湖南省长沙市第一中学2027届高三上学期月考二数学试题

高三数学二 时量：120分钟 满分：150分 得分___________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则 A．1 B． C． D．2 2．已知集合，，则中的元素个数为 A．5 B．4 C．3 D．2 3．已知，且是偶函数，则 A． B． C． D． 4．的展开式中的系数为 A．240 B． C．60 D． 5．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧上的点，且，则的值为 A． B． C． D． 6．函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫作函数的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数……一般地，阶导数的导数叫作阶导数，函数的阶导数记为，例如的阶导数．若，则 A．100 B．5049 C．5050 D．5052 7．已知，，则的最小值为 A．1 B．4 C．8 D．16 8．双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线交于点，并与的右支交于点，，过点作与双曲线有相同焦点的椭圆，则该椭圆的离心率为 A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的有 A．数据2，5，7，9，10的第40百分位数是5 B．若随机变量，，则 C．已知随机事件与相互独立，且，，则 D．已知，，若，则 10．已知函数有三个不同的零点，，，其中，则 A． B．存在实数，使得，，成等差数列 C．的取值范围为 D． 11．已知正方体的棱长为6，，，分别为，，的中点，为正方形内一点（包含边界）．下列说法正确的是 A．经过，，三点的截面形状为四边形 B．点到经过，，三点的截面的距离为 C．存在点，使得点和点到平面的距离相等 D．三棱锥外接球的表面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若曲线在处的切线与曲线在点处的切线的倾斜角互补，则__________． 13．已知锐角的三个角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围为__________． 14．如果数列满足：，对任意，都有，，则称为“自然速增数列”．若数列为“自然速增数列”（，，，…，），且，，，则正整数的最大值为__________，使取得最大值的数列有__________个． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 已知数列的前项和为，且，等差数列满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 16．（本小题满分15分） 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，四棱锥的体积为，． （1）求证：平面； （2）是否存在点，使平面与平面所成的角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 17．（本小题满分15分） 一个箱子中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从箱子中随机取出1个球后放入2个与该球完全相同的球，按此规则连续操作3次． （1）求第2次操作取到的是白球的概率； （2）求第2次操作取到的是黑球，其余两次取到的是白球的概率； （3）记连续操作3次后箱子中白球的个数为，求的分布列和期望． 18．（本小题满分17分） 已知抛物线，为坐标原点，过点作斜率为的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． （1）求抛物线的方程； （2）记与的面积分别为，． （ⅰ）当，，，四点共圆时，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，，关于的不等式恒成立，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $