湖南省长沙市第十五中学2027届高三上学期9月素质评价数学试卷

长沙市第十五中学九月综合素质评价 数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设为虚数单位．若复数满足，则的值为（ ） A． B． C．1 D． 2．若函数，则的值域是（ ） A． B． C． D． 3．在中，，，．若于，则（ ） A． B． C． D． 4．若等比数列中的，是方程的两个根，则（ ） A． B．1015 C． D．1014 5．若，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别为，，，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为，，现从中任取一件，若取到的是次品的概率为，则推测丙车间的次品率为（ ） A． B． C． D． 7．已知非零向量，，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 8．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为．则下列结论错误的是（ ） A． B． C．数列是等比数列 D．的数学期望 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数（）相邻的最高点的距离为，则下列结论正确的是（ ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上的值域为 D．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，然后向左平移个单位得 10．已知定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的单调递增函数，则（ ） A． B．函数是偶函数 C．不等式的解集为 D．函数至少有四个极小值点 11．设，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．，，，…，中最大的是 D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知向量，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________． 13．某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有________． 14．函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）（1）已知数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式． （2）已知等差数列的公差，且，，，成等比数列． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设，记的前项和为，求证：． 16．（本小题满分15分）在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形，平面，，且，． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求线段的长． 17．（本小题满分15分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，的面积为，求； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围． 18．（本小题满分17分）已知椭圆经过点，离心率为1/2． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，为椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆与，两点，且，不在轴上． （ⅰ）若，求直线的方程； （ⅱ）为椭圆右顶点，直线，与直线分别交于点，，记直线，的斜率分别为，．证明为定值，并求出该值． 19．（本小题满分17分）已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若对任意正实数，恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：（，）． 学科网（北京）股份有限公司 $