专题03 线段垂直平分线、角平分线与等腰三角形 讲义 (核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形及等边三角形的性质与判定，从轴对称视角构建知识体系，前接轴对称基础，后续几何推理与综合应用，形成从定理到解题的学习支架。 资料特色在于针对三线合一乱用、分类讨论缺失等易错点精准提示，题型分层设计（基础到难题）并结合实际应用（如喷水装置安装）。通过解题思路引导培养推理意识与几何直观，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升数学语言表达与问题解决能力。

专题03线段垂直平分线.角平分线与等腰三角形 课堂核心立意 本节课从轴对称视角研究线段、角、等腰三角形；掌握线段垂直平分线、角平分线的性质与判定，理解等腰三角形、等边三角形性质及判定；会运用定理进行计算与简单几何证明，进一步强化几何推理、规范书写证明步骤，积累轴对称类几何模型解题经验。 线段的垂直平分线 1. 性质定理：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：∵点P在线段AB垂直平分线上，∴PA=PB。 2. 判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上。 3. 集合意义：线段垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合。 4. 三角形外心：三角形三边垂直平分线交于一点（外心），外心到三角形三个顶点距离相等。 角平分线 1. 性质定理：角平分线上的点，到角两边的距离相等。 几何语言：∵OP平分AOB，PDOA，PEOB，∴PD=PE。 注意：必须具备垂直条件，才有距离相等。 2. 判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：∵PD OA，PEOB，PD=PE，∴OP平分 AOB。 3. 三角形内心：三角形三条角平分线交于一点（内心），内心到三角形三条边距离相等。 等腰三角形的性质 1. 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等两边叫腰，另一边为底边；两腰夹角为顶角，腰与底边夹角为底角。 2. 性质1（等边对等角）：等腰三角形两底角相等。 几何语言：∵AB=AC，∴ B= C。 3. 性质2（三线合一，重中之重）：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，三条线互相重合。 三线合一使用前提：必须是等腰三角形，针对顶角、底边。 4. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线。 等腰三角形的判定 1. 定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2. 等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 几何语言：∵B= C，∴AB=AC。 等边三角形（特殊等腰三角形） 1. 性质：三边全部相等；三个内角都等于60；具备等腰三角形全部性质，三条三线合一，3条对称轴。 2. 判定：①三边都相等；②三个角都相等；③有一个角是60的等腰三角形为等边三角形。 ①线段垂直平分线性质：混淆“到两端点距离”，错写成到直线距离； ②角平分线性质，做题漏掉垂直条件，直接由角平分线推出线段相等； ③三线合一乱用：非底边、非顶角，随意套用三线合一；只有等腰三角形才能用三线合一； ④“等边对等角、等角对等边”只适用于同一个三角形，跨三角形不能直接使用； ⑤等腰三角形题目没有图，不进行分类讨论：分顶角为锐角、钝角；区分谁是腰、谁是底，算完不检验三角形三边关系； ⑥等边三角形判定，忽略前提，直接写有一个角60°就是等边三角形，缺少等腰条件； ⑦外心、内心概念混淆：外心到顶点距离相等，内心到三边距离相等； ⑧计算等腰三角形内角，忽略三角形内角和，出现大于180°的错误结果 题型 考察方向 难度 题型一 线段垂直平分线的性质 ★★ 题型二 线段垂直平分线的判定 ★★ 题型三 角平分线的性质定理 ★★ 题型四 角平分线的判定定理 ★★ 题型五 角平分线性质的实际应用 ★★★ 题型六 等腰三角形的定义 ★ 题型七 等边对等角 ★★ 题型八 三线合一 ★★★ 题型九 格点图中画等腰三角形 ★★★ 题型十 找出图中的等腰三角形 ★★ 题型十一 根据等角对等边证明等腰三角形 ★★ 题型十二 根据等角对等边证明边相等 ★★ 题型十三 根据等角对等边求边长 ★★★ 题型十四 等腰三角形的性质和判定 ★★★★ 题型十五 等边三角形的性质 ★★★ 题型十六 等边三角形的判定 ★★★ 题型十七 等边三角形的判定和性质 ★★★★ 题型十八 含 30 度角的直角三角形 ★★★ 题型十九 斜边的中线等于斜边的一半 ★★★ 题型二十 直角三角形的两个锐角互余 ★★ 题型二十一 锐角互余的三角形是直角三角形 ★★ 拔高练 13题 星级说明：★基础题 ★★中档常考题 ★★★提升 ★★★★难题 题型一：线段垂直平分线的性质 解题思路：①依据定理：线段垂直平分线上的点，到线段两端距离相等；②进行线段等量替换；③多用于求三角形周长、线段长度，优先直接代换，无需证全等。 1．线段的垂直平分线上有一点，若，则的长为（     ） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质进行解答即可． 【详解】解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为___． 【答案】 19 【分析】由是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，，结合的周长为，通过等量代换可得，进而求出的周长． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， 的周长为， ， ， ． 3．如图，在中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（     ） A． B． C．7 D．6 【答案】C 【分析】由题意可得∶垂直平分，则，即可求解 【详解】解∶由题意可得∶ 垂直平分，则． 的周长． ， ． 题型二：线段垂直平分线的判定 解题思路：①目标：证明点在垂直平分线上；②证明该点到线段两个端点距离相等；③两点确定一条直线，满足条件的两点即可确定垂直平分线。 4．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ） A． B．直线是的垂直平分线 C．直线是的角平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，则点P在直线的垂直平分线上，若有，则直线是的垂直平分线，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴点P在直线的垂直平分线上， ∴若，则直线是的垂直平分线，故D说法正确，符合题意 根据现有条件无法证明A、B、C中的结论，故A、B、C说法错误，不符合题意； 故选：D ． 5．如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 【答案】16 【分析】根据垂直平分线的性质，得到，求出，推导出是的垂直平分线，，得到，进而求出的周长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵垂直于点，且为的中点， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∴的周长是． 6．如图，下列说法正确的是（    ） A．若，则垂直平分 B．若，则垂直平分 C．若，则垂直平分 D．若，则垂直平分 【答案】C 【分析】利用线段垂直平分线的性质定理的逆定理逐一判断进而得到答案． 【详解】解：A、若，则在线段的垂直平分线上，该选项说法错误，不符合题意； B、若，则在线段的垂直平分线上，该选项说法错误，不符合题意； C、若，则垂直平分，该选项说法正确，符合题意； D、若，则垂直平分，该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理的逆定理，能熟记到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解此题的关键． 题型三：角平分线的性质定理 解题思路：①见角平分线，向角两边作垂线段；②依据定理：角平分线上的点，到角两边垂距相等；③利用线段相等转化计算； ⚠️前提必须具备垂直条件。 7．如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作，根据角平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵，是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴点D到的距离是． 8．如图，在中，点在边上，连接，，平分交于点，于点，若，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】过点I作于点E，根据角平分线的性质得到，根据得到，，根据求解即可． 【详解】解：过点I作于点E， 平分交于点，于点， ， ，， ，， ，， ， ， 解得． 9．如图，是的平分线，点，分别是，上的动点，，当的面积是时，线段的长不可能为（     ） A．4.5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】先过点作，利用三角形面积公式求出的长度，再依据角平分线的性质得到到的最短距离，结合垂线段最短确定的取值范围，最后判断选项． 【详解】解：过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴点到的垂线段长度等于， ∵垂线段最短， ∴， ∴的长可能为、、，的长不可能为． 题型四：角平分线的判定定理 解题思路：①过待测点向角的两边作垂线；②证明两条垂线段长度相等；③判定该点在角平分线上，可推导角相等； ⚠️前提：点在角内部+双垂直。 10．在锐角内一点P，且点P到三边的距离相等，则点P是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．重心 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，掌握到角两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 根据角平分线的性质，到角两边距离相等的点在角平分线上，可得到三边距离相等的点是三条角平分线的交点． 【详解】解：∵点P到三边的距离相等， ∴点P是三条角平分线的交点， 故选A． 11．如图，在四边形中，，，连接，，．若P是边上一动点，则长的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 先证明为的平分线，再根据垂线段最短，可知当时，的长度最小，再根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，，， ，即为的平分线， 为的平分线， 当时，的长度最小， 又∵， ， ，， ，即长的最小值为5． 故答案为：5． 12．两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，掌握到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为，由题意得，且，，根据角平分线的判定定理可证平分，从而得到答案． 【详解】解：如图，作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为， 由题意得，且，， ∴平分，即点在外角的平分线上． 故选：B． 题型五：角平分线性质的实际应用 解题思路：①文字条件转化几何模型；②到两条直线距离相等→找角平分线；③到两点距离相等→找线段垂直平分线；④多个约束条件取交点。 13．如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边距离相等，根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在三角形三条角平分线的交点处． 14．如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于______． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线性质的实际应用和三角形面积的求法，作辅助线很关键． 过点O作于于于F，得到，从而得到． 【详解】过点O作于于于F， ∵是三角形三条角平分线的交点， ， ， ． 故答案为：． 15．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 题型六：等腰三角形的定义 解题思路：①识别：两边相等的三角形为等腰三角形；②区分腰、底边、顶角、底角；③边长问题分类讨论，最后用三边关系检验取舍。 16．已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 【答案】 【分析】利用等腰三角形两腰相等的性质，计算三边长度和即可得到周长． 【详解】解：等腰三角形底边长为，腰长为， 这个三角形的周长为 ． 17．等腰三角形的周长为，其中一边长，则其腰长为（     ） A．或 B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题需分两种情况讨论，分别讨论为腰长和为底边长的情况，计算后根据三角形三边关系验证能否构成三角形即可． 【详解】解：分两种情况讨论：情况1：当为腰长时 ∵等腰三角形周长为 ∴底边长为 ∵，，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时腰长为； 情况2：当为底边长时， ∵等腰三角形周长为 ∴腰长为 ∵，，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时腰长为， 综上，腰长为或． 18．等腰的周长为11，各边长为正整数，则这样的等腰三角形有___________个． 【答案】 【分析】设出等腰三角形的腰长与底边长，根据周长得到二者的关系式，结合边长为正整数的条件与三角形三边关系，筛选出所有符合条件的边长组合，统计个数即可． 【详解】解：设等腰的腰长为，底边长为，其中，均为正整数， 由题意得：，即 ． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得且． 将代入不等式组得 ， 解不等式组得：． 因为为正整数， 所以的取值为，，， 当时，，三边长为，，，符合条件； 当时，，三边长为，，，符合条件； 当时，，三边长为，，，符合条件； 因此符合条件的等腰三角形共有个． 19．等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，根据等腰三角形分一边为，分是腰长或底边长两种情况讨论． 【详解】解： 等腰周长为，一边长为， 当为腰长时，底边长为， 和谐比为：； 当为底边长时，腰长为， 和谐比为：． ∴ 和谐比为或． 故选：C． 题型七：等边对等角 解题思路：①适用前提：同一个三角形内；②由两条边相等，推出这两条边所对的内角相等；③用于角度计算、角度等量代换。 20．五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，则该五角星中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，求出，再根据邻补角互补即可求解． 【详解】解：如图， ∵五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形， ∴，， ∴， ∴． 21．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】连接，根据等腰三角形和线段垂直平分线的性质可得，得到，又由线段垂直平分线的性质可得，得到，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 22．如图，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则． 题型八：三线合一 解题思路：①适用前提：等腰三角形，针对顶角、底边；②已知顶角平分线/底边中线/底边高其中一个，直接推出另外两个；③用于证垂直、证线段相等、证角相等； ⚠️腰上的中线、高不能直接用三线合一。 23．工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”和重力方向是竖直向下的解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形底边上的中线与高线重合，而铅垂线方向始终竖直向下，当铅垂线通过底边中点时，说明底边与铅垂线垂直，即底边水平，从而判断屋梁是不是水平， ∴这其中蕴含的数学道理是等腰三角形的“三线合一”． 24．在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为_____． 【答案】8 【分析】连接，先求出的长，再得出，进而可得当三点共线时，的值最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵的面积为12， ∴， 解得， ∵直线垂直平分， ∴， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为， ∴周长的最小值为． 25．如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，点E是边AB的中点，点P是AD上一动点，连接PB、PE，已知，则最小值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】利用等边三角形的性质和轴对称，将转化为，根据两点之间线段最短，确定最小时的情况，进而求解． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形的角平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当、、共线时，最小，即最小，最小值为的长． 又∵是中点，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴． 题型九：格点图中画等腰三角形 解题思路：①用勾股定理计算网格内线段长度；②分类：已知线段作腰、已知线段作底边；③底边模式：作垂直平分线找格点；④腰模式：以端点为圆心画圆找格点；⑤不漏解、检验。 26．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，以为直角顶点有2个，以A为直角顶点有2个，以C为直角顶点有2个，据此结合网格的特点画出示意图即可得到答案． 【详解】解：如图所示，即为所求， 故选：A． 27．如图，在的正方形网格中，A，B两点在小正方格的顶点上，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形为轴对称图形，则这样的点C有________个． 【答案】8 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，根据两边相等的三角形是等腰三角形进行画图即可． 【详解】解：如图所示： ， 这样的点C有8个， 故答案为：8． 28．如图，在的正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了格点与等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 根据等腰三角形的定义在格点作图即可． 【详解】解：根据等腰三角形的定义作图如下， 图1，，是等腰三角形，点在格点上，符合题意； 图2，，是等腰三角形，点在格点上，符合题意； 图3，，是等腰三角形，点在格点上，符合题意； 综上所述，点的个数为3个， 故选：C． 题型十：找出图中的等腰三角形 解题思路：①寻找图中相等线段，直接判定；②推导等角，利用等角对等边判定；③重点留意模型：角平分线+平行线，直接生成等腰三角形。 29．如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．    综上，这样的直线最多可画4条． 故选：C． 30．如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有_____个．   【答案】3 【分析】根据已知条件，，可得是底角为的等腰三角形，再根据尺规作图可得平分，从而判断等腰三角形的个数． 【详解】∵中，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 由题图可知，平分， ∴， ∴，， ∴,， ∴是等腰三角形，， ∴是等腰三角形． 综上可知，题图中的等腰三角形有，，，共3个． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、尺规作图——角平分线，掌握“等角对等边”是解决此题的关键． 31．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 题型十一：根据等角对等边证明等腰三角形 解题思路：①在同一个三角形内，推导出一组内角相等；②直接用等角对等边，得到两边相等；③判定该三角形为等腰三角形，无需全等。 32．如图，，，，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，线段和差的计算，确定是关键． 根据，得，则，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长是， 故选：A ． 33．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，3小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为_________海里． 【答案】90 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，准确分析是解题的关键． 根据已知条件求得，，即可得到，即可得解． 【详解】由题可得：海里， 点在灯塔P的南偏东方向处，点位于灯塔P的北偏东处， ，， 是等腰三角形， 海里； 故答案是． 34．如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质和已知条件证明 是等腰三角形，再根据等边三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解： ，即 是等腰三角形 对于 A，若 ，则 ， 是等边三角形，故 A 不符合题意； 对于 B，若 ，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 B 不符合题意； 对于 C，若 ，则 ，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 C 不符合题意； 对于 D，若 平分 ，只能得到 ，无法推出 的内角为 或三边相等，故 D 符合题意． 题型十二：根据等角对等边证明边相等 解题思路：①将待证两条线段归入同一个三角形；②证明两条线段所对的内角相等；③由等角对等边，直接证线段相等。 35．如图，在中，点在边上，连接，且，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等角对等边得出，结合已知则可求出，最后求出的周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴的周长是， 故选：A． 36．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是_______． 【答案】10 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证明，则，据此根据三角形的周长公式和线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵在中，，的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴的周长． 37．如图，在长方形中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的判定和性质，根据折叠的性质，得到，平行线的性质，推出，进而得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：C 题型十三：根据等角对等边求边长 解题思路：①利用已知角度，推导三角形内等角；②等角对等边得到线段等量关系；③结合周长、线段和差列式计算；常结合垂直平分线、角平分线综合出题。 38．已知中，，则下列线段长度与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握等角对等边； 由，根据等角对等边得，即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴（等角对等边）． ∵， ∴． 故与相等的线段是； 选项A中不一定等于； 选项C中； 选项D中的值不确定，不一定等于； 故选：B． 39．如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为___________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ， ∵， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 以此类推：． 40．如图，，，于，______度，若，则______． 【答案】 75 3 【分析】根据平行线的性质求出的度数，根据三角形内角和定理和垂直的定义求出的度数即可；过D作于H，根据等角对等边求出的长度，根据三角形外角的性质求出的度数，根据含的直角三角形的性质求出的度数，最后根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 过D作于H， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴． 题型十四：等腰三角形的性质和判定 解题思路：①判定：等角对等边，识别等腰三角形；②性质：等边对等角、三线合一，转化边角；③结合外角、平行线做角度推导；④无附图题型，必须分类讨论，检验三边关系。 41．下列说法错误的是（   ） A．等腰三角形的两底角相等 B．有两个角相等的三角形是等腰三角形 C．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合 D．等腰三角形是轴对称图形 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质； 根据等腰三角形的判定和性质判断各选项的正确性即可． 【详解】解：等腰三角形的两底角相等，A正确； 有两个角相等的三角形，对边相等，是等腰三角形，B正确； 等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，C错误； 等腰三角形是轴对称图形，D正确； 故选：C． 42．如图所示，在中，，现将沿着的方向平移到的位置．若平移的距离为2，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 10 【分析】根据平移的性质可知，，，，阴影部分的面积等于的面积减去的面积，利用等腰直角三角形的性质求出的长即可解答； 【详解】解：， 是等腰直角三角形，， 由平移的性质可知，，，，， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ． 43．如下图，有一个长方形纸片，厘米，厘米，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点，的面积是( )平方厘米． 【答案】32 【分析】根据折叠易得，长，利用等腰直角三角形的性质求得的长度，的面积． 【详解】解：由折叠的性质知，第二个图中，， ∴， 第三个图中， ∴，则， ∴， ∴的面积(平方厘米)． 题型十五：等边三角形的性质 解题思路：①基础结论：三边相等，三内角均为60°；②继承等腰三角形全部性质，满足三组三线合一；③用于边长、角度等量转化。 44．边长为4的等边三角形的周长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】利用等边三角形三边相等的性质，直接计算周长即可得到结果. 【详解】解：∵等边三角形的三条边长度相等，该等边三角形的边长为， ∴周长为：． 45．如图，将等边沿着向右平移一定距离后得到，点在上．若，，则平移的距离为________． 【答案】6 【详解】解：∵是等边三角形，，， ∴， 则平移的距离为． 46．如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果的面积为12，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】证明以及所有的小等边三角形全等，进而解题． 【详解】解：如图， 由题意知，，，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ ． 题型十六：等边三角形的判定 解题思路：①路径1：三边对应相等；②路径2：三个内角全部为60°；③路径3：等腰三角形+一个内角为60°； ⚠️仅单个60°角，不能直接判定等边。 47．若的三边长，，满足，则这个三角形一定是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】此题考查平方的性质，等边三角形的判定，熟记平方的性质是解题的关键． 由平方和为零可得，即可判断该三角形的形状． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴，， 即且， ∴， ∴是等边三角形． 故选：A 48．如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 49．如图，在中，，对折直角边，使点与点重合，得到折痕，点，分别在上，连接，添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠问题，等边三角形的判定，根据折叠得到，根据等边三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴当时，为等边三角形；故A选项不符合题意； 当时，则：，为等边三角形；故B选项不符合题意； 当时，则， 故为等边三角形；故C选项不符合题意； 当时，无法得到为等边三角形；故D选项符合题意； 故选D． 题型十七：等边三角形的判定和性质 解题思路：①先用判定定理证明三角形为等边三角形；②调用等边三角形边角性质（等边、60°角）；③常搭配全等、旋转模型解题。 50．如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】证明出是等边三角形，得到，然后求解即可． 【详解】解：∵以点A为圆心，长为半径作弧， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 51．如图，直尺的一边经过含（）的直角三角板的顶点，对边与三角板的和边分别交于点，，若，则的度数是______． 【答案】 【分析】易得为等边三角形，根据平行线的性质，即可得出结果. 【详解】解：由题意，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵直尺的两边平行， ∴. 52．如图（1）是一把折叠椅实物图，如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），支架与交于点O，．椅面与地面水平线l平行，，，，则支架的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明为等边三角形，可得，，，从而得到为等边三角形，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型十八：含 30 度角的直角三角形 解题思路：①定理：Rt△中，30°角所对直角边=½斜边；②正向：已知30°角，换算直角边、斜边；③逆向：Rt△内，直角边=斜边→该直角边对角为30°；⚠️前提必须是直角三角形。 53．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴． 54．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长为______ ． 【答案】 【分析】连接，在中，求出的度数，又由的垂直平分线交于点D，交于点E，可得，即可得，又由含角的直角三角形的性质，求得答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ． 55．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转30°后得到，则阴影部分的面积为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】过点作于点D，根据含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，求出，分割法推出阴影部分的面积即为的面积，即可得出结果. 【详解】解：由旋转的性质可得出，，， 过点作于点D，如图， ∴， ∴， ∴． 题型十九：斜边的中线等于斜边的一半 解题思路：①正向：Rt△，取斜边中点，斜中线=斜边，直接构造等腰三角形；②逆向：三角形一边中线=该边长一半→此三角形为直角三角形；③用于证线段相等、角度相等。 56．如图，在中，，为的中线，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵在中，，为的中线， ∴． 57．如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为_____ 【答案】 【分析】根据题意可得的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵，点D为边的中点， ∴． 58．如图，已知点是角平分线上的一点，，，M是的中点，，如果点是上一个动点，则的最小值为(   ) A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据题意是角平分线上的点，可知点到边、的距离相等，要想求的最小值，只有与垂直时的值才最小，也就是的最小值等于，根据已知条件求出即可得． 【详解】解：是角平分线上的一点，， ， ∵M是的中点，， ∴， ∵， ∴， 点是上一个动点， 的最小值为到距离， 的最小值． 题型二十：直角三角形的两个锐角互余 解题思路：①已知直角三角形；②直接得到两锐角之和=90°；③用于快速求未知锐角、角度代换。 59．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用得到，然后结合得到，等量代换得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 60．如图，已知在 中， ，D 是 边上任意一点，于点 F，E 在边上，于 D，，则等于__________． 【答案】/70度 【分析】根据邻补角的性质可得，再由直角三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 61．如图，在中，，，，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，，（三线合一）， 故选项A、C中结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故选项D中结论正确，不符合题意； ∵与不一定相等， ∴不一定正确，故选项B中结论不正确，符合题意． 题型二十一：锐角互余的三角形是直角三角形 解题思路：①在同一个三角形内，算出两个内角之和=90°；②推得第三个内角=90°；③判定该三角形为直角三角形 62．已知中，，则是(    )三角形 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角 【答案】D 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．利用三角形内角和定理求出的度数，再根据等腰三角形的判定得出结果． 【详解】解：， ， 是直角三角形， 又， ，即是等腰三角形， 是等腰直角三角形． 故选：D． 63．如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于______． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形中线的性质．根据与互余求得，根据三角形的面积公式求出的面积，再根据中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵与互余，即， ∴， ∴． ∵点D、E、F分别为边、、的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：阴影部分的面积为3． 故答案为：3 64．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各条件进行分析判断即可． 【详解】解：∵ 在中，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， ∴不能判定为直角三角形． ∴ 能判定的条件是． 故选：A． 解答题 1．如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：． (2)若时，求的长． 【答案】(1)证明：点是的中点， ， ， ， ． (2)6 【分析】（1）由平行线的性质可得，再根据“”证明即可； （2）由垂直平分线的性质可得，结合全等的性质可知，再根据进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：点是的中点，， ， 由（1）得：， ， ． 2．如图，在四边形中，对角线平分，点在上，于点于点．试说明：． 【答案】证明：∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】利用角平分线的定义得出，证明，由全等三角形的性质得出，根据角平分线的性质即可得出． 【详解】略 3．如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【答案】证明：为的平分线，恰为的平分线， ，， ， ，， ∴点P在的平分线上． 【分析】根据角平分线的性质定理得到，，可知，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】略． 4．如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)15 (2) 证明：，垂直平分，垂直平分，， ，， ． 平分． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得，，，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：垂直平分， ． 同理：． 的周长； （2）略 5．如图，已知在中，，，是中线，求证：是等边三角形． 【答案】证明：∵是中线， ∴，即， ∵， ∴， 如图，在的延长线上截取，连接， ∴，， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】根据已知条件得到，在的延长线上截取，连接，得到，得到，由等腰三角形的判定得到，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】略 6．在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ． ， 是等边三角形； (2)证明：是等边三角形， ． ， ，即． 在与中， ， ， ． 【分析】(1) 首先由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； (2) 由是等边三角形可得，，进而得出，然后由证明，最后可得． 【详解】（1）略 （2）略 7．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵与是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】先证明，得出，再证明，得出，最后根据等腰三角形的判定方法，得出结论即可． 【详解】略 8．在四边形中，，连接，且，在对角线上取点E，使，连接． (1)求证：； (2)若平分，且，，求的周长． 【答案】(1)证明：， ， 在和中， ， ； (2)11 【分析】（1）根据题意找出全等条件即可； （2）根据平行及角的关系说明，进而求出，即可得到的周长． 【详解】（1）略； （2）解： 平分， ， 由（1）可知， ， ， ， ． ，， 的周长， 即的周长是11． 9．如图，在等边中，于D，P、Q分别是、上的点，且，，，求的长． 【答案】 【分析】求出，，，然后利用含30度直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵在等边中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．如图，已知在等边中，，求证：也是等边三角形． 【答案】证明：等边， ，， ， ， ， ， 也是等边三角形． 【分析】利用等边三角形的性质，易证，得到，即可得证． 【详解】略 11．如图所示，在等腰直角三角形中，为斜边上的高，点E、F分别在上，经过旋转到了的位置． (1)和之间可以看成是经过怎样的变换得到的？ (2)与相交于点G，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)可看成绕点D顺时针旋转得到 (2)解：，理由如下： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵是斜边上的高， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵， ∴． 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）证明， 即可得到结论． 【详解】（1）解：可看成绕点D顺时针旋转得到． 理由如下： ∵经过旋转到了的位置， ∴，． ∵为斜边上的高， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴绕点D顺时针旋转得到． （2）略 12．如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线l于点H，若，，求的长． 【答案】(1)证明：直线经过点，，垂足为，，垂足为， ， ， ， 在和中， ， ； (2)8 (3)8 【分析】（1）由，，得，因为，所以，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，因为，所以； （3）作于点，则，由，推导出，而，可证明，得，，则，再证明，得，由，求得，则，即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的长是． （3）解：如图，作于点，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 线段的长为． 13．如图，在中，，点为斜边AB上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，求证：是直角三角形． 【答案】证明：在中， ∵， ∴ 由沿翻折得， ∴， 由沿翻折得， ∴ ∴ 即是直角三角形． 【分析】首先，沿翻折得到，可得对应角，其次，沿翻折使点与点重合，可得对应角，再把拆分为和的和，根据上述关系，，在中，，因此，从而证明是直角三角形． 【详解】略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03线段垂直平分线.角平分线与等腰三角形 课堂核心立意 本节课从轴对称视角研究线段、角、等腰三角形；掌握线段垂直平分线、角平分线的性质与判定，理解等腰三角形、等边三角形性质及判定；会运用定理进行计算与简单几何证明，进一步强化几何推理、规范书写证明步骤，积累轴对称类几何模型解题经验。 线段的垂直平分线 1. 性质定理：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：∵点P在线段AB垂直平分线上，∴PA=PB。 2. 判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上。 3. 集合意义：线段垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合。 4. 三角形外心：三角形三边垂直平分线交于一点（外心），外心到三角形三个顶点距离相等。 角平分线 1. 性质定理：角平分线上的点，到角两边的距离相等。 几何语言：∵OP平分AOB，PDOA，PEOB，∴PD=PE。 注意：必须具备垂直条件，才有距离相等。 2. 判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：∵PD OA，PEOB，PD=PE，∴OP平分 AOB。 3. 三角形内心：三角形三条角平分线交于一点（内心），内心到三角形三条边距离相等。 等腰三角形的性质 1. 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等两边叫腰，另一边为底边；两腰夹角为顶角，腰与底边夹角为底角。 2. 性质1（等边对等角）：等腰三角形两底角相等。 几何语言：∵AB=AC，∴ B= C。 3. 性质2（三线合一，重中之重）：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，三条线互相重合。 三线合一使用前提：必须是等腰三角形，针对顶角、底边。 4. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线。 等腰三角形的判定 1. 定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2. 等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 几何语言：∵B= C，∴AB=AC。 等边三角形（特殊等腰三角形） 1. 性质：三边全部相等；三个内角都等于60；具备等腰三角形全部性质，三条三线合一，3条对称轴。 2. 判定：①三边都相等；②三个角都相等；③有一个角是60的等腰三角形为等边三角形。 ①线段垂直平分线性质：混淆“到两端点距离”，错写成到直线距离； ②角平分线性质，做题漏掉垂直条件，直接由角平分线推出线段相等； ③三线合一乱用：非底边、非顶角，随意套用三线合一；只有等腰三角形才能用三线合一； ④“等边对等角、等角对等边”只适用于同一个三角形，跨三角形不能直接使用； ⑤等腰三角形题目没有图，不进行分类讨论：分顶角为锐角、钝角；区分谁是腰、谁是底，算完不检验三角形三边关系； ⑥等边三角形判定，忽略前提，直接写有一个角60°就是等边三角形，缺少等腰条件； ⑦外心、内心概念混淆：外心到顶点距离相等，内心到三边距离相等； ⑧计算等腰三角形内角，忽略三角形内角和，出现大于180°的错误结果 题型 考察方向 难度 题型一 线段垂直平分线的性质 ★★ 题型二 线段垂直平分线的判定 ★★ 题型三 角平分线的性质定理 ★★ 题型四 角平分线的判定定理 ★★ 题型五 角平分线性质的实际应用 ★★★ 题型六 等腰三角形的定义 ★ 题型七 等边对等角 ★★ 题型八 三线合一 ★★★ 题型九 格点图中画等腰三角形 ★★★ 题型十 找出图中的等腰三角形 ★★ 题型十一 根据等角对等边证明等腰三角形 ★★ 题型十二 根据等角对等边证明边相等 ★★ 题型十三 根据等角对等边求边长 ★★★ 题型十四 等腰三角形的性质和判定 ★★★★ 题型十五 等边三角形的性质 ★★★ 题型十六 等边三角形的判定 ★★★ 题型十七 等边三角形的判定和性质 ★★★★ 题型十八 含 30 度角的直角三角形 ★★★ 题型十九 斜边的中线等于斜边的一半 ★★★ 题型二十 直角三角形的两个锐角互余 ★★ 题型二十一 锐角互余的三角形是直角三角形 ★★ 拔高练 13题 星级说明：★基础题 ★★中档常考题 ★★★提升 ★★★★难题 题型一：线段垂直平分线的性质 解题思路：①依据定理：线段垂直平分线上的点，到线段两端距离相等；②进行线段等量替换；③多用于求三角形周长、线段长度，优先直接代换，无需证全等。 1．线段的垂直平分线上有一点，若，则的长为（     ） A．4 B．2 C．5 D．3 2．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为___． 3．如图，在中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（     ） A． B． C．7 D．6 题型二：线段垂直平分线的判定 解题思路：①目标：证明点在垂直平分线上；②证明该点到线段两个端点距离相等；③两点确定一条直线，满足条件的两点即可确定垂直平分线。 4．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ） A． B．直线是的垂直平分线 C．直线是的角平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 5．如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 6．如图，下列说法正确的是（    ） A．若，则垂直平分 B．若，则垂直平分 C．若，则垂直平分 D．若，则垂直平分 题型三：角平分线的性质定理 解题思路：①见角平分线，向角两边作垂线段；②依据定理：角平分线上的点，到角两边垂距相等；③利用线段相等转化计算； ⚠️前提必须具备垂直条件。 7．如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 8．如图，在中，点在边上，连接，，平分交于点，于点，若，则的长为_____． 9．如图，是的平分线，点，分别是，上的动点，，当的面积是时，线段的长不可能为（     ） A．4.5 B．4 C．3 D．2 题型四：角平分线的判定定理 解题思路：①过待测点向角的两边作垂线；②证明两条垂线段长度相等；③判定该点在角平分线上，可推导角相等； ⚠️前提：点在角内部+双垂直。 10．在锐角内一点P，且点P到三边的距离相等，则点P是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．重心 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 11．如图，在四边形中，，，连接，，．若P是边上一动点，则长的最小值为______． 12．两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 题型五：角平分线性质的实际应用 解题思路：①文字条件转化几何模型；②到两条直线距离相等→找角平分线；③到两点距离相等→找线段垂直平分线；④多个约束条件取交点。 13．如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 14．如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于______． 15．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 题型六：等腰三角形的定义 解题思路：①识别：两边相等的三角形为等腰三角形；②区分腰、底边、顶角、底角；③边长问题分类讨论，最后用三边关系检验取舍。 16．已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 17．等腰三角形的周长为，其中一边长，则其腰长为（     ） A．或 B． C． D．以上都不对 18．等腰的周长为11，各边长为正整数，则这样的等腰三角形有___________个． 19．等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 题型七：等边对等角 解题思路：①适用前提：同一个三角形内；②由两条边相等，推出这两条边所对的内角相等；③用于角度计算、角度等量代换。 20．五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，则该五角星中的度数为（    ） A． B． C． D． 21．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为______． 22．如图，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型八：三线合一 解题思路：①适用前提：等腰三角形，针对顶角、底边；②已知顶角平分线/底边中线/底边高其中一个，直接推出另外两个；③用于证垂直、证线段相等、证角相等； ⚠️腰上的中线、高不能直接用三线合一。 23．工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 24．在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为_____． 25．如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，点E是边AB的中点，点P是AD上一动点，连接PB、PE，已知，则最小值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 题型九：格点图中画等腰三角形 解题思路：①用勾股定理计算网格内线段长度；②分类：已知线段作腰、已知线段作底边；③底边模式：作垂直平分线找格点；④腰模式：以端点为圆心画圆找格点；⑤不漏解、检验。 26．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 27．如图，在的正方形网格中，A，B两点在小正方格的顶点上，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形为轴对称图形，则这样的点C有________个． 28．如图，在的正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十：找出图中的等腰三角形 解题思路：①寻找图中相等线段，直接判定；②推导等角，利用等角对等边判定；③重点留意模型：角平分线+平行线，直接生成等腰三角形。 29．如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 30．如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有_____个．   31．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型十一：根据等角对等边证明等腰三角形 解题思路：①在同一个三角形内，推导出一组内角相等；②直接用等角对等边，得到两边相等；③判定该三角形为等腰三角形，无需全等。 32．如图，，，，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 33．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，3小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为_________海里． 34．如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（     ） A． B． C． D．平分 题型十二：根据等角对等边证明边相等 解题思路：①将待证两条线段归入同一个三角形；②证明两条线段所对的内角相等；③由等角对等边，直接证线段相等。 35．如图，在中，点在边上，连接，且，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 36．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是_______． 37．如图，在长方形中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 题型十三：根据等角对等边求边长 解题思路：①利用已知角度，推导三角形内等角；②等角对等边得到线段等量关系；③结合周长、线段和差列式计算；常结合垂直平分线、角平分线综合出题。 38．已知中，，则下列线段长度与相等的是（   ） A． B． C． D． 39．如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为___________． 40．如图，，，于，______度，若，则______． 题型十四：等腰三角形的性质和判定 解题思路：①判定：等角对等边，识别等腰三角形；②性质：等边对等角、三线合一，转化边角；③结合外角、平行线做角度推导；④无附图题型，必须分类讨论，检验三边关系。 41．下列说法错误的是（   ） A．等腰三角形的两底角相等 B．有两个角相等的三角形是等腰三角形 C．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合 D．等腰三角形是轴对称图形 42．如图所示，在中，，现将沿着的方向平移到的位置．若平移的距离为2，则图中阴影部分的面积为______． 43．如下图，有一个长方形纸片，厘米，厘米，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点，的面积是( )平方厘米． 题型十五：等边三角形的性质 解题思路：①基础结论：三边相等，三内角均为60°；②继承等腰三角形全部性质，满足三组三线合一；③用于边长、角度等量转化。 44．边长为4的等边三角形的周长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 45．如图，将等边沿着向右平移一定距离后得到，点在上．若，，则平移的距离为________． 46．如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果的面积为12，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．3 C．6 D．12 题型十六：等边三角形的判定 解题思路：①路径1：三边对应相等；②路径2：三个内角全部为60°；③路径3：等腰三角形+一个内角为60°； ⚠️仅单个60°角，不能直接判定等边。 47．若的三边长，，满足，则这个三角形一定是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 48．如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    49．如图，在中，，对折直角边，使点与点重合，得到折痕，点，分别在上，连接，添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是（    ） A． B． C． D． 题型十七：等边三角形的判定和性质 解题思路：①先用判定定理证明三角形为等边三角形；②调用等边三角形边角性质（等边、60°角）；③常搭配全等、旋转模型解题。 50．如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 51．如图，直尺的一边经过含（）的直角三角板的顶点，对边与三角板的和边分别交于点，，若，则的度数是______． 52．如图（1）是一把折叠椅实物图，如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），支架与交于点O，．椅面与地面水平线l平行，，，，则支架的长度为（     ） A． B． C． D． 题型十八：含 30 度角的直角三角形 解题思路：①定理：Rt△中，30°角所对直角边=½斜边；②正向：已知30°角，换算直角边、斜边；③逆向：Rt△内，直角边=斜边→该直角边对角为30°；⚠️前提必须是直角三角形。 53．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 54．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长为______ ． 55．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转30°后得到，则阴影部分的面积为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 题型十九：斜边的中线等于斜边的一半 解题思路：①正向：Rt△，取斜边中点，斜中线=斜边，直接构造等腰三角形；②逆向：三角形一边中线=该边长一半→此三角形为直角三角形；③用于证线段相等、角度相等。 56．如图，在中，，为的中线，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 57．如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为_____ 58．如图，已知点是角平分线上的一点，，，M是的中点，，如果点是上一个动点，则的最小值为(   ) A．2 B． C．4 D． 题型二十：直角三角形的两个锐角互余 解题思路：①已知直角三角形；②直接得到两锐角之和=90°；③用于快速求未知锐角、角度代换。 59．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 60．如图，已知在 中， ，D 是 边上任意一点，于点 F，E 在边上，于 D，，则等于__________． 61．如图，在中，，，，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 题型二十一：锐角互余的三角形是直角三角形 解题思路：①在同一个三角形内，算出两个内角之和=90°；②推得第三个内角=90°；③判定该三角形为直角三角形 62．已知中，，则是(    )三角形 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角 63．如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于______． 64．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 解答题 1．如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：． (2)若时，求的长． 2．如图，在四边形中，对角线平分，点在上，于点于点．试说明：． 3．如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 4．如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 5．如图，已知在中，，，是中线，求证：是等边三角形． 6．在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 7．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点．求证：是等腰三角形． 8．在四边形中，，连接，且，在对角线上取点E，使，连接． (1)求证：； (2)若平分，且，，求的周长． 9．如图，在等边中，于D，P、Q分别是、上的点，且，，，求的长． 10．如图，已知在等边中，，求证：也是等边三角形． 11．如图所示，在等腰直角三角形中，为斜边上的高，点E、F分别在上，经过旋转到了的位置． (1)和之间可以看成是经过怎样的变换得到的？ (2)与相交于点G，试判断与的大小关系，并说明理由． 12．如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线l于点H，若，，求的长． 13．如图，在中，，点为斜边AB上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，求证：是直角三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $