函数与导数第3讲函数性质综合讲义基础-2027届高三数学一轮复习

函数性质综合 由性质定图象、性质法数零点 由性质定图象、由图象读性质 函数的性质与图象的几何特征是一一对应的。奇函数关于原点对称、偶函数关于 轴对称；周期 表示图象每隔 重复一次；在某个区间上递增，表示曲线自左向右逐渐升高；有对称轴 ，表示图象沿这条直线翻折后能重合；有对称中心 ，表示图象绕这一点旋转半周后能重合。把每条性质都翻译成一个图形特征，是这类题的全部功夫。 几条性质可以联立推出新性质，前提是位置参数不同。若 ，图象有一条对称轴 ；若 ，图象有一个对称中心 。两条对称轴之间的距离乘以二就是周期；一条对称轴加一个对称中心，距离要乘以四才是周期。联立时两式只差括号里一个符号，看错一个整题作废。 一个函数同时给了奇偶性、周期性和某个区间上的表达式时，求远处函数值的解法是固定的三步：先看要求的自变量落在哪一段；若不在已知区间里，就用周期性把它平移进去；平移之后若仍在区间外，再用奇偶性翻折到已知的那一侧。两次操作做完，自变量一定能落到可以代入的范围内。 三个易错点。一是比较两个函数值的大小时，必须先把两个自变量都折进同一个单调区间再比 ——区间不统一，结论就可能整个反掉。二是自变量的系数不是 时，要先把括号里的整体看成一个新变量，求出它的对称轴或对称中心，再换算回原来的自变量。三是平移与翻折的顺序：先用周期平移、后用奇偶性翻折最省事，顺序颠倒容易绕圈。 例1（单选·★☆☆☆☆） 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. 　　B. C. 　　D. 【切入点】两个条件要同时满足：既是偶函数，又要有零点。逐个函数核对。 【关键】 是偶函数，但恒有 ，取不到零； 是奇函数； 既不奇也不偶。 关于 轴对称是偶函数，且 时取零，有零点，选 D。 【易错】判断奇偶性之前先把定义域看一遍。这三条里 的定义域是 ，对称没问题，是它在原点处的函数值与相反数不等，才被判为非奇非偶。 【答案】D 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 已知函数是周期为的奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. 　　B. C. 　　D. 【切入点】求 ，而表达式只给了 这一段，先把自变量折进去。 【关键】周期为 ，，所以 ；再由奇性得 ，而 ，，故原式等于 ，选 A。 【易错】折自变量时「减几个周期」要减到落在已知区间内为止，减到 就停下会落到区间外。 【答案】A 例2（单选·★☆☆☆☆） 下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ） A. 　　B. C. 　　D. 【切入点】偶函数与「在 上递增」两个条件一起卡，逐项检验时先看定义域。 【关键】 在正半轴上递减； 的定义域是 ，不关于原点对称，谈不上奇偶； 满足 ，是奇函数。 满足 是偶函数，当 时它等于 ，两个增函数之和仍递增，选 D。 【易错】B 项最容易被误判成偶函数 —— 它的定义域只有正半轴，连奇偶性的前提都不满足。 【答案】D 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则 = （ ） A. 　　B. C. 　　D. 【切入点】题目没给具体表达式，只给了周期与奇性，说明所求的函数值是被这两条性质唯一确定的特殊点。 【关键】由周期为 ，，又有 ，所以 ；再由奇性 ，得 ，于是 ，选 B。 【易错】 与 联立时，要意识到 同时落在 两个点上 —— 这正是定值的来由。 【答案】B 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 函数，则（ ） A. 是奇函数　　B. 是周期函数 C. 的最大值为2　　D. 【切入点】两个对数相加，先合并再讨论性质，比逐项判断效率高。 【关键】由 且 得定义域 ，在此区间上有 ，定义域对称且 ，是偶函数而不是奇函数，A 错。若它有周期 ，取 得 ，即 ，解得 ，矛盾，所以不是周期函数，B 错。取 得 ，C 错。比较 与 ，前者小于后者，D 正确。故选 D。 【易错】判断非周期函数时，把「有周期」当作前提去推，推到 才算否证成功，不能只说「看不出来」。 【答案】D 例3（单选·★★☆☆☆） 已知函数为上的偶函数，且满足，当时，，则 = （ ） A. 　　B. 1 C. 　　D. 2 【切入点】求 ， 比已知区间 大，先用条件把周期和对称性读出来，再搬自变量。 【关键】由 ，配合 是偶函数 ，得 ，周期为 。 【结论】，所以 ，选 C。 【易错】只减一个周期就够了，不必再翻折；偶函数的作用是把 换成 从而读出周期，别漏掉这一层。 【答案】C 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则 = （ ） A. 　　B. 1 C. 　　D. 【切入点】 不在 内，先用周期把它挪到 。 【关键】； 仍不在给定区间，用奇性换成 ，而 ，代入表达式得 ，故原式等于 ，选 A。 【易错】折进区间的顺序是「先周期、再奇偶」，顺序反了会得到区间外的自变量；另外求出 后别忘了外层还有一个负号。 【答案】A 变式3-2（填空·★★☆☆☆） 已知是定义域为的奇函数，且以1为周期，则在区间内至少有___________个零点． 【切入点】周期为 的奇函数，零点会成批出现，先找完一个周期内的零点再数。 【关键】；由周期为 得 。再由 得图象关于点 对称，于是 ，进而 。 【结论】把上述零点按大小排列：，共 个，所以至少 个零点。 【易错】只数整数点会漏掉半整数点，共得 个；「至少有」的含义是这些是被迫出现的零点，实际可能更多。 【答案】9 例4（单选·★★☆☆☆） 下列函数是奇函数且在上单调递增的为（ ） A. 　　B. C. 　　D. 【切入点】奇函数必须满足定义域关于原点对称，正半轴的单调性单独再看一遍。 【关键】 是奇函数但在正半轴上递减； 非奇非偶； 在 上不单调。对于 ，由 知定义域为 ，且 ，是奇函数；内层 在正半轴递增，外层 也递增，符合要求，选 C。 【易错】判断 的奇偶性时，把两个对数相加比逐项变形更快， 就是奇函数的等价写法。 【答案】C 变式4-1（单选·★★☆☆☆） 设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则 = （ ） A. 　　B. 1 C. 2　　D. 3 【切入点】 落在哪一段？给定区间是 ，先用奇性把它变成正数，再用周期搬进区间。 【关键】；而 ，，代入得 ，所以 ，选 B。 【易错】本题与上一题的顺序相反：这里先奇后周期才对，因为 加周期只会跑到 ，仍然进不了 。 【答案】B 变式4-2（单选·★★☆☆☆） 已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则 = （ ） A. 　　B. C. 　　D. 【切入点】与上一题同型，只是表达式换成了二次式，折自变量的路线一致。 【关键】；当 时 ，所以 ，故 ，选 D。 【易错】两次取负号，最后结果应为正；把 在 处算成 后，再乘外面的负号才是答案。 【答案】D 性质法求零点个数 零点个数问题的第一步，是把方程 拆开：让等号一边是不含参数的曲线，另一边是另一条熟悉的曲线，零点的个数就变成两条曲线交点的个数。拆得好不好只有一条标准 ——一边画得出来、另一边的单调性能看出来。拆不出两条可画的曲线时，才回头考虑解方程或求导。 函数的奇偶性能替我们省掉一半工作量。偶函数的图象关于 轴对称，正半轴有几个零点，负半轴就对称地有几个，所以除原点外它的零点成对出现；奇函数的图象关于原点对称，正半轴的零点在负半轴一一对应，但定义域含零的奇函数还要单独补上原点那一个。 已知一个零点反求参数，通常不必把零点解出来。只要先判断这个零点落在哪一段解析式上，再把它代入那一段、令函数值为零即可。难点全在「判断落在哪一段」：题里给的是一个远离已知区间的数时，要先借周期把它平移进已知区间，再借对称性翻折到解析式所在的那一侧。 三个易错点。一是原点处的零点最容易漏 ——奇函数在原点有定义时它必然是一个零点，偶函数则要先看原点是否在定义域内。二是两条曲线的交点要数全，不能只数正半轴就乘以二，还要单独看原点是否也是交点。三是含绝对值的方程要拆成两支，两支的解合起来才是原方程的解，漏一支就少一半答案。 例5（多选·★★★☆☆） 函数的零点个数可以为（ ） A. 0　　B. 1 C. 2　　D. 4 【切入点】函数里含 与 ，两者都是偶函数的构造，先化简再看零点的可能个数。 【关键】，所以 ，定义域关于原点对称且 ，是偶函数。只需研究 上 与 的交点（）。 【结论】以 为界： 取这个大小时两曲线相切，正半轴一个零点； 比它小则正半轴有两个交点，比它大则没有交点。再按偶函数把正半轴的交点对称到负半轴，零点总数可能为 （无交点）、（相切）或 （两交点），选 ACD。 【易错】 与 的图象都是关于 轴对称的，相切这一临界情形在正半轴只有一个切点，对称回来仍是同一个点。 【答案】ACD 变式5-1（单选·★★★☆☆） 函数的零点所在区间为（ ） A. 　　B. C. 　　D. 【切入点】函数在正半轴由两个增函数相加而成，单调性一眼可见，只需算出两端点的符号。 【关键】 与 在 上都递增，所以 在定义域上递增，至多一个零点。算端点：，，由 知它为正。 【结论】两端异号且函数连续递增，零点唯一地落在 内，选 B。 【易错】 的正负要自己估：把 与 比较，即比较 与 ，由 得 。 【答案】B 变式5-2（单选·★★★☆☆） 函数的一个零点所在区间为（ ） A. 　　B. C. 　　D. 【切入点】函数先增后减，零点可能有两个，但选项给的是「一个零点所在区间」，只要锁定落在那一侧的那一个。 【关键】，令 得 ，所以 在 上递增、之后递减。 【结论】算两个邻近的端点：，，比较 与 ，得 ，故它小于零，零点落在 内，选 C。 【易错】判断 的符号不能用计算器，要把它化成比较 与 的大小。 【答案】C 例6（单选·★★★☆☆） 已知实数满足，则函数的零点个数为（ ） A. 0　　B. 1 C. 2　　D. 3 【切入点】条件 不是用来解的，是用来卡住 的范围的。 【关键】先定 的区间。 递增、 递减，把 与 代进去比较：，，所以 。再对 求导，，函数在 与 上递增、在 上递减。 【结论】极值点为 与 ，，。结合两端 时 、 时 ，三段区间各有一个零点，共 个，选 D。 【易错】 的范围要由 这一步严格推出，否则无法判断 与 的正负，零点个数也就数不出来。 【答案】D 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 函数的零点所在的大致区间为（ ） A. 　　B. C. 　　D. 【切入点】函数是「一次式乘指数」再减常数，单调性不显然，直接逐点算函数值最稳妥。 【关键】 在 上递增：两个正因子都随 增大而增大。逐点算得 、、、。 【结论】，零点落在 内，选 C。 【易错】不必从 一路算到底，先判断单调性就能把范围压缩到 附近再细算。 【答案】C 变式6-2（单选·★★☆☆☆） 已知点在幂函数的图象上，则函数的零点所在区间为（ ） A. 　　B. C. 　　D. 【切入点】先用待定系数法把幂函数解出来，再讨论 的单调性与端点符号。 【关键】由 得 ，所以 ，。 与 在 上都递增，所以 在定义域上递增，至多一个零点。 【结论】，，零点落在 内，选 C。 【易错】 里 ，可以直接判负；不必求出 的近似值。 【答案】C 例7（单选·★★★☆☆） 定义在上的奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（ ） A. 0　　B. 1 C. 2　　D. 3 【切入点】 的零点，先把两个式子挪到等号两边；同时注意 是奇函数， 的性质要先定下来。 【关键】记 ，则 ，是偶函数。当 时 ，所以 在正半轴递减、在负半轴递增。原方程等价于 。 【结论】右端函数关于 对称，且 时取零；由 知 ，于是 时 为零而 ， 时两边同为零，再结合 上 递增而右端递减，在 内还有一个交点，共 个零点，选 D。 【易错】 处 与右端同时为零，是一个零点；而 使右端无定义，不能算作零点。 【答案】D 变式7-1（单选·★★★☆☆） 若幂函数的图象经过点，则函数的零点个数为（ ） A. 　　B. C. 　　D. 【切入点】 的零点就是 的解，把两个函数画出来数交点最直观。 【关键】由 得 ，所以 ，，定义域为 。 【结论】方程即 。正半轴： 递减、 递增，两者在第一象限恰有一个交点；负半轴： 取负值， 当 时为正、在 内为负，两支再交两次。合计 个零点，选 C。 【易错】 在负半轴并不单调，它在 附近为负，所以与 在负半轴有两处相交，别只数一处。 【答案】C 变式7-2（单选·★★☆☆☆） 若函数的零点为1，2，则关于的不等式的解集为（ ） A. 　　B. C. 　　D. 【切入点】已知二次函数的两个零点，先用韦达定理定出 、，再解后面的对数不等式。 【关键】 的零点是 与 ，所以 ，。不等式化为 。 【结论】由对数函数递增且真数必须为正，得 ，即 ，选 D。 【易错】解对数不等式既要比较真数，也不能忘掉真数为正这一条，只写 会多出 的一段。 【答案】D 例8（单选·★★★☆☆） 定义在上的函数满足：①对任意都有；②，则函数零点的个数为（ ） A. 1　　B. 2 C. 3　　D. 4 【切入点】 只给了两条性质（每步加 、取值恒为整数），没有具体表达式，所以要把 拆成 后用整数性去逼出可能的解。 【关键】由 且 ，可知 必须与 同取整数，分 为偶数、奇数两类。若 ，则 ；由 逐次累加，不论是正是负都有 ，代入得 ，于是 是一个解。 【结论】若 ，则 ；同理有 ，代入 得 ，于是 也是一个解，它与 不重合，所以共 个零点，选 B。 【易错】忘了 恒为整数这一条，就会以为 可取遍实数；正是整数性把解锁定到两类点上。 【答案】B 变式8-1（填空·★★☆☆☆） 已知关于的方程有两个实数根，一个根比小，另一个根比大，则实数的取值范围为____. 【切入点】两根分别落在 的两侧，等价于二次函数在 处取负值，不必真把两个根解出来。 【关键】令 ，开口向上，两个零点分居 的两侧时图象在 处穿过横轴，所以只需 。 【结论】，解得 ，填 。 【易错】本题不需要另加判别式大于零的条件： 且开口向上已保证图象与横轴有两个交点。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数性质综合 由性质定图象、性质法数零点 由性质定图象、由图象读性质 函数的性质与图象的几何特征是一一对应的。奇函数关于原点对称、偶函数关于 轴对称；周期 表示图象每隔 重复一次；在某个区间上递增，表示曲线自左向右逐渐升高；有对称轴 ，表示图象沿这条直线翻折后能重合；有对称中心 ，表示图象绕这一点旋转半周后能重合。把每条性质都翻译成一个图形特征，是这类题的全部功夫。 几条性质可以联立推出新性质，前提是位置参数不同。若 ，图象有一条对称轴 ；若 ，图象有一个对称中心 。两条对称轴之间的距离乘以二就是周期；一条对称轴加一个对称中心，距离要乘以四才是周期。联立时两式只差括号里一个符号，看错一个整题作废。 一个函数同时给了奇偶性、周期性和某个区间上的表达式时，求远处函数值的解法是固定的三步：先看要求的自变量落在哪一段；若不在已知区间里，就用周期性把它平移进去；平移之后若仍在区间外，再用奇偶性翻折到已知的那一侧。两次操作做完，自变量一定能落到可以代入的范围内。 三个易错点。一是比较两个函数值的大小时，必须先把两个自变量都折进同一个单调区间再比 ——区间不统一，结论就可能整个反掉。二是自变量的系数不是 时，要先把括号里的整体看成一个新变量，求出它的对称轴或对称中心，再换算回原来的自变量。三是平移与翻折的顺序：先用周期平移、后用奇偶性翻折最省事，顺序颠倒容易绕圈。 例1（单选·★☆☆☆☆） 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. 　　B. C. 　　D. 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 已知函数是周期为的奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. 　　B. C. 　　D. 例2（单选·★☆☆☆☆） 下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ） A. 　　B. C. 　　D. 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则 = （ ） A. 　　B. C. 　　D. 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 函数，则（ ） A. 是奇函数　　B. 是周期函数 C. 的最大值为2　　D. 例3（单选·★★☆☆☆） 已知函数为上的偶函数，且满足，当时，，则 = （ ） A. 　　B. 1 C. 　　D. 2 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则 = （ ） A. 　　B. 1 C. 　　D. 变式3-2（填空·★★☆☆☆） 已知是定义域为的奇函数，且以1为周期，则在区间内至少有___________个零点． 例4（单选·★★☆☆☆） 下列函数是奇函数且在上单调递增的为（ ） A. 　　B. C. 　　D. 变式4-1（单选·★★☆☆☆） 设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则 = （ ） A. 　　B. 1 C. 2　　D. 3 变式4-2（单选·★★☆☆☆） 已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则 = （ ） A. 　　B. C. 　　D. 性质法求零点个数 零点个数问题的第一步，是把方程 拆开：让等号一边是不含参数的曲线，另一边是另一条熟悉的曲线，零点的个数就变成两条曲线交点的个数。拆得好不好只有一条标准 ——一边画得出来、另一边的单调性能看出来。拆不出两条可画的曲线时，才回头考虑解方程或求导。 函数的奇偶性能替我们省掉一半工作量。偶函数的图象关于 轴对称，正半轴有几个零点，负半轴就对称地有几个，所以除原点外它的零点成对出现；奇函数的图象关于原点对称，正半轴的零点在负半轴一一对应，但定义域含零的奇函数还要单独补上原点那一个。 已知一个零点反求参数，通常不必把零点解出来。只要先判断这个零点落在哪一段解析式上，再把它代入那一段、令函数值为零即可。难点全在「判断落在哪一段」：题里给的是一个远离已知区间的数时，要先借周期把它平移进已知区间，再借对称性翻折到解析式所在的那一侧。 三个易错点。一是原点处的零点最容易漏 ——奇函数在原点有定义时它必然是一个零点，偶函数则要先看原点是否在定义域内。二是两条曲线的交点要数全，不能只数正半轴就乘以二，还要单独看原点是否也是交点。三是含绝对值的方程要拆成两支，两支的解合起来才是原方程的解，漏一支就少一半答案。 例5（多选·★★★☆☆） 函数的零点个数可以为（ ） A. 0　　B. 1 C. 2　　D. 4 变式5-1（单选·★★★☆☆） 函数的零点所在区间为（ ） A. 　　B. C. 　　D. 变式5-2（单选·★★★☆☆） 函数的一个零点所在区间为（ ） A. 　　B. C. 　　D. 例6（单选·★★★☆☆） 已知实数满足，则函数的零点个数为（ ） A. 0　　B. 1 C. 2　　D. 3 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 函数的零点所在的大致区间为（ ） A. 　　B. C. 　　D. 变式6-2（单选·★★☆☆☆） 已知点在幂函数的图象上，则函数的零点所在区间为（ ） A. 　　B. C. 　　D. 例7（单选·★★★☆☆） 定义在上的奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（ ） A. 0　　B. 1 C. 2　　D. 3 变式7-1（单选·★★★☆☆） 若幂函数的图象经过点，则函数的零点个数为（ ） A. 　　B. C. 　　D. 变式7-2（单选·★★☆☆☆） 若函数的零点为1，2，则关于的不等式的解集为（ ） A. 　　B. C. 　　D. 例8（单选·★★★☆☆） 定义在上的函数满足：①对任意都有；②，则函数零点的个数为（ ） A. 1　　B. 2 C. 3　　D. 4 变式8-1（填空·★★☆☆☆） 已知关于的方程有两个实数根，一个根比小，另一个根比大，则实数的取值范围为____. 学科网（北京）股份有限公司 $