福建省福州第四中学2025-2026学年高三第一学期第二次月考数学试卷

福州四中2025-2026学年第一学期第二次月考试卷 高三数学 一、选择题：（每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．已知等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知为三角形内部任一点（不包括边界），满足，则必定是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 5．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 7．已知，，，若，则下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 8．在中，，，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：（每题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9．设，，表示三个不同的平面，表示直线，则下列选项中，使得的是（ ） A．， B．， C．， D．， 10．设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A． B． C．最大时， D．的整数的最大值为 11．设函数，，则下列结论正确的是（ ） A．当时，在点处的切线方程为 B．当时，有三个零点 C．若有两个极值点，则 D．若在上有解，则正实数的取值范围为 三、填空题：（每题5分，共15分） 12．若双曲线焦点在轴上，渐近线为，则离心率为__________。 13．已知，则__________。 14．某个封闭圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为___________。 四、解答题：（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积． 16．（15分）如图，在中，，，是的中点，在上，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且二面角的大小为． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）已知抛物线：（）的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，且，线段中点的横坐标为． （1）求抛物线的方程； （2）若直线的倾斜角为锐角，为坐标原点，求外接圆的一般方程． 18．（17分）已知数列的前项和为，且（）． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若正整数，，成等差数列，且，试判断，，能否构成等比数列，并说明理由． 19．（17分）已知函数，其中． （1）求的单调区间； （2）若恒成立． （ⅰ）求实数的值； （ⅱ）判断方程的根的个数，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $福州四中2025-2026学年第一学期第二次月考试卷 高三数学参考答案 一、选择题： 1.B2.C3.A4.D5.C6.C7.A8.C 二、选择题： 9.BC 10.ABD 11.ACD 三、填空题： 3 20 12.2 13.29 14.5π 四、解答题： 15.解：(1)因为函数 )=sin(-+sm（+小-1=5mr+cosr-l=2a+君1 +2km≤x+6 令2 +2版.keZ, 62 2π+2km≤x≤+2ka 解得 keZ, 可得f(?)的单调递增区间为 2+2m骨+2 3 」(keZ). (2)由(1)可得 -4-引1-- A+π∈元7r） 因为4@，，所以1+6(66。 A+=πA= 所以62，故3. 因为a2=b2+c2-2 becosA,且a=7,c=8, 所以b2-8b+15=0,解得b=3或b=5. xosn-xk8x =6√3 当b=3时，△ABC的面积 2 2 =be.sin=x5xx -=10W3 当b=5时，△ABC的面积 2 2 故△ABC的面积为6V3或10W3 16.解：(1)证明：由题意得DE⊥BE,DE⊥AE,BEAA4E=E ·DE⊥平面AEB ∠AEB是二面角4-DE-B的平面角，∠4EB=60°， :EA=EB,·△BEA是等边三角形， 取BE中点O,连接OA,OC,CE,则BE L AO, BC=BE=CE,∴BE⊥OC, :OC∩OA=0.BE⊥AC (2)DE⊥EB,DE⊥AE EBOAE=E ∴.DE⊥BE,BE⊥OC,.DEIICO,.CO⊥AO .OC,OB,OA两两垂直， 以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-2，如图， 则40.0,3.C350,0）,D(5,-30）.E0,-3,0). EA=(0,335.4c=(350,-3W5.CD=(-5,-3,0 设平面4CD的一个法向骚为1=(5L-)】 设直线AE与平面ACD所成角为B, EA6万 sin= 67=7 则 EAR √7 :.直线AE与平面ACD所成角的正弦值为7. 17.解：(1)设A(乃)，B(x) B=25 17 因为 4,线段AB中点的横坐标为8， +龙=17 2 8 25 x+x2+卫= 所以 4,解得p=2, 则抛物线C的方程为y=4x； (2)易知直线1不与x轴重合，又F(,0),设直线1的方程为x=my+L, y2=4x 联立x=my+1,消去x并整理得y-4my-4=0, 由韦达定理得少+y2=4m 又+=(m+1)+(m+)=m(0y+)+2=4m2+2=7 m=3 所以 4, 3 m= 因为直线的倾斜角为锐角，所以4， 3 1m= 将4代入y2-4my-4=0中，解得y=-1或y=4, 设点A在x轴下方，此时 B(4,4)」 设△AOB外接圆的一般方程为X+y+Dx+E+F=0, F=0 D-E+F+ 4 10 16 所以4D+4E+F+32=0 D=-29 4 3 Es、 4 F=0 解得 2+y2-29.3 则△AOB外接圆的一般方程为 44y=0 18.解：(1)当n2≥2时，由S,=2a。-n-2(n∈N), 可得0，=S,-S1=(2a-n-2）-[2a-0n-)-2]=2a-2a1-1 +1=2 整理得.=2a1+1,即4+1=2(0+），所以a1+1 当n=1时，由S,=2a,-n-2(n∈N),可得4=24-3，解得4=3： 所以数列a,+1是首项4+1=4，公比为2的等比数列， 由等比数列的求和公式，可得0。+1=4×2-2 所以0n=2m1-1 (2)由(1)知，=2-1，可得。=，=n(21-)=n21-n. 设7=122+22+324++(n-1)-2”+n-2 则27=12+2.2+32+…+(m-1）-2+n22 两式相减，可得T=12+(2+2+…+2）-n-22 2(1-2-） =4+ -n-22=-4+(1-n）2+2 1-2 所以T=4+(n-1）-2*2 2=xg-a-.o04 2 2 (3)由题意，正整数m,r,k成等差数列，则2r=m+k, 若am，a,，a构成等比数列，则满足(a,)》=ama, 因为0，=21-1，可得2-1=21-)(24-1. 整理得2r2-2+2+1=2m+2-21-21+1,即2r+2-2+2=2m+2-2m1-21, 又因为2r=m+k,可得2”=2m,所以2=2m+2,即22=2”+2， 两边同除以2，可得2-"+1=2·2-m, 因为m<r<k,且m,r,k∈N,所以k-meN,r-m∈N, 所以2-m与2-m均为偶数，则2-m+1为奇数，22-m为偶数， 所以等式2-"+1=22-m不成立，所以am,a,a不能构成等比数列. f'(x)=0+1=x+a 19.解：(1) x,x>0. 当a≥0时，对x∈(0，+，f'(x)>0 所以f(:)的单调递增区间为(0，+切），无递减区间； 当a<0时，令f'()=0,得x=-a. 因为r∈(0，-0)时，f'()<0,x∈(-a+∞)时，f"()>0 所以f(0的单调递减区间为(0，-0)，单调递增区间为(a,+0）, 综上所述，当a≥0时，f(:)的单调递增区间为(0，+o）,无递减区间； 当a<0时，f()的单调递减区间为(0，-a),单调递增区间为a,+o)。 (2)(1)由(1)知，当a≥0时，f()的单调递增区间为0，+∞）， 所以当r∈(0,1)时，有f()大fK1)=0,不符合题意： 当a<0时，（的单调递诚区间为0，-），单调递增区间为(a,）, 所以 f)-f(-0)-dhn(-o)-a-l-ah(-a)-1-1) ◆创-h(-1<0.g)- g(x)与8()在区间(-0,0)上的情况如下： (-00,-1)） -1 (-1,0) g(x) 0 g(x) 递减 0 递增 所以8(x)≥g(-1)=0 as(,小(-10#.a(-小-1君0 。o- 所以a=-1; (i)方程f()=cos"有两个根，证明如下： ()-x-lnx-1-cosr(x>0)W(x)=1-+sins ox∈(0，l时，令o(=h(=1-+simo()=二 x∈(0,1)，p(x)>0,q(x)单调递增， P份)-1sm20.0=a1s0, 所以3x∈(0，).h(x)=0 (0,x) Xo (xo1) h(x) 0 h(x) 递减 0 递增 h(1)=-cosl<0.h(x)<h()<0.h(e2)=e2+1-cose2>0 所以h()在区间(0,1)上有一个零点. -ln-1>0 由(i)知2 国级阿上小 E2.由)x--1>0,or0双h心PD 所以h()无零点 )时，因为h()=x-lnr-1-cosx≥x-lnr-2 「3 且由)知y=x--2在l2to )上递增， h 经-2>}2-2=0 3-n 2 2 2 所以()无零点 综上可知函数h()有两个零点.