函数与导数：函数的单调性与奇偶性综合问题、抽象函数的性质综合问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习专项训练 函数与导数：函数的单调性与奇偶性综合问题、抽象函数的性质综合问题专项训练 考点目录 函数的单调性与奇偶性综合问题 抽象函数的性质综合问题 考点一 函数的单调性与奇偶性综合问题 例1．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，图象连续不间断，其导函数为，当时，，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，利用导数的运算法则及导数研究单调性，结合奇偶性解不等式，即可得. 【详解】令，则，结合题设， 当时，，即在上单调递减， 因为为定义在上的奇函数， 则， 所以在上为偶函数，且，则在上单调递增， 由，即，即， 故， 综上，不等式的解集为. 例2．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由以及函数奇偶性判断出函数在定义域上的单调性，再将不等式转化为或，结合即可求解． 【详解】已知是定义在上的偶函数，则， 因为对任意，且，都有， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 又因为，所以． 而等价为或， 根据函数的单调性，可知或， 解得或，即不等式的解集为． 例3．（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）已知奇函数是定义在上的严格减函数，若，则实数取值范围为_________． 【答案】 【详解】奇函数是定义在上的严格减函数， ，即， ，解得． 例4．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且．若对，，且，都有，则关于x的不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】构建函数，易得函数为奇函数，分析的单调性，由此可解不等式. 【详解】因为对，，且，都有，即， 即. 令， 所以对，，且， 所以，所以函数在上单调递增. 因为函数是定义在上的奇函数，所以. 所以对，， 且， 所以函数为定义在上的奇函数. 所以函数在上单调递增. 又，所以，所以. 所以当时，； 当时，. 因此不等式的解集为. 变式1．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数）则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数求出参数，分析时函数单调递增，结合奇函数性质得到在上单调递增，算出，将函数不等式转化为普通一元一次不等式求解． 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以， 即，解得， 所以当时，， 因为，在上均单调递增， 所以在上单调递增， 由奇函数对称区间单调性一致，得在上单调递增， 又，所以， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 变式2．（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）已知定义在上的偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为偶函数，且在上单调递增，所以，解得，故选B. 变式3．（26-27高三上·天津河东·阶段检测）函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，满足不等式的的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由函数的奇偶性将不等式化为，再利用单调性即可求解． 【详解】由函数是定义在上的奇函数， 又在上单调递增， 由，得， 得， 得，解得， 故的取值范围是． 变式4．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知为偶函数，且在上单调递减，则满足不等式的的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用偶函数的性质将不等式转化为，再结合上的单调性脱去函数符号，求解对数不等式即得. 【详解】 因为是偶函数，则原不等式等价于， 又因在上单调递减，则得，即，解得. 故的取值范围为. 考点二 抽象函数的性质综合问题 例1．（26-27高三上·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，，则下列选项错误的是（     ） A． B． C．是偶函数 D．的一个周期为4 【答案】D 【分析】通过对给定函数恒等式赋特殊值求解函数值、判断奇偶性和周期，选出错误选项. 【详解】对于A：令，代入恒等式，得，代入，解得，A正确； 对于B：令代入恒等式，得，代入，解得； 再令代入，得，解得，B正确； 对于C：令代入恒等式，得，整理得对任意成立， 故是偶函数，C正确； 对于项D：令代入恒等式，得，代入已知值解得， 若周期为4，则，二者矛盾，故周期不为4，D错误. 例2．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知函数的定义域为，对任意的，，都有，且当时，，则下列说法错误的是（     ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】C 【分析】通过特殊值法，可判断AB选项，根据函数单调性定义即可判断C选项，根据函数单调性和抽象函数性质，即可判断D选项. 【详解】对于A选项，令，因此，则，故A选项正确； 对于B选项，令，则，且定义域关于原点对称，故B选项正确； 对于C选项，设，则， 则，，所以， 由题意得，，即， 故函数单调递减，则C选项错误； 对于D选项，根据定义域要求，，解得， 对于原不等式， 因为函数为奇函数且单调递减，故，解得， 故D选项正确； 例3．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测·多选）已知定义域为的函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】ABC 【分析】给题中恒成立的等式赋值，对于A，令进行判断，对于B，令，赋值可求出的值，再令可求出的值，对于C，令进行判断，对于D，令，判断. 【详解】对于A，令，则，所以，所以A正确； 对于B，令，，得，所以， 令可得，所以，故B正确； 对于C，令，由得， 又因为函数的定义域为，所以为奇函数，所以C正确； 对于D，令，，得，所以，所以D错误. 例4．（26-27高三上·重庆·阶段检测·多选）已知定义域为的函数，，满足，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．是周期函数 C．是奇函数 D．点是的对称中心 【答案】ABD 【分析】先根据函数递推式推导的周期性，再结合的对称性、与 的关系逐一判断选项． 【详解】对于选项A：由，令 得，已知，代入得，所以A正确； 对于选项B：已知，将替换为得，两式联立消去得， 再将替换为得，即， 故是周期为6的周期函数，所以B正确； 对于选项C：由得关于直线对称， 又由条件， 令，则， 由关于直线对称得，因为， 所以，即， 令，则，所以是偶函数，不是奇函数．所以C错误； 对于选项D：要判断是否为对称中心，即需验证对任意，， 因为， 所以， 所以 因此只需证明， 由，令，得：， 即， 将替换为得 又因是偶函数，有，所以 所以因此是的对称中心，所以D正确． 例5．（25-26高二下·江苏常州·期末·多选）已知函数的定义域为，且，，，则（   ） A．为奇函数 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A,先令 ，求得，再令，可得，即可判断；对于B，令代入求解后，即可判断；对于C，令，代入求解后即可判断；对于D，通过计算可得函数是周期函数，最小正周期为，由此求解即可. 【详解】对于A,令 ，得，解得， 令，得， 即， 所以或， 当时，令，得与矛盾，故舍去; 所以， 即， 所以为奇函数，故A正确； 对于B，因为，， 所以， 即，解得，故B错误； 对于C，令， 得 所以，故C正确； 对于D，令， 得， 解得， 令，则， 所以，解得， ，解得； 令， 得，解得； ，解得； 所以函数是周期函数，最小正周期为， 又 ， 所以 ，故D正确. 变式1．（26-27高三上·山东烟台·开学考试）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件可得到的一个周期为，赋值法可求得的值，结合周期性可求解. 【详解】因为为奇函数，所以，所以，用替换得. 又，所以，用替换得，所以，的一个周期为. 因为，在中令可得， 所以，因此. 变式2．（25-26高三上·福建龙岩·开学考试）已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】先令、、得出为奇函数，再根据为偶函数，得出是以为周期的函数，结合得出即可求出. 【详解】令，则，得； 令，则，即 ， 令，则， 若，则； 若，则，则，则为奇函数， 因为为偶函数，所以，则， 则， 因为为奇函数，所以， 可得，则是以为周期的函数． 因为，所以，则． 由得，则， 得， 故． 变式3．（2026·福建福州·三模·多选）定义在R上函数与满足：，，，为偶函数，且恒成立，已知，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】AC 【分析】A. 令，由得；代入及 得 ； B. 由是偶函数及式令，得，因得，应为奇函数； C. 令推得恒等式，代入已知得，故； D. 令，则，得，再由得，故 ，而非. 【详解】令，代入式得，整理得，由题，故， 代入式得，代入得，又恒成立，故. 选项A正确； 已知为偶函数，即，令，代入式得 ， 代入和得 ，又，故， 即是奇函数，不是偶函数. 选项B错误； 对任意，令，得， 而，因此对任意恒有，即. 已知，代入得，整理得. 选项C正确； 由满足，得，即. 再代入得，即. 选项D错误. 变式4．（2026·湖南益阳·模拟预测·多选）定义在R上的函数，满足：，，若为偶函数，且，恒大于0，则下列选项正确的是（   ） A．为奇函数 B． C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】法一：利用已知关系，应用赋值法，结合奇偶性的定义得到的相关性质和递推关系判断各项的正误；法二：应用特殊函数法，令，依次分析各项的正误. 【详解】法一：令，得，因为且不为0，则． 令，得， 故，则为奇函数．故A正确； 令，得，因为，则． 令，得，故B正确； 用“”代替“”，得， 而，两式相乘得， 所以， 若，则，显然不成立，故C错误； 令，，，相加得， 用“2x”代替“x”得， 继续操作得， 令，，得， 由，联立得，故D正确． 法二：取，符合题意， 则且定义域为R，此时为奇函数，A正确； ，B正确； ， 而，不恒相等，C错误； 若，则，，D正确． 变式5．（2026·广东江门·二模·多选）若函数的定义域为，，且，，，则（   ） A． B．， C．为奇函数 D．当时， 【答案】ACD 【分析】对于A，由条件恒等式取可求即可判断，对于B，由条件恒等式取可得，再取即可判断，对于C，由条件恒等式取可得，由此证明，结合奇函数定义即可判断，对于D，结合选项C推出，由此判断D. 【详解】对于A，令，得，A正确． 对于B，令，，得，因为， 所以，令，得， 即存在使得，B错误． 对于C，令，得，用替换可得， 所以， 当时，，又因为， 所以为奇函数，设， 则， 所以为奇函数，C正确． 对于D，因为， 由选项C知，同理，又为奇函数， 所以， 用替换，替换可得， 同理可得， 故当时，，D正确． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 函数与导数：函数的单调性与奇偶性综合问题、抽象函数的性质综合问题专项训练 考点目录 函数的单调性与奇偶性综合问题 抽象函数的性质综合问题 考点一 函数的单调性与奇偶性综合问题 例1．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，图象连续不间断，其导函数为，当时，，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 例2．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 例3．（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）已知奇函数是定义在上的严格减函数，若，则实数取值范围为_________． 例4．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且．若对，，且，都有，则关于x的不等式的解集为__________． 变式1．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数）则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式2．（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）已知定义在上的偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式3．（26-27高三上·天津河东·阶段检测）函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，满足不等式的的取值范围是__________． 变式4．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知为偶函数，且在上单调递减，则满足不等式的的取值范围为______． 考点二 抽象函数的性质综合问题 例1．（26-27高三上·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，，则下列选项错误的是（     ） A． B． C．是偶函数 D．的一个周期为4 例2．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知函数的定义域为，对任意的，，都有，且当时，，则下列说法错误的是（     ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 例3．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测·多选）已知定义域为的函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．是奇函数 D． 例4．（26-27高三上·重庆·阶段检测·多选）已知定义域为的函数，，满足，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．是周期函数 C．是奇函数 D．点是的对称中心 例5．（25-26高二下·江苏常州·期末·多选）已知函数的定义域为，且，，，则（   ） A．为奇函数 B． C． D． 变式1．（26-27高三上·山东烟台·开学考试）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，若，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·福建龙岩·开学考试）已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 变式3．（2026·福建福州·三模·多选）定义在R上函数与满足：，，，为偶函数，且恒成立，已知，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 变式4．（2026·湖南益阳·模拟预测·多选）定义在R上的函数，满足：，，若为偶函数，且，恒大于0，则下列选项正确的是（   ） A．为奇函数 B． C． D．若，则 变式5．（2026·广东江门·二模·多选）若函数的定义域为，，且，，，则（   ） A． B．， C．为奇函数 D．当时， 2 学科网（北京）股份有限公司 $