精品解析：福建福州第三中学2026-2027学年第一学期高三质检（第二次）数学试卷

福州三中2026-2027学年第一学期高三质检（第二次） 数学试卷 满分150分　考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，为单位向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，若存在，满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线的两条渐近线的夹角等于（ ） A. B. C. D. 5. 正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 6. 在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号衰减值（单位：分贝，dB），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，信号衰减值约减少为6dB，信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，则（ ） A. 5 B. 6 C. D. 7. 在各项均不为零的数列中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 10. 已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在直线上，则直线与圆相交 B. 若点在圆外，则直线与圆相离 C. 若点在圆内，则直线与圆相离 D. 若点在圆上，则直线与圆相切 11. 已知的内角的对边分别为，，且，则下列选项中正确的有（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 的最大值为 D. 角的平分线交于点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线是曲线在处的切线，则________． 13. 椭圆的离心率为，且椭圆与直线相交于，两点，，则________． 14. 某超市在春节期间举行抽奖活动，在箱子里装有个写有“秋绥”的小球和5个写有“冬禧”的小球，这些小球除文字外完全相同．顾客从中一次性抽取2个小球，恰好抽出1个“秋绥”和1个“冬禧”视为中奖，其余情况均未中奖．设在连续3次抽奖中（每次抽完后将小球放回箱子再进行下一次抽奖）恰好中奖1次的概率为，则当取到最大值时的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某研发团队研发甲、乙两种无人机产品，现研发了3架甲种无人机和2架乙种无人机，从这5架无人机中随机抽取2架进行试飞测试，若甲种无人机试飞合格的概率为，试飞不合格的概率为，恰抽到架甲种无人机记为事件． （1）求； （2）若抽取的2架无人机中，是甲种无人机且试飞合格的架数记为，求的分布列和数学期望． 16. 已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列. （1）求的通项公式： （2）若为数列的前项和，求证：． 17. 已知，直线相交于点M，且它们的斜率之积是3. （1）求点M的轨迹C的方程； （2）过点能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由． 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且．为边上的点． （1）求角； （2）若，，且，求线段的长； （3）若，，求面积的最大值． 19. 设函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； （3）设，点是函数与的一个交点，且函数与在点处的切线互相垂直，求证：存在唯一的满足题意，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州三中2026-2027学年第一学期高三质检（第二次） 数学试卷 满分150分　考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法运算求得复数的值，然后利用共轭复数的概念求得结果. 【详解】由，得， 所以. 故选：D 2. 已知向量，为单位向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，是单位向量，所以， 由，得， 故， 整理得，故， 所以， 故在上的投影向量为. 3. 已知函数，若存在，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数，，则， 设， ，则， 因为，得，所以，且， 所以，所以，得 所以. 4. 双曲线的两条渐近线的夹角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小. 【详解】双曲线的两条渐近线的方程为， 由直线的斜率为，可得倾斜角为， 的斜率为，可得倾斜角为， 所以两条渐近线的夹角的大小为， 故选：B. 5. 正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据上下底边长计算上下底外接圆的半径，通过侧棱长、上下底面外接圆半径的差计算棱台的高，联立方程求解外接球半径，根据计算结果. 【详解】设正四棱台的上下底面的中心分别为，，外接球的球心为，连接，，，，；过作下底面，垂足为，如图所示. 则，，. ，，. ，则. （1）当外接球的球心在棱台内部时，如图： 设，则. ，即，解得. ，即外接球的半径. 外接球的表面积. （2）当外接球的球心在棱台外部时，如图： 设，则. ，即，解得，不符合题意. 综上所述，正四棱台的外接球的表面积为. 6. 