1.5 等腰三角形 同步讲义 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学等腰三角形及相关特殊三角形知识，系统梳理等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边），延伸至等边三角形的性质与判定，衔接直角三角形性质（勾股定理、两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半、含30度角直角三角形性质），构建从基础到特殊的完整知识支架。 资料以题型为导向，每个题型配套“解题知识”模块明确原理，结合典例与变式题（如电线杆固定问题、网格中等腰三角形找点），引导学生用数学眼光观察现实情境，通过推理训练发展数学思维。课中助力教师分层教学，课后通过过关验收（如梯子滑动、折叠问题）强化知识应用，帮助学生查漏补缺，提升几何直观与问题解决能力。

1.5 等腰三角形 内 容 导 航 题型1 等腰三角形的性质 题型2 等腰三角形的判定 题型3 等腰三角形的判定与性质 题型4 等边三角形的性质 题型5 等边三角形的判定 题型6 等边三角形的判定与性质 题型7 直角三角形的性质 题型8 直角三角形斜边上的中线 题型9 含30度角的直角三角形 考 点 演 练 题型1 等腰三角形的性质 解｜题｜知｜识 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【典例1】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，则下列结论不正确的是（　　） A．BD＝CD B．∠BAC＝∠ABC C．AD平分∠BAC D．S△ABD＝S△ACD 【变式1】如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆DE⊥BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【变式3】已知等腰三角形两条边的长分别为3和6，则它的周长为（　　） A．12 B．15 C．12或15 D．9或15 题型2 等腰三角形的判定 解｜题｜知｜识 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【典例1】如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 【变式1】如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点P（P在格点上），使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有 　　 个． 【变式3】如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　 　 ． 题型3 等腰三角形的判定与性质 解｜题｜知｜识 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 【典例1】如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式1】如图，在△ABC中，角平分线BF，CF相交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AB＝4，AC＝3，则△ADE的周长等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 【变式2】如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠PAN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　） A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形 B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形 C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形 D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形 【变式3】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若△AMN的周长是9，BC＝6，则△ABC的周长为（　　） A．9 B．15 C．21 D．24 题型4 等边三角形的性质 解｜题｜知｜识 17．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【典例1】如图所示，边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B、C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF．点D在BC边上从B至C的运动过程中，△BED周长变化规律为（　　） A．不变 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【变式1】如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE长为（　　） A．7 B．8 C． D．9 【变式2】已知在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为　　 ． 【变式3】如图，在△ABC中，D是AC上的一点，连接BD，在BD的延长线上取一点E，使得CB＝CE，若AB＝4，CD＝5，当△ABD是等边三角形时，则BE的长是　 　 ． 题型5 等边三角形的判定 解｜题｜知｜识 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【典例1】下列三角形中，不一定是等边三角形的是（　　） A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于60°的三角形 C．一条边上的高也是这条边上的中线的三角形 D．有一个外角等于120°的等腰三角形 【变式1】下列三角形： ①有两个角等于60°； ②有一个角等于60°的等腰三角形； ⑧三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④每边上的高也是这边上中线的三角形． 其中是等边三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【变式2】如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝1．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式3】如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形． 题型6 等边三角形的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 【典例1】已知等腰三角形的一边长为8，一个内角为60°，则它的周长是　 　 ． 【变式1】如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由． 【变式2】已知：∠EBC＝120°，BD垂直平分AC． （1）求证：△ABC为等边三角形； （2）点F在射线BD上，当△ABF为等腰三角形时，∠BAF的度数为 　 　 ． 【变式3】如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，且CE＝CD，∠E＝30°．求证：DB＝DE． 题型7 直角三角形的性质 解｜题｜知｜识 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 【典例1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝21°，则∠BDC等于（　　） A．42° B．63° C．66° D．76° 【变式1】在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝4：3：2，③∠A＝∠B∠C，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB交BC于D，交AB于E，∠CAD＝40°，则∠B等于（　　） A．40° B．30° C．25° D．10° 【变式3】在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∠C；⑤∠A＝∠B∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型8 直角三角形斜边上的中线 解｜题｜知｜识 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 【典例1】如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向右水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（　　） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小再变大 【变式1】如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为9.8km，则M、C两点间的距离为　 km． 【变式2】如图，在直角三角形ABC中，CD为斜边AB上的中线，点E是AB上方一点，且AE＝BE，连接DE，若CD＝3，AE＝4，则DE的长为　 　 ． 【变式3】已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 题型9 含30度角的直角三角形 解｜题｜知｜识 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E，DE＝2，则CE的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】如图所示，△ABC是等边三角形，D为AC的中点，DE⊥AB，垂足为E．若AE＝3，则△ABC的边长为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝75°，D是BC上一点，连接AD，若∠DAC＝60°，AC＝8，则BD的长为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，作AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若DE＝2，则BC的长度是 　 　 ． 过 关 验 收 1．将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（　　）处截断． A．①或② B．①或③ C．②或③ D．③或④ 2．如图，在△ABC中，BA＝BC，D，E分别是边AB，BC上的点，连接DE，CD，且DE垂直平分BC．若∠B＝40°，则∠ACD的度数为（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 3．如图，直线l1、l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1或l2上找一点C，使△ABC为一个等腰三角形．满足条件的点C有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 4．如图，小明将一根笔直的铁丝AB放置在数轴上，点A，B对应的数分别为﹣5，5，从点C，D两处将铁丝弯曲两头对接，围成等腰△CDE，若点C对应的数为﹣2，则点D在数轴上对应的数可能为多少？ 甲认为答案是1； 乙认为甲的答案不全，还可能是2； 丙认为除了甲、乙的答案外，还可能是1.5； 丁认为除了甲、乙、丙的答案以外还有其他可能． 四个同学谁的说法正确？（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，交AD于点E． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝28°，求∠3的度数． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 7．如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G． （1）求证△AEG为等腰三角形； （2）若GD＝5，G为CE中点，求AG的长． 8．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 9．如图，等边△ABC中，AB＝4，点D是高AH上一点，过点D作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，连接CD，当CD⊥EF时，FH＝（　　） A． B． C．1 D． 10．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点． （1）求证：△BED是等腰三角形： （2）当∠BCD＝　 °时，△BED是等边三角形． 11．如图，∠A＝∠B，CE∥DA，∠ECB＝60°，求证：△BCE是等边三角形． 12．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′，连接A′C，若BB′＝2，则线段A′C的长为 　　 ． 13．如图，在一个房间内，有一个长为1.6米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为45°，那么MN的长是　 　 米． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB，AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，则∠B的度数为（　　）度． A．30 B．45 C．60 D．30或45 15．如图，在△ABC中，∠ABC＞90°，点D是边AC上一点，分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．点G是直线AB上一点，作∠BEG＝∠C，则∠AEG与∠CDF的数量关系是（　　） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．相等或互余 16．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝45°，边BC在直线l上．以点C为旋转中心，将直线l顺时针旋转到直线l′，交AB于点E，以CE为直角边作直角△CEF，使∠CEF＝90°，∠ECF＝30°，点F和点A始终在直线l′的同侧．设∠BCE＝α（0°＜α＜90°）． （1）当CE⊥AB时，α＝　 　 ． （2）当α＝20°时，∠AEF＝　 　 °． （3）当∠AEF＝30°时，求α的大小． （4）当△CEF与△ABC重叠部分为直角三角形时，直接写出α的取值范围． 17．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　） A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断 18．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A、D、B对应的刻度分别为1、4、7（单位：cm），则CD的长度为（　　） A．6 B．4.5 C．3.5 D．3 19．如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B．∠BDC＝3∠ABD C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D．当E为AB中点时，S△BOC＝3S△COD 20．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠B＝30°，且AD＝1，那么BD＝　 　 ． 21．如图，在△ABC中，AE是边BC上的高线． （1）若AD是BC边上的中线，AE＝6cm，S△ABC＝72cm2，求BD的长． （2）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的大小． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P为BC边的中点，PD⊥AC于点D． （1）求∠C的度数； （2）求证：CD＝3AD． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 等腰三角形 内 容 导 航 题型1 等腰三角形的性质 题型2 等腰三角形的判定 题型3 等腰三角形的判定与性质 题型4 等边三角形的性质 题型5 等边三角形的判定 题型6 等边三角形的判定与性质 题型7 直角三角形的性质 题型8 直角三角形斜边上的中线 题型9 含30度角的直角三角形 考 点 演 练 题型1 等腰三角形的性质 解｜题｜知｜识 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【典例1】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，则下列结论不正确的是（　　） A．BD＝CD B．∠BAC＝∠ABC C．AD平分∠BAC D．S△ABD＝S△ACD 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，AD是边BC上的高， ∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC， ∴， 故选项A、C、D正确，不符合题意， 而已知条件无法证明∠BAC＝∠ABC，故选项B错误，符合题意． 故选：B． 【变式1】如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由条件可知， ∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角， ∴； 同理可得，， ∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是． 故选：B． 【变式2】如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆DE⊥BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【解答】解：工程人员这种操作方法的依据是：等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 【变式3】已知等腰三角形两条边的长分别为3和6，则它的周长为（　　） A．12 B．15 C．12或15 D．9或15 【答案】B 【解答】解：∵等腰三角形的两边长分别是3和6， ∴根据等腰三角形的性质，分情况讨论得， 当腰长为6时，3+6＝9＞6，三角形的周长为6+6+3＝15； 当腰长为3时，3+3＝6，不能构成三角形； 综上所述，此等腰三角形的周长为15， 故选：B． 题型2 等腰三角形的判定 解｜题｜知｜识 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【典例1】如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 【答案】B 【解答】解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 【变式1】如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点P（P在格点上），使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解答】解：如图： 分三种情况： 当MP＝MN时，以点M为圆心，以MN长为半径作圆，则点P1，P2即为所求； 当NP＝NM时，以点N为圆心，以NM长为半径作圆，则点P3即为所求； 当PM＝PN时，作线段MN的垂直平分线，则点P4，P5即为所求； 综上所述：使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为5个， 故选：C． 【变式2】如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有 　　 个． 【答案】6． 【解答】解：如图所示： 分两种种情况： 当C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC； 当C在C5，C6位置上时，AB＝BC； 即满足点C的个数是6， 故答案为：6． 【变式3】如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　 　 ． 【答案】120°或75°或30° 【解答】 解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝30°， ①当E在E1时，OE＝CE， ∵∠AOC＝∠OCE＝30°， ∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°； ②当E在E2点时，OC＝OE， 则∠OEC＝∠OCE（180°﹣30°）＝75°； ③当E在E3时，OC＝CE， 则∠OEC＝∠AOC＝30°； 故答案为：120°或75°或30°． 题型3 等腰三角形的判定与性质 解｜题｜知｜识 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 【典例1】如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【解答】解：延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中， ， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴S△PBCS△ABC12＝6， 故选：C． 【变式1】如图，在△ABC中，角平分线BF，CF相交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AB＝4，AC＝3，则△ADE的周长等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【解答】解：∵BF平分∠ABC， ∴∠DBF＝∠CBF， ∵DE∥BC， ∴∠CBF＝∠DFB（两直线平行，内错角相等）， ∴∠DBF＝∠DFB， ∴BD＝DF， 同理FE＝EC， ∴，AD+AE+ED＝AB+AC＝4+3＝7，△ADE的周长为7， 故选：D． 【变式2】如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠PAN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　） A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形 B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形 C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形 D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形 【答案】D 【解答】解：动点Q从M点出发沿直线l向N点移动， 当AQ＝AP＝1时，△APQ是等腰三角形； 当Q运动到A的右侧AQAP时，△APQ是直角三角形； 当AQ＝AP＝1时，因为∠PAN＝60，此时△APQ是等边三角形； 当AQ＝2PA＝2时，△APQ是直角三角形． ∴依次出现的特殊三角形是等腰三角形——直角三角形——等边三角形——直角三角形． 故选：D． 【变式3】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若△AMN的周长是9，BC＝6，则△ABC的周长为（　　） A．9 B．15 C．21 D．24 【答案】B 【解答】解：∵EB平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∵MN∥BC， ∴∠EBC＝∠BEM， ∴∠ABE＝∠BEM， ∴BM＝EM， 同理可得，CN＝EN， ∵△AMN的周长是9， ∴AM+AN+MN＝AM+AN+ME+NE＝AM+AN+BM+CN＝AB+AC＝9， ∵BC＝6， ∴AB+AC+BC＝9+6＝15， 即△ABC的周长为15， 故选：B． 题型4 等边三角形的性质 解｜题｜知｜识 17．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【典例1】如图所示，边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B、C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF．点D在BC边上从B至C的运动过程中，△BED周长变化规律为（　　） A．不变 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【答案】D 【解答】解：∵AD＝DE＝DF， ∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA， ∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°， ∴∠DEA+∠DFA＝60°， ∵∠ABC＝∠DEA+∠EDB＝60°， ∴∠EDB＝∠DFA， ∵∠ACB＝∠CFD+∠CDF＝60°， ∴∠CDF＝∠BED，且∠EDB＝∠DFA，DE＝DF， ∴△BDE≌△CFD（AAS）， ∴BD＝CF，BE＝CD， ∴△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD， ∴点D在BC边上从B至C的运动过程中， ∴AD的长先变小后变大， ∴△BED周长先变小后变大， 故选：D． 【变式1】如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE长为（　　） A．7 B．8 C． D．9 【答案】D 【解答】解：由题意可知：BC＝AB＝AC＝6， ∵BD是∠ABC的平分线，CE＝CD， ∴， ∴BE＝BC+CE＝9． 故选：D． 【变式2】已知在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为　　 ． 【答案】9． 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC， ∵BC＝3， ∴AB+AC+BC＝3BC＝3×3＝9， ∴△ABC的周长为9． 故答案为：9． 【变式3】如图，在△ABC中，D是AC上的一点，连接BD，在BD的延长线上取一点E，使得CB＝CE，若AB＝4，CD＝5，当△ABD是等边三角形时，则BE的长是　 　 ． 【答案】13． 【解答】解：过点C作CF⊥BE于点F，如图所示， ∵△ABD是等边三角形， ∴DB＝AB＝4，∠ADB＝60°， ∴∠FDC＝60°， 则∠FCD＝30°． ∵CD＝5， ∴， ∴BF＝BD+DF． ∵CB＝CE，CF⊥BE， ∴BE＝2BF＝13． 故答案为：13． 题型5 等边三角形的判定 解｜题｜知｜识 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【典例1】下列三角形中，不一定是等边三角形的是（　　） A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于60°的三角形 C．一条边上的高也是这条边上的中线的三角形 D．有一个外角等于120°的等腰三角形 【答案】C 【解答】解：A、三个角都相等的三角形是等边三角形，故A不符合题意； B、由三角形内角和定理得到三角形的三个角都相等，判定三角形是等边三角形，故B不符合题意； C、由线段垂直平分线的性质推出三角形的两边相等，不能判定三角形是等边三角形，故C符合题意； D、由邻补角的性质得到等腰三角形的一个内角是60°，判定三角形是等边三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1】下列三角形： ①有两个角等于60°； ②有一个角等于60°的等腰三角形； ⑧三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④每边上的高也是这边上中线的三角形． 其中是等边三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：∵①有两个角等于60°， ∴第三个角为180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴三个角都相等，为等边三角形． ∵②有一个角等于60°的等腰三角形， ∴根据等腰三角形的性质得， 若顶角为60°，则底角为； 若底角为60°，则另一个底角为60°，顶角为60°， ∴三个角都相等，为等边三角形． ∵③三个外角都相等， 设每个外角为x，则每个内角为180°﹣x， ∴三个内角都相等， ∴每个内角为60°，为等边三角形． ∵④每边上的高也是这边上的中线， ∴对于任意边，高与中线重合， ∴三角形是等腰三角形（例如，BC边上的高也是中线，则AB＝AC）， 同理，从其他边可得AB＝BC、AC＝BC， ∴三边相等，为等边三角形， 综上所述，①②③④都是等边三角形，所以只有选项D正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝1．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【解答】解：如图，过点P作PM⊥OA于M，ON⊥OB于N． ∵OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N， ∴PM＝PN，∠PMO＝90°，∠PNO＝90°． ∴∠MPN＝360°﹣∠AOB﹣∠PMO﹣∠PNO＝60°． ∴此时，△PMN是等边三角形． 当M向MO方向移动，N向NB方向移动，∠MPM1＝∠NPN1． ∴∠M1PN1＝∠M1PN+∠NPN1＝∠M1PN+∠MPM1＝∠MPN＝60°． 在△PMM1和△PNN1中， ， ∴△PMM1≌△PNN1（ASA）． ∴PM1＝PN1． ∴△M1PN1是等边三角形． ∴当M向MO方向移动，N向NB方向移动，∠MPM1＝∠NPN1， ∴△M1PN1是等边三角形． 同理：当M向MA方向移动，N向NO方向移动，也存在无数个满足条件等边△PMN． 综上：满足条件的△PMN有无数个． 故选：D． 【变式3】如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴△BED和△CFD都是直角三角形， 在Rt△BED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC（等角对等边）． ∵∠BDE＝30°，DE⊥AB， ∴∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 题型6 等边三角形的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 【典例1】已知等腰三角形的一边长为8，一个内角为60°，则它的周长是　 　 ． 【答案】24． 【解答】解：∵一个等腰三角形的一个内角为60°， ∴根据等边三角形的判定定理得，该等腰三角形是等边三角形， 又∵其一边长为8， ∴3×8＝24，即它的周长是24， 故答案为：24． 【变式1】如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点， ∴BD垂直平分AC， ∴AB＝CB， ∵EF⊥AB， ∴∠ABC+∠E＝90°， ∵∠E＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：AD＝CE，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∠E＝30°， ∴∠CDE＝30°＝∠E， ∴CD＝CE， ∵点D是AC边的中点， ∴AD＝CD， ∴AD＝CE． 【变式2】已知：∠EBC＝120°，BD垂直平分AC． （1）求证：△ABC为等边三角形； （2）点F在射线BD上，当△ABF为等腰三角形时，∠BAF的度数为 　 　 ． 【答案】（1）∵∠EBC＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∵BD垂直平分AC， ∴AB＝BC， ∴△ABC为等边三角形； （2）30°或120°或75°． 【解答】（1）证明：∵∠EBC＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∵BD垂直平分AC， ∴AB＝BC， ∴△ABC为等边三角形； （2）解：由（1）知△ABC为等边三角形，∠ABC＝60°， ∵BD垂直平分AC，∠ABD＝30°． ①当点F在线段BD上时，∠AFB＞90°， 当△ABF为等腰三角形时，AF＝BF， ∴∠BAF＝∠ABF＝30°； ②当点F在BD的延长线上时，∠BAF＞60°， 当△ABF为等腰三角形时，AF＝AB， ∴∠AFB＝∠ABF＝30°， ∴∠BAF＝180°﹣30°﹣30°＝120°． ∴∠AFB＝∠ABF＝30°， ∴∠BAF＝180°﹣30°﹣30°＝120°． 当△ABF为等腰三角形时，BF＝AB， ∵∠ABF＝30°， ∴∠BAF＝∠AFB（180°﹣30°）＝75°， 综上所述，∠BAF的度数为30°或120°或75°， 故答案为：30°或120°或75°． 【变式3】如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，且CE＝CD，∠E＝30°．求证：DB＝DE． 【答案】详见解析． 【解答】证明：∵CE＝CD，∠E＝30°， ∴∠CDE＝∠E＝30°， ∴∠ACB＝∠E+∠CDE＝30°+30°＝60°， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB， ∴△ABC是等边三角形， ∵BD是△ABC的中线， ∴， ∴∠CBD＝∠E， ∴DB＝DE． 题型7 直角三角形的性质 解｜题｜知｜识 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 【典例1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝21°，则∠BDC等于（　　） A．42° B．63° C．66° D．76° 【答案】C 【解答】解：由折叠的性质可知：∠BCD＝∠ACD∠ACB＝45°， ∵∠BDC是△ACD的外角， ∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝45°+21°＝66°． 故选：C． 【变式1】在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝4：3：2，③∠A＝∠B∠C，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ②∵∠A：∠B：∠C＝4：3：2， 设∠A＝4x，则∠B＝3x，∠C＝2x， ∴4x+2x+3x＝180°， 解得：x＝20°， ∴∠A＝18°×4＝72°， ∴△ABC不是直角三角形； ③∵∠A＝∠B∠C， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ④∵∠A＝2∠B＝3∠C， ∴∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°， ∴∠A＝（）°， ∴△ABC为钝角三角形． ∴能确定△ABC是直角三角形的有①③共2个， 故选：B． 【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB交BC于D，交AB于E，∠CAD＝40°，则∠B等于（　　） A．40° B．30° C．25° D．10° 【答案】C 【解答】解：∵∠C＝90°，∠CAD＝40°， ∴∠ADC＝180°﹣∠C﹣∠CAD＝180°﹣90°﹣40°＝50°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠B＝∠DAB， ∵∠ADC＝∠B+∠DAB， ∴∠ADC＝2∠B＝50°， ∴∠B＝25°． 故选：C． 【变式3】在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∠C；⑤∠A＝∠B∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+∠B＝∠C180°＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意； ②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意； ③∵设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x， ∴2x+2x+x＝180°，解得x＝36°， ∴2x＝72°，故本小题不符合题意； ④设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则x+2x+3x＝180°， 解得x＝30°，故3x＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意； ⑤∵∠A＝∠B∠C， ∴∠A+∠B+∠C∠C∠C+∠C＝2∠C＝180°， ∴∠C＝90°，故本小题符合题意． 综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个． 故选：B． 题型8 直角三角形斜边上的中线 解｜题｜知｜识 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 【典例1】如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向右水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（　　） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小再变大 【答案】A 【解答】解：∵∠AOB＝90°，M为AB的中点， ∴OMAB． 同理OMCD． ∵AB＝CD． ∴OM的长度不变． 故选：A． 【变式1】如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为9.8km，则M、C两点间的距离为　 km． 【答案】4.9． 【解答】解：由题意可知△ACB是直角三角形， ∵M是AB的中点， ∴， ∵AB＝9.8km， ∴（cm）， 故答案为：4.9． 【变式2】如图，在直角三角形ABC中，CD为斜边AB上的中线，点E是AB上方一点，且AE＝BE，连接DE，若CD＝3，AE＝4，则DE的长为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，CD＝3， ∴CD＝AD＝BDAB＝3， ∵AE＝BE， ∴ED⊥AD， 在Rt△ADE中，DE， 故选：． 【变式3】已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接BE、DE， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点， ∴， ∵F是BD的中点， ∴EF⊥BD； （2）解：由（1）可知，， ∴∠EAB＝∠EBA，∠EAD＝∠EDA， ∴2∠EAB＝∠CEB，2∠EAD＝∠CED， ∵∠BAD＝30°， ∴∠BED＝60°， ∵BE＝DE， ∴△BED是等边三角形， ∴BD＝BE＝4． 题型9 含30度角的直角三角形 解｜题｜知｜识 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E，DE＝2，则CE的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解答】解：连接AE，如图： 在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝120°， ∵点D是AB的中点，DE⊥AB， ∴DE是线段AB的垂直平分线， ∴BE＝AE， ∴∠B＝∠DAE＝30°， 在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，DE＝2， ∴AE＝2DE＝4， ∵∠BAC＝120°，∠DAE＝30°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△CAE中，∠C＝30°，AE＝4， ∴CE＝2AE＝8． 故选：B． 【变式1】如图所示，△ABC是等边三角形，D为AC的中点，DE⊥AB，垂足为E．若AE＝3，则△ABC的边长为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，DE⊥AB，垂足为点E，AE＝3， ∴在直角三角形ADE中，∠A＝60°，∠AED＝90°，∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE＝6， 又∵D为AC的中点， ∴AC＝2AD＝12， ∴等边三角形ABC的边长为12， 故选：A． 【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝75°，D是BC上一点，连接AD，若∠DAC＝60°，AC＝8，则BD的长为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【解答】解：∵∠C＝90°，∠DAC＝60°，∠BAC＝75°， ∴∠ADC＝90°﹣∠DAC＝90°﹣60°＝30°，∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣75°＝15°， ∴∠BAD＝30°﹣15°＝15°＝∠B， ∴AD＝BD， 在Rt△ADC中，AC＝8，∠ADC＝30°， ∴AD＝2AC＝16， ∴BD＝AD＝16， 故选：D． 【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，作AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若DE＝2，则BC的长度是 　 　 ． 【答案】12． 【解答】解：连接AE， ∵AB＝AC，∠C＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝120°． ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴∠BAE＝∠B＝30°． 在Rt△ADE中， AE＝2DE＝4， ∴BE＝AE＝4． 在Rt△AEC中， CE＝2AE＝8， ∴BC＝BE+CE＝4+8＝12． 故答案为：12． 过 关 验 收 1．将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（　　）处截断． A．①或② B．①或③ C．②或③ D．③或④ 【答案】C 【解答】解：根据等腰三角形的性质，分情况讨论得， 当4厘米为腰时，则底为14﹣2×4＝6厘米，此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处截断； 当4厘米为底时，则腰为厘米，此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处截断； 综上所述，第二次可以在②或③处截断，所以只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 2．如图，在△ABC中，BA＝BC，D，E分别是边AB，BC上的点，连接DE，CD，且DE垂直平分BC．若∠B＝40°，则∠ACD的度数为（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 【答案】B 【解答】解：∵DE垂直平分BC， ∴BD＝CD， ∴∠BCD＝∠B＝40°， ∵BA＝BC， ∴∠BCA＝∠A＝70°， ∴∠ACD＝∠BCA﹣∠BCD＝70°﹣40°＝30°， 所以∠ACD的度数是30°， 故选：B． 3．如图，直线l1、l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1或l2上找一点C，使△ABC为一个等腰三角形．满足条件的点C有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【解答】解：以A为圆心，AB长为半径画弧，交l1、l2于4个点； 以B为圆心，AB长为半径画弧交l1、l2于2个点， 再作AB的垂直平分线交l1、l2于2个点， 共有8个点， 故选：D． 4．如图，小明将一根笔直的铁丝AB放置在数轴上，点A，B对应的数分别为﹣5，5，从点C，D两处将铁丝弯曲两头对接，围成等腰△CDE，若点C对应的数为﹣2，则点D在数轴上对应的数可能为多少？ 甲认为答案是1； 乙认为甲的答案不全，还可能是2； 丙认为除了甲、乙的答案外，还可能是1.5； 丁认为除了甲、乙、丙的答案以外还有其他可能． 四个同学谁的说法正确？（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【解答】解：设D对应的数为x，则AB＝5﹣（﹣5）＝10，AC＝﹣2﹣（﹣5）＝3，CD＝x﹣（﹣2）＝x+2，BD＝5﹣x， 由题意，得CE＝AC＝3， ∴DE＝10﹣CE﹣CD＝5﹣x， 由围成等腰△CDE，分类讨论： ①当CE＝DE时，5﹣x＝3， 解得x＝2， 即点D在数轴上对应的数为2； ②当CE＝CD时，x+2＝3， 解得x＝1， 即点D在数轴上对应的数为1； ③当CD＝DE时，x+2＝5﹣x， 解得x＝1.5， 即点D对应的数为1.5， 综上所述，点D对应的数为1、2、1.5，丙的说法正确． 故选：C． 5．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，交AD于点E． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝28°，求∠3的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠3＝31°． 【解答】（1）证明：∵BC平分∠ABD， ∴∠1＝∠2， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴△BCD是等腰三角形； （2）解：∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∵∠CDA＝28°， ∴∠CDB＝∠CDA+∠ADB＝28°+90°＝118°， ∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠CDB＝180°， ∴∠ABD＝180°﹣118°＝62°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠1＝∠2∠ABD62°＝31°， ∵∠1＝∠3， ∴∠3＝31°． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△ECF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B（180°﹣40°）＝70° ∴∠1+∠2＝110° ∴∠3+∠2＝110° ∴∠DEF＝70° 7．如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G． （1）求证△AEG为等腰三角形； （2）若GD＝5，G为CE中点，求AG的长． 【答案】（1）见详解；（2）10． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC于点D， ∴△ABD和△CDG都是直角三角形， ∵BE＝CE， ∴∠B＝∠GCD， ∴∠BAG＝∠CGD＝∠AGE， ∴AE＝GE， ∴△AEG为等腰三角形； （2）解：如图，作EH⊥AD，垂足为点H， 在△EHG和△CDG中， ， ∴△EHG≌△CDG（AAS）， ∴HG＝GD， ∵AE＝EG，EH⊥AD， ∴AH＝HG＝GD， ∵DG＝5， ∴AG＝10． 8．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形， ∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2， ∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°， ∴∠A1B1O＝∠MON， ∴A1B1＝OA1， ∴A1B1＝A1A2＝OA1， 同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1， ∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22•OA1， A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23•OA1， … ∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n， ∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64， 故选：C． 9．如图，等边△ABC中，AB＝4，点D是高AH上一点，过点D作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，连接CD，当CD⊥EF时，FH＝（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解答】解：∵等边△ABC中，AB＝4， ∴∠B＝∠ACB＝60°，AC＝BC＝4， ∵AH⊥BC， ∴， ∵EF∥AB， ∴∠EFC＝∠B＝60°， ∴△EFC是等边三角形， ∵CD⊥EF， ∴∠CDF＝90°，∠DCF＝30°， ∴， 设FH＝x，则CF＝2+x， ∴， ∵∠EFC＝60°，∠AHB＝90°， ∴∠FDH＝90°﹣∠EFC＝30°， ∴， ∴， ∴，即． 故选：B． 10．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点． （1）求证：△BED是等腰三角形： （2）当∠BCD＝　 °时，△BED是等边三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC边的中点， ∴BEAC，DEAC， ∴BE＝DE， ∴△BED是等腰三角形； （2）∵AE＝ED， ∴∠DAE＝∠EDA， ∵AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA， ∵∠DAE+∠EDA＝∠DEC， ∠EAB+∠EBA＝∠BEC， ∴∠DAB∠DEB， ∵△BED是等边三角形， ∴∠DEB＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°． 故答案为：150． 11．如图，∠A＝∠B，CE∥DA，∠ECB＝60°，求证：△BCE是等边三角形． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵CE∥DA， ∴∠A＝∠BEC， 又∵∠A＝∠B， ∴∠B＝∠BEC， ∵∠ECB＝60°， ∴∠B＝∠BEC＝60°， ∴△BCE是等边三角形． 12．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′，连接A′C，若BB′＝2，则线段A′C的长为 　　 ． 【答案】4． 【解答】解：由平移得：A′B′＝AB＝4，∠A′B′C＝∠B＝60°， ∵BC＝6，BB′＝2， ∴B′C＝6﹣2＝4， ∴△A′B′C是等边三角形， ∴A′C＝A′B′＝4， 故答案为：4． 13．如图，在一个房间内，有一个长为1.6米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为45°，那么MN的长是　 　 米． 【答案】1.6． 【解答】解：有一个长为1.6米的梯子斜靠在墙上，倾斜角分别为75°，45°， 结合图形得：∠ACM＝75°，∠BCN＝45°，CM＝1.6米， ∴∠MCN＝180°﹣∠ACM﹣∠BCN＝60°， ∵CM＝CN， ∴△CMN为等边三角形， ∴MN＝CM＝1.6米， 故答案为：1.6． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB，AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，则∠B的度数为（　　）度． A．30 B．45 C．60 D．30或45 【答案】D 【解答】解：∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形， ∴CF＝CD， ∴∠CFD＝∠CDF＝45°， 设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE， ∴∠FDA∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°， 分类如下： ①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x， 解得：x＝22.5°． 此时∠B＝2x＝45°； 见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB． ②当BD＝BE时，则∠B＝（180°﹣4x）°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x， 解得x＝37.5°， 此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°． 图形（2）说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°． ③DE＝BE时，则∠B（180﹣2x）°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x（180﹣2x）°， 此方程无解． ∴DE＝BE不成立． 综上所述，∠B＝45°或30°． 故选：D． 15．如图，在△ABC中，∠ABC＞90°，点D是边AC上一点，分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．点G是直线AB上一点，作∠BEG＝∠C，则∠AEG与∠CDF的数量关系是（　　） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．相等或互余 【答案】C 【解答】解：分两种情况： 当点G在线段AB上时，如图： ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴∠AEG+∠GEB＝90°，∠C+∠CDF＝90°， ∵∠BEG＝∠C， ∴∠AEG＝∠CDF； 当点G在线段AB的延长线上时，如图： ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴∠C+∠CDF＝90°， ∵∠BEG＝∠C， ∴∠BEG+∠CDF＝90°， ∴∠AEG+∠CDF＝∠AEB+∠BEG+∠CDF＝180°； 综上所述：∠AEG与∠CDF的数量关系是相等或互补， 故选：C． 16．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝45°，边BC在直线l上．以点C为旋转中心，将直线l顺时针旋转到直线l′，交AB于点E，以CE为直角边作直角△CEF，使∠CEF＝90°，∠ECF＝30°，点F和点A始终在直线l′的同侧．设∠BCE＝α（0°＜α＜90°）． （1）当CE⊥AB时，α＝　 　 ． （2）当α＝20°时，∠AEF＝　 　 °． （3）当∠AEF＝30°时，求α的大小． （4）当△CEF与△ABC重叠部分为直角三角形时，直接写出α的取值范围． 【答案】（1）45°； （2）25°； （3）15°； （4）α＝15°或45°≤α＜90°． 【解答】解：（1）当CE⊥AB时，则∠CEB＝90°， ∵∠B＝45°， ∴α＝∠BCE＝∠CEB﹣∠B＝45°， 故答案为：45°； （2）当α＝20°时， ∴∠AEC＝∠B+∠BCE＝45°+25°＝65°， ∵∠CEF＝90°， ∴∠AEF＝∠CEF﹣∠AEC＝25°， 故答案为：25°； （3）当∠AEF＝30°时， ∴∠AEC＝∠CEF﹣∠AEF＝90°﹣30°＝60°， ∵∠AEC＝∠B+∠BCE， ∴60°＝45°+α， ∴α＝15°； （4）过点C作CH⊥AB， ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BCH＝45°， 又∵∠CEF＝90° ∴有以下三种情况讨论如下： ①当点E在线段BH上时，点F在△ABC的外部， 因此当△CEF与△ABC重叠部分为直角三角形时，CF与CH重合，如图1所示： ∵∠ECF＝30°， ∴α＝∠BCE＝∠BCH﹣∠ECF＝45°﹣30°＝15°， ②当点E与点H重合时，点F与落在AB上，此时△CEF与△ABC重叠部分为△CEF，如图2所示： 此时α＝∠BCH＝45°， ③当点E在线段HA上时，此时△CEF与△ABC重叠部分为△CEF或△CEF的一部分，如图3所示： ∴45°＜α＜90°， 综上所述：当△CEF与△ABC重叠部分为直角三角形时，α的取值范围是：α＝15°或45°≤α＜90°． 17．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　） A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断 【答案】B 【解答】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化， 理由是：连接OP， ∵∠AOB＝90°，P为AB中点，AB＝2a， ∴OPAB＝a， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a； 故选：B． 18．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A、D、B对应的刻度分别为1、4、7（单位：cm），则CD的长度为（　　） A．6 B．4.5 C．3.5 D．3 【答案】D 【解答】解：由题意可知：AB＝6cm，AD＝DB， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线， ∴CDAB＝3（cm）， 故选：D． 19．如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B．∠BDC＝3∠ABD C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D．当E为AB中点时，S△BOC＝3S△COD 【答案】D 【解答】解：如图所示，连接DE， ∵CE⊥AB，D是AC的中点， ∴DE为Rt△AEC斜边上的中线， ∴， ∵BE＝CD， ∴BE＝DE， ∴点E在线段BD的垂直平分线上，即BD的垂直平分线一定与AB相交于点E，故选项A正确，不符合题意； 设∠ABD＝α， ∵BE＝DE， ∴∠EDB＝∠ABD＝α， ∴∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α， ∵DE＝AD， ∴∠A＝∠AED＝2α， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α，即∠BDC＝3∠ABD，故选项B正确，不符合题意； 当E为AB中点时，则， ∵CE⊥AB， ∴CE是线段AB的垂直平分线， ∴AC＝BC， ∵，，BE＝CD， ∴AB＝AC， ∴AC＝BC＝AB， ∴△ABC是等边三角形，故选项C正确，不符合题意； 当E为AB中点时，△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，CE平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∠OCD＝30°， ∴OB＝OC， 又∵点D为AC的中点， ∴BD⊥AC， ∴， ∴BD＝3OD， ∵，， ∴， ∴，即S△BOC＝2S△COD，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 20．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠B＝30°，且AD＝1，那么BD＝　 　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴AB＝2AC，∠A＝90°﹣30°＝60°， ∵CD⊥AB， ∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°， ∴AC＝2AD， ∴AB＝4AD， ∵AD＝1， ∴AB＝4， ∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 21．如图，在△ABC中，AE是边BC上的高线． （1）若AD是BC边上的中线，AE＝6cm，S△ABC＝72cm2，求BD的长． （2）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的大小． 【答案】（1）12cm； （2）10°． 【解答】解：（1）∵AE＝6cm，S△ABC＝72cm2， ∴BC＝72×2÷6＝24（cm）， ∵AD是BC边上的中线， ∴BDBC＝12cm； （2）∵∠B＝30°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝100°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝50°， ∵∠ADE是△ABD的一个外角， ∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝30°+50°＝80°， 在直角三角形ADE中∠DAE＝90°﹣80°＝10°． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P为BC边的中点，PD⊥AC于点D． （1）求∠C的度数； （2）求证：CD＝3AD． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：如图，连接AP， ∵AB＝AC，P为BC边的中点， ∴AP⊥BC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠C（180°﹣∠BAC）（180°﹣120°）＝30°； （2）证明：由（1）知，∠C＝30°． ∵PD⊥AC， ∴∠CPD+∠C＝90°， 又∵∠APD+∠CPD＝90°， ∴∠APD＝∠C＝30°， ∴AP＝2AD，AC＝2AP， ∴AC＝4AD， ∴CD＝AC﹣AD＝4AD﹣AD＝3AD， 即CD＝3AD． 学科网（北京）股份有限公司 $