第3节 函数的单调性与奇偶性专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第3节 函数的单调性与奇偶性 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 函数单调性的定义与判定：按"取值、作差、变形、定号、下结论"五步书写，作差后分解成因式之积再定号 ② 复合函数的单调性：先求定义域，再用"同增异减"判断，所求区间不能超出定义域 ③ 函数奇偶性的判定：先看定义域是否关于原点对称，再比较 f(−x) 与 f(x) 的关系 ④ 利用单调性与奇偶性比较函数值大小、解抽象函数不等式：先把函数值的不等式化成自变量的不等式 ⑤ 抽象函数的性质推导：用赋值法求特殊值与判定奇偶性，再用定义法证明单调性；含绝对值的函数化为分段形式讨论 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 在下列四个函数解析式中，其图象关于纵轴对称的是 A. y = + x B. y = − C. y = x + 3 D. y = − x 2. 某拱桥的净空高度函数取为 h(x) = − + 8x（x 为距桥中心的水平距离）。该函数的单调递增区间是 A. (−∞, 2] B. [2, +∞) C. (−∞, −2] D. [2, 4] 3. 已知函数 g(x) 为奇函数，且当 x > 0 时 g(x) = − 5x，则 g(−3) 的值为 A. −6 B. 6 C. −24 D. 24 4. 某监测平台用的指标函数为 w(x) = ，则该函数的定义域是 A. [−3, 3] B. (−3, 3) C. (−∞, −3] ∪ [3, +∞) D. [0, 3] 5. 函数 F(x) 在 R 上严格单调递增，且 F(m + 1) < F(2m − 3)，则实数 m 所在的范围是 A. (−∞, 4) B. (4, +∞) C. (−∞, 4] D. [4, +∞) 6. 函数 w(x) = 的单调递减区间是 A. (−∞, 1] B. [3, +∞) C. [1, +∞) D. (−∞, 1] ∪ [3, +∞) 7. 设 f(x) 是 R 上的奇函数，并且在 R 上单调递减。若 f(3a − 2) + f(a − 1) < 0，则实数 a 的取值范围是 A. (−∞, ] B. (, +∞) C. (−∞, ) D. [, +∞) 8. 设偶函数 E(x) 在 [0, +∞) 上单调递减，且 E(2) = 0，则不等式 E(x − 3) > 0 的解集为 A. (1, 5) B. (−5, −1) C. (−∞, 1) ∪ (5, +∞) D. (1, 5] 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 记 g(x) = |x + 1| − |x − 1|。关于这个函数的四条判断，成立的是 A. g(x) 是奇函数 B. g(x) 的值域为 [−2, 2] C. g(x) 在区间 [−1, 1] 上单调递增 D. g(x) 在区间 (−∞, −1] 上单调递增 10. 已知函数 G(x) 的定义域为 (0, +∞)，且对任意 x，y > 0 都有 G(xy) = G(x) + G(y)。判定下列四条说法，成立的是 A. G(1) = 0 B. G() = 2G(x) 对任意 x > 0 成立 C. 若 G(2) = 1，则 G(8) = 3 D. G(x) 在 (0, +∞) 上单调递增 11. 已知偶函数 f(x) 在 [0, +∞) 上单调递减，且 f(1) = 0。关于 f 的四条结论中，正确的是 A. f(−2) < f(1) B. 不等式 f(x) > 0 的解集为 (−1, 1) C. f(3) < f(−4) D. 不等式 f(x + 2) < 0 的解集为 (−∞, −3) ∪ (−1, +∞) 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知 f(x) = + cx + 5 是偶函数，且 f(2) = 9，则 a = ___________。 13. 若函数 f(x) = − ax + 2 在区间 [2, +∞) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是___________。 14. 设 f(x) 为定义在 R 上的奇函数，已知 x ≥ 0 时 f(x) = − 3x，则不等式 f(x) < 0 的解集为___________。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记 f(x) = − + 2|x| + 3。 （1）判断 f(x) 的奇偶性并说明理由； （2）用单调性的定义证明 f(x) 在 [1, +∞) 上单调递减； （3）求 f(x) 在 [−2, 2] 上的最大值与最小值。 16. 已知函数 f(x) 的定义域为 R，对任意 x，y ∈ R 都有 f(x + y) = f(x) + f(y)， 并且当 x > 0 时 f(x) < 0；又 f(1) = −2。 （1）求 f(0) 与 f(2) 的值，并判断 f(x) 的奇偶性； （2）证明 f(x) 在 R 上单调递减； （3）解关于 x 的不等式 f( − 5x) + f(2x − 4) < 0。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第3节 函数的单调性与奇偶性 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 函数单调性的定义与判定：按"取值、作差、变形、定号、下结论"五步书写，作差后分解成因式之积再定号 ② 复合函数的单调性：先求定义域，再用"同增异减"判断，所求区间不能超出定义域 ③ 函数奇偶性的判定：先看定义域是否关于原点对称，再比较 f(−x) 与 f(x) 的关系 ④ 利用单调性与奇偶性比较函数值大小、解抽象函数不等式：先把函数值的不等式化成自变量的不等式 ⑤ 抽象函数的性质推导：用赋值法求特殊值与判定奇偶性，再用定义法证明单调性；含绝对值的函数化为分段形式讨论 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 在下列四个函数解析式中，其图象关于纵轴对称的是 A. y = + x B. y = − C. y = x + 3 D. y = − x 【答案】B 【解析】图象关于纵轴对称，对应的正是偶函数。判奇偶先看定义域是否关于原点对称，再看 f(−x) 与 f(x) 的关系。 A 项：定义域不含 0，但 (−∞, 0) ∪ (0, +∞) 仍关于原点对称，f(−x) = − − x = −f(x)，是奇函数； B 项：定义域为 x ≠ 0，且 f(−x) = − = − = f(x)，是偶函数，图象关于纵轴对称，符合要求； C 项：f(−x) = −x + 3，既不恒等于 f(x) 也不恒等于 −f(x)，非奇非偶； D 项：f(−x) = − + x = −( − x) = −f(x)，是奇函数。 【考查知识点】函数奇偶性的定义与判定、图象的对称性 【易错点】只看第一项含 x 的偶次幂就下结论，忽略 B 项定义域要排除 0；判奇判偶的第一步永远是"定义域是否关于原点对称" 2. 某拱桥的净空高度函数取为 h(x) = − + 8x（x 为距桥中心的水平距离）。该函数的单调递增区间是 A. (−∞, 2] B. [2, +∞) C. (−∞, −2] D. [2, 4] 【答案】A 【解析】先把解析式配方：h(x) = −2( − 4x) = −2 + 8。 二次项系数为 −2 < 0，图象开口向下，对称轴为 x = 2。 开口向下的二次型图象在对称轴左侧递增、右侧递减，故递增区间为 (−∞, 2]。 需要注意单调区间的端点可以取到，写成开区间会与管理规范不符，但本题选项里 (−∞, 2] 是唯一与对称轴相合的。 【考查知识点】二次函数的单调区间与配方法 【易错点】把对称轴算成 x = 4 而错选 C 一类；或开口向下时把递增、递减的两侧说反 3. 已知函数 g(x) 为奇函数，且当 x > 0 时 g(x) = − 5x，则 g(−3) 的值为 A. −6 B. 6 C. −24 D. 24 【答案】B 【解析】3 > 0，可以直接代入已知段的式子：g(3) = − 5 × 3 = 9 − 15 = −6。 再由奇函数的性质 g(−3) = −g(3)，得 g(−3) = −(−6) = 6。 所以选 B。 切忌把负数直接塞进 x > 0 的那一段公式，得到 − 5 × (−3) = 24 而误选 C。 【考查知识点】奇函数的性质、分段给出解析式时函数值的求法 【易错点】直接把 x = −3 代入 x > 0 对应的解析式，符号处理出错；或求出 g(3) 就当作答案 4. 某监测平台用的指标函数为 w(x) = ，则该函数的定义域是 A. [−3, 3] B. (−3, 3) C. (−∞, −3] ∪ [3, +∞) D. [0, 3] 【答案】A 【解析】偶次根号下的被开方数必须非负，由 9 − ≥ 0 得 ≤ 9。 解这个不等式得 −3 ≤ x ≤ 3，所以定义域为 [−3, 3]。 端点处被开方数恰为 0，函数依然有意义，两个端点都要取到，故选 A。 【考查知识点】含偶次根式的函数定义域、一元二次不等式的应用 【易错点】由 ≤ 9 只取到 x ≤ 3 的一半而误选 C；或忘记端点处根号内为 0 时函数仍有意义 5. 函数 F(x) 在 R 上严格单调递增，且 F(m + 1) < F(2m − 3)，则实数 m 所在的范围是 A. (−∞, 4) B. (4, +∞) C. (−∞, 4] D. [4, +∞) 【答案】B 【解析】严格递增函数的特征是：自变量越大，函数值越大；反过来，函数值小的那一侧对应的自变量也小。 于是由 F(m + 1) < F(2m − 3) 可去掉函数符号，得 m + 1 < 2m − 3。 移项整理：1 + 3 < 2m − m，即 m > 4。 所以 m 的取值范围为 (4, +∞)，选 B。 【考查知识点】单调性的定义、由函数值大小反推自变量大小 【易错点】把"递增"与"递减"的方向搞反，写成 m + 1 > 2m − 3 而得到 (−∞, 4)；这里不等号必须跟着单调方向一起翻 6. 函数 w(x) = 的单调递减区间是 A. (−∞, 1] B. [3, +∞) C. [1, +∞) D. (−∞, 1] ∪ [3, +∞) 【答案】A 【解析】先定定义域：由 − 4x + 3 ≥ 0 得 (x − 1)(x − 3) ≥ 0，解得 x ≤ 1 或 x ≥ 3，所以定义域是 (−∞, 1] ∪ [3, +∞)，单调区间必须是它的子集。 把根号里的式子配方： − 4x + 3 = − 1，它在 (−∞, 2] 上递减、在 [2, +∞) 上递增。 外层正根号函数在 u ≥ 0 上是增函数，按"同增异减"，w 的递减区间来自内层递减的部分，要与定义域相交。 即 (−∞, 2] ∩ ((−∞, 1] ∪ [3, +∞)) = (−∞, 1]，故递减区间为 (−∞, 1]。 选 D 是把两段定义域混在一起，单调区间必须是连续的一段，不能把断开的两块拼成一个区间。 【考查知识点】复合函数的单调区间、定义域优先原则、"同增异减"法则 【易错点】忽略定义域，直接取内层的递减区间 (−∞, 2]；或把两段定义域拼成一个"区间"而误选 D 7. 设 f(x) 是 R 上的奇函数，并且在 R 上单调递减。若 f(3a − 2) + f(a − 1) < 0，则实数 a 的取值范围是 A. (−∞, ] B. (, +∞) C. (−∞, ) D. [, +∞) 【答案】B 【解析】先把不等式移项：f(3a − 2) < −f(a − 1)。 由奇函数性质，−f(a − 1) = f(1 − a)，于是不等式化成 f(3a − 2) < f(1 − a)。 再用单调递减：函数值较小的那一侧对应更大的自变量，所以 3a − 2 > 1 − a。 移项得 4a > 3，即 a > ，取值范围为 (, +∞)，选 B。 【考查知识点】奇函数与单调性的综合、抽象函数不等式的解法 【易错点】把 −f(a − 1) 变成 f(1 − a) 之后忘了"递减"要翻不等号，写成 3a − 2 < 1 − a 从而误选 C 8. 设偶函数 E(x) 在 [0, +∞) 上单调递减，且 E(2) = 0，则不等式 E(x − 3) > 0 的解集为 A. (1, 5) B. (−5, −1) C. (−∞, 1) ∪ (5, +∞) D. (1, 5] 【答案】A 【解析】由偶函数性质，E(x − 3) = E(|x − 3|)。令 t = |x − 3| ≥ 0，问题就变成在 [0, +∞) 上解 E(t) > 0。 已知 E 在 [0, +∞) 上递减且 E(2) = 0，所以对 t ≥ 0，E(t) > 0 = E(2) 等价于 t < 2。 于是 |x − 3| < 2，即 −2 < x − 3 < 2。 解得 1 < x < 5，所以解集为 (1, 5)，选 A。 【考查知识点】偶函数与单调性的综合、绝对值不等式的解法 【易错点】把 E(t) > E(2) 在递减情形下转成 t > 2 而误选 C；偶函数的作用正是把自变量取绝对值后统一到 [0, +∞) 上讨论 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 记 g(x) = |x + 1| − |x − 1|。关于这个函数的四条判断，成立的是 A. g(x) 是奇函数 B. g(x) 的值域为 [−2, 2] C. g(x) 在区间 [−1, 1] 上单调递增 D. g(x) 在区间 (−∞, −1] 上单调递增 【答案】ABC 【解析】先去掉绝对值，按分界点 x = −1、x = 1 分成三段：x ≥ 1 时 g(x) = (x + 1) − (x − 1) = 2；−1 ≤ x < 1 时 g(x) = (x + 1) + (x − 1) = 2x；x < −1 时 g(x) = −(x + 1) + (x − 1) = −2。 A 项：g(−x) = |−x + 1| − |−x − 1| = |x − 1| − |x + 1| = −g(x)，且定义域 R 关于原点对称，是奇函数，成立； B 项：三段的值分别是 2、2x（x ∈ [−1, 1] 时取遍 [−2, 2]）、−2，合起来值域恰为 [−2, 2]，成立； C 项：在 [−1, 1] 上 g(x) = 2x，斜率正，单调递增，成立； D 项：在 (−∞, −1] 上 g(x) 恒等于 −2，是常值函数，谈不上递增，不成立。 【考查知识点】含绝对值的函数化为分段形式、奇偶性、值域与单调性 【易错点】判 D 时忘记 x < −1 时两个绝对值里的式子同号相消、结果为常值；含绝对值的函数先按分界点分段，是最省事的做法 10. 已知函数 G(x) 的定义域为 (0, +∞)，且对任意 x，y > 0 都有 G(xy) = G(x) + G(y)。判定下列四条说法，成立的是 A. G(1) = 0 B. G() = 2G(x) 对任意 x > 0 成立 C. 若 G(2) = 1，则 G(8) = 3 D. G(x) 在 (0, +∞) 上单调递增 【答案】ABC 【解析】A 项：令 x = y = 1，得 G(1) = G(1) + G(1)，移项即得 G(1) = 0，成立； B 项：把 看成 x 与 x 的乘积，由题设恒等式得 G(x · x) = G(x) + G(x) = 2G(x)，成立； C 项：由 B 项思路，G(4) = G(2) + G(2) = 2；再由 G(8) = G(4 · 2) = G(4) + G(2) = 2 + 1 = 3，成立； D 项：题设只给了运算结构，没有给任何大小关系，单调性无从判断。例如令 G(x) = 0 对一切 x > 0 成立，它显然满足 G(xy) = G(x) + G(y)，却既不递增也不递减，故不成立。 【考查知识点】抽象函数的赋值法、奇（偶）性以外的性质推导 【易错点】看到"xy 对应 x 与 y 之和"就默认它一路向上递增；判断这类说法，只要举出一个满足条件的反例即可否定 11. 已知偶函数 f(x) 在 [0, +∞) 上单调递减，且 f(1) = 0。关于 f 的四条结论中，正确的是 A. f(−2) < f(1) B. 不等式 f(x) > 0 的解集为 (−1, 1) C. f(3) < f(−4) D. 不等式 f(x + 2) < 0 的解集为 (−∞, −3) ∪ (−1, +∞) 【答案】ABD 【解析】由偶函数性质，f(x) = f(|x|)，只需在 [0, +∞) 上讨论；又 f 在 [0, +∞) 上递减且 f(1) = 0。 A 项：f(−2) = f(2)，由 2 > 1 且递减得 f(2) < f(1)，正确； B 项：f(x) > 0 即 f(|x|) > f(1)，由递减得 |x| < 1，解得 −1 < x < 1，正确； C 项：f(−4) = f(4)，由 3 < 4 且递减得 f(3) > f(4) = f(−4)，所以"f(3) < f(−4)"方向反了，错误； D 项：f(x + 2) < 0 即 f(|x + 2|) < f(1)，由递减得 |x + 2| > 1，解得 x + 2 > 1 或 x + 2 < −1，即 x > −1 或 x < −3，正确。 【考查知识点】偶函数与单调性的综合、函数值大小比较与解不等式 【易错点】C 项最容易判错：递减时自变量越小函数值越大，3 < 4 应得到 f(3) > f(4)，不等号不能照抄；解不等式时别忘先把自变量取绝对值 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知 f(x) = + cx + 5 是偶函数，且 f(2) = 9，则 a = ___________。 【答案】1 【解析】由 f 为偶函数，得 f(−x) = f(x) 对一切 x 成立，即 − cx + 5 = + cx + 5，于是 2cx = 0 恒成立，故 c = 0。 于是 f(x) = + 5。代入 f(2) = 9，得 4a + 5 = 9，解得 a = 1。 【考查知识点】偶函数解析式中奇次项系数为零、待定系数法 【易错点】只用 f(2) = 9 一个条件去算 a，漏掉先由偶函数性质定出 c = 0，方程里两个未知数就无从下手 13. 