在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号衰减值（单位：分贝，dB），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，信号衰减值约减少为6dB，信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，则（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由距离从到时，信号衰减值约减少为6dB，可得，解出值，由信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，可得，化简即可求解. 【详解】由题可得当距离从到时，信号衰减值约减少为6dB， 可得：，解得：， 由于信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到 所以，则，解得， 故选：C 7. 在各项均不为零的数列中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，结合题意得，进而得为等差数列，再根据等差数列通项公式求解即可. 【详解】已知各项均不为零的数列满足， 两边同时除以得 设，则，故为等差数列. 因为，所以， 所以，数列的公差， 所以， 所以 8. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，进一步由可得，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式计算可得结果. 【详解】依题意则得 ， 即，所以,； 设，因为， 所以,，解得,； 因此 ,， 可得，结合图象可得，解得. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用点的位置特征以及向量关系式，得出两点的坐标关系式，再利用诱导公式以及二倍角公式计算可得结果. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性. 【详解】依题意，，，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项正确； B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误； C选项，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项正确； D选项，，所以，D选项错误. 故选：AC. 10. 已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在直线上，则直线与圆相交 B. 若点在圆外，则直线与圆相离 C. 若点在圆内，则直线与圆相离 D. 若点在圆上，则直线与圆相切 【答案】CD 【解析】 【分析】由点在直线上，得.由圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，判断A；由点在圆外，得，求圆心到直线的距离判断B；由点在圆内，得，求圆心到直线的距离判断C.由点在圆上，得，求圆心到直线的距离判断D. 【详解】对于A，由点在直线上，得，即. 此时由圆心到直线的距离，所以直线与圆相切,所以A错误； 对于B，由点在圆外，得，则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交.所以B错误； 对于C，点在圆内，得，则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离.所以C正确； 对于D，由点在圆上，得，求圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切.所以D正确. 故选：CD. 11. 已知的内角的对边分别为，，且，则下列选项中正确的有（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 的最大值为 D. 角的平分线交于点，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合题意并利用两角和的正切公式判断A，利用余弦定理结合重要不等式判断B，利用余弦定理结合基本不等式判断C，作出符合题意的图形，结合题意并利用换元法得到，最后利用导数并结合求解最大值即可. 【详解】对于A，因为， 所以， 则， 可得，得到， 由两角和的正切公式得，即， 由诱导公式得，解得， 因为，所以，故A错误， 对于B，由余弦定理得， 而，可得，由重要不等式得， 当且仅当时取等，则，解得， 由三角形面积公式得， 得到面积的最大值为，故B正确， 对于C，由已知得， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 得到，则， 可得，解得，故C正确， 对于D，如图，作出符合题意的图形，设， 因为是的角平分线，所以， 由等面积公式得， 化简得，即， 由已知得，即， 可得， 令，则，而， 则在上单调递增，得到， 即的最大值为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线是曲线在处的切线，则________． 【答案】0 【解析】 【详解】由得， 由题意得在处的切线斜率为，故，解得， 又切点坐标为，代入切线方程得，解得， 因此． 13. 椭圆的离心率为，且椭圆与直线相交于，两点，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据离心率以及得到的倍数关系，然后化简椭圆方程并联立直线与椭圆方程，利用韦达定理形式结合弦长公式表示出，由此求解出的值. 【详解】因为，所以，所以，， 所以椭圆方程为，设， 联立直线与椭圆方程得，消去y得， 所以， 由，得， 由弦长公式得：， 所以解得，满足，所以. 14. 某超市在春节期间举行抽奖活动，在箱子里装有个写有“秋绥”的小球和5个写有“冬禧”的小球，这些小球除文字外完全相同．顾客从中一次性抽取2个小球，恰好抽出1个“秋绥”和1个“冬禧”视为中奖，其余情况均未中奖．设在连续3次抽奖中（每次抽完后将小球放回箱子再进行下一次抽奖）恰好中奖1次的概率为，则当取到最大值时的值为________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据给定条件，求出单次中奖概率，再求出连续3次中奖1次的概率，构造函数并利用导数求解. 【详解】依题意，单次抽奖中奖的概率， 则连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率， 令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值， 因此当取最大值时，，解得或， 因为，所以， 所以当取到最大值时的值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某研发团队研发甲、乙两种无人机产品，现研发了3架甲种无人机和2架乙种无人机，从这5架无人机中随机抽取2架进行试飞测试，若甲种无人机试飞合格的概率为，试飞不合格的概率为，恰抽到架甲种无人机记为事件． （1）求； （2）若抽取的2架无人机中，是甲种无人机且试飞合格的架数记为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 【解析】 【详解】（1）从5架无人机中随机抽取2架共有种等可能的抽法，恰抽到1架甲种无人机的抽法有种，所以 ． （2）由（1）及随机抽样的等可能性， ，，． 的所有可能取值为0，1，2． 表示“抽到的2架都是甲种无人机且都试飞合格”，故 ． 有两种情形：①恰抽到1架甲种无人机且该机合格（另一架为乙种无人机）；②抽到的2架都是甲种无人机且恰有1架合格．所以 ． 由对立事件得． 所以的分布列为 0 1 2 的数学期望 ． 16. 已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列. （1）求的通项公式： （2）若为数列的前项和，求证：． 【答案】（1） （2） 由（1）可得，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 由，故单调递增，则， 又因为． 故，得证. 【解析】 【分析】（1）设出等差数列公差，利用基本量表示已知等量关系，建立方程求解可得； （2）由数列通项证明是等比数列，再利用公式法求和，结合表达式及条件，分析范围可得. 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以， 整理得，由，解得， ， 所以的通项公式为； 【小问2详解】 略 17. 已知，直线相交于点M，且它们的斜率之积是3. （1）求点M的轨迹C的方程； （2）过点能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由如下： 若能作出直线m，则直线m的斜率存在，设为k，设 则，两式相减得 整理可 ∵N是线段的中点，即， 故直线m的方程为，即， 将直线方程代入双曲线方程可得 ，此时直线与双曲线不相交． 故不能作出这样的直线m． 【解析】 【分析】（1）利用两点连线斜率公式整理可得到结果； （2）利用点差法可求得直线m的斜率，得直线m的方程，与C的方程联立可知，由此可知直线m不存在． 【小问1详解】 设， ∵，， ∴，整理得 即点M的轨迹C的方程． 【小问2详解】 略 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且．为边上的点． （1）求角； （2）若，，且，求线段的长； （3）若，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角恒等变换公式即可得解； （2）利用角平分线表示三角形面积，再结合余弦定理即可求出结果； （3）依题意先表示，然后将两边平方，结合数量积的运算律及基本不等式求出的最大值，再由面积公式计算可得. 【小问1详解】 由正弦定理可得，因为,,代入可得,中,所以,得 【小问2详解】 因为， 所以， 即，所以. 由余弦定理可得，,, ,可得,因为，所以. 【小问3详解】 因为，所以, 两边平方. 因为,所以, 由均值不等式可得, 所以，即，等号成立. 条件：,将其代入原式验证真实存在三角形，. 19. 设函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； （3）设，点是函数与的一个交点，且函数与在点处的切线互相垂直，求证：存在唯一的满足题意，且． 【答案】（1） （2） （3） 证明：因为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，，则， 当时，因为，所以， 所以，不合题意； 当时，因为，所以，所以， 所以在上单调递增， 故要使对任意的恒成立，只需， 即，得. 所以的取值范围为. 因为，， 且函数与在点处的切线互相垂直， 所以，即，① 又点是函数与的一个交点，所以，② 联立①②消去得，即 当，因为，所以，且，这与②式相矛盾， 所以在上没有满足题意； 当时，设， 则， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上至多有一个零点， 因为， ， 因为函数的图象在连续不断， 所以函数在上有唯一一个零点， 即只有唯一的， 使得成立，且， 综上所述：存在唯一的满足题意，且． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，根据直线方程的点斜式可得结果； （2）将问题转化为对任意的恒成立，令，求导后，对分类讨论，利用导数可求得结果； （3）根据导数的几何意义求出函数与在点处的切线的斜率，再根据切线垂直可得，根据点是函数与的一个交点，可得，消去可得，构造函数，利用导数可证结论成立. 【小问1详解】 当时，，， ，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数研究不等式恒成立问题，考查了利用导数研究函数的零点问题，考查了两条直线垂直的斜率关系，考查了零点存在性定理，考查了分类讨论思想，考查了等价转化思想，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $