专题六 实数的概念与性质【（挑战压轴题）导图知识卡片+十大考点讲练+思维拓展训练 共45题】-2026-2027学年苏科版数学八年级上册典型题培优系列

null 2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题六 实数的概念与性质 【思维导图+十大考点讲练+思维拓展训练 共45题〔原卷版〕】 目 录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 2 【考点讲练-重点难点 举一反三】 2 「压轴考向一 无理数的概念及相关计算」 【压轴考点01】无理数 2 【压轴考点02】无理数的大小估算 3 【压轴考点03】无理数整数部分的有关计算 4 「压轴考向二 实数的概念及相关计算」 【压轴考点04】实数概念理解 6 【压轴考点05】实数的分类 8 【压轴考点06】实数的性质 9 【压轴考点07】实数与数轴 10 【压轴考点08】实数的大小比较 11 【压轴考点09】程序设计与实数运算 13 【压轴考点10】计算器-平方根和立方根 14 【压轴强化-精选真题 实战演练】 15 「压轴考向一 无理数的概念及相关计算」 【压轴考点01】无理数 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）对于无理数，试解答下列问题： (1)在数轴上位于哪两个相邻的整数之间？ (2)借助计算器找出有理数和，使，且． 【对应练习1】（24-25八年级上·甘肃白银·期中）在下列各数中、、、0、、、3.1415、、2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）．是无理数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【对应练习2】（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输入值为时，输出值为 ②当输出值为时，输入值为或 ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值． ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【压轴考点02】无理数的大小估算 【典例精讲】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 【对应练习1】（26-27八年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与． 【对应练习2】（25-26七年级下·广东珠海·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数，则称无理数T的“知行区间”为，如，所以的知行区间为． (1)无理数的“知行区间”是______； (2)若其中一个无理数的“知行区间”为且满足，其中是关于x、y的方程的一组正整数解，求C值； (3)实数x、y、m满足关系式：，求m的算术平方根的“知行区间”． 【压轴考点03】无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 【对应练习1】（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【对应练习2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与数轴上的点重合时，记为第一次翻滚，如图所示，翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚…以此类推，请回答： ①点表示的数为多少？ ②是否存在正整数，使得该正方形次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与2025重合？ 「压轴考向二 实数的概念及相关计算」 【压轴考点04】实数概念理解 【典例精讲】（25-26七年级下·云南昆明·期末）【感悟思想】 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 思考：常规思路是将①②联立成方程组，解出x，y的值再代入所求代数式求值． 观察这两个方程未知数的系数之间的数量关系，还可以通过适当整体变形求代数式的值．如可得；可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【体会思想】 (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)已知方程组：，则________； 【应用思想】 (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需27元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需50元，若铅笔、橡皮和日记本的价格均为正整数，则1支铅笔、1块橡皮、1本日记本的价格共需多少元？ 【对应练习1】（25-26七年级下·山西忻州·期中）阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 【对应练习2】（24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测）对于从左到右依次排列的三个实数a，b，c，在与之间，与之间各添加一个四则运算符号组成算式（不添加可能改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数a，b，c进行“四则操作”．例如：对实数1，2，3进行“四则操作”可以是，也可以是．则下列说法正确的是_______（填序号）． ①“四则操作”的结果为3；②对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是；③对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的是． 【压轴考点05】实数的分类 【典例精讲】（26-27八年级上·四川眉山·开学考试）在，，，0.257，，，（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【对应练习1】（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）在（每相邻两个3之间7的个数逐次加1）中，负无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【对应练习2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知代数式（n为正整数）． (1)当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）；当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）； (2)可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 【压轴考点06】实数的性质 【典例精讲】下列命题中，正确的是（     ） ①算术平方根等于本身的数只有0；        ②倒数等于本身的数只有1； ③立方根等于本身的数有和0；         ④绝对值等于本身的数只有0和1； A．只有③ B．①和② C．只有① D．③和④ 【对应练习1】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）若实数a，b同时满足，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【对应练习2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点，点，其中满足； (1)求的值； (2)点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正半轴运动，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，用含的式子表示，并直接写出相应的取值范围； (3)在（2）的条件下，点在上，点在延长线上，，当时，求点的坐标． 【压轴考点07】实数与数轴 【典例精讲】（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是__________． 【对应练习1】（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为____________． 【对应练习2】（25-26七年级上·青海西宁·期末）综合与实践 阅读： 我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而借助图形（如正方形、正方体等）能更直观理解乘方的意义．例如，既表示，也可对应“棱长为2的正方体的体积”；表示，也能对应“边长为2的正方形的面积（负号可理解为方向的抽象）”． 理解： （1）已知，计算和的值；并在数轴上分别表示出a、、对应的点（提示：先确定各数的符号与绝对值） （2）观察，，，，，…，写出（n为正整数）的末位数字的规律，再求的末位数字． 应用： （3）若一个数的平方等于它本身，这个数是______；若一个数的立方等于它本身，这个数是______． （4）已知，求的值，并说明该值在数轴上的位置特征． 拓展： （5）当n为正整数时，探究的值；并思考：是否存在整数x，使得？若存在，求x的值；若不存在，说明理由． 【压轴考点08】实数的大小比较 【典例精讲】（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知七个实数，其中五个数已经在数轴上分别用点、、、、表示．（以下问题请用原数作答） (1)点表示数，点表示数___________，点表示数___________，点表示数___________，点表示数___________； (2)借助圆规，在数轴上准确的用点表示数（提示：利用图中的正方形），并将题目中所给的这七个实数用“”连接起来． 【对应练习1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）（1）如图，展示了六个面积分别为，，，，，的正方形，根据正方形面积公式（其中表示正方形的边长，表示正方形的面积），则面积为的正方形的边长为______；（用二次根式表示） （2）观察图形中面积为和的两个正方形边长在数轴上的位置，请比较这两个正方形边长的大小，并借助数轴解释理由； （3）如果两个正数，那么．请借助下图进行解释． 【对应练习2】（25-26七年级下·江西南昌·期中）解答以下问题 (1)图中的两个小正方形卡纸边长均为，用这两个小正方形剪拼成图所示的一个大正方形，图中拼成的大正方形的边长为______；若图中大正方形的边长为，则图中的两个小正方形边长均为_____________． (2)我们知道A4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为 的卡纸也可以按图3方式折叠，则卡纸长为_______，宽为_____． (3)（2）中面积为 的卡纸能否按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过计算说明理由． 【压轴考点09】程序设计与实数运算 【典例精讲】（25-26七年级下·山东临沂·期末）一个数值转换器，如图所示： 其中为非负有理数．例如当输入的为3或9时，输出的的值都是．若输入有理数的值后，始终输不出的值，则的值可能是______________（请写出所有可能的结果）． 【对应练习1】（25-26七年级下·河北保定·期中）有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的的值为36时，输出的______． (2)是否存在输入有效的的值后，始终输不出的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你推算输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的的值是，试判断输入的的值是否唯一．若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同的值． 【对应练习2】（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 【压轴考点10】计算器-平方根和立方根 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）用估算法比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和5． 【对应练习1】（25-26八年级上·全国·课后作业）用计算器比较大小（填“”“”或“”）：______；______． 【对应练习2】（25-26八年级上·全国·课后作业）利用科学计算器，比较下列各组数的大小： (1)和． (2)和． 1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）在下列各数，，，，，，，，，（相邻两个1之间有1个0）中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·重庆南川·期末）对于正实数，根据是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数；若为有理数，则；若为无理数，则．这种得到的过程称为对进行一次变换．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，……，依此类推．例如，正实数为有理数，则对5进行一次变换得到的数为，为无理数，对5进行二次变换得到的数为；8为有理数，对5进行三次变换得到的数为．下列说法中正确的有（     ） ①对正实数1进行三次变换，得到的数为； ②若对正实数进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的的值之和为； ③若对正实数进行三次变换得到的数为5，且，则所有满足条件的有4个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 6．（26-27八年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，，在数轴上对应的点分别为，点是的中点，则数轴上点表示的数是______． 7．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）比较大小：______1．（填“”或“”） 8．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的的值为时，输出的结果是______． 9．（2022·湖南娄底·模拟预测）公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到 ，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则___________． 10．（25-26七年级下·北京·期末）关于x的不等式组，有下列四个命题： ①当时，该不等式组的解集为； ②当时，该不等式组有4个整数解； ③若该不等式组有解，则； ④若该不等式组恰有2026个整数解，则满足条件的整数a的最大值与最小值之差为1．其中真命题的序号是__________． 11．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）计算 (1)； (2)； 12．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）某手工社团开展“环保硬纸片改造”活动，社团成员小丽拿到两块小正方形硬纸片，准备拼成一个大正方形后，再裁出长方形书签．如图，已知两个小正方形的面积均为，将它们拼成一个大正方形，小丽计划沿着大正方形边的方向，裁出一个长宽比为，面积为 的长方形书签． (1)大正方形的边长是 ； (2)请判断小丽能否裁出符合上述要求的长方形纸片，并说明理由． 13．（25-26七年级下·江西宜春·期末）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是__________； (2)求的值． 14．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期末）若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理，规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： (1)若的“舒适区间”为，且a为偶数，求的小数部分； (2)实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 15．（25-26七年级下·北京·期中）我们已经学习了平方根、立方根等概念，了解到：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道负数没有平方根，即在实数范围内的任何一个数都无法使得成立． 现在，我们设想引入一个新数，使得成立，且这个新数与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数与的相乘记作，任意实数与相加记作，由此，我们将形如（，均为实数）的数叫作复数，其中叫虚数单位，叫作复数的实部，叫作复数的虚部． 对于复数（，均为实数），当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫作虚数：当且时，它是纯虚数． 例如：，，都是虚数，它们的实部分别是，，，虚部分别是，，并且以上虚数中只有是纯虚数． (1)化简：_____． (2)已知复数（是实数）是纯虚数，则实数_____． (3)已知为实数，且满足，求． (4)计算：． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null 2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题六 实数的概念与性质 【思维导图+十大考点讲练+思维拓展训练 共45题〔解析版〕】 目 录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 2 【考点讲练-重点难点 举一反三】 2 「压轴考向一 无理数的概念及相关计算」 【压轴考点01】无理数 2 【压轴考点02】无理数的大小估算 4 【压轴考点03】无理数整数部分的有关计算 6 「压轴考向二 实数的概念及相关计算」 【压轴考点04】实数概念理解 10 【压轴考点05】实数的分类 14 【压轴考点06】实数的性质 16 【压轴考点07】实数与数轴 19 【压轴考点08】实数的大小比较 23 【压轴考点09】程序设计与实数运算 27 【压轴考点10】计算器-平方根和立方根 29 【压轴强化-精选真题 实战演练】 31 「压轴考向一 无理数的概念及相关计算」 【压轴考点01】无理数 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）对于无理数，试解答下列问题： (1)在数轴上位于哪两个相邻的整数之间？ (2)借助计算器找出有理数和，使，且． 【答案】(1)在数轴上位于整数和之间 (2)，（答案不唯一，符合条件即可） 【思路引导】（1）由，可得出在哪两个整数之间； （2）先借助计算器，将估算到小数点后第位； 再结合，不难找出有理数和的值． 【规范解答】（1）解： ，，且， ， 即在数轴上位于整数和之间； （2）借助计算器，得， 取， ， （答案不唯一，符合条件即可）． 【对应练习1】（24-25八年级上·甘肃白银·期中）在下列各数中、、、0、、、3.1415、、2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）．是无理数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【思路引导】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数． 【规范解答】解：、、、0、3.1415是有理数， 、、、2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无理数， 故选：A． 【对应练习2】（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输入值为时，输出值为 ②当输出值为时，输入值为或 ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值． ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】B 【思路引导】根据程序运算图逐项判断即可求解． 【规范解答】解：①当时，∵是有理数， ∴重新输入， ∵是有理数， ∴重新输入， ∵是无理数， ∴输出值为，故①正确； ②∵输出值为时， ∴输入值为或或等，故②错误； ③当时，的算术平方根为，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值，故③正确； ④当为正无理数时，不存在正整数，使得，故④错误； 综上，说法正确的是①③． 【压轴考点02】无理数的大小估算 【典例精讲】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 【答案】A 【规范解答】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ． 【对应练习1】（26-27八年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据实数比较大小的方法求解即可； （2）根据实数比较大小的方法求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【对应练习2】（25-26七年级下·广东珠海·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数，则称无理数T的“知行区间”为，如，所以的知行区间为． (1)无理数的“知行区间”是______； (2)若其中一个无理数的“知行区间”为且满足，其中是关于x、y的方程的一组正整数解，求C值； (3)实数x、y、m满足关系式：，求m的算术平方根的“知行区间”． 【答案】(1) (2)1或37 (3) 【思路引导】（1）只需要估算出的取值范围即可得到答案； （2）由是关于x、y的二元一次方程的一组正整数解，得到是一个完全平方数，，再由，可得满足题意的m、n的值，由此代入方程中进行求解即可； （3）先根据，，得出，进而得出，再根据“知行区间”的定义即可求解． 【规范解答】（1）解：， ， 无理数的“知行区间”是， 故答案为：； （2）解：由题意得，m、n是两个相邻的正整数， 是关于x、y的二元一次方程的一组正整数解， ∴是正整数， 是一个完全平方数，， ， 满足题意的m、n的值为：或， 当时，， ， ， 当时，， ， ， 综上所述，C的值为1或37； （3）解：实数x，y，m满足关系式：， ，， ， ， ， 即， ， 的算术平方根为， ， ， 的算术平方根的“知行区间”是． 【压轴考点03】无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)４ 【思路引导】（1）先根据平方根和立方根的定义求出a、b,然后估算出的范围即可求出c； （2）根据（1）所求，结合算术平方根的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得， 解得：，； ∵，是的整数部分， ∴； （2）解：当，，时，． 【对应练习1】（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)②④ (3) 【思路引导】（1）估算范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【规范解答】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分为． （2）解：据图可知， 则，， 为无理数，则为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， 故，②正确； ， ， ，， ， 故③不正确； ， ， ， ④正确， 综上，正确的说法为②④． （3）解：，即， 则， 可得， 则，， 故． 【对应练习2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与数轴上的点重合时，记为第一次翻滚，如图所示，翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚…以此类推，请回答： ①点表示的数为多少？ ②是否存在正整数，使得该正方形次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与2025重合？ 【答案】(1)10，，这个值在3与4之间 (2) (3)①点P表示的数为； ②不存在． 理由：假设存在正整数n,则， ， ， 为正整数， 为有理数，而为无理数， 上式等式不成立．即不存在正整数n 【思路引导】本题考查实数与数轴，算术平方根，正方形的面积，无理数的估算．掌握等面积法是解决（1）的关键，（2）中需注意小数部分=原数-整数部分． （1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，再利用算术平方根的定义求出边长，最后利用无理数的估算方法即可得到答案； （2）利用无理数估算的方法即可求得x和y；将x和y代入计算即可； （3）①根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数，②判断是否是正方形边长的整数倍，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：正方形的面积为， 正方形的边长为， ， ， 这个值在3与4之间； （2）， ，， （3）①点A表示的数为，正方形的边长为， 点P表示的数为； ②略 「压轴考向二 实数的概念及相关计算」 【压轴考点04】实数概念理解 【典例精讲】（25-26七年级下·云南昆明·期末）【感悟思想】 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 思考：常规思路是将①②联立成方程组，解出x，y的值再代入所求代数式求值． 观察这两个方程未知数的系数之间的数量关系，还可以通过适当整体变形求代数式的值．如可得；可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【体会思想】 (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)已知方程组：，则________； 【应用思想】 (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需27元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需50元，若铅笔、橡皮和日记本的价格均为正整数，则1支铅笔、1块橡皮、1本日记本的价格共需多少元？ 【答案】(1)， (2) (3)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需4元 【思路引导】（1）把两个方程相加可求，相减可求； （2）把3个方程相加得； （3）设未知数列出方程组，用整体思想求解即可． 【规范解答】（1）解：， 得 ， 得 ， 解得. （2）解：， ①+②+③得， ， 即； （3）解：设购买1支铅笔a元，1块橡皮b元，1本日记本c元,根据题意列方程组得， ． ①②得， ， 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需4元． 【对应练习1】（25-26七年级下·山西忻州·期中）阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 【答案】(1)无理数 (2) 解：∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， 设（是正整数）， ∴，即， ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴，都是偶数，与假设矛盾， 即不是有理数； (3) 【思路引导】（1）根据无理数的意义进行判断； （2）仿照阅读材料中的证明过程进行解答即可； （3）根据相反数的意义得，再根据立方根的意义求解即可． 【规范解答】（1）解：是无理数； （2）略 （3）解：∵是无理数，且与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 【对应练习2】（24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测）对于从左到右依次排列的三个实数a，b，c，在与之间，与之间各添加一个四则运算符号组成算式（不添加可能改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数a，b，c进行“四则操作”．例如：对实数1，2，3进行“四则操作”可以是，也可以是．则下列说法正确的是_______（填序号）． ①“四则操作”的结果为3；②对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是；③对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的是． 【答案】①②/②① 【思路引导】本题考查了实数的四则运算，在三个数之间合理的使用运算符号是解题的关键． 根据“四则操作”的定义依次对各个说法进行判断即可． 【规范解答】解：“四则操作”的结果为3，故①正确； ∵， ∴对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是，故②正确； ∵，， ∴对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的不是，故③错误； 综上所述，说法正确的是①②． 故答案为：①②． 【压轴考点05】实数的分类 【典例精讲】（26-27八年级上·四川眉山·开学考试）在，，，0.257，，，（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【思路引导】先化简可化简的开方数，再逐一判断各数类型，统计无理数个数． 【规范解答】解：计算得，有理数有，0.257，，共3个； 无理数有，，，（每两个1之间0的个数依次加1），共4个． 【对应练习1】（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）在（每相邻两个3之间7的个数逐次加1）中，负无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】先明确负无理数的定义：负无理数是小于0的无理数，再逐个判断题干中各数，统计符合条件的个数即可. 【规范解答】解：是正有理数，不符合要求； 开方开不尽，是无理数，且小于，因此是负无理数； 是正无理数，不符合要求； 是负分数，属于有理数，不符合要求； 是无理数，且小于，因此是负无理数； ，是负整数，属于有理数，不符合要求； （相邻两个之间的个数逐次加）是正无理数，不符合要求； 故 符合条件的负无理数共个. 【对应练习2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知代数式（n为正整数）． (1)当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）；当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）； (2)可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 【答案】(1)，无理数，，无理数 (2) 解：不可能是偶数，也不可能是奇数， 理由：假设是偶数，则是偶数， 即是偶数①， ∵n是正整数， ∴是偶数， ∵3是奇数， ∴是奇数②， ∴①和②矛盾， ∴不是偶数， 当时，，此时，不是奇数， 当时，假设是奇数，不妨设（且k为整数）， ∴， 整理得， ∵为偶数且1为奇数， ∴为奇数， ∵是偶数， ∴不成立， ∴不是奇数， 综上所述，不可能是偶数，也不可能是奇数． 【思路引导】本题考查了二次根式的化简与分类、整数的奇偶性及反证法的应用． （1）分别代入和计算的值，再分别判断和的数的类型即可； （2）先假设是偶数，通过开方推导可得出其不是偶数；当时，，此时，不是奇数，当时，假设是奇数，不妨设（且k为整数），通过计算推导可证得不是奇数． 【规范解答】（1）解：当时，， ∵5不是完全平方数， ∴是无理数， 当时，， ∵7不是完全平方数， ∴是无理数， 故答案为：，无理数，，无理数． 【压轴考点06】实数的性质 【典例精讲】下列命题中，正确的是（     ） ①算术平方根等于本身的数只有0；        ②倒数等于本身的数只有1； ③立方根等于本身的数有和0；         ④绝对值等于本身的数只有0和1； A．只有③ B．①和② C．只有① D．③和④ 【答案】A 【思路引导】根据算术平方根、倒数、立方根、绝对值的定义，逐一判断每个命题的真假，即可得到结果． 【规范解答】解：①对于算术平方根等于本身的数，的算术平方根是，也等于本身，算术平方根等于本身的数是和，①错误； ②对于倒数等于本身的数，的倒数是，也等于本身，倒数等于本身的数是和，②错误； ③对于立方根等于本身的数，，，，立方根等于本身的数是和，③正确； ④对于绝对值等于本身的数，所有非负数的绝对值都等于本身，不止和，④错误． 综上，只有③正确． 【对应练习1】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）若实数a，b同时满足，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了绝对值的意义，有理数的减法，整式的加减． 根据题意得出，因此题干条件可化为，进而即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴ ∴ 即， 故选：B． 【对应练习2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点，点，其中满足； (1)求的值； (2)点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正半轴运动，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，用含的式子表示，并直接写出相应的取值范围； (3)在（2）的条件下，点在上，点在延长线上，，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】(1)根据得到，计算即可． (2)当时，当时，两种情况计算即可． (3)根据得到，确定点，作，过点A作轴于点A，交于点E，证明，利用勾股定理，一次函数的解析式，解一元二次方程计算即可． 【规范解答】（1）∵， ∴， 解得． （2）∵点，点， ∴， ∵点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正半轴运动，连接，设点的运动时间为秒，的面积为， ∴， 当时即， 此时， ； 当时即， 此时， ； 故． （3）∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点，点， ∴，， ∴， ∴， 作，交x轴于点G， 则， ∵， ∴， 过点A作轴于点A，交于点E， ∵， ∴， ∴； 过点A作于点F， ∵， ∴， ∴， 解得， 设，则，， ， ∵， ∴ 整理，得， 整理，得， 解得（舍去）， 故 ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 令，得， 故点． 【考点剖析】本题考查了实数的非负性，二次根式的性质极其应用，三角形全等的判定和性质，勾股定理，一次函数解析式确定，解方程，熟练掌握勾股定理，待定系数法，解方程式解题的关键． 【压轴考点07】实数与数轴 【典例精讲】（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是__________． 【答案】 【思路引导】先根据数轴推出，进而得到，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【规范解答】解：由数轴可知，，， ． 【对应练习1】（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为____________． 【答案】/ 【思路引导】先根据勾股定理求出的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点表示的数即可． 【规范解答】解：如图， 正方形的边长为1， ， ， 点表示1， 点到点原点的距离为：， ∵点在数轴的负半轴上， 点表示． 【对应练习2】（25-26七年级上·青海西宁·期末）综合与实践 阅读： 我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而借助图形（如正方形、正方体等）能更直观理解乘方的意义．例如，既表示，也可对应“棱长为2的正方体的体积”；表示，也能对应“边长为2的正方形的面积（负号可理解为方向的抽象）”． 理解： （1）已知，计算和的值；并在数轴上分别表示出a、、对应的点（提示：先确定各数的符号与绝对值） （2）观察，，，，，…，写出（n为正整数）的末位数字的规律，再求的末位数字． 应用： （3）若一个数的平方等于它本身，这个数是______；若一个数的立方等于它本身，这个数是______． （4）已知，求的值，并说明该值在数轴上的位置特征． 拓展： （5）当n为正整数时，探究的值；并思考：是否存在整数x，使得？若存在，求x的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1），， a用点A、用点B、用点C表示． ． （2）规律为周期为（、、、循环），末位数字是； （3）或；或或； （4）；是正数，在原点右侧，且距离原点个单位长度处； （5）； 不存在，理由如下： ，， 当时， 且， 解得：且， ， 的值不存在． 【思路引导】此题考查了数轴和实数、绝对值和偶次方的非负性、末位数字的特征，熟练运用这些性质是关键． （1）按乘方公式计算，并表示在数轴上即可； （2）通过观察已知数的个位数字，找到规律，再利用规律求的末位数字即可； （3）设未知数列方程再解即可； （4）根据绝对值和偶次方的非负性计算即可； （5）根据n为正整数时，n和是两个连续的自然数求值即可；根据绝对值和偶次方的非负性计算，判断x的值是否存在即可． 【规范解答】解：（1）， ， ， ，， 在数轴上原点左侧3个单位处； ，， 在数轴上原点右侧9个单位处； ，， 在原点左侧27个单位处． （2），，，， ，，，，， 周期为（2、4、8、6循环）， ，余数为1，对应周期的第一个数， 故的末位数字是； （3）设数x的平方等于它本身，即： ， 解得：或， 故答案为：0或1； 设数y的立方等于它本身，即： ， 解得：或或， 故答案为：0或1或； （4）， 且， 解得：，， ， 是正数，在原点右侧，且距离原点个单位长度处； （5）为正整数， 和是两个连续的正整数即：（一奇数一偶数） 当时，，此时； 当时，，此时； 综上，当n为正整数时，； 不存在整数x，使得， 【压轴考点08】实数的大小比较 【典例精讲】（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知七个实数，其中五个数已经在数轴上分别用点、、、、表示．（以下问题请用原数作答） (1)点表示数，点表示数___________，点表示数___________，点表示数___________，点表示数___________； (2)借助圆规，在数轴上准确的用点表示数（提示：利用图中的正方形），并将题目中所给的这七个实数用“”连接起来． 【答案】(1)，，，； (2)在数轴上准确地表示数，如图所示， 【思路引导】本题考查了实数与数轴，勾股定理，实数的大小比较，正确利用数轴比较大小是解题的关键． （）根据在数轴上的位置即可求解； （）根据数轴的数从左到右是从小到大的顺序即可得出答案． 【规范解答】（1）解：点表示数，点表示数，点表示数，点表示数，点表示数， 故答案为：，，，； （2）解：， 由数轴可知，． 【对应练习1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）（1）如图，展示了六个面积分别为，，，，，的正方形，根据正方形面积公式（其中表示正方形的边长，表示正方形的面积），则面积为的正方形的边长为______；（用二次根式表示） （2）观察图形中面积为和的两个正方形边长在数轴上的位置，请比较这两个正方形边长的大小，并借助数轴解释理由； （3）如果两个正数，那么．请借助下图进行解释． 【答案】（1）； （2）面积为的正方形边长小于面积为的正方形边长， 理由如下：从图中可以看到，面积为的正方形在面积为正方形的左边，所对应的边长在数轴上的位置为在的左边. 在数轴上右边的数总比左边的大， 所以小于， 即， 所以面积为的正方形边长小于面积为的正方形边长； （3）从图中可以看到，面积大的正方形，它的边长也长. 设两个正方形的面积分别为和 ，根据正方形面积公式，它们的边长分别为和. 因为面积大于，所以对应的边大于， 所以两个正数，那么. 【思路引导】本题主要考查了正方形的面积公式，实数大小的比较，算术平方根的应用，读懂图形是解答关键. （1）根据正方形面积公式求解； （2）观察图形，利用在数轴上右边的数总比左边的大,边长长的正方形面积也大来求解； （3）利用从图中可以看到，面积大的正方形，它的边长也长来求解. 【规范解答】解：根据正方形面积公式（其中表示正方形的边长，表示正方形的面积），则面积为的正方形的边长为. 故答案为：； 【对应练习2】（25-26七年级下·江西南昌·期中）解答以下问题 (1)图中的两个小正方形卡纸边长均为，用这两个小正方形剪拼成图所示的一个大正方形，图中拼成的大正方形的边长为______；若图中大正方形的边长为，则图中的两个小正方形边长均为_____________． (2)我们知道A4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为 的卡纸也可以按图3方式折叠，则卡纸长为_______，宽为_____． (3)（2）中面积为 的卡纸能否按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过计算说明理由． 【答案】(1) ，  a (2) ， 3 (3) 不能剪出，理由如下： 面积为的大正方形，边长为， 而（2）中卡纸的长为， 计算得：， 若卡纸需沿大正方形卡纸的边的方向剪出， 则卡纸的长和宽都必须小于大正方形的边长才能剪出， ∵卡纸的长为，大于， ∴卡纸不能按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出． 【思路引导】本题考查了图形的折叠，实数的计算． （1）根据折叠的特点可知小正方形的对角线是大正方形的边长，作答即可； （2）设卡纸宽为，根据折叠的特点可知第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合，即可作答即可； （3）确定出卡纸的长与大正方形的边长的大小，即可判定． 【规范解答】（1）解：∵小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴当小正方形卡纸边长均为时，大正方形的边长为； ∵大正方形的边长为，小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴小正方形卡纸边长均为：； （2）设卡纸宽为，如下图， 根据折叠可知：第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合， 根据正方形的特点，可得第一次的折痕长度为：，即卡纸的长边长为：， ∵卡纸的面积为 ， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴卡纸的长边为：， 故答案为： ， 3； （3）略． 【压轴考点09】程序设计与实数运算 【典例精讲】（25-26七年级下·山东临沂·期末）一个数值转换器，如图所示： 其中为非负有理数．例如当输入的为3或9时，输出的的值都是．若输入有理数的值后，始终输不出的值，则的值可能是______________（请写出所有可能的结果）． 【答案】0或1 【思路引导】根据数值转换器的规则，分析始终输不出值的情况即可得解． 【规范解答】解：在非负有理数中，当时，，无论开多少次平方，结果始终是， 故始终输不出的值． 当时，，同样无论开多少次平方，结果始终是， 也始终输不出的值． 综上，的值可能是0或1． 【对应练习1】（25-26七年级下·河北保定·期中）有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的的值为36时，输出的______． (2)是否存在输入有效的的值后，始终输不出的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你推算输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的的值是，试判断输入的的值是否唯一．若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同的值． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 输入的数据可能是负数，理由如下： ∵负数没有算术平方根， ∴屏幕显示“该操作无法运行”， ∴输入的数据可能是负数； (4)输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4 【思路引导】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0和1的算术平方根即可判断； （3）根据负数没有算术平方根即可解答； （4）找到使得输出值为的最小的两个数即可． 【规范解答】（1）解：当时，，是无理数， ∴输出的； （2）解：存在，当或时，始终输不出值， ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数， ∴始终输不出值； （3）解：略； （4）解：4的算术平方根是2，2的算术平方根是， 故输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4． 【对应练习2】（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 【答案】(1)； (2) (3)或 【思路引导】（1）由数值转换器得到的式子，将值代入计算即可； （2）逆向运用数值转换器计算即可； （3）由题意得出取算术平方根始终为有理数，再由的算术平方根是其本身即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由图中的数值转换器得到式子， 当时，；当时，，再将代入得； （2）解：当时，，则； （3）解：由于始终不输出，说明取算术平方根始终为有理数，根据的算术平方根是其本身， ∴当或1时，始终输不出值． 【压轴考点10】计算器-平方根和立方根 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）用估算法比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和5． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较． （1）估算出的大小后与比较即可； （2）估算出的大小后与比较即可； （3）估算出的大小后与5比较即可． 【规范解答】（1）∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴， ∴． 【对应练习1】（25-26八年级上·全国·课后作业）用计算器比较大小（填“”“”或“”）：______；______． 【答案】 【思路引导】本题考查了计算器的使用，实数比较大小，利用计算器计算各数结果，然后比较即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【对应练习2】（25-26八年级上·全国·课后作业）利用科学计算器，比较下列各组数的大小： (1)和． (2)和． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了计算器的使用，实数比较大小，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用计算器计算各数结果，然后比较即可； （）利用计算器计算各数结果，然后比较即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）在下列各数，，，，，，，，，（相邻两个1之间有1个0）中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】先化简含乘方、开方的数，再判断无理数的个数，即可求解． 【规范解答】解：，，． ，，，为整数，是有理数．是有限小数，是有理数． 、（相邻两个之间有个）是无限循环小数，是有理数． 是无限不循环小数，是无理数． 是无理数． 是开方开不尽的数，是无理数． 综上，无理数共个． 2．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先求出，再根据中点的定义求出，最后求出结果即可． 【规范解答】解：∵数轴上表示2，的点分别为点C，点B， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴点A表示的数为． 3．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【规范解答】解：正方形的面积为10， 正方形的边长为， 点E表示的数为． 4．（25-26七年级下·重庆南川·期末）对于正实数，根据是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数；若为有理数，则；若为无理数，则．这种得到的过程称为对进行一次变换．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，……，依此类推．例如，正实数为有理数，则对5进行一次变换得到的数为，为无理数，对5进行二次变换得到的数为；8为有理数，对5进行三次变换得到的数为．下列说法中正确的有（     ） ①对正实数1进行三次变换，得到的数为； ②若对正实数进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的的值之和为； ③若对正实数进行三次变换得到的数为5，且，则所有满足条件的有4个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路引导】本题根据给定的变换规则，对正实数，若为有理数，一次变换结果为；若为无理数，一次变换结果为，对三个说法逐一分类讨论验证，统计正确说法的个数即可得到结果． 【规范解答】解：变换规则为：对正实数，若为有理数，一次变换结果为；若为无理数，一次变换结果为， 判定说法①： 是有理数，一次变换得；是无理数， 二次变换得；是有理数， 三次变换得，因此说法①正确． 判定说法②： 对二次变换得， 设一次变换结果为，即对变换得． 若为有理数，则，解得； 再对分类：若为有理数，得； 若为无理数，得（负根舍去）． 若为无理数，则，解得（负根舍去），是有理数，矛盾舍去． 满足条件的和为，因此说法②正确． 判定说法③： 三次变换得， 设二次变换结果为，一次变换结果为， 从后往前推导：对变换得，得（有理）或（无理），共2个； 对变换得，得、、，共3个； 对变换得且要求：得2个符合的，得1个符合的，没有符合的， 共3个符合条件的，说法③认为有4个，因此说法③错误． 综上，正确的说法共有2个，选C． 5．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据正方形的面积公式求出已知两个正方形的边长，结合图形观察出三个正方形边长的大小关系，从而确定中间正方形边长的取值范围，最后判断选项即可． 【规范解答】解：正方形的面积为，正方形的面积为， 正方形的边长，正方形的边长， 设正方形的边长为，由图可知，点在线段上，点在线段上， ，即， ，，， 选项均不符合题意， ， ， 正方形的边长可以是，选项 D  符合题意． 6．（26-27八年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，，在数轴上对应的点分别为，点是的中点，则数轴上点表示的数是______． 【答案】 【思路引导】本题考查了实数与数轴的特征，以及两点间的距离的求法，解题的关键是要熟练掌握这些内容． 设表示的数是，根据，求出的值即可． 【规范解答】解：设表示的数是， ∵， ∴ ∴． 7．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）比较大小：______1．（填“”或“”） 【答案】 【思路引导】通过变形将问题转化为比较和的大小，利用算术平方根的性质估算即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ． 8．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的的值为时，输出的结果是______． 【答案】/0.5 【思路引导】根据程序图所示的运算顺序，对输入的依次进行平方、开立方、取倒数、开算术平方根的运算即可得出结果． 【规范解答】解：第一步，取的平方，即， 第二步，对结果取立方根，即， 第三步，对结果取倒数，即， 第四步，对结果取算术平方根，即， 因此，当输入时，输出的结果是． 9．（2022·湖南娄底·模拟预测）公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到 ，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则___________． 【答案】 【思路引导】将整理为的形式，根据要求确定和的值，代入给定近似公式计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴中，，． ∴． 10．（25-26七年级下·北京·期末）关于x的不等式组，有下列四个命题： ①当时，该不等式组的解集为； ②当时，该不等式组有4个整数解； ③若该不等式组有解，则； ④若该不等式组恰有2026个整数解，则满足条件的整数a的最大值与最小值之差为1．其中真命题的序号是__________． 【答案】 ①④ 【思路引导】先解不等式组得到解集为 ，再逐个验证四个命题即可. 【规范解答】解：解不等式，得 ， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为 ， ① 当时，代入得 ，解集为，故命题①正确； ② 当时，，， 则不等式解集为， ∴整数解为，共个，不是个，故命题②错误； ③ 不等式组有解，则，解得，不是，故命题③错误； ④  ∵不等式组恰有个整数解，为整数， ∴是整数， 当时，，解集为，整数解从到，共个，符合要求； 当时，，解集为，整数解从到，共个，符合要求； 当时，，则整数解个数不足， 当时，，则整数解个数超过， ∴满足条件的整数最小值为，最大值为，差为，命题④正确， 综上，真命题的序号是①④. 11．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）计算 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 12．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）某手工社团开展“环保硬纸片改造”活动，社团成员小丽拿到两块小正方形硬纸片，准备拼成一个大正方形后，再裁出长方形书签．如图，已知两个小正方形的面积均为，将它们拼成一个大正方形，小丽计划沿着大正方形边的方向，裁出一个长宽比为，面积为 的长方形书签． (1)大正方形的边长是 ； (2)请判断小丽能否裁出符合上述要求的长方形纸片，并说明理由． 【答案】(1)6 (2) 不能．理由如下： 设长方形纸片的长为，则宽为，由题意，得， 解得（边长为正，负值舍去）， ∴长方形纸片的长为，宽为 ∵， ∴小丽不能裁出符合上述要求的长方形纸片 【思路引导】（1）根据小正方形的面积求出大正方形的面积，再求出大正方形的边长即可； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积列出方程，求出长方形纸片的长为，宽为，再与大正方形的边长进行比较即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得：大正方形的面积为， 则大正方形的边长为； （2）略． 13．（25-26七年级下·江西宜春·期末）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是__________； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）直接用点B表示数减去2个单位长度即可； （2）将m的值代入计算即可． 【规范解答】（1）解：∵有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数， ∴实数m的值是； （2）解：当时， ． 14．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期末）若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理，规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： (1)若的“舒适区间”为，且a为偶数，求的小数部分； (2)实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 【答案】(1)或； (2)． 【思路引导】（1）求出，分两种情况进行解答即可； （2）求出，由即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由条件可知， ， 为偶数， ， 若，则，，因此小数部分为； 若，则，，因此小数部分为； 的小数部分为或； （2）解：由条件可知，， ，； ， ∴右边， ， 两边立方得：， ， ， ， ， 的“舒适区间”为． 15．（25-26七年级下·北京·期中）我们已经学习了平方根、立方根等概念，了解到：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道负数没有平方根，即在实数范围内的任何一个数都无法使得成立． 现在，我们设想引入一个新数，使得成立，且这个新数与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数与的相乘记作，任意实数与相加记作，由此，我们将形如（，均为实数）的数叫作复数，其中叫虚数单位，叫作复数的实部，叫作复数的虚部． 对于复数（，均为实数），当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫作虚数：当且时，它是纯虚数． 例如：，，都是虚数，它们的实部分别是，，，虚部分别是，，并且以上虚数中只有是纯虚数． (1)化简：_____． (2)已知复数（是实数）是纯虚数，则实数_____． (3)已知为实数，且满足，求． (4)计算：． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【思路引导】（1）将拆分为，代入完成化简． （2）根据纯虚数定义，联立实部等于0、虚部不等于0的不等式组，求解实数的值． （3）复数等于0时实部、虚部均为0，据此列出二元一次方程组，解方程组得到的值． （4）先计算前四项的和寻找循环周期，利用周期规律求出2026项包含的完整周期个数与剩余项，再计算最终结果． 【规范解答】（1）解：； （2）解：∵复数（是实数）是纯虚数， ∴，， ∴或，且， ； （3）解：∵为实数，且满足， ∴， 解得． （4）解：， ， ， ， ， ， …， 每4个一组循环， ， ． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题六实数的概念与性质 【思维导图+十大考点讲练+思维拓展训练共45题〔原卷版〕】 目录 【思维导图知识梳理技巧点拨】 .2 【考点讲练重点难点举一反三】 2 「压轴考向一无理数的概念及相关计算] 【压轴考点01】无理数★★★ …….2 【压轴考点02】无理数的大小估算★★★.3 【压轴考点03】无理数整数部分的有关计算★★★4 「压轴考向二实数的概念及相关计算」 【压轴考点04】实数概念理解★★★ .6 【压轴考点05】实数的分类★★★ ..8 【压轴考点06】实数的性质★★食★ .9 【压轴考点07】实数与数轴★★★食 10 ,【压轴考点08】实数的大小比较★★★★ ..11 【压轴考点09】程序设计与实数运算★★★★ .13 二【压轴考点10】计算器平方根和立方根★女★ .14 【压轴强化精选真题实战演练】 … ..15 第1页共18页 思维导图 知识梳理技巧点拨 多苏科版数学八年级上册 挑战压轴题专题六《实数的概念和性质》 掌握实数本质 轻松应对压轴题！ ①实数的概念 ②实数的分类 1,实数：有理数和无理数统称为实数 实数包括有理数 和无理数， 有理数 (整数.分数) 如：-3,0， 2.有理数：可以写成号p,9是整数，q0)的数 它们的集合是 2,-3.15 闰：整数(…，-2-1,0,1,2.…) R 实数 分数（如亏，-3.15等） 无理数 (无限不循环小数) 如：2，π， 0.1010010001…等 3.无理数：不能写成号(p,g是整数，9≠0)的数。 如：√2，π，-√3,0.1010010001…（每两个1之间 依次多一个0)等。 实数的概念 3实数的性质 数轴.相反数 1.数轴上的点与实数一一对应 (绝对值，近做数 ④无理数的估算与近似数。 和性质 2.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数 1.无理数的估算 (1)√/2在1和2之间：1<2<2： 目 如：3与-3互为相反数；√2与-√2互为相反数 3.绝对值： (2)√2的近似值：1.414<√2<1.415 2.近似数的精确度： a-/(a≥o 1-a(a<0)如：131=3，-3引=3,1W2=√2. (1)π精确到小数点后两位：3.14； 近似数：取一个数的近似值时，要保留的有效数字 (2)√2精确到0.001：1.414. 图2-5 所在的数位称为精确到的位数 5实数的运算 ⑤实数的压轴题解题技巧 常用公式 压轴题示例 1.加法、减法、乘法、除法：运草法则与有理数一数. Va3-lal ①分类讨论：涉及绝对值.开方，取值范围时，要分情况讨论， 已知实数a满足a-2+a+=0, 2.乘方：a2=a·a,a3=a·a·a. 3.开方：√a表示a的算术平方根(a≥0) a=a828 ②数形结合：利用数轴、几何图形（如图2-4，图2-5）直观分析 求a的值 解：由题意知a-2=0,a+1=0, 4.乘除混合运算：先乘方，再乘除，最后加减」 Va≥0(a≥0) ③估值法：先确定范围，缩小结果，判断正负和大小 解得a=2(合去，图a+1=0不成立) a2≥0(a为实数) ④代入蟾证：对于选择，填空题，可先代入特殊值验证。 所以a=2. 注意：开平方时，被开方数必须是非负数。 ⑤化归转化：将复杂问题转化为已知模型或简单问题， 掌握实数， 理解·归纳·练习·提升 决胜压轴！ 考点讲练 重点难点举一反三 「压轴考向一无理数的概念及相关计算」 【压轴考点01】无理数★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·全国·课后作业)对于无理数7，试解答下列问题： (1)√7在数轴上位于哪两个相邻的整数之间？ (2)借助计算器找出有理数a和b,使a<√7<b,且b-a=0.001. 第2页共18页 【对应练习1】(24-25八年级上·甘肃白银·期中)在下列各数中-√-5)、V36、分0、-π、V、 3.1415、 2.010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).是无理数的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【对应练习2】(25-26七年级下·重庆·期中)如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程 图，下面说法其中正确的是( ) 输入x 取算术平方根 是无理数吗？> 是 输出y ①当输入值x为16时，输出值y为V2 ②当输出值y为V3时，输入值x为3或9 ③存在这样的正整数x,输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值. ④对于任意的正无理数y,都存在正整数x,使得输入x后能够输出y: A.①② B.①③ C.①④ D.②③ 【压轴考点02】无理数的大小估算★★★ 【典例精讲】(26-27七年级上·浙江杭州·开学考试)已知V13的整数部分为a,小数部分为b,则代数 式a-b的值为( ). A.6-√13 B.6+√13 C.V13-6 D.6 【对应练习1】(26-27八年级上·全国·课后作业)比较下列各对数的大小： (1)2√3与3W2: ②-9与-子 第3页共18页 【对应练习2】(25-26七年级下·广东珠海·期中)任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若 无理数：m<T<n,(其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数)，则称无理数T的 “知行区间”为(m,n),如1<5<2，所以3的知行区间为(1,2) (1)无理数V11的“知行区间”是_一一： ②若其中一个无理数的“知行区何°为m)且满足0<m+质<12，其中（你是关于不y的方程 mx-ny=C的一组正整数解，求C值； (3)实数太m满足关系式：Vx+y-m=√x+y-2026+V√2026-x-y,求m的算术平方根的“知 行区间”. 【压轴考点03】无理数整数部分的有关计算★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·吉林四平·期末)已知2a-1的平方根是士1,3a+b-1的立方根是 2,c是V10的整数部分 (1)求a、b、c的值： (2)求a+2b+c的算术平方根. 【对应练习1】(25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中)阅读下面的文字，解答问题：大家知道V2是无理 数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部写出来.将这个数减去其整数部分， 差就是小数部分，因为V2的整数部分是1，于是用V2-1来表示V2的小数部分. 又例如： 4<V7<V,即2<√7<3， 第4页共18页 ∴√7的整数部分是2，小数部分为V7-2. A -5-4-3-2-1012345 (1)V17的整数部分是--一，小数部分是 (2)点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m,小数部分为，则下列对于m, n的说法正确的是 (填序号即可)； ①m,n均为有理数；②1<Vm<2;③3<m-n<4;④3<m+n<4 (3)若m,n分别是6-V5的整数部分和小数部分，求3m-n的值. 【对应练习2】(25-26七年级上·浙江宁波·期中)如图，在4×4的小正方形组成的图形中有一个阴 影部分（阴影部分也是正方形）·若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为-1. B A -3-2-10 D (1)图中正方形ABCD的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为x,小数部分为y,求(y-√1O的值， (3)若正方形ABCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B滚到与数轴上的点P重合时，记为第一次翻 滚，如图所示，C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚…以此类推，请回答： ①点P表示的数为多少？ ②是否存在正整数n,使得该正方形n次翻滚后，其项点A,B,C,D中的某个点与2025重合？ 第5页共18页 「压轴考向二实数的概念及相关计算」 【压轴考点04】实数概念理解★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·云南昆明·期末)【感悟思想】 己知实数x,y满足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值. 思考：常规思路是将①②联立成方程组，解出x,y的值再代入所求代数式求值 观察这两个方程未知数的系数之间的数量关系，还可以通过适当整体变形求代数式的值.如①一②可得 x-4y=-2;①+②×2可得7x+5y=19 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”. 【体会思想】 (1)已知二元一次方程组} 2x+y=7 +2y=8’则x-y=，x+y= (x+y=5 (2)已知方程组： x+z=3,则x+y+z= y+Z=4 【应用思想】 (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需27元，买39支铅笔、5块橡 皮、3本日记本共需50元，若铅笔、橡皮和日记本的价格均为正整数，则1支铅笔、1块橡皮、1本日记 本的价格共需多少元？ 第6页共18页 【对应练习1】(25-26七年级下·山西忻州·期中)阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么√2不是 有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告.请认真阅读并 完成任务！ 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，√2不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方 法。 假设V2是有理数，那么存在两个互质的正整数p,q,使得=V2,于是p= V2q. 两边平方，得p2=2q2, 由2q2是偶数，得p2是偶数，所以p也是偶数. 因此可设p=2r（r是正整数)，代入上式，得4r2=2g2,即g2=2r2, 所以q也是偶数，这样p,q都是偶数，与假设p,q互质矛盾， 即V2不是有理数. 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对2是否为有理数展开了以下论证. 假设V2是有理数，那么存在两个互质的正整数p,q,使得=2，于是p= 2q, 两边立方，得p3=2g3… 任务： (1)5是 一·（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程. (3)若2+m是无理数，且与2互为相反数，直接写出m的值. 第7页共18页 【对应练习2】(24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测)对于从左到右依次排列的三个实数a,b,c, 在α与b之间，b与c之间各添加一个四则运算符号+，一，×，÷组成算式（不添加可能改变运算顺序的括 号)，并按四则运算法则计算结果，称为对实数a,b,c进行“四则操作”.例如：对实数1,2,3进行 “四则操作”可以是1+2+3=6，也可以是1-2×3=-5.则下列说法正确的是 （填序 号) ①“四则操作”2一3+4的结果为3：②对实数2,3,4进行“四则操作”的结果可能是-10；③对实数 1,一2,5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的是-9. 【压轴考点05】实数的分类★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·四川眉山·开学考试)在-1，年，V21,0.257,-64,3-V2, -0.1010010001…(每两个1之间0的个数依次加1)中，无理数有( A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【对应练习1】(2526七年级下·云南昭通·阶段检测)在03，-河行，号，- √⑧，一64,0.3737737773…（每相邻两个3之间7的个数逐次加1）中，负无理数的个数为 ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【对应练习2】(25-26八年级上·福建漳州·期末)已知代数式v2”+3(n为正整数). (1)当n=1时，V2n+3=(填得数)，是（填“有理数”或“无理数”)；当n=2时， V2”+3=一（填得数），是一（填“有理数”或“无理数”）； (2)V2n+3可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 第8页共18页 【压轴考点06】实数的性质★★★★ 【典例精讲】下列命题中，正确的是( ①算术平方根等于本身的数只有0： ②倒数等于本身的数只有1： ③立方根等于本身的数有土1和0： ④绝对值等于本身的数只有0和1： A.只有③ B.①和② C.只有① D.③和④ 【对应练习1】(25-26七年级上·浙江湖州·期末)若实数a,b同时满足a-b1=3,a-b=4,则下 列结论正确的是() A.ab0 B.bl-b=1 C.lal+bl=6 D.lal <bl 【对应练习2】(23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末)如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原 点，点A(a,0),点B(0,b),其中a,b满足Va-4+(3a-b)=0: B (1)求a,b的值： (2)点C从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正半轴运动，连接BC,设点C的运动时间为t秒， △ABC的面积为S,用含t的式子表示S,并直接写出相应t的取值范围； (3)在(2)的条件下，点D在0B上，点C在OA延长线上，∠OBA+∠OCD=45°，当S=72时，求点D的 坐标。 第9页共18页 【压轴考点07】实数与数轴★★★★ 【典例精讲】(24-25八年级上·山东青岛·阶段检测)实数α，b在数轴上的位置如图所示，化简 √(a-b)2-b的结果是 一1 b 0 【对应练习1】(25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末)我们知道实数与数轴上的点一一对应，如 图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴负半轴交 于点P,则点P表示的实数为 0 2 【对应练习2】(25-26七年级上·青海西宁·期末)综合与实践 阅读： 我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而 借助图形（如正方形、正方体等）能更直观理解乘方的意义.例如，23既表示2×2×2，也可对应“棱长 为2的正方体的体积”：(-2)2表示(-2)×(-2)，也能对应“边长为2的正方形的面积（负号可理解为方 向的抽象)”， 理解： (1)已知a=-3,计算a2和a3的值；并在数轴上分别表示出a、a2、a3对应的点（提示：先确定各数的符 号与绝对值) (2)观察21=2,22=4,23=8,24=16,25=32，…，写出2n（n为正整数)的末位数字的规律， 再求22025的末位数字. 应用： (3)若一个数的平方等于它本身，这个数是一；若一个数的立方等于它本身，这个数是 (4)已知x-2引+(y+1)2=0,求x'的值，并说明该值在数轴上的位置特征. 拓展： (5)当n为正整数时，探究(-1)”+(-1)m+1的值；并思考：是否存在整数x,使得 第10页共18页 x+3|+(x-1)4=0?若存在，求x的值；若不存在，说明理由. 為 【压轴考点08】实数的大小比较★★★★ 【典例精讲】(25-26八年级上·河北唐山·期中)已知七个实数-√5,3,4,5.3，-64,0，π，其中五个数 己经在数轴上分别用点A、B、C、D、E表示.（以下问题请用原数作答） 0 P D E -6-5=4-3-2-10123456→ (1)点A表示数0，点B表示数 点C表示数 ,点D表示数 ,点E表示数 (2)借助圆规，在数轴上准确的用点F表示数-√5（提示：利用图中的正方形APQR),并将题目中所给的 这七个实数用“<”连接起来， 第11页共18页 【对应练习1】(25-26八年级上·河南郑州·期中)(1)如图，展示了六个面积分别为1cm2,2cm2, 3cm2,4cm2,5cm2,6cm2的正方形，根据正方形面积公式S=a2（其中a表示正方形的边长，S表示正方 形的面积)，则面积为2cm的正方形的边长为_；（用二次根式表示） (2)观察图形中面积为2cm2和5cm2的两个正方形边长在数轴上的位置，请比较这两个正方形边长的大 小，并借助数轴解释理由： (3)如果两个正数a<b,那么Va<Vb.请借助下图进行解释. 6cm 5cm2 4cm2 3cm2 2cm2 1cm2 0 1 23456xcm 【对应练习2】(25-26七年级下·江西南昌·期中)解答以下问题 图1 图2 图3 图4 (1)图1中的两个小正方形卡纸边长均为1cm,用这两个小正方形剪拼成图2所示的一个大正方形，图2 中拼成的大正方形的边长为cm:若图2中大正方形的边长为V2a,则图1中的两个小正方形边长均 为 (2)我们知道4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为9√2cm的卡纸也可以按图3方式折叠， 则卡纸长为cm,宽为cm. (3)(2)中面积为9W2cm2的卡纸能否按图4所示沿面积为16cm2大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过 第12页共18页 计算说明理由. 【压轴考点09】程序设计与实数运算★★★★ 【典例精讲】 (25-26七年级下·山东临沂·期末)一个数值转换器，如图所示： 是无理数 输入x 取算术平方根 输出y 是有理数 其中x为非负有理数.例如当输入的x为3或9时，输出的y的值都是V3.若输入有理数x的值后，始终输不 出y的值，则x的值可能是 (请写出所有可能的结果). 【对应练习1】(25-26七年级下·河北保定·期中)有一个数值转换器，原理如图所示. 是无理数 输入x 取算术平方根 输出y 是有理数 (1)当输入的x的值为36时，输出的y= (2)是否存在输入有效的x的值后，始终输不出y的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的x的值：如 果不存在，请说明理由. (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”·请你推算输入的数据可能是什 么情况，并说明理由. (4)若输出的y的值是√2，试判断输入的x的值是否唯一.若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同x的 值. 第13页共18页 【对应练习2】(25-26七年级下·山东临沂·期中)如图为一个数值转换器. 否 输入x 取算术平方根 是有理数吗？ 输出y 是 (1)若输入的x值为5，则输出的y值为_一一；若输入的x值为36，则输出的y值为_-一 (2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为v7,求输入的x的值； (3)某同学输入的非负数x值后，却始终不输出y值，请你分析，他输入的x值是？ 【压轴考点10】计算器平方根和立方根★★★ 【典例精讲】(25-26八年级上·全国·课后作业)用估算法比较下列各组数的大小： (1)3.2和v10: 码 (3)2v6和5. 【对应练习1】(25-26八年级上·全国·课后作业)用计算器比较大小（填“>”“<”或“=”）： V11 一5：9是 【对应练习2】(25-26八年级上·全国·课后作业)利用科学计算器，比较下列各组数的大小： ①和 2 (2)100和V21+1. 第14页共18页 压轴强化 精选真题实战演练 1.(24-25八年级上·山东青岛·阶段检测)在下列各数(2)°，8,0，V9,0.010010001,7 -0.383,3.1415,√5,2.010101.（相邻两个1之间有1个0)中，是无理数的有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(25-26八年级上·福建泉州·阶段检测)如图，数轴上表示2，√5的点分别为点C,点B,点C是线 段AB的中点，则点A表示的数( ACB 0 2V5 A.-V5 B.2-V5 C.V5-2 D.4-5 3.(25-26七年级下·陕西商洛·期中)如图，将面积为10的正方形ABCD放在数轴上，以表示实数1的 点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点B,则点E表示的数为( ) B D E-101 A.1-V10 B.2-√⑧ C.V10-3 D.V8+2 4.(25-26七年级下·重庆南川·期末)对于正实数n,根据n是否是有理数，分以下两种情况得到另一个 正实数m;若n为有理数，则m=√n+1;若n为无理数，则m=n2+2.这种得到m的过程称为对n进行一 次变换.对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，…，依此类推.例如，正实数n=5为有 理数，则对5进行一次变换得到的数为V5+1=√6，V6为无理数，对5进行二次变换得到的数为（√⑥）+ 2=8:8为有理数，对5进行三次变换得到的数为V8+1=3.下列说法中正确的有（ ①对正实数1进行三次变换，得到的数为V5: ②若对正实数n进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的n的值之和为63+√6； ③若对正实数n进行三次变换得到的数为5，且n>5,则所有满足条件的n有4个. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 第15页共18页 5.(25-26七年级下·安徽六安·期中)如图，四边形ABCD,CEFG,GHMN均为正方形，且正方形 ABCD的面积为3，正方形GHMN的面积为11，则正方形CEFG的边长可以是() N M D H A.1 B.V2 C.5 D.7 6.(26-27八年级上·湖南衡阳·开学考试)如图，3，√11在数轴上对应的点分别为C,B,点C是AB的中 点，则数轴上点A表示的数是 ACB 0 3+ 7.（25-26七年级下·陕西商洛·期中)比较大小：7马 2 1.(填“>”或“<”) 8.(25-26七年级下·陕西商洛·期中)如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的x的值为 8时，输出的结果是 /输入x值 取x的平方 取立方根 输出 取算术平方根 取倒数 9. (2022·湖南娄底·模拟预测)公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式Va2+T心a+云得到 无理数的近似值，例如：V2化为+，再由近似公式得到V2≈1+女==15，若利用此公式计算 √I7的近似值时，r取正整数，且a取尽可能大的正整数，则V17≈ x-2≤a 10.(25-26七年级下·北京·期末)关于x的不等式组 41>=2， 有下列四个命题： .2 4 ①当a=0时，该不等式组的解集为-2<x≤2； ②当a=2V2时，该不等式组有4个整数解： ③若该不等式组有解，则a>-7: ④若该不等式组恰有2026个整数解，则满足条件的整数a的最大值与最小值之差为1.其中真命题的序号 是 11.（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测)计算 (1)(-1)2027+V9-|-51--27: (2)V25+-64+V(-2)2-W3-2: 第16页共18页 12.(26-27八年级上·河南周口·阶段检测)某手工社团开展“环保硬纸片改造”活动，社团成员小丽 拿到两块小正方形硬纸片，准备拼成一个大正方形后，再裁出长方形书签.如图，已知两个小正方形的面 积均为18cm2,将它们拼成一个大正方形，小丽计划沿着大正方形边的方向，裁出一个长宽比为3：2，面 积为37.5cm2的长方形书签， (1)大正方形的边长是_cm: (2)请判断小丽能否裁出符合上述要求的长方形纸片，并说明理由. 13.(25-26七年级下·江西宜春·期末)如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点 A,若点B表示数√5，设点A表示的数为m. -3-2-10123 (1)实数m的值是 (2)求(m+2)2+m+1的值. 第17页共18页 14.(25-26七年级下·安徽蚌埠·期末)若无理数VT的被开方数T(T为正整数)满足n2<T<(n+1)2 (其中n为正整数)，则称无理数VT的“舒适区间”为(n,n+1)；同理，规定无理数-√T的“舒适区 间”为(-n-1,-).例如：因为12<2<22，所以1<√2<2，所以V2的“舒适区间”为(1,2)，-V2 的“舒适区间”为(-2，-1).请解答下列问题： (1)若Va+3的“舒适区间”为(2,3)，且a为偶数，求Va+1的小数部分： (2)实数x,y,m满足关系式：x-2y-2m+2x-y+m=√35-x+y+√x-y-35,求-Vm的 “舒适区间”· 15.(25-26七年级下·北京·期中)我们已经学习了平方根、立方根等概念，了解到：有理数和无理数 统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围.在学习过程中我们又知道负数没有平方根，即在实数范围 内的任何一个数x都无法使得x2=-1成立. 现在，我们设想引入一个新数，使得2=一1成立，且这个新数与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘 法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律.把任意实数b与的相乘记作bi,任意实数a与bi 相加记作a+bi,由此，我们将形如a+bi(a,b均为实数)的数叫作复数，其中叫虚数单位，a叫作复数 的实部，b叫作复数的虚部. 对于复数a+bi(a,b均为实数)，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0： 当b≠0时，它叫作虚数：当a=0且b≠0时，它是纯虚数. 例如：3+2i,-V3-,-都是虚数，它们的实部分别是3，-V3,0,虚部分别是2，-京-并且 以上虚数中只有-是纯虚数. (1)化简：3=一 (2)已知复数m2-1+(m+1)i(m是实数)是纯虚数，则实数m=-一一· (3)己知x,y为实数，且满足(x-2y+3)+(x+2y-1)i=0,求x,y. (4)计算：i+2+3+4+…+2026. 第18页共18页