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵，分别是和的角平分线， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为． 42．图1是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图2的方法裁剪5条宽度都为的长方形纸条，用这些长方形纸条为一幅正方形美术作品镶边（如图3，长方形纸条不重叠且全部用完），则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据等腰直角三角形的判定和性质得出都是等腰直角三角形，再求出这5个长方形的面积，然后根据面积相等列出方程，求出解即可． 【详解】解：如图所示，根据题意，得， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 则这5个长方形的面积为，，． 设，根据题意，得 ， 解得， 所以的长为． 题型十五 等边三角形的性质  43．一个含角的三角尺如图①所示，用两个完全相同的这种三角尺恰好能拼成一个如图②所示的等边三角形．若，则（    ） A．3 B． C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，关键根据等边三角形的性质解答． 根据等边三角形的性质解答． 【详解】解：∵纸片，用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个等边三角形， ∴． 故选：C． 44．如图，将等边沿着向右平移一定距离后得到，点在上．若，，则平移的距离为________． 【答案】6 【详解】解：∵是等边三角形，，， ∴， 则平移的距离为． 45．如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 【答案】11 【分析】先证出，则，，进而可得，再根据含角的直角三角形的性质求出的长，由此即可得． 【详解】解：是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十六 等边三角形的判定 46．下列关系图中，①处可以填的条件是_______． 【答案】或 或 或或 【分析】根据等边三角形的判定，解答即可； 【详解】解：根据三边相等的三角形是等边三角形，可以填或； 根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，也可以填或或． 47．如图，在中，点分别在边上，，是的平分线，．给出下面四个结论：①；②；③若，则是等边三角形；④若平分，则．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键．由等腰三角形三线合一定理可得，据此可判断①；根据等边对等角和三角形内角和定理可推出，进而得到，据此可判断②；若，则可导角证明，据此可判断③；根据现有条件无法证明④的结论． 【详解】解：①∵， ∴是等腰三角形． ∵是的平分线， ∴． 故①符合题意； ②∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故②符合题意； ③∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 故③符合题意； ④若平分， ∵无法判断是否 ∴无法证明． 故④不符合题意． 综上，符合题意的序号为①②③． 故答案为：①②③． 48．如图，是的平分线．若点，分别在射线，上，且为等边三角形，则满足上述条件的的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质、等边三角形的判定．如图，过点P作于G，于H．根据角平分线的性质，可判断是等边三角形．然后再进行分类讨论． 【详解】解：如图，过点P作于G，于H，     ∵平分， ∴，． ∴． ∴此时，是等边三角形． 当G向方向移动，H向方向移动，且． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴当G向方向移动，H向方向移动， ∴是等边三角形． 同理，当G向方向移动，H向方向移动， ∴是等边三角形． 综上：满足条件的有无数个． 故选：D． 题型十七 等边三角形的判定和性质 49．在中，已知，，则的周长为（   ） A．8 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，根据，，得出为等边三角形，进而求解周长，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴周长， 故选：D． 50．如图，已知是等边三角形，点E，F分别在边上，若，的周长为21，，则的长为________． 【答案】5 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是关键． 由等边三角形的性质可得，，结合可证明也是等边三角形，则． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：5． 51．如图，在等边三角形中，是边上的高，，则与相等的线段条数为（     ） A．2 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】证明为等边三角形，即可求解． 【详解】解：在等边三角形中，∵是边上的高， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 综上所述，与相等的线段条数为7． 题型十八 含 30 度角的直角三角形 52．如图，某商场楼层之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示地面的水平线．已知，m．那么乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A．4 B．4.1 C．4.2 D．4.3 【答案】B 【分析】过作交的延长线于，则，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过作交的延长线于，则， ，∵， ∴， ∵， ∴，即. 53．如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，则的长是________． 【答案】 【分析】过点P作于点D，则，根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于点D，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 54．如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是（     ） A．6.5 B．10.5 C．11 D．11.5 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得出，，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，，求出，求出，根据含角的直角三角形的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中 ， ，， ， ， ， ， 在中，，，， ， ， ． 题型十九 斜边的中线等于斜边的一半 55．如图，在中，，为边上的中线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直角三角形的性质得到，再由等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，为边上的中线， ∴， ∴． 56．如图，在中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，连接．若，则的长是________． 【答案】10 【分析】根据尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线，进一步得出点是的中点，然后由直角三角形斜边上的中线的性质可得答案． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴点是的中点． ∵在中，， ∴是斜边上的中线， ∴． 57．如图，在中，，边上的中线，过点A作于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，过作于，根据中线得到，根据三线合一得到，然后在和中利用勾股定理列方程，化简整理即可． 【详解】解：连接，过作于， 则， ∵边上的中线， ∴是中点， ∵过点作于点， ∴， ∴， ∵的长为的长为， ， ， ∵中，， 中，， ， 整理得：， 故选：C． 题型二十 直角三角形的两个锐角互余 58．在中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，，， ∴． 59．如图，梯子与地面的夹角，梯子上端靠墙，底端到墙角距离，则梯子的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，结合可得，再利用含角的直角三角形性质求解即可． 【详解】解：∵墙与地面垂直， ， ， ， ， ， ． 60．如图，，，，，垂足分别为，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】由，，可以得到，再根据，可以得到，从而求得，然后利用全等三角形的性质可以求得的长． 【详解】解：，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，． ， ． 题型二十一 锐角互余的三角形是直角三角形 61．在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由已知可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵ 在中，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 62．如图，，为四边形的对角线，，，，四边形的面积是15，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，直角三角形的判断，熟练掌握等腰三角形的性质以及含30度的直角三角形的性质是解题的关键． 先求出，进而求出，，再进行计算即可． 【详解】解：过点B作交于点F，如图， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 63．如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到，，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 解答题 1．如图，在中，是的垂直平分线，，为的中点．求证：． 【答案】证明：如图，连接， 是的垂直平分线， ． ，为的中点， 是的垂直平分线， ， ， ． 【分析】根据垂直平分线的性质推出，利用垂直平分线的判定和性质推出，通过等量代换即可证明． 【详解】略 2．如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【答案】证明：为的平分线，恰为的平分线， ，， ， ，， ∴点P在的平分线上． 【分析】根据角平分线的性质定理得到，，可知，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】略． 3．如图，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，若，延长交线段于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，，，． 在和中， ， ，． ， ． ，， ． (2) 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，由等边对等角得出，由等角的余角相等得出． （2）在上截取，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，根据等角的补角相等得出，由等角对等边得出，进而可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，在上截取，连接． ， ． 在和中， ， ，． ，， ， ， ． 4．如图（1），已知等腰直角中，为斜边上的中线，为上的一点，且于，交于． (1)求证：； (2)如图（2）若点在的延长线上，且于，与的延长线交于，问与能相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． 【答案】(1)证明：∵是等腰直角三角形，为斜边上的中线， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)； 证明：如图， ∵是等腰直角三角形，为斜边上的中线， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）首先证明，再证明，可利用定理判定，进而得到； （2）方法与（1）类似，证明，可得． 【详解】（1）略 （2）略 5．已知：如图，，是的高交于O点，且． (1)求证：是等腰三角形． (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据、是的高，得出，证明 ， 得出，即，则，即是等腰三角形； （2）由（1）中，可得， 即，即可证明． 【详解】（1）证明：∵、是的高， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，即， ∴，即是等腰三角形； （2）证明：由（1）中，可得， 即， ∴． 6．如图，在四边形中，，过点作交于点，．求证：是等边三角形． 【答案】证明：， ． 又， ． ∴， ， 是等边三角形． 【分析】根据平行线的性质和等角对等边，得出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可解答． 【详解】略 7．已知，是等边边上的点． (1)如图1，过点作，且交于点，求证：； (2)如图2，连接，过点作，与的邻补角的平分线交于点，过作于点． ①求证：； ②猜想写出，，之间的数量关系式，并加以证明； (3)如图3，（2）中其它条件不变，若点在延长线上时，（2）中两个结论还成立吗？若不成立请直接写出新的数量关系式（不必证明）． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ， ∴，， ∴是等边三角形， ； (2)①证明：如图2所示，过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即； ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②，证明如下： 如图2所示，过点作于， ， ， 为等边三角形， ∴， ； ∵， ； ∵， ∴， 又∵， ， ， ， ∴； (3)结论①成立；结论②不成立，新的数量关系为 【分析】（1）证明是等边三角形，即可证明； （2）过点作交于点，证明是等边三角形，得到，则可证明；再证明，即可证明；②过点作于，先证明；再证明，得到，据此可得结论； （3）过点作交延长线于点，证明是等边三角形，得到，证明，得到，求出，证明，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3所示，过点作交延长线于点， ∵是等边三角形， ∴，； ， ， 是等边三角形， ， ， ，即； 同理可得， ， ， ， ， ， ， ， ∴，即． 8．如图，已知：在中，，，于D． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵，， ∴ ∴． 【分析】（1）根据同角的余角相等证明求解即可； （2）根据30度直角三角形的性质证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 9．如图，在中，，点为斜边AB上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，求证：是直角三角形． 【答案】证明：在中， ∵， ∴ 由沿翻折得， ∴， 由沿翻折得， ∴ ∴ 即是直角三角形． 【分析】首先，沿翻折得到，可得对应角，其次，沿翻折使点与点重合，可得对应角，再把拆分为和的和，根据上述关系，，在中，，因此，从而证明是直角三角形． 【详解】略 10．如图，是等边三角形，于，为边中线，、相交于点，连接． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 【答案】(1) 等边三角形，理由如下： 在等边中，，， ，， ， 又为边上的中线， ， ， 又， 是等边三角形； (2)2 【分析】该题主要考查了等边三角形的判定及其性质，直角三角形的性质；解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的判定及其性质，直角三角形的性质． （1）由等边三角形的性质可得，，可得出，由为边上的中线，得出，从而得出，再由等边三角形的判定可得结论； （2）先证明，再由可得，再求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：、分别是的中线， ，， ， ， ， ， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $