3.5 课时3 切线的判定与性质 课时同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训川练 第三章圆 3.5点与圆、直线与圆的位置关系 课时3切线的判定与性质 课时目标 理解切线的判定定理与性质定理，掌握“连半径，证垂直”与“过切点作半径得垂 直”的基本思路。 2. 掌握“连半径、证垂直”的切线判定方法，能运用切线性质构造垂直。 3 能综合运用切线判定与性质，结合勾股定理、全等三角形解决相关问题。 课时目录 知识点01：切线的判定 知识点02：切线的判定方法 知识点03：切线的性质 知识点04：切线性质的应用 知识点05：切线判定与性质的结合应用 知识点06：切线与勾股定理、全等三角形的综合应用 知识点01：切线的判定 1/15 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。这是切线的判定定理。 例如：直线I过半径OA的外端A,且1LOA,则1是⊙O的切线。 注意：两个条件缺一不可一一既要在半径外端，又要垂直于该半径。 1.(2026宁夏中考真题)如图，△ABC内接于⊙0，AB是直径，∠ABC=40°，点D是⊙0上一点且与 点C位于4B两侧，D=D,过点D作DE1CB交CB的延长线于B,连接CD (I)求∠DCB的度数： (2)求证：DE是⊙O的切线， 2.(2026江苏无锡二模)如图，△MCB中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D,点O在斜边AB 上，以OA为半径的⊙O经过点D,交AC于点E,交AB于F,求证：BC为⊙O的切线： B 3.(2026江苏徐州二模)如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙0于点C,AD⊥OB于点D. AC是∠BAD的平分线， 2/15 C B (1)求证：AB是⊙O的切线： (2②)若⊙0的半径为6，∠AOB=45°，求CB的长. 4.(2026江苏徐州：二模)如图，点C在△0AB的边AB上，⊙0经过点C,且与OA,OB分别交于点 D,E,连接CD,CE.若AD=BE,四边形ODCE是菱形. (I)求证：△ADC≌aBEC: (2)求证：AB是⊙O的切线. 知识点02：切线的判定方法 证明某直线是圆的切线，常用“连半径，证垂直”：若直线过圆上一点，连接圆心与该点 得半径，再证直线垂直于这条半径。 例如：已知点P在⊙O上且OP⊥1，则1是切线。 注意：直线必须己知过圆上一点，否则改用“作垂直，证d=r”。 5.(25-26九年级上江苏盐城期末)如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以点O为圆心，OA长为半径 的圆交AB于点C,点D在边OB上，且CD=BD.判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由： 3/15 6.(2026江苏连云港模拟预测)如图，AB为⊙O的直径，C为O0上一点，连接AC,BC,P为AB 延长线上一点，连接CP,且∠BCP=∠A.求证：CP是⊙O的切线 分 7.(24-25九年级上江苏扬州期中)如图，AC是⊙0的直径，DB是⊙0的弦，DE⊥AB,垂足为E, 且∠EAD=∠CAD.求证：DE是⊙O的切线： C E B 8.(2425九年级上江苏扬州阶段检测)如图，在△ABC中，AB=BC,以△ABC的边AB为直径作⊙0， 交AC于点D.过点D作DE⊥BC,垂足为点E. D 0 B (I)试证明DE是OO的切线： 4/15 ②老o0的半径为5,4C=6i0,求△MBC 的面积. 知识点03：切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径。即若1是⊙O切线、切点为T,则OT⊥1。 例如：切线1切⊙0于T,则半径0T与1垂直。 注意：这是性质定理，常用于“切点就连半径得垂直”，是解题的重要辅助线作法。 9.(26-27九年级上江苏南京阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，⊙0的半径是1，直线AB: y=x+b与x轴交于点 (a,0 ,若直线4B与⊙0有公共点，则“的取值范国是 B 10.(2026江苏徐州模拟预测)如图，AB是⊙0的弦，PB与⊙O相切于点B,圆心O在线段PA上，已 知∠PAB=20°，则∠P的度数是 B 11,(25-26九年级上江苏南京期末)如图，⊙0是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F,连接 5/15 DE,FE.LB=60°，∠C=70°，则∠DEF=. D B 12.(25-26九年级上·江苏无锡阶段检测)如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙0的切线，CD与AB相交 于点E,DF∥AB,交CA的延长线于点F,CF=CD,求∠F的度数： 知识点04：切线性质的应用 已知切线时，常过切点作（或连接）圆的半径，立即得到垂直关系，从而构造直角三角形 解题。 例如：切线AB切⊙0于T,连接OT则∠OTA=90°，可结合勾股定理求线段。 注意：见到切点，第一时间连半径，这是常规辅助线。 13.(24-25九年级上江苏徐州阶段检测)如图，AB是⊙0的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA, OC交AB于点P.若∠BPC=70°，则∠ABC的度数等于() 6/15 A.60 B.65° C.70 D.75° 14.(24-25九年级上·江苏盐城期中)如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=20°，过点 C作圆O的切线，交AB的延长线于点D,则∠D的度数是 B 15.(24-25九年级上：江苏常州期末)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，AB是⊙0的直径，BE是⊙O 的切线，∠ACB的平分线交⊙O于点D,连接BD E D (I)判断∠CDB与∠CBE的数量关系并说明理由： 2)若AB=10,求BD的长. 16.(24-25九年级上江苏南京·阶段检测)【回归教材】 (1)苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点.点 B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？小明在完成此题解答后提出：如图2，若 BD、CE的交点为点O,则点A、D、O、E四点也在同一个圆上.请对教材原题或小明提出的问题进 行解答.（选择一个解答即可） 7/15 A E O D O M B M 图1 图2 图3 【灵活应用】 (2)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=5,线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作 AD的垂线，交射线AD于点E.若CD=2,则BE的最大值为 【拓展延伸】 (3)如图4，小明完成上面的问题后发现△ABC的两条高BD、CE相交于点O,连接AO并延长交 BC于点F.则AF为△ABC的边BC上的高.即三角形的三条高所在直线交于同一点.如图5，过圆 上一点C,仅用无刻度的直尺，能否画出己知直径AB的垂线？请画出图形并说明理由. E B B 图4 图5 知识点05：切线判定与性质的结合应用 综合切线的判定与性质，可证明直线与圆相切、求线段长度或角度。 例如：先证某线垂直于半径得切线，再用“切线⊥半径”构造直角求边长。 注意：判定用“垂直十过外端”，性质用“垂直”结论，二者方向相反，勿混用。 17.(2024江苏南京·三模)如图，菱形ABCD的顶点B,C,D在⊙0上，且AB与⊙O相切，若⊙0的 半径为I,则菱形ABCD的周长为 8/15 k 18.(2024江苏常州二模)如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=x(k>0:x>0）的图像上， 分别以点A、B为圆心，2为半径作圆，⊙A与y轴相切、⊙B与x轴相切，连接AB,若AB=4V2, 则k= B 19.(26-27九年级上·天津期中)已知△ABC内接于O0,AB=AC,∠BAC=42°，点D是⊙0上一点. D 图① 图② (I)如图①，若BD为OO的直径，连接CD,求∠DBC和∠ACD的大小： (2)如图②，若∠BCD=111°，过点D作⊙0的切线，与OC的延长线交于点E,求∠E的大小. 20.(25-26九年级上江苏泰州阶段检测)如图，己知AB为⊙0的直径，点D在O0上，弦CD交OB于 点E(不与点O、B重合)，F为AB延长线上一点，给出下列信息：①OD⊥AB;②CF=EF;③ CF为OO的切线 9/15 B (I)请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题.你选择 的条件是，结论是（只要填写序号)，并说明理由： (2)在(1)的条件下，若OE=1,B为EF的中点，求⊙0的半径. ■知识点06：切线与勾股定理。全等三角形的综合应用 切线问题常与勾股定理、全等三角形结合：利用切线⊥半径得直角，再用勾股定理列式， 或用切线长、公共边证三角形全等。 例如：切线与半径构成直角三角形后可求边长。 注意：优先构造直角三角形，全等需找对应边角相等条件。 21.(2026湖北：中考真题)如图，PA与⊙0相切于点A,连接P0并延长交⊙0于点B,连接AB.若 ∠B=24°，则∠P的度数是() A.42° B.48° C.56 D.66° 2,(2026饲南平项山三模)如因。在￥重百角丝标系本，点4Q2),点8在植正学轴上，过点44 的OP与x轴相切于点B,与y轴交于另一点C(在点A上方)，连接BA,BC,BP.若BC平分∠ABP, 则点B的坐标为() 10/15 P B A.(2,0) B.(22,0) c.(23,0) D.(3,0) 23.(2026安徽芜湖三模)AB是⊙0的弦，PB与⊙0相切于点B,圆心O在PA上，若∠P=40°，则 ∠PAB=°. B 24.(2026北京模拟预测)如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙0上，连接OC、AC,过点B作⊙0的 切线交OC的延长线于点D.若OC=CD,则∠ACO的大小为一· 课时训练 一、选择题 1.(25-26九年级上内蒙古呼伦贝尔期末)如图，PA,PB是⊙O的切线，点A,B是切点，点C为 ⊙0 ∠ACB=65°∠P 上一点，若 ,则的度数为() 11/15 A.70° B.50° C.40° D.20° 2.(25-26九年级上河南南阳期末)如图，在△ABC中，∠A=90°，0是BC上一点，以OB为半径作 ⊙0⊙0AC D BD∠ABD=25° ,∠C 与相切于点，连接， ,则等于() A.50° B.45 C.40° D.30° 3.(2026安徽淮北模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，DC与O0相切于点D,与AB的延长线交于点 C,连接AD,过点B作BE∥AD,交⊙0于点E,己知LC=20°，则∠EBC=() D B A.125° B.135 C.145° D.155° 4.(2026安徽宿州二模)如图，A为⊙0外一点，B为⊙0上一点，AC与⊙0相切于C点，OD⊥AB与 ⊙0 相交于D,与1B的延长线相交于A,连接CD,已知 CD,∠ODC=20° ∠A ,则“的度数为() 12/15 A.40° B.30° C.35° D.45° 二、填空题 5.(24-25九年级上吉林期中)如图，点A在⊙0上，射线CB与O0相切于点C,若∠ACB=20°，则 ∠A=_°. B 6.(2025浙江杭州一模)如图，⊙O的切线PA与直径CB的延长线交于点A,点P为切点，连接PC. 若∠A=20°，则∠C的度数为·°. 7.(2024黑龙江哈尔滨中考真题)如图，AB是⊙0的切线，点A为切点，连接OA,OB,若 ∠OBA=40°，则∠AOB= 13/15 8.(2026山东潍坊·一模)如图，在平面直角坐标系中，⊙M与y轴交于点A、B,与x轴相切于点C,点 -4,5) M的坐标为 ,则点A的坐标为 三、解答题 9.(24-25九年级上江苏镇江期中)如图1，在矩形ABCD中，边长AB=a,AD=b,其中 a,b(a<b) 分别是方程x2-7x+12=0的两个根，连接BD.点O从点C出发，沿CB向点B运动（到达点B停止运 动)，速度为1个单位每秒，设运动时间为秒. A D D A o C R 000 R (图1) (图2) (图3) (图4) (1)BD=」 (②)如图2，在运动过程中，以O为圆心，OC的长为半径作半圆，交射线CB于点Q,当1为时， 点O运动到△BDC的角平分线上，此时，半圆O与BD有怎样的位置关系，并加以说明. 3)如图3，在运动过程中，连接OD,将△ODC沿OD折叠，得到△ODP,连接BP,当BP取最小值 时，t为一，此时，AP的值为 4)如图4，当半圆O与△ABD的边有两个交点时，直接写出t的取值范围. 10.(24-25九年级上江苏扬州期中)对于平面内的点P和图形M,给出如下定义：以点P为圆心，”为 半径作圆.若OP与图形M有公共点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大值与最小值 的差叫做点P视角下图形M的宽度，记作w 14/15 M OE 图1 图2 图3 1)如图1,0为坐标原点， P(0,4)(-3,4),则o-0= ②如图2，在菱形ABCD中，A(20,B(6,0),∠CAB=60°，已知M0,v5),求4w黄m, 3)如图3, B(0-）.F在第一象限且纵坐标为2，H是线段F延长线上一点，且，r=35 则F的横坐标为，若点6为鞋负半轴上一动点，且点G的横绝标小于1，则4。的最大值为 15/15 2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第三章 圆 3．5 点与圆、直线与圆的位置关系 课时3 切线的判定与性质 ▌课时目标 1. 理解切线的判定定理与性质定理，掌握“连半径，证垂直”与“过切点作半径得垂直”的基本思路。 2. 掌握“连半径、证垂直”的切线判定方法，能运用切线性质构造垂直。 3. 能综合运用切线判定与性质，结合勾股定理、全等三角形解决相关问题。 ▌课时目录 知识点01：切线的判定 知识点02：切线的判定方法 知识点03：切线的性质 知识点04：切线性质的应用 知识点05：切线判定与性质的结合应用 知识点06：切线与勾股定理、全等三角形的综合应用 ▌知识点01：切线的判定 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。这是切线的判定定理。 例如：直线l过半径OA的外端A，且l⊥OA，则l是⊙Ｏ的切线。 注意：两个条件缺一不可——既要在半径外端，又要垂直于该半径。 1．（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案； （2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； （2）略 2．（2026·江苏无锡·二模）如图，中，，平分交于点，点在斜边上，以为半径的经过点，交于点，交于．求证：为的切线； 【答案】见解析 【分析】连接，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质，易证，从而，进而，根据切线的判定，即可求证； 【详解】证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ，即， 是的半径， 为的切线； 3．（2026·江苏徐州·二模）如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）要证是的切线，只需证明，即证，结合角平分线性质、直角三角形两锐角互余推导角度关系即可； （2）由、得为等腰直角三角形，求出长度，再用得． 【详解】（1）证明：， ， ， 平分， ， (半径)， ， ， 即， ， 又点在上， 是的半径， 是的切线． （2）解：由（1）知，即， ， 是等腰直角三角形， ， 半径， ， ， ． 4．（2026·江苏徐州·二模）如图，点C在的边上，经过点C，且与，分别交于点D，E，连接，．若，四边形是菱形． (1)求证：； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由菱形性质得且，进而推出，结合已知，用证明全等； （2）连接，由全等得，再结合菱形四边相等且，推出，得为等腰三角形，利用三线合一证，从而得为切线． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， 在和中： ． （2）证明：连接， 由（1）， ， 四边形是菱形，且、为的半径， ， ， 在中，，， ， 点在上，为半径， 是的切线． ▌知识点02：切线的判定方法 证明某直线是圆的切线，常用“连半径，证垂直”：若直线过圆上一点，连接圆心与该点得半径，再证直线垂直于这条半径。 例如：已知点P在⊙Ｏ上且OP⊥l，则l是切线。 注意：直线必须已知过圆上一点，否则改用“作垂直，证d＝r”。 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，点在边上，且．判断直线与的位置关系，并说明理由； 【答案】 解：直线与相切，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴直线与相切 【分析】连接，由等腰三角形的性质得，，进而由得到，即得到，即可求证； 【详解】略 6．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且．求证：是的切线． 【答案】 证明：如图，连接， 为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 为半径， ∴是的切线； 【分析】连接，根据圆周角定理得，利用直角三角形的性质得到，根据等腰三角形等边对等角得到，结合等量代换得到，即，即可证明结论； 【详解】略 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E，且．求证：是的切线； 【答案】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 【分析】（连接，先根据等腰三角形的性质可得，则可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； 【详解】略 8．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，以的边为直径作，交于点．过点作，垂足为点． (1)试证明是的切线； (2)若的半径为5，，求的面积． 【答案】(1) 证明：如图所示，连接、，    ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴D为中点， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等． （1）由直径所对的圆周角是直角可得，再由等腰三角形的性质可得D为中点，根据三角形中位线定理可得，由平行线的性质得，再根据切线的判定定理即可得证； （2）由（1）知，，利用勾股定理求得，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，点D为中点， ∴，     ∵的半径为5， ∴， ∴，     ∴． ▌知识点03：切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径。即若l是⊙Ｏ切线、切点为T，则OT⊥l。 例如：切线l切⊙Ｏ于T，则半径OT与l垂直。 注意：这是性质定理，常用于“切点就连半径得垂直”，是解题的重要辅助线作法。 9．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】直线与圆有公共点，考虑临界情况即直线与圆相切. 由直线解析式可知直线与轴夹角为，结合圆的半径构造等腰直角三角形求解的长，从而确定的取值范围． 【详解】解：直线的解析式为， 直线与轴正半轴的夹角为， 当直线与相切时，圆心到直线的距离等于半径， 设切点为，连接， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， 当直线与轴正半轴相交且相切时，，即， 同理，当直线与轴负半轴相交且相切时，，即， 直线与有公共点， 点在轴上介于两切点之间，则的取值范围是． 10．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上，已知，则的度数是________． 【答案】/50度 【分析】连接，由圆周角定理可得的度数，由切线的性质得到，再由直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴ ． 11．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，是的内切圆，切点分别为，连接．，，则______°． 【答案】65 【分析】本题主要考查的是切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理．连接，．由三角形内角和定理可求得，由切线的性质易求，由圆周角定理可求解． 【详解】解：如图所示，连接，． ，， ． 是圆的切线， ， 同理， ． ． ， 故答案为：65． 12．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，为的切线，与相交于点E，，交的延长线于点F，，求的度数. 【答案】 【分析】连接，根据为的切线，则，由，则，根据圆周角定理可得，又，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解； 【详解】解： 如图，连接OD， 为的切线， ， ， ， ， ， ． ▌知识点04：切线性质的应用 已知切线时，常过切点作（或连接）圆的半径，立即得到垂直关系，从而构造直角三角形解题。 例如：切线AB切⊙Ｏ于T，连接OT则∠OTA＝90°，可结合勾股定理求线段。 注意：见到切点，第一时间连半径，这是常规辅助线。 13．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，是的弦，点C在过点B的切线上，，交于点P．若，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角，切点的定义，直角三角形两锐角互余，根据，得到，，可得，结合进而得出最后的结论．正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点C在过点B的切线上， ∴， ∴． 故选C． 14．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，圆O是的外接圆，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，90度的圆周角所对的弦是直径，根据可得是的直径，则由圆周角定理可得，由切线的性质推出，据此根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，圆O是的外接圆， ∴是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，是的切线，的平分线交于点，连接． (1)判断与的数量关系并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1) ．理由如下： 是的直径， ． ． 是的切线， ． ． ． ． 又， ． ． (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键. （1）根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，由互余关系得，根据圆周角定理，即可得出结论； （2）连接，根据圆周角定理及等腰直角三角形的性质、勾股定理计算即可； 【详解】（1）略 （2）解：连接． 平分， ． ． ， ． ． 16．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，、是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？小明在完成此题解答后提出：如图2，若、的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【灵活应用】 （2）如图3，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为________． 【拓展延伸】 （3）如图4，小明完成上面的问题后发现的两条高、相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图5，过圆上一点C，仅用无刻度的直尺，能否画出已知直径的垂线？请画出图形并说明理由． 【答案】 （1）证明：点、、、四点也在同一个圆上；理由如下： 如图1：点是的中点．、的交点为点，点、、、四点也在同一个圆上．连接，， ， 、是△的高， △，△均为直角三角形， ， ， 点、、、四点也在同一个圆上； 点、、、四点在同一个圆上；理由如下： 如图2，连接，取的中点，连接，， 则， 、是△的高， △，△均为直角三角形， ， ， 点、、、四点在同一个圆上； （2） （3）如图所示，即为所求． 是的直径， ，即，， 根据三角形的三条高交于同一点可得：． ． ． 由（1）中的结论可得：点、、、在同一个圆上，如图所示． ． ， ． ∴． ． ， ，即． 【分析】（1）作辅助线构造直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到相等的线段，最后根据等量代换及圆的定义解答即可； （2）根据题意可知点是在以为直径的圆上运动，点是在以为圆心，以2为半径的圆上运动，所以当最大，最小，最大，再根据已知长度计算就可以． （3）先画出图形，根据是圆的直径可得出点是三条高的交点，进而得到；根据（1）中的结论可得点、、、在同一个圆上，则有，再结合点、、、在上，推出，等量代换，结合平行线的判定可证明，至此问题不难解答． 【详解】（1）略． （2）解：， ， 点是在以为直径的圆上运动， ，且是绕点旋转， 点是在以为圆心，以2为半径的圆上运动， ， 如图3，当与圆相切于点，且在外部时，最大，最小，最大， ， ， ， ， ∴ ， 此时，即的最小值为， ∵， 此时的最大值为． 故答案为：． （3）略． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、直角三角形斜边上的中线的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，正确画出图形、掌握并灵活运用四点共圆成为解题的关键． ▌知识点05：切线判定与性质的结合应用 综合切线的判定与性质，可证明直线与圆相切、求线段长度或角度。 例如：先证某线垂直于半径得切线，再用“切线⊥半径”构造直角求边长。 注意：判定用“垂直＋过外端”，性质用“垂直”结论，二者方向相反，勿混用。 17．（2024·江苏南京·三模）如图，菱形的顶点，，在上，且与相切，若的半径为，则菱形的周长为___．    【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质、三角形外角的性质、菱形的性质、含度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握知识点、作辅助线推理是解题的关键． 连接，根据切线的性质得出，再根据菱形的性质得出，再根据外角的性质，求出，根据含度角的直角三角形的性质，得出，根据勾股定理计算，再得出菱形的周长即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴菱形的周长， 故答案为：． 18．（2024·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数（，）的图像上，分别以点A、B为圆心，2为半径作圆，与y轴相切、与x轴相切，连接，若，则________． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，切线的性质，勾股定理，依据题意，可得，，再由，从而，进而得解．根据题意得到关于的方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，A的横坐标为2，B的纵坐标为2，得，， ， 或12 又， ． 故答案为：12． 19．（26-27九年级上·天津·期中）已知内接于，，，点是上一点． (1)如图①，若为的直径，连接，求和的大小； (2)如图②，若，过点作的切线，与的延长线交于点，求的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先利用等腰三角形性质和圆周角定理求出、，再结合直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等求解和． （2）连接，先求出相关圆周角和圆心角的度数，再利用切线性质和直角三角形性质求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴． 20．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知为的直径，点D在上，弦交于点E（不与点O、B重合），F为延长线上一点，给出下列信息：①；②；③为的切线 (1)请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是_，结论是_（只要填写序号），并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，B为的中点，求的半径． 【答案】(1)条件①②结论③ 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线； 条件①③结论② 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵为的切线， ∴． ∴，即， ∵， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∴； 条件②③结论① 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵为的切线， ∴． ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴； (2)3 【分析】（1）选择条件①②，证明结论③，连接，根据半径相等得出，根据得出，等量代换后得出，根据垂直定义得出，进而得出，即可得证； 选择条件①③，证明结论②，连接，根据半径相等得出，根据切线的性质得出，进而得出，根据垂直定义得出，进而得出，根据余角的性质和对顶角的性质即可得证； 选择条件②③，证明结论①，连接，根据半径相等得出，根据得出，等量代换后得出，根据切线的性质得出，进而得出，进而得出，即可得证； （2）设，则，，由（1）知：，，在中，根据勾股定理构建关于x的方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵B为的中点， ∴， 由（1）知：，， ∴在中，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的半径为． ▌知识点06：切线与勾股定理、全等三角形的综合应用 切线问题常与勾股定理、全等三角形结合：利用切线⊥半径得直角，再用勾股定理列式，或用切线长、公共边证三角形全等。 例如：切线与半径构成直角三角形后可求边长。 注意：优先构造直角三角形，全等需找对应边角相等条件。 21．（2026·湖北·中考真题）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理求出的度数，最后在中利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ． 22．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，过点A，B的与x轴相切于点B，与y轴交于另一点C（在点A上方），连接．若平分，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点D，求出．根据含角的直角三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：延长交于点D，如图1，则是直径． ∵与x轴相切于点B， ∴轴，即， ∴轴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴所对的圆心角的度数为， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 23．（2026·安徽芜湖·三模）是的弦，与相切于点B，圆心O在上，若，则_______． 【答案】25 【分析】连接，根据切线的定义得到，进而可求出，再根据圆周角定理得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 【答案】/30度 【分析】连接，由题意易得，，则有，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵过点B作的切线交的延长线于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，，是的切线，点，是切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理求出的度数，根据切线的性质得出，，然后根据四边形的内角和为求解即可． 【详解】解：连接、， ∵， ∴， ∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，是上一点，以为半径作，与相切于点，连接，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，平行线的判定与性质，三角形内角和性质，外角性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先连接，由与相切于点，得，又因为，则，整理得，最后由三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2026·安徽淮北·模拟预测）如图，是的直径，与相切于点D，与的延长线交于点C，连接，过点B作，交于点E，已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图：连接，利用切线的性质以及直角三角形的性质可得，利用圆周角定理以及平行线的性质可得，最后运用邻补角互补即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵与相切于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·安徽宿州·二模）如图，A为外一点，B为上一点，与相切于C点，与相交于D，与的延长线相交于E，连接，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，因为和都是的半径，所以是等腰三角形，可据此求出的度数．因为是的切线，所以根据切线的性质可得，即．因为，所以，在四边形中，根据四边形内角和，可求出的度数． 【详解】如图，连接， ∵和都是的半径， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴； ∵， ∴． ∴． 二、填空题 5．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，点A在上，射线与相切于点C，若，则___． 【答案】70 【分析】本题考查切线的性质，根据切线的性质，结合等边对等角进行求解即可． 【详解】解：∵射线与相切于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70． 6．（2025·浙江杭州·一模）如图，的切线与直径的延长线交于点，点为切点，连接．若，则的度数为______°． 【答案】35 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，先根据切线的性质求出，然后根据三角形内角和定理求出，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案：35． 7．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，是的切线，点为切点，连接，，若，则________． 【答案】/50度 【分析】本题考查切线的性质与三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键，根据切线的性质得到，从而得到，再根据三角形内角和即可得到答案． 【详解】解：∵是的切线， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（2026·山东潍坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，与y轴交于点A、B，与x轴相切于点C，点M的坐标为，则点A的坐标为_________． 【答案】 【分析】连接，过点M作于点E，由题意易得四边形是矩形，则有，然后根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，过点M作于点E，如图所示： ∵与x轴相切于点C， ∴轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点M的坐标为， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， ∴， ∴点A的坐标为． 三、解答题 9．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图1，在矩形中，边长，，其中分别是方程的两个根，连接．点从点出发，沿向点运动（到达点停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为秒． (1)______． (2)如图2，在运动过程中，以为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点，当为______时，点运动到的角平分线上，此时，半圆与有怎样的位置关系，并加以说明． (3)如图3，在运动过程中，连接，将沿折叠，得到，连接，当取最小值时，为______，此时，的值为______． (4)如图4，当半圆与的边有两个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)5 (2) (3)， (4)或 【分析】（1）先解一元二次方程，得到，根据矩形的性质，得到，利用勾股定理即可求解； （2）运用角一部分线性质定理得，可得是圆的切线，根据面积可求出，即可得到的值； （3）由折叠的性质得到，即，，当点O在运动过程中，的长度和的长度是固定不变的，由此可以得到当点B、P、D三点共线时，的长度最短，即有最小值，最小值为，此时，求出，，再利用勾股定理即可求的值； （4）根据题意，分为当半圆O与有2个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到t的取值范围． 【详解】（1）解：，即， 解得：， ∵边长，，其中分别是方程的两个根， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴, 故答案为：5； （2）解：如图，过点作垂足为点, ∵是的平分线， 又在矩形中， ， ∴ ∴ ∴是的切线，即与相切； 又， ∴， ∴，即 ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由折叠的性质得：， ∴， 点O在运动过程中， ∵的长度和的长度是固定不变的，如图， ∵， ∴当点B、P、D三点共线时，的长度最短，即有最小值，最小值为，此时，， 过点P作垂足为F点，于点T，如图， 所以，四边形是矩形， ∴ 由（1）知， 由（2）知， ∴， ∴，， 又 ∴ ∴, ∴； 在中，， ∴， 在中，． 故答案为：，； （4）解：如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有1个交点，即为切点，设切点为H，连接， 由（2）知，； 如图，当点Q与点B重合时，此时半圆O与的边有2个交点， 此时，为半圆O的直径， ∴， ∴， ∴当时，半圆O与有2个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，此时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有3个交点，设与半圆O的切点为M，连接， ∵， ∴， ∴当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，当半圆O与经过点A时，此时半圆O与的边有3个交点；连接， 设，由勾股定理得： ， 解得：， ∴， ∴， 如图，当点O与点B重合时，此时点O停止运动， ∴， ∴， ∴当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 综上，半圆O与的边有两个交点时，或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，切线的判定，矩形判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是画出图形，分类讨论． 10．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）对于平面内的点和图形，给出如下定义：以点为圆心，为半径作圆．若与图形有公共点，且半径存在最大值与最小值，则将半径的最大值与最小值的差叫做点视角下图形的宽度，记作． (1)如图1，为坐标原点，，，则_； (2)如图2，在菱形中，，，，已知，求； (3)如图3，，在第一象限且纵坐标为2，是线段延长线上一点，且，则的横坐标为_，若点为轴负半轴上一动点，且点的横坐标小于，则的最大值为_． 【答案】(1)1 (2) (3)6； 【分析】（1）根据定义可知，，据此求解即可； （2）当经过点D时，，当与相切时，，据此求出即可得到答案； （3）由题易知，再根据两点距离公式代入即可求出F横坐标，的最大值为的最大值，作点E关于x轴对称点，，进而得解． 【详解】（1）解：如图，连接， 根据题意可知表示以点O为圆心，r为半径作圆，与线段有交点时，r最大值和最小值的差， 当恰好经过点P时，r有最小值， ∵， ∴， 当恰好经过点Q时，r有最大值， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图，连接，过D作轴于点H，过M作于点K， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当与相切于点E时，延长交y轴于点F，过C作于点N，连接、， 同理可得，， ∴， ∵，， ， ∴， 由切线的性质可得， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴F的横坐标为6； 设， ∵，， ∴，， ∴， 作E关于x轴对称点，则，连接 ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最大值，即此时有最大值，最大值为的长 ∴， ∴最大值为， 故答案为：6；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，两点距离计算公式，菱形的性质，轴对称最短路径问题，圆的基本性质等等，正确理解定义是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $