专题七 勾股定理与逆定理【（挑战压轴题）导图知识卡片+十三大考点讲练+思维拓展训练 共43题】-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题七 勾股定理与逆定理 【思维导图+十三大考点讲练+思维拓展训练 共43题〔原卷版〕】 目 录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 2 【考点讲练-重点难点 举一反三】 2 「压轴考向一 勾股定理的探究」 【压轴考点01】用勾股定理解三角形 2 【压轴考点02】以直角三角形三边为边长的图形面积 4 【压轴考点03】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 5 【压轴考点04】利用勾股定理证明线段平方关系 7 【压轴考点05】勾股定理的证明方法 9 【压轴考点06】以弦图为背景的计算题 11 【压轴考点07】用勾股定理构造图形解决问题 12 【压轴考点08】勾股定理与无理数 15 「压轴考向二 勾股定理的逆定理」 【压轴考点09】勾股树（数）问题 16 【压轴考点10】判断三边能否构成直角三角形 17 【压轴考点11】在网格中判断直角三角形 19 【压轴考点12】利用勾股定理的逆定理求解 20 【压轴考点13】勾股定理逆定理的拓展问题 21 【压轴强化-精选真题 实战演练】 22 「压轴考向一 勾股定理的探究」 【压轴考点01】用勾股定理解三角形 【典例精讲】（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）综合与实践 在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (3)【应用拓展】借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值． 【对应练习1】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）2025年是“全运年”，第十五届全运会将于2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从点到点有两条路线，分别是和．已知，，．，．如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 【对应练习2 】（25-26八年级上·广东深圳·期中）在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值________________ ． 【压轴考点02】以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（26-27八年级上·山东青岛·开学考试）五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（     ） A．12 B．14 C．15 D．17 【对应练习1】（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各图形着色部分的面积： (1)如图①，着色部分是正方形； (2)如图②，着色部分是长方形； (3)如图③，着色部分是半圆（保留）． 【对应练习2】（26-27八年级上·全国·课后作业）欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明，其思路是把直角三角形斜边所构成的正方形分割成两个长方形，然后证明每个长方形的面积分别与两个由直角边所构成的正方形的面积相等．如图，在中，，由的三边分别向外作正方形，过点C作的垂线，分别交、于点J和点K，这样就把正方形分成两个长方形和．连结、．请试着利用该图形证明勾股定理． 【压轴考点03】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【对应练习1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【对应练习2】（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）探究与应用 [问题初探]（1）如图1，是的中线，则线段会有何种数量关系呢？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点作于点， 在中，，．① 在中，．② 由①+②得：． ， 又在中，______， …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是______． [简单应用]（2）如图（2），在中，是中线，，，，求的长． [灵活应用]（3）在中，，点D是上一点，且，连接，过点D作，则_______． [深度思考]（4）已知线段，点D在线段上，，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 【压轴考点04】利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【对应练习1】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【对应练习2】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：_____； (2)如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； (3)如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【压轴考点05】勾股定理的证明方法 【典例精讲】（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【对应练习1】（25-26八年级下·广东惠州·期末）小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 【对应练习2】（25-26八年级下·广东东莞·期中）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【压轴考点06】以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【对应练习1】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【对应练习2】（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 【压轴考点07】用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（24-25八年级下·广东湛江·期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 【对应练习1】【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】 (1)如图1，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； (2)如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：______． 【运用】 (3)n边形有个顶点，在它的内部再画个点，以个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以． 当，时，如图，______；当，______时，； 对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得______用含、的代数式表示）． 【对应练习2】（25-26八年级上·上海黄浦·期末）“数形结合”是数学中重要思想方法，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化为更直观的几何问题解决．先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：代数式和中出现了两数平方和的形式，容易联想到直角三角形中三边之间的关系，可将看作是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，看作是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，于是，我们构造两个和（如图1），如图2，当直角边和在同一直线上且点与点重合． 这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？” (1)在图3中，代数式的最小值可用线段______的长表示，该线段的长为______． (2)若将原问题中“”改成“”，能否利用（1）的结论解决？（即求代数式的最小值）若能，请写出解答过程并求解；若不能，请说明理由． (3)请使用与（1）中类似的方法求的最大值．（请画出示意图并求解） 【压轴考点08】勾股定理与无理数 【典例精讲】如图，在正方形中，顶点分别与数轴上表示数1，3的点重合．将正方形绕点顺时针旋转一周，正方形的边与数轴的交点所表示的数中，最大的数为（     ） A．5 B． C． D．9 【对应练习1】（24-25八年级下·四川南充·阶段检测）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【对应练习2】（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 「压轴考向二 勾股定理的逆定理」 【压轴考点09】勾股树（数）问题 【典例精讲】满足勾股定理的正整数称为勾股数，观察以下两组勾股数的规律： (1)按此规律，填空：， 上面一组勾股数中，▲表示 ，〇表示 ； (2)猜想： ①当n是大于1的奇数时，勾股数为：（n，，），请你给出证明； ②当2n是大于2的偶数时，直接用n表示勾股数：（，， ）． 【对应练习1】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 【对应练习2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”． (1)若，，则，的“调和数”_______． (2)若，，求，的“调和数”； (3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值． 【压轴考点10】判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，于点D，，，． (1)求的值； (2)判断的形状，并说明理由． 【对应练习1】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积是（   ） A．24 B．32 C．36 D．40 【对应练习2】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 【压轴考点11】在网格中判断直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)的长为____________； (3)为______三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． 【对应练习1】如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【对应练习2】（25-26八年级下·天津·期中）已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点 M； ①找格点 E， 作线段； ②直接写出的度数 _________． (2)如图2， 点A、B、C均在格点上， 在上作点 M， 使． 请叙述你的作图方法，不要求证明．_________． 【压轴考点12】利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求的度数．（用表示） 【对应练习1】（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，，两点相距，机器狗由点出发，沿北偏东方向行走到达点，然后从点行走到达点，此时机器狗位于点的（     ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 【对应练习2】（25-26九年级下·湖南株洲·开学考试）如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【压轴考点13】勾股定理逆定理的拓展问题 【典例精讲】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【对应练习1】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【对应练习2】定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 1．（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（     ） A．35 B．43 C．89 D．97 2．（26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在中，，点是的中点，点是边上一点，且，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（    ） A．7 B．8 C． D． 4．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 5．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 6．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 7．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，已知中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的长为__________． 8．（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）如图，在中，，一只蜗牛从点C出发，以每分钟的速度沿的路径再回到点C，需要_______分钟． 9．（26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 10．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图，是边长为7的等边三角形，D，E分别为，上两点，连接，交于点F，连接，若，，则______． 11．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）在中，，，，平分，交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)求的长． 12．（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）数学活动课上，学习小组开展实践活动 【探究发现】三国时期的赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法验证了勾股定理． (1)已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图可知． ______，______，______， ，化简得． (2)【深入思考】如图2，用两个（1）中的直角三角形拼成一个梯形．求证：． (3)【实际应用】将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，形成如图3所示的风车．若，，风车外围轮廓（实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 13．（25-26八年级下·辽宁朝阳·期末） 如图，在四边形中，，，，且． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 14．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，．延长到点D，连接． (1)求证：； (2)若命题“线段比线段长8”是真命题，求线段的长． 15．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）【问题解决】 (1)如图1，在中，为的中线，若，，请求出的取值范围． 【思考探究】 (2)如图2，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，为中点，连结，，．请判断的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)若将图2中的等腰绕点转至图3的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，，则的面积为 ． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null 2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题七 勾股定理与逆定理 【思维导图+十三大考点讲练+思维拓展训练 共43题〔解析版〕】 目 录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 2 【考点讲练-重点难点 举一反三】 2 「压轴考向一 勾股定理的探究」 【压轴考点01】用勾股定理解三角形 2 【压轴考点02】以直角三角形三边为边长的图形面积 6 【压轴考点03】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 9 【压轴考点04】利用勾股定理证明线段平方关系 13 【压轴考点05】勾股定理的证明方法 18 【压轴考点06】以弦图为背景的计算题 23 【压轴考点07】用勾股定理构造图形解决问题 25 【压轴考点08】勾股定理与无理数 30 「压轴考向二 勾股定理的逆定理」 【压轴考点09】勾股树（数）问题 32 【压轴考点10】判断三边能否构成直角三角形 36 【压轴考点11】在网格中判断直角三角形 40 【压轴考点12】利用勾股定理的逆定理求解 43 【压轴考点13】勾股定理逆定理的拓展问题 45 【压轴强化-精选真题 实战演练】 49 「压轴考向一 勾股定理的探究」 【压轴考点01】用勾股定理解三角形 【典例精讲】（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）综合与实践 在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (3)【应用拓展】借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)证明：∵直角三角形的两直角边长分别为a，b， ∴一个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：， ∵大正方形的面积也可以表示为： ∴， ∴， ∴． (2) (3)20 【思路引导】（1）用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明． （2）设，则，利用勾股定理以及即可得出，解方程即可求出． （3）变形后的式子可表示在长为16的线段上找一点，使其到两端点垂线（长度分别为3和9）顶点的距离之和最小，根据几何模型，最小值为以16和为直角边的直角三角形的斜边长，最后根据勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）略； （2）解：设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得：， 即． （3）解：原式可变形成， 变形后的式子可表示在长为16的线段上找一点，使其到两端点垂线（长度分别为3和9）顶点的距离之和最小， 根据几何模型，最小值为以16和为直角边的直角三角形的斜边长， 即最小值为：． 【对应练习1】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）2025年是“全运年”，第十五届全运会将于2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从点到点有两条路线，分别是和．已知，，．，．如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 【答案】小亮跑的路线更短 【思路引导】由勾股定理求得，的长度，求和的长度，比较即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， 而， ∵， ∴， ∴小亮跑的路线更短． 【对应练习2 】（25-26八年级上·广东深圳·期中）在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值________________ ． 【答案】 【思路引导】过点作直线，在上截取（点在点的左侧），过点作于点，连接，推出，由勾股定理得，则，由勾股定理得，证明得，则，据此可得答案． 【规范解答】解：如图，过点作直线，在上截取（点在点的左侧），过点作于点，连接， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长即， ∴的最小值为． 【压轴考点02】以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（26-27八年级上·山东青岛·开学考试）五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（     ） A．12 B．14 C．15 D．17 【答案】D 【思路引导】如图，先根据正方形面积公式和勾股定理求出，则，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【规范解答】解：如图， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴含有问号的那个正方形的面积是17． 【对应练习1】（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各图形着色部分的面积： (1)如图①，着色部分是正方形； (2)如图②，着色部分是长方形； (3)如图③，着色部分是半圆（保留）． 【答案】(1) (2) (3) 【规范解答】（1）解：正方形的边长为， 正方形的面积为； （2）解：长方形的长为， 长方形的面积为； （3）解：半圆的直径为， 半圆的面积为． 【对应练习2】（26-27八年级上·全国·课后作业）欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明，其思路是把直角三角形斜边所构成的正方形分割成两个长方形，然后证明每个长方形的面积分别与两个由直角边所构成的正方形的面积相等．如图，在中，，由的三边分别向外作正方形，过点C作的垂线，分别交、于点J和点K，这样就把正方形分成两个长方形和．连结、．请试着利用该图形证明勾股定理． 【答案】证明：如图，过点C作的垂线，分别交于点J和点K，连接、、、． ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【思路引导】如图，过点C作的垂线，分别交于点J和点K，连接、、、．先根据证明，则可得，进而可得，同理可得，进而可得，从而可得． 【规范解答】略 【考点剖析】本题主要考查利用割补法和面积法证明勾股定理，证明， 是解题的关键． 【压轴考点03】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【规范解答】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 【对应练习1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【规范解答】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 【对应练习2】（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）探究与应用 [问题初探]（1）如图1，是的中线，则线段会有何种数量关系呢？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点作于点， 在中，，．① 在中，．② 由①+②得：． ， 又在中，______， …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是______． [简单应用]（2）如图（2），在中，是中线，，，，求的长． [灵活应用]（3）在中，，点D是上一点，且，连接，过点D作，则_______． [深度思考]（4）已知线段，点D在线段上，，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 【答案】 （1）在中，，．① 在中，．② 由得：． ， 又在中，， ； （2）；（3）8；（4） 【思路引导】（1）根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可； （2）根据（1）中结论求出，再通过三角形的中线得到求解即可； （3）取的中点，连接，由（1）可知，，在直角三角形中，，在中，对三个式子进行化简计算即可； （4）取中点，连接，由（1）可知，求出，再通过三边关系即可求解． 【规范解答】 解：（1）略 （2）由（1）可知，， ∵，，， ∴， ∴（负值已舍）， ∵在中，是中线， ∴； （3）∵， ∴， 取的中点，连接， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可知，，设， ∴， 又∵在直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）取中点，连接， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴（负值已舍）， ∵， ∴， ∴，当三点在同一直线时等号成立， ∴的最大值为． 【压轴考点04】利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)136 【思路引导】（1）由“垂美”四边形的定义得到，再由勾股定理即可求解； （2）由（1）可得 ，即可求解． 【规范解答】（1）解：四边形是“垂美”四边形， ， ∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，． （2）解：由（1）有，，，． ∴ ， ，， ． 【对应练习1】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【答案】(1)（i）>；（ii）< (2) 若，则>；证明如下： 如图，过点A作于点D，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵ ∴ 若，则．证明如下： 如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵， ∴． 【思路引导】（1）根据题意写出猜想； （2）利用勾股定理分别证明猜想即可． 【规范解答】（1）解：猜想：（i）若，则>， （ii）若，则． 【对应练习2】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：_____； (2)如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； (3)如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又，， ， ，， ， ， ； ， ， ， ； (3)， 如图，延长到使，连接， 为中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【思路引导】（1）延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． （1）延长至点，使，连接， 根据可得，则可得，，再证，则可得，进而可得 ； （3）延长到使，连接，．根据可得，则可得，，进而可得，则可得．再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得． 【规范解答】（1）解：延长到点，使，连接，如图所示： ， 在中，，，是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边之间关系得：， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【压轴考点05】勾股定理的证明方法 【典例精讲】（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【思路引导】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【规范解答】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 【对应练习1】（25-26八年级下·广东惠州·期末）小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 【答案】证明：如图，作，垂足为点， 设与的交点为， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为长方形， ， ， . 【思路引导】作，垂足为点，设与的交点为，证明，推出，分割法求出四边形的面积，即可得证. 【对应练习2】（25-26八年级下·广东东莞·期中）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【思路引导】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （3）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （4）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积大正方形面积， 故答案为：； （3）根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （4）如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 【压轴考点06】以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【思路引导】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，从而确定小正方形的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形中的长度． 【规范解答】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ， ， ， ∴在正方形中，， 在直角三角形中，． 【对应练习1】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【思路引导】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计算即可． 【规范解答】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 【对应练习2】（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 【答案】C 【思路引导】设，则，由题意及勾股定理列方程求出即可判断A、B；结合三角形全等的判定与性质即可判断C；结合前面的推导得出，直接计算即可判断D． 【规范解答】解：A、设，则， 在中，， 正方形的面积为， ，则， 解得， 四个相同的直角三角形（，，，）， ， 则正方形的面积为，选项结论错误； B、在中，，选项结论错误； C、在正方形中，，则， ， ， 由A的推导过程可知，则， ，即是的中点，选项结论正确； D、由前面的求解过程可知，，则，选项结论错误． 【压轴考点07】用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（24-25八年级下·广东湛江·期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 【答案】 【思路引导】设，在中利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【规范解答】解：设， 根据题意得：，，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴秋千绳索（或）长尺． 【对应练习1】【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】 (1)如图1，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； (2)如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：______． 【运用】 (3)n边形有个顶点，在它的内部再画个点，以个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以． 当，时，如图，______；当，______时，； 对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得______用含、的代数式表示）． 【答案】(1)，，结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 (2) (3)①，；② 【思路引导】（1）用两种方法表示出梯形的面积，从而得出，即可得出结论； （2）由图可得行列的棋子排成一个正方形，棋子个数为，按斜线计数每线棋子分别为，，，，，，，，，，，，，由两种方法的棋子数相等得出答案； （3）根据画出图形探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加部分，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：由图形可得，， ∴， ∴， ∴， 结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）解：行列的棋子排成一个正方形，棋子个数为， 按下图的斜线的棋子数相加得， ∴； （3）解：当，时，如图，； 当，时，； 个三角形，共条边，其中边形的每边都只使用一次，其他边各使用两次，故边形内部共有条线段； 边形内部有个点时，其内部共有条线段，共分成个三角形，每增加一个点，都必在某个小三角形内，从而增加3条线段，故边形内部有个点时，其内部共有条线段； 由， 化简得． 【对应练习2】（25-26八年级上·上海黄浦·期末）“数形结合”是数学中重要思想方法，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化为更直观的几何问题解决．先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：代数式和中出现了两数平方和的形式，容易联想到直角三角形中三边之间的关系，可将看作是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，看作是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，于是，我们构造两个和（如图1），如图2，当直角边和在同一直线上且点与点重合． 这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？” (1)在图3中，代数式的最小值可用线段______的长表示，该线段的长为______． (2)若将原问题中“”改成“”，能否利用（1）的结论解决？（即求代数式的最小值）若能，请写出解答过程并求解；若不能，请说明理由． (3)请使用与（1）中类似的方法求的最大值．（请画出示意图并求解） 【答案】(1)；13 (2)能利用（1）的结论解决；的最小值为13 (3)的最大值为 【思路引导】本题主要考查了数形结合思想、勾股定理的几何应用以及三角形三边关系，将代数式转化为几何图形中的线段长度（直角三角形斜边），利用三角形三边关系变形规则是解题的关键． （1）由三角形三边关系可知，当，，三点共线时，，则的最小值可用线段的长来表示；过点作交的延长线于，则四边形为矩形，可得，的长，从而可得的长，再利用勾股定理可得的长，即可得结论； （2）在直角坐标系中构造和，，，，则，，，，，∴，，连接，过点作交延长线于点，则四边形是矩形，可得，的长，从而可得，再利用勾股定理可得，根据三角形的两边之和大于第三边可得，当，，三点共线时，即可得结论； （3）构造和，，，， 设，则， ，，连接，过点作于点，则四边形是矩形，可得，的长，从而可得，再利用勾股定理可得，根据三角形的两边之和大于第三边可得，当，，三点共线时，即可得结论； 【规范解答】（1）解：由三角形三边关系可知，当，，三点共线时，，则的最小值可用线段的长来表示； 过点作交的延长线于，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：；13． （2）解：能利用（1）的结论解决． 过程如下： 如图，在直角坐标系中构造和，，，，则，，，，， ∴，， 过点作交延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，即，当，，三点共线时，， ∴的最小值为13． （3）解：如图，构造和，，，， 设，则， ，， 连接，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵，即，当，，三点共线时，， ∴的最大值为． 【压轴考点08】勾股定理与无理数 【典例精讲】如图，在正方形中，顶点分别与数轴上表示数1，3的点重合．将正方形绕点顺时针旋转一周，正方形的边与数轴的交点所表示的数中，最大的数为（     ） A．5 B． C． D．9 【答案】C 【规范解答】解：正方形的顶点中到点距离最远的是点，易得， 点到点的距离为， 顶点与数轴上表示1的点重合， ∴当点在数轴原点的右侧时，点到原点的距离为，正方形的边与数轴的交点所表示的数最大为， 故选C． 【对应练习1】（24-25八年级下·四川南充·阶段检测）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】利用勾股定理求出的长，再根据数轴上点的位置关系求解． 【规范解答】解：由图可知，点表示的数为1， 在网格中构造以为斜边的直角三角形，两直角边长分别为1和3， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点， ∴， ∵点在点的右侧， ∴点表示的数为． 【对应练习2】（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 【答案】/ 【思路引导】通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【规范解答】解：根据题意得：，点表示的数为2，点表示的数为3， 即点表示的数为，， ∴， ∴， 同理，，……， 以此类推可得， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，， ∴． 「压轴考向二 勾股定理的逆定理」 【压轴考点09】勾股树（数）问题 【典例精讲】满足勾股定理的正整数称为勾股数，观察以下两组勾股数的规律： (1)按此规律，填空：， 上面一组勾股数中，▲表示 ，〇表示 ； (2)猜想： ①当n是大于1的奇数时，勾股数为：（n，，），请你给出证明； ②当2n是大于2的偶数时，直接用n表示勾股数：（，， ）． 【答案】(1)8，10； (2)①证明：∵，， ， ∴当n是大于1的奇数时，勾股数为：（n，，）； ② 【思路引导】（1）找到两个正整数的和与它们的差为36即可； （2）①根据整式的加减即可证明； ②根据完全平方公式和整式的加减即可求解. 【规范解答】（1）解：按此规律，填空： 上面一组勾股数中，▲表示8，〇表示10； （2）解：①略 ②∵， ∴当是大于2的偶数时，用n表示勾股数：． 【对应练习1】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 【答案】(1) (2)第个勾股数组为 ． 证明：由题意可知：第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是， 令， ， ， 则 ， 即， 所以 是满足上述规律的第个勾股数组． (3)的值为 【思路引导】（1）根据算式规律写出下一个等式，从而得出对应的勾股数组； （2）先根据最小数字(勾股数组第一个数字)总结规律可知第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是，再利用题干中等式规律可知第个勾股数组的第二个数字是即，则第个勾股数组的第三个数字，从而总结出第个勾股数组为．验证是否成立即可证明． （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组，故令，则，利用作差法消元求出n和m，继而求出x． 【规范解答】（1）由，，的规律可知：下一个等式是， 则对应的勾股数组是； （2）略 （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组， 故令，则， ∴，， ∴，， 解得：(负值舍去)，， ∴，， 此时，符合题意， 所以，的值为 【对应练习2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”． (1)若，，则，的“调和数”_______． (2)若，，求，的“调和数”； (3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【思路引导】（1）根据“调和数”的定义得出关于的一元一次方程，求解即可； （2）利用完全平方公式计算得出或，分两种情况，分别利用“调和数”的定义，计算即可得出结果； （3）求出，再结合且，，均为正整数，得出，，为勾股数组合，由此计算即可得出结果． 【规范解答】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：∵， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴； 综上所述，或； （3）解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵，，均为正整数， ∴， ∴将两边同时除以得， ∴， ∴， ∵且，，均为正整数， ∴，，为勾股数组合， 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 验证其他常见勾股数均不满足条件，因此的取值为或或． 【压轴考点10】判断三边能否构成直角三角形 【典例精讲】（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，于点D，，，． (1)求的值； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是直角三角形，理由如下： 由（1）可知，， ∴ 5， ∵， ∴是直角三角形，且． 【思路引导】（1）利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出． （2）先求出，再利用勾股定理逆定理求解即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴AD； （2）解：略； 【对应练习1】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积是（   ） A．24 B．32 C．36 D．40 【答案】C 【规范解答】解：如图，连接， ，， ， ， ， ， 是直角三角形，，． 【对应练习2】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 【答案】(1)证明：由图可得，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴， ∴， ∴． (2)48 (3) 【思路引导】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积的和，即可求解； （2）设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，，可得，，，即可求解； （3）延长交于点，证明，可得，可得，在中，，，，可得，再证明，可得，，，即可求解． 【规范解答】（1）略 （2）解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，， ∴，，， ∴ ． （3）解：如图，延长交于点， ∵正方形的边长为10， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴在中，． 【压轴考点11】在网格中判断直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)的长为____________； (3)为______三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求； (2)5 (3)直角 (4)10 【思路引导】（1）根据题意结合网格的特点作图即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）利用勾股定理求出对应三角形三边的长，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （4）利用割补法求解即可． 【规范解答】（1）略 （2）解：由勾股定理和网格的特点可得； （3）解：由勾股定理和网格的特点可得，，， ∴， ∴是直角三角形； （4）解：． 【对应练习1】如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先判定是直角三角形，再用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算即可． 【规范解答】解：由图可得，， ， 为直角三角形．， 又为中点， ， ． 【对应练习2】（25-26八年级下·天津·期中）已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点 M； ①找格点 E， 作线段； ②直接写出的度数 _________． (2)如图2， 点A、B、C均在格点上， 在上作点 M， 使． 请叙述你的作图方法，不要求证明．_________． 【答案】(1) ①如图1中， 直线即为所求； ② (2) 如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 【思路引导】（1）①根据格点特点把向上平移1格即可；②先证明为等腰直角三角形，再利用平行线的性质可得答案； （2）如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 【规范解答】（1）解：① 略 ②∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； （2） 理由：同理可得：，， 而， ∴， 故答案为：取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为． 【压轴考点12】利用勾股定理的逆定理求解 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求的度数．（用表示） 【答案】 【思路引导】勾股定理求出的长，勾股定理逆定理求出，再根据直角三角形的性质，求出的度数即可. 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【对应练习1】（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，，两点相距，机器狗由点出发，沿北偏东方向行走到达点，然后从点行走到达点，此时机器狗位于点的（     ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 【答案】B 【思路引导】先通过勾股定理逆定理判定为直角三角形，得到，再利用南北方向线互相平行的性质求出的度数，作差算出与的夹角，从而确定相对于的方位． 【规范解答】解：， ， ， ，如下图： ， ， ， 此时机器狗位于点的北偏西方向上． 【对应练习2】（25-26九年级下·湖南株洲·开学考试）如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接，根据旋转的性质得，，，则可判断为等边三角形，所以，，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，从而得到． 【规范解答】解：∵为等边三角形， ∴，， 把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 【压轴考点13】勾股定理逆定理的拓展问题 【典例精讲】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【思路引导】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 【对应练习1】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3) 解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【规范解答】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）略 【对应练习2】定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1) 是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． (2)BN＝12或13 【思路引导】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【规范解答】（1）略 （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【考点剖析】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 1．（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（     ） A．35 B．43 C．89 D．97 【答案】D 【思路引导】根据正方形的面积及直角边的关系，列出，再由完全平方公式变形求解即可． 【规范解答】解：∵它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b， ∴， ∴， ∴． 2．（26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在中，，点是的中点，点是边上一点，且，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据线段垂直平分线的性质得出，设，在中利用勾股定理列方程求解． 【规范解答】解：点是的中点，， 垂直平分， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 3．（26-27八年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（    ） A．7 B．8 C． D． 【答案】C 【思路引导】连接，由折叠的性质可得，，，则，因此的周长等同于，当、、三点共线时，取得最小值．设，则，由勾股定理的逆定理可得，从而得到，在中，使用勾股定理构造方程，求解即可． 【规范解答】解：如图，连接， 由题意可知，与关于射线对称， ∴， ∴， ∵为射线上的一个动点， ∴， ∴， ∴的周长为，当、、三点共线时，取得最小值， 当、、三点共线时，如图，设，则， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 4．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 【答案】B 【思路引导】根据勾股数的定义分别判断即可． 【规范解答】解：A、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项A不符合题意； B、∵，，，，，， ∴， 解得：，， ∵m、n无正整数解，故选项B符合题意； C、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项C不符合题意； D、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项D不符合题意． 5．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【思路引导】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【规范解答】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 6．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 【答案】 【思路引导】已知勾为，弦与股相差，根据勾股定理列方程即可求解． 【规范解答】解：设该勾股数的股为，则弦为， 根据勾股定理可得， 展开等式右边得， 消去后整理得， 解得， 因此弦为． 7．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，已知中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的长为__________． 【答案】 【规范解答】解：， ， 由勾股定理逆定理得是直角三角形，， 设，由垂直平分线的性质知， ， 在直角三角形中， 由勾股定理得，即， 解得，即． 8．（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）如图，在中，，一只蜗牛从点C出发，以每分钟的速度沿的路径再回到点C，需要_______分钟． 【答案】 7.5 【思路引导】利用勾股定理求出斜边 的长，计算三角形周长得到总路程，再除以速度得到时间． 【规范解答】解：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∴， （分钟）， 故需要分钟． 9．（26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 【答案】 【思路引导】根据正方形面积求出的平方，利用勾股定理求出的长；作辅助线构造全等三角形，得出和的长，最后在中利用勾股定理求解． 【规范解答】解：正方形的面积为， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 延长，过点作的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：． 10．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图，是边长为7的等边三角形，D，E分别为，上两点，连接，交于点F，连接，若，，则______． 【答案】 【思路引导】作于点，证明，推出，推出，，再证明，得到，在中，求得，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【规范解答】解：作于点，如图所示： ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：，负值舍去， ∴． 11．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）在中，，，，平分，交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵平分，即，， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【思路引导】（）由角平分线的性质定理得，进而根据判定定理“”即可求证； （）由全等三角形的性质得，即得，由勾股定理得，设，则，，再利用勾股定理列出方程解答即可求解． 【规范解答】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， 设，则，， 在中，∵， ∴， 解得， ∴的长为． 12．（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）数学活动课上，学习小组开展实践活动 【探究发现】三国时期的赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法验证了勾股定理． (1)已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图可知． ______，______，______， ，化简得． (2)【深入思考】如图2，用两个（1）中的直角三角形拼成一个梯形．求证：． (3)【实际应用】将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，形成如图3所示的风车．若，，风车外围轮廓（实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)；； (2)证明：由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (3) 【思路引导】（1）依据题意得，，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得，又设 ，故，又在中,由列式计算得解. 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）解：由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 13．（25-26八年级下·辽宁朝阳·期末） 如图，在四边形中，，，，且． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可知，根据勾股定理的逆定理可证，再根据角之间的关系求出的度数； （2）根据即可求出结果． 【规范解答】（1）解：如下图所示，连接， ，， ， 在中，， 在中， ，   ， ， ；     （2）解： ． 14．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，．延长到点D，连接． (1)求证：； (2)若命题“线段比线段长8”是真命题，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵，，， ， 即， ∴是直角三角形，， ∴． (2)14 【思路引导】（1）利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形从而证明结果； （2）设为x，再表示的长，利用勾股定理构造方程求出的长度，进一步解出线段的长． 【规范解答】（1）略 （2）解：设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴, ∴． 15．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）【问题解决】 (1)如图1，在中，为的中线，若，，请求出的取值范围． 【思考探究】 (2)如图2，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，为中点，连结，，．请判断的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)若将图2中的等腰绕点转至图3的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，，则的面积为 ． 【答案】(1) (2)解：E为等腰直角三角形，理由如下： 延长至点，使得，连结，，如图， ∵等腰直角和等腰直角， ∴，，，， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形； (3)28 【思路引导】（1）延长至点，使得，连结，结合中线利用证明，则，在中利用三边关系得到，求得即可； （2）延长至点，使得，连结，，由等腰直角三角形得，，，，结合中点利用证明，则和，再次利用证明，即有和，可证明为等腰直角三角形，进一步证明为等腰直角三角形； （3）延长至点，使得，连结，，，同理可证，则有，，，设，求得 ，利用证明，即有，，，得到为等腰直角三角形，利用勾股定理逆定理证明为直角三角形，且，即可证明，且有，，三点共线，利用面积公式求得，结合中点得到． 【规范解答】（1）解：延长至点，使得，连结，如图， ∵为的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，，即， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：延长至点，使得，连结，，，如图， ∵为中点， 同理即可证明， ∴，， 设， ∵ ， ∴， ∵等腰直角， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴为直角三角形，且， ∴，， ∴，且有，，三点共线， ∴， ∴， ∵为中点， ∴． 【考点剖析】解题的关键是灵活应用中线倍长方法和等腰三角形的性质． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题七勾股定理与逆定理 【思维导图+十三大考点讲练+思维拓展训练共43题〔原卷版〕】 目录 【思维导图-知识梳理技巧点拨】 ·。。。。 【考点讲练-重点难点举一反三】 0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 「压轴考向一勾股定理的探究」 【压轴考点01】用勾股定理解三角形★★★ …2 【压轴考点02】以直角三角形三边为边长的图形面积★★★ 【压轴考点03】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）★★★食 【压轴考点04】利用勾股定理证明线段平方关系★★★ …7 【压轴考点05】勾股定理的证明方法★★★ 【压轴考点06】以弦图为背景的计算题★★★★ 。。。。。。。。 11 【压轴考点07】用勾股定理构造图形解决问题★★★★ 12 【压轴考点08】勾股定理与无理数★★★★ 15 「压轴考向二勾股定理的逆定理」 【压轴考点09】勾股树（数）问题★★★ 16 5 【压轴考点10】判断三边能否构成直角三角形★★★ 17 ,【压轴考点11】在网格中判断直角三角形★★★ 19 品 【压轴考点12】利用勾股定理的逆定理求解★★★★ 。。。。 20 二【压轴考点13】勾股定理逆定理的拓展问题★★女★ 21 【压轴强化-精选真题实战演练】 22 第1页共27页 思维导图 知识梳理技巧点拨 一、勾股定理 五、常见图形中的面积关系 定义直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方， 1,大正方形与小正方形组成 公式a2+b2=c2 (直角边：a.b.斜边：c) (1)图2（分制成甲、乙、丙.丁四部分）(2)图3（智边形丙是正方形） 围形表示 重要意义 ·勾股定理不仅在数学 史上具有重要的里程 碑意义和文化价值 B 而且在生活中也有重 a2+b2=c2 要的实用价值. 挑战压轴题专题七 S方带n=a2+b SE有ecD=4SAg+a2-b 二、勾股定理的逆定理 2.大正方形包含四个直角三角形和一个小正方形（图6】 如果三角形的三边长a,6,c满足a2+=c, 勾股定理 那么这个三角形是直角三角形. 证明思路 与逆定理 =4.Tab+(b-a)=a+b AHC全等 3.由“弦图”证明勾股定理 。角三角形 常用结论 如果三角形的三边分别为a,b. 且。+B=,那么这个三角形是直角三角形 四、应用举例（压轴常考类型） 六、勾股数 定义满足a2+b3=c2的三个正整数a,b,c称为勾股数 三、几何原本中的证明（面积法】 0求线段长度 性质如果a,6.c为正整数，且a2+b2=c2 勾殷定理是数学史上一个非常重要的定理，数学家 则k如，k幼，kc(为正整数)也是勾股数 利用面积关系证明了匀股定理。 ②求形中的未如量 常见勾股数组 方法要通过构透图形。转化为面积相等 将复杂图形分解，找出 (1)3.4,5 题跑c2=a2+6 直角三角形，列方程 记住略 求x或其他未知量. (2)5,12,13 勾股定理和逆定理 古人真聪明 积也能证明 ③求面积 (3)8,15,17 是解题的利器！ 勾股定理 利用勾般定理求出边长 (4)7,24,25 再计算面积或用面积 关系求解. 七、压轴题解题技巧 1.识别直角三角形 2.构造直角三角形 3.转化思想 4.面积法思想 5.逆向思维 从已知条件或图形特征中 添加辅助线或延长线 将复杂图形分解或拼接，转化为 利用面积关系（如图2、图3.图6》 当题目涉及判断三角形类型时 战出隐藏的直角三角形 构造直角三角形。 若干直角三角形解决问题 建立方程求解 优先考虑勾殷定理的逆定理 考点讲练 重点难点举一反三 「压轴考向一勾股定理的探究」 【压轴考点01】用勾股定理解三角形★★★ 【典例精讲】 (26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测)综合与实践 在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略 D 图1 图2 备用图 (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角 三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c.观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积 第2页共27页 即可完成勾股定理的证明.请你结合图形尝试证明：a2+b2=c2: (2)【结论运用】如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作 两个点)，AD1AB,BC⊥AB,垂足分别为A、B,AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供 应站P,使得PC=PD,求出AP的距离， (3)【应用拓展】借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式Vx2+9+V(16-x)2+81的最小值 (0<x<16). 【对应练习1】(26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测)2025年是“全运年”，第十五届全运会将于 2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身.小 亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分 别是A→B→D和A→C→D.已知AB=160m,BC=120m,CD=50m.AB1BC,DC1BC.如果小 亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短. 湖 第3页共27页 【对应练习2】(25-26八年级上·广东深圳·期中)在△ABC中，∠ABC=45°，BC=4, AC=4W2,点D、E在AB、AC边上，且AD=CE,则CD+BE的最小值 E A D B 【压轴考点02】以直角三角形三边为边长的图形面积★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·山东青岛·开学考试)五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式 排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？ ( ) 22 A.12 B.14 C.15 D.17 【对应练习1】(26-27八年级上·全国·课后作业)求下列各图形着色部分的面积： 15cm 3cm 12cm 8cm 6cm 10cm 13cm ① ② ③ (1)如图①，着色部分是正方形： (2)如图②，着色部分是长方形： (3)如图③，着色部分是半圆（保留π）· 第4页共27页 【对应练习2】(26-27八年级上·全国·课后作业)欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的一个 证明，其思路是把直角三角形斜边所构成的正方形分割成两个长方形，然后证明每个长方形的面积分别与 两个由直角边所构成的正方形的面积相等.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，由Rt△ABC的三边分别向 外作正方形，过点C作AB的垂线，分别交AB、ED于点J和点K,这样就把正方形ABDE分成两个长方形 AJKE和BDK.连结GB、CE.请试着利用该图形证明勾股定理. 【压轴考点03】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）★★★★ 【典例精讲】(25-26八年级上·浙江杭州·期中)如图，在△ABC中，AC=AD,BD=10,CD=8, 记AB长为x,AC长为y,当x,y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是( ) A.x+y B.x-y C.x2+y2 D.x2-y2 【对应练习1】(25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点 O,若AC1BD,AB=5,CD=V13,则BC2+AD2= 第5页共27页 【对应练习2】(25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测)探究与应用 [问题初探](1)如图1，AD是△ABC的中线，则线段AB、AC、AD、BD会有何种数量关系呢？下面是小 刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图(1)，过点A作AE1BC于点E, 在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB2=AE2+BE2=AE2+(BD+DE)2.① 在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∴.AC2=AE2+EC2=AE2+(CD-DE)2.② 由①+②得：AB2+AC2=2AE2+2DE2+BD2+CD2+2BD·DE-2CD·DE. .DB=DC, 又在Rt△ADE中，AE2+DE2=, .AB2 AC2 =..... DE 图1 根据小刚的方法，可以得到线段AB、AC、AD、BD的数量关系是 [简单应用](2)如图(2)，在△ABD中，AD是中线，AB=4,AD=3,AC=V34,求BC的长. D 图2 图3 图4 [灵活应用](3)在△ABD中，AB=AC,点D是BC上一点，且BD=2DC=4,连接AD,过点D作DEI AD,AE=AC则DE2= [深度思考](4)已知线段BC=8,点D在线段BC上，CD=2,点A是平面内任意一点，且满足AB2+ AC2=44,则AD的最大值为_一一一。 第6页共27页 【压轴考点04】利用勾股定理证明线段平方关系★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测)对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形， 现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O. A B (1)若A0=2,B0=3,C0=4,D0=5,请求出AB2,BC2,CD2,DA2的值； (2)若AB=6,CD=10,求BC2+AD2的值. 【对应练习1】(25-26八年级下·安徽准北·期中)在△ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c,若 ∠C=90°，如图1，由勾股定理可得结论：(a2+b2=c2;若∠C<90°（如图2）或∠C>90°（如图 3)时，请你完成下列探究： 图1 图2 图3 (1)猜想：(i)若∠C<90°，则a2+b2 c2;(填“=”“>”或“<”) (11)若∠C>90°，则a2+b2 c2;(填“=”“>”或“<”) (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性. 第7页共27页 【对应练习2】(25-26八年级上·江苏扬州·期末)【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出 了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB=6,AC=4,求BC边上中线AD的取值范围.小丽在组内经过 合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点M,使DM=AD.连接BM,可证△ACD兰△ MBD,从而把AB,AC,2AD集中在△ABM中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围. R D C B D D D 图1 图2 图3 图4 M 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线 段)构造全等三角形，把分散的己知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍 长中线法”， 【问题解决】 (1)直接写出图1中AD的取值范围： (2)如图3，在△ABC中，点D为BC边的中点，点E在AB边上，AD与CE相交于点F,EA=EF,求证： AB=CF: (3)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，连接CD,作ED1CD交AC于点E.试探究线段 AE,BC,CE之间的数量关系，并说明理由. 第8页共27页 【压轴考点05】勾股定理的证明方法★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·河北廊坊·期末)如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形， 中间空白部分也是正方形.己知直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c.课堂上，老师结合图 形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理a2+b2=c2. B b 6 b 图1 图2 图3 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程 (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2.若a=4,b=6,求空白部分的面积. (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图 3.已知外围轮廓（实线）的周长为24,0C=3,求该风车状图案的面积. 第9页共27页 【对应练习1】(25-26八年级下·广东惠州·期末)小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他 通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下， 制作学具：两张直角三角形纸片ABC和DEF,其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=a,AC=DF= b(a<b),AB=DE=c. 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片DEF的边EF落在纸片ABC的边AC上，点E与点 C重合，连接AD、DB得到四边形ACBD,利用四边形ACBD的面积的两种不同表示方法证明a2+b2=c2. 请根据小高同学的思路写出证明过程. D C(E) 【对应练习2】(25-26八年级下·广东东莞·期中)回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形 三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一，历史上不同时 代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜. a 图1 图2 图3 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究.他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直 角边分别为a、b,斜边为c)拼成如图1所示的图形.从面积的角度思考，证明了勾股定理. 第10页共27页 (1)请你根据上述思路证明：a2+b2=c2, 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若b=2a,那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于_· (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果a=3,b=5,那么空白部分的面积等于- (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为28， OC=2,求该风车状图案的面积. 【压轴考点06】以弦图为背景的计算题★★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·陕西商洛·期中)如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形 和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形ABCD的边长为V34,DH=3,连接AG,则AG的长度 为( B H A.V34 B.6 C.5 D.V29 【对应练习1】(25-26七年级下·陕西宝鸡·期末)中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计.如图，这 是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直 角边分别向外延长一倍得到的.若∠ACB=90°，AC=6,BC=4,则该“数学风车”的周长为（) D 第11页共27页 A.40 B.42 C.48 D.56 【对应练习2】(25-26八年级下·湖北襄阳·期末)如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形 (Rt△ADE,Rt△DCH,Rt△CBG,Rt△BAF)与一个小正方形EFGH组成的一个大正方形ABCD,连接 DF交CH于点M,己知正方形ABCD的面积为25，DE=2AE,下列结论正确的是( D H E M G B A.正方形EFGH的面积为4 B.DF2=20 C.M是DF的中点 D.BG·CG=15 【压轴考点07】用勾股定理构造图形解决问题★★★★ 【典例精讲】(24-25八年级下·广东湛江·期末)明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一 首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离 地…”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地 高度为一尺(AC=1尺)·将它往前推进两步(EB1OC于点E,且EB=8尺)，踏板升高到点B位置， 此时踏板离地五尺(BD=CE=5尺)，则秋千绳索(OA或OB)长多少尺. B C D 第12页共27页 【对应练习1】【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不 同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”·“算两次”也称做富比尼原理，是 一种重要的数学思想 ●r●●●●r● ● ● ● ● 。。。。。。 ●●●●●● 图1 图2 图3 图4 【理解】 (1)如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形.用 两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论： (2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式： n2=_-· 【运用】 (3)n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以(m+n)个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最 多可以剪得y个这样的三角形.当n=3,m=3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以 y=7. ①当n=4,m=2时，如图4，y=一一-：当n=5,m=_一一_时，y=9: ②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y=一（用含m、n的代数式表示）· 第13页共27页 【对应练习2】(25-26八年级上·上海黄浦·期末)“数形结合”是数学中重要思想方法，在遇到一些 具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化更直观的几何问题解决.先阅读以下材料，然后解答后面 的问题。 例：求代数式√x2+32+√12-x)2+22的最小值. 分析：代数式√x2+32和V(12一x)2+22中出现了两数平方和的形式，容易联想到直角三角形中三边之间 的关系，可将Vx2+32看作是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，√(12-x)2+22看作是直角边分别 是12-x和2的直角三角形的斜边，于是，我们构造两个Rt△ABC和Rt△DEF(如图1)，如图2，当直 角边BC和EF在同一直线上且点E与点B重合， 这时CF=x+12-x=12,AC=3,DF=2,问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？” B(E)12-x 图1 图2 图3 (1)在图3中，代数式Vx2+32+√(12-x)2+22的最小值可用线段 的长表示，该线段的长为 (2)若将原问题中“12-x”改成“12+x”,能否利用(1)的结论解决？（即求代数式√x2+32+ √(12+x)2+22的最小值)若能，请写出解答过程并求解；若不能，请说明理由. (3)请使用与(1)中类似的方法求Vx2+32-√(12-x)2+22的最大值.（请画出示意图并求解） 第14页共27页 【压轴考点08】勾股定理与无理数★★★★ 【典例精讲】如图，在正方形ABCD中，顶点A,B分别与数轴上表示数1,3的点重合.将正方形ABCD绕 点A顺时针旋转一周，正方形ABCD的边与数轴的交点所表示的数中，最大的数为( D -3-2-10123456 A.5 B.2W2-1 C.22+1 D.9 【对应练习1】(24-25八年级下·四川南充·阶段检测)如图，数轴上点A所表示的数为1，点B,C,D 是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于M,N两点，则N点所表示的数 为( ) D V -4-32-10 123 A.1-V10 B.1+V10 C.V10 D.V10-1 【对应练习2】(26-27八年级上·广西南宁·开学考试)如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地 把V2表示在数轴上点A1处，记A1右侧最近的整数点为B1·以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于 点A2,记A2右侧最近的整数点为B2:以点B2为圆心，A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3,…,如此继 续，则A6B6的长为 0 1 A1 B A2 B2 A3 第15页共27页 「压轴考向二勾股定理的逆定理」 【压轴考点09】勾股树（数）问题★★★ 【典例精讲】满足勾股定理的正整数称为勾股数，观察以下两组勾股数的规律： (3,4,5)←→32=(5+4)×(5-4： (5,12,13)←→52=(13+12)×(13-12) (1)按此规律，填空：(6▲，O)=62=(O+▲)×(O-▲) 上面一组勾股数中，▲表示，O表示： (2)猜想： ①当n是大于1的奇数时，勾股数为：(n,1,+凸)，请你给出证明： 2 2 ②当2n是大于2的偶数时，直接用n表示勾股数：(2n,n2-1,_)· 【对应练习1】(25-26八年级下·辽宁大连·期末)如果把a2+b2=c2看作关于a,b,c的方程，那么 满足这个方程的正整数解a,b,c通常叫作勾股数组，可以记作(a,b,c).毕达哥拉斯学派提出了一个构造 勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3,4,5)：(5,12,13)：(7,24,25)：… 分析这些勾股数组可以发现，4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组： (2)小红将a2+b2=c2移项并因式分解得a2=c2-b2=(c+b)·(c一b),请写出满足上述规律的第n个勾 股数组（用含n的式子表示），并尝试用小红的方法证明： (3)若(x,x+7,x+m)是满足上述规律的一组勾股数组，求x的值. 第16页共27页 【对应练习2】(25-26七年级下·江苏宿迁·期末)定义：任意三个数a,b,c若满足a+b+c=b, 则称c为a,b的“调和数”. (1)若a=3,b=4,则a,b的“调和数”c=一 (②若ab=子a2+b2=8,求a,b的“调和数”c: (3)若a,b的“调和数”c满足c2=a2+b2且a,b,c均为正整数，求c的值. 【压轴考点10】判断三边能否构成直角三角形★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·四川达州·开学考试)如图，在△ABC中，CD1AB于点D,AC=4, BC=3,DB=3 (1)求AD的值； (2)判断△ABC的形状，并说明理由. 第17页共27页 【对应练习1】(25-26八年级下·安徽芜湖·期中)如图，在四边形ABCD中，AB=12,BC=3, CD=4,AD=13,BC1CD,则四边形ABCD的面积是() B A.24 B.32 C.36 D.40 【对应练习2】(25-26七年级下·宁夏银川·期末)我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定 理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明.最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵 爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角 三角形和中间的小正方形组成的，其中c是直角三角形的斜边，a,b分别是直角三角形的两条直角边，并 用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明 0 D H 朱实b 朱实朱股 朱实实 E B 图① 图② 图③ (1)请利用图①证明勾股定理： (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD的面积 为S1,正方形EFGH的面积为S2,正方形MNXT的面积为S3,若正方形EFGH的边长为4，求S1+S2+S3的 值； (3)如图③，若正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH,求GH的长 第18页共27页 【压轴考点11】在网格中判断直角三角形★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·吉林·期中)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三 个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： B (I)画线段AD II BC.且使AD=BC,连接CD: (2)AD的长为 (3)△ACD为 三角形： (4)根据所画的图形，可以求出四边形ABCD的面积为 (平方单位)· 【对应练习1】如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为 D A.V5 B.V6 c D 【对应练习2】(25-26八年级下·天津·期中)已知在7×7的网格中，每个小正方形的边长为1，在 下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： 第19页共27页 图1 图2 (1)如图1，AB与CD交于点M ①找格点E,作线段DE=AB: ②直接写出∠AMC的度数 (2)如图2，点A、BC均在格点上，在AB上作点M,使∠CMA=45°.请叙述你的作图方法，不要求 证明， 【压轴考点12】利用勾股定理的逆定理求解★★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·全国·课后作业)如图，AD1CD,AB=13,BC=12,CD=4,AD= 3,∠CAB=a.求∠B的度数.（用a表示） 【对应练习1】(25-26八年级下·贵州遵义·期中)如图，A,B两点相距26m,机器狗由A点出发，沿 北偏东70°方向行走24m到达C点，然后从C点行走10m到达B点，此时机器狗位于C点的( ) 北 东 A.北偏东20°方向上 B.北偏西20°方向上 C.北偏西30°方向上 D.北偏西40°方向上 第20页共27页 【对应练习2】(25-26九年级下·湖南株洲·开学考试)如图，点D是正△ABC内的一点，DB=3, DC=4,DA=5,则∠BDC的度数是( B A.909 B.120° C.135 D.150° 【压轴考点13】勾股定理逆定理的拓展问题★★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中)如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的 高 D D 横梁 图1 图2 图3 (1)若CD=2,AD=4,BD=8,求证：AB1AC; (2)根据(1)中的结论，小明发现：当满足AD2=BD·CD时，△ABC一定为直角三角形.小明的判断正 确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形， 己知斜梁BD1AC于点D.经测量，斜梁AC=5m,BD=2.4m,横梁BC=4m.若横梁BC与竖梁AB垂直 则为安全房梁.请判断该房梁是否安全，并说明理由， 第21页共27页 【对应练习1】(25-26八年级上·江苏泰州·期中)已知：a=n2+1,b=2n,c=n2-1. (1)当n=299时，a+b的值等于（结果用科学记数法表示） (2)当n=4时，以a,b,c的值为三边长的三角形面积是」 ·(直接写出答案) (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数.小明发现：当n取大于1 的整数时，a,b,c为勾股数.你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由. 【对应练习2】定义：如图，点M,N(点M在W的左侧)把线段AB分割成AM,MW,NB.若以AMMW, B为边的三角形是一个直角三角形，则称点MN是线段AB的购股分割. A M N B (1)已知队N把线段AB分割成AM,MW,BN,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2.0,则点MN是线段AB的 勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点MN是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=30,AM=5,求BW的长. 压轴强化 精选真题 实战演练 1.(25-26八年级上·江西抚州·阶段检测)在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相 同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1， 直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为( A.35 B.43 C.89 D.97 第22页共27页 2.(26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试)如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AB的中点，点D是AC 边上一点，且DE1AB,连接DB.若AC=6,BC=3,则CD的长为( A. 8 c片 D.3 3.(26-27八年级上·湖南衡阳·开学考试)如图，在△ABC中，AB=9,AC=12,BC=15,将 △ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合，E为射线BM上的一个动点，当△CDE的周长最小时， CE的长为( A M A.7 B.8 c.9 D.号 4.(26-27九年级上·湖北武汉·开学考试)若m,n是正整数且m>n,由m,n的值可确定勾股数a, b,c其中a=m2+n2,b=2mn,c=m2-n2,则下列勾股数不能由m,n确定的是( A.5,12,13 B.9,12,15 C.8,15,17 D.7,24,25 5.(25-26八年级下·北京·期中)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D,E为线段BD上一动 点，F为边AB上一动点，若AB=5,BD=4,AD=DC=3,则AE+EF的最小值为( A A.4 B.2W7 C.10 D. 6.(25-26八年级下·陕西榆林·期末)《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股 数.观察下列勾股数：3、45；5、12、13：7、24、25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股 相差为1，若某个此类勾股数的勾为9，则其弦是一· 第23页共27页 7.(25-26七年级下·山东烟台·期中)如图，已知△ABC中，AB=5,AC=4,BC=3,AB的垂直平 分线交AC于点D,交AB于点E,连接BD,则BD的长为 D E B 8.(25-26八年级上·江西抚州·阶段检测)如图，在△ABC中， ∠C=90°，BC=25cm,CA=60cm,一只蜗牛从点C出发，以每分钟20cm的速度沿CA-AB-BC的路 径再回到点C,需要_分钟. A B 9.(26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5,以斜边AB为边 向外作正方形ABDE,连接CE,若正方形ABDE的面积为74，则CE的长为 E 10.(26-27八年级上·四川成都·阶段检测)如图，△ABC是边长为7的等边三角形，D,E分别为AB, BC上两点，连接AE,CD交于点R,连接BF,若AD=BE,∠BFC=150°，则AF=_一一一· A D 第24页共27页 11.(26-27八年级上·广东汕头·阶段检测)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,AB=10cm,AD 平分∠BAC,交BC于点D,过点D作DE⊥AB于点E. E B 0 C (1)求证：△ACD兰△AED; (2)求CD的长. 12.(26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测)数学活动课上，学习小组开展实践活动 【探究发现】三国时期的赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，四边形ABED和四边形 CFGH都是正方形，巧妙地用面积法验证了勾股定理. G b 图1 图2 图3 (1)已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c.求证：a2+b2=c2. 证明：由图可知S正方形ABBD=4S△ABc+S正方形CFGH~ S正方形ABED=-一一-’S△ABC=-一一-’S正方形CFGH=一-—， ∴.c2=4×号ab+(a-b)2,化简得a2+b2=c2. (2)【深入思考】如图2，用两个(1)中的直角三角形拼成一个梯形ACED.求证：a2+b2=c2. (3)【实际应用】将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，形成如图3所示 的风车.若Q=12,b=9,风车外围轮廓（实线部分)的总长度为108，求这个风车图案的面积. 第25页共27页 13.(25-26八年级下·辽宁朝阳·期末)如图，在四边形ABCD中，AB=BC=3,CD=5, AD=V7,且∠B=90°. D C (1)求∠BAD的度数； (2)求四边形ABCD的面积. 14.(25-26八年级下·云南玉溪·期中)如图，在△ABC中，AB=15,BC=12,AC=9.延长AC到点 D,连接BD D B (1)求证：AD1BC (2)若命题“线段BD比线段CD长8”是真命题，求线段AD的长. 第26页共27页 15.(26-27八年级上·四川达州·开学考试)【问题解决】 D E E M MC 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC中，CM为△ABC的中线，若AC=4,BC=8,请求出CM的取值范围， 【思考探究】 (2)如图2，C为线段AB上一点，AC>BC,分别以AC、BC为斜边向上作等腰直角△ACD和等腰直 角△CBE,M为AB中点，连结DM,EM,DE.请判断△DME的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)若将图2中的等腰Rt△CBE绕点C转至图3的位置(A,C,B不在同一条直线上)，连结AB,M为AB 中点，且D,E在AB同侧，连结DM,EM.若AD=10,EB=6,DM=4V2,则△DAM的面积为_ 第27页共27页