若函数 f(x) = − ax + 2 在区间 [2, +∞) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是___________。 【答案】(−∞, 2] 【解析】配方得 f(x) = + 2 − ，图象开口向上，对称轴为 x = a。 开口向上的二次函数在 [a, +∞) 上递增，要让它整段在 [2, +∞) 上都递增，只需 [2, +∞) 含于 [a, +∞)，即 a ≤ 2。 所以 a 的取值范围是 (−∞, 2]。 端点 a = 2 时对称轴恰好落在区间左端，区间内仍然递增，等号必须取。 【考查知识点】含参二次函数的单调区间、对称轴与区间的位置关系 【易错点】把"区间 [2, +∞) 含于递增区间"误写成 a ≥ 2；端点 a = 2 时函数在区间内仍单调递增，等号不能丢 14. 设 f(x) 为定义在 R 上的奇函数，已知 x ≥ 0 时 f(x) = − 3x，则不等式 f(x) < 0 的解集为___________。 【答案】(−∞, −3) ∪ (0, 3) 【解析】先补齐 x < 0 时的解析式：此时 −x > 0，f(x) = −f(−x) = −[ − 3(−x)] = −( + 3x)。 当 x ≥ 0 时，f(x) < 0 即 − 3x < 0，解得 0 < x < 3（x = 0 时函数值为 0，不满足严格小于）； 当 x < 0 时，f(x) < 0 即 − − 3x < 0，两边取反号得 + 3x > 0，即 x(x + 3) > 0，结合 x < 0 得 x < −3。 两部分取并集，解集为 (−∞, −3) ∪ (0, 3)。 【考查知识点】奇函数解析式的求法、分段解不等式并取并集 【易错点】补 x < 0 的解析式时漏掉外层负号；或把 x ≥ 0 那段的解集写成 [0, 3]，忘了 f(0) = 0 不满足严格小于 0 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记 f(x) = − + 2|x| + 3。 （1）判断 f(x) 的奇偶性并说明理由； （2）用单调性的定义证明 f(x) 在 [1, +∞) 上单调递减； （3）求 f(x) 在 [−2, 2] 上的最大值与最小值。 【答案】解：（1）因为对一切实数 x 都有 ≥ 0、|x| ≥ 0，所以 f(x) 的定义域为 R，关于原点对称。 又 f(−x) = − + 2|−x| + 3 = − + 2|x| + 3 = f(x)， 所以 f(x) 是偶函数。 （2）当 x ≥ 1 时 |x| = x，于是 f(x) = − + 2x + 3。任取 1 ≤ x1 < x2，作差得 f(x1) − f(x2) = (− + 2x1 + 3) − (− + 2x2 + 3) = − − 2(x2 − x1) = (x2 − x1)(x1 + x2) − 2(x2 − x1) = (x2 − x1)(x1 + x2 − 2)。 因为 1 ≤ x1 < x2，所以 x2 − x1 > 0，且 x1 + x2 > 2，即 x1 + x2 − 2 > 0； 两式相乘得 f(x1) − f(x2) > 0，也就是 f(x1) > f(x2)。 故 f(x) 在 [1, +∞) 上单调递减。 （3）由（1）知 f 是偶函数，只需求 x ∈ [0, 2] 的情形。此时 f(x) = − + 2x + 3 = − + 4。 当 x ∈ [0, 2] 时， ∈ [0, 1]，于是 f(x) ∈ [3, 4]。 具体地，x = 1 时取最大值 4；x = 0 或 x = 2 时取最小值 3。 由偶函数的对称性，在 [−2, 0] 上函数值不变。 所以 f(x) 在 [−2, 2] 上的最大值为 4，最小值为 3。 【解析】第（1）问判奇偶，务必先交代定义域关于原点对称，只写 f(−x) = f(x) 是要被扣分的。 第（2）问在 x ≥ 1 上 |x| = x，函数已经是普通二次函数，作差后把分子整理成 (x2 − x1)(x1 + x2 − 2) 是关键，两个因式各自定号，结论就水到渠成。 注意这里 x1 + x2 − 2 > 0 用的是 x1 ≥ 1、x2 > x1，而不是笼统地说"x1、x2 都大于 1"，写法要扣住题设区间。 第（3）问借助偶函数把区间折到 [0, 2]，再配方得 − + 4，最值立刻读出，不必在负半轴上重算一编。 最后交代清楚最大值、最小值各在哪个点取到，答案才算完整。 【考查知识点】函数奇偶性的判定、用定义法证明单调性、偶函数在闭区间上的最值 【易错点】（1）漏写定义域关于原点对称；（2）作差后不把式子整理成两个因式的乘积就无法定号；（3）把最大、最小值的归属位置写反 16. 已知函数 f(x) 的定义域为 R，对任意 x，y ∈ R 都有 f(x + y) = f(x) + f(y)， 并且当 x > 0 时 f(x) < 0；又 f(1) = −2。 （1）求 f(0) 与 f(2) 的值，并判断 f(x) 的奇偶性； （2）证明 f(x) 在 R 上单调递减； （3）解关于 x 的不等式 f( − 5x) + f(2x − 4) < 0。 【答案】解：（1）在恒等式中令 x = y = 0，得 f(0) = f(0) + f(0)，所以 f(0) = 0。 令 x = y = 1，得 f(2) = f(1) + f(1) = −2 + (−2) = −4。 再令 y = −x，得 f(0) = f(x) + f(−x)，即 f(x) + f(−x) = 0，从而 f(−x) = −f(x)。 又定义域 R 关于原点对称，所以 f(x) 是奇函数。 （2）任取 x1 < x2，则 x2 − x1 > 0。由题设"自变量大于 0 时函数值为负"得 f(x2 − x1) < 0。 再由 f(x + y) = f(x) + f(y)，有 f(x2) = f(x1 + (x2 − x1)) = f(x1) + f(x2 − x1) < f(x1)，即 f(x1) > f(x2)。 所以 f(x) 在 R 上单调递减。 （3）由 f(x + y) = f(x) + f(y) 可把左边两个函数值并成一个： f( − 5x) + f(2x − 4) = f(( − 5x) + (2x − 4)) = f( − 3x − 4)。 原不等式于是化为 f( − 3x − 4) < 0。由（1）知 f(0) = 0，上式即 f( − 3x − 4) < f(0)。 由（2）知 f 单调递减，函数值小的对应自变量大，于是 − 3x − 4 > 0，即 (x − 4)(x + 1) > 0。 解得 x < −1 或 x > 4。 所以原不等式的解集为 (−∞, −1) ∪ (4, +∞)。 【解析】抽象函数没有解析式，一切性质都要从恒等式 f(x + y) = f(x) + f(y) 出发，用赋值法一步步推出来。 第（1）问求 f(0) 用 x = y = 0，求 f(2) 用 x = y = 1，判奇偶用 y = −x，三处赋值各管一件事，别混着用。 第（2）问回到定义：把 f(x2) 拆成 f(x1) + f(x2 − x1)，再用"正自变量取负函数值"这一条条件定号。 第（3）问先靠加法性质把两项并成一项 f( − 3x − 4)，再把 0 写成 f(0)，函数值的不等式就转化成了自变量的不等式。 转化方向是本题的失分点：f 单调递减时，f(A) < f(B) 对应 A > B，写成 A < B 就会得到 (−1, 4) 这个恰好错一半的答案。 【考查知识点】抽象函数的赋值法、用定义证明单调性、抽象函数不等式的解法 【易错点】（2）不借助题给恒等式去拆分 f(x2)；或（3）把 f(A) < f(B) 错写成 A < B；另外要先求出 f(0) 才能把 0 写成函数值 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第3节 函数的单调性与奇偶性 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 奇偶性的判定 数学运算 基础 B 2 单项选择题 5 二次函数的单调区间 直观想象 基础 A 3 单项选择题 5 奇函数求值 数学运算 基础 B 4 单项选择题 5 根式函数的定义域 数学运算 基础 A 5 单项选择题 5 单调性与比较大小 逻辑推理 基础 B 6 单项选择题 5 复合函数的单调区间 数学运算 中档 A 7 单项选择题 5 奇函数与单调性解不等式 逻辑推理 中档 B 8 单项选择题 5 偶函数与单调性解不等式 逻辑推理 中档 A 9 多项选择题 6 含绝对值函数的性质 直观想象 中档 ABC 10 多项选择题 6 抽象函数的赋值法 数学抽象 中档 ABC 11 多项选择题 6 偶函数、单调性与解不等式 逻辑推理 中档 ABD 12 填空题 5 偶函数与待定系数法 数学运算 基础 1 13 填空题 5 含参二次函数的单调性 直观想象 中档 (−∞, 2] 14 填空题 5 奇函数解析式与解不等式 数学运算 中档 (−∞, −3) ∪ (0, 3) 15 解答题 13 定义法证明单调性 逻辑推理、数学运算 中档 见解析 16 解答题 14 抽象函数的性质与不等式 数学抽象、逻辑推理 略难 见解析 难度分布：基础 6 题，中档 9 题，略难 1 题。全卷共 16 题，满分 100 分，预估难度系数 0.55—0.70。 学科网（北京）股份有限公司 $