3.1 圆的相关概念 课时同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第三章 圆 3．1 圆的相关概念 ▌课时目标 1. 理解圆、圆心、半径、直径、弦、弧、等圆、等弧的概念，掌握圆的集合定义。 2. 掌握弦、弧（半圆、优弧、劣弧）的区分与表示，能识别圆的基本元素。 3. 能在实际图形中运用圆的有关概念识别圆心、半径、弦、弧及与圆相关的角。 ▌课时目录 知识点01：圆的定义 知识点02：圆心、半径、直径的概念 知识点03：弦的概念 知识点04：弧的概念 知识点05：等圆与等弧的概念 知识点06：与圆有关的角的初步认识 ▌知识点01：圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，这个定点叫做圆心，定长叫做半径。 圆是到定点距离等于定长的点的集合。 例如：以Ｏ为圆心、半径为3的圆记作⊙Ｏ，圆上任意一点到Ｏ的距离都等于3。 注意：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 1．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径 【答案】C 【分析】根据圆中弦、直径、圆弧的定义逐一判断：弦是圆上两点的线段，直径是经过圆心的弦，所以直径属于弦，但弦不一定是直径；圆弧是圆上两点之间的曲线，不是线段；直径不仅要过圆心，两个端点还必须在圆上，由此判定只有C正确． 【详解】解：A选项，弦不一定过圆心，故弦不一定是直径，错误； B选项，圆弧是圆上两点间的曲线部分，不是线段，故该说法错误； C选项，直径是特殊的弦，故该说法正确； D选项，过圆心的线段端点不一定都在圆上，故不一定是直径，错误． 2．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，则，根据等边对等角与三角形内角和定理得到，，根据即可求出的度数． 【详解】解：连接，则， ∴， ， ∴． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，直径，是弦，，点P在上移动，点Q在上移动，且，长度的最大值是（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接，则是直角三角形，越长，则越短，当时，取得最小值，使用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ， 当最小时，最大， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， ， 4．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，为的直径，，为的弦，，连接，．若的半径为，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆的有关性质，三角形中线的性质，连接，设与交于点，证明，所以，又为中点，则有，然后求得，所以，故，则要使的面积有最大值，可以使的面积有最大值，所以当时，的面积有最大值，再由三角形面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 要使的面积有最大值，可以使的面积有最大值，所以当时，的面积有最大值，如图， ∴， ∴的面积的最大值为， 故选：． ▌知识点02：圆心、半径、直径的概念 圆心是圆的中心定点，用字母Ｏ表示；连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径（r），圆有无数条半径且都相等。 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径（d），直径是圆中最长的弦，d＝2r。 例如：半径5的圆，其直径为10。 注意：半径、直径都是线段，不是直线。 5．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是（   ） ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合解答即可． 【详解】解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上， ∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是②③． 对于①：正方形也是轴对称图形，但不会用于当作车轮，故排除； 对于④：该描述为垂径定理的内容，与题干信息无关联，故排除； 故答案为：C． 6．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知点在直径为6的上，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本性质：半径等于直径的一半． 点在圆上，是半径；根据直径求半径即可． 【详解】解：∵的直径为6， ∴半径． 故选：B． 7．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，是的直径，是上一点，，为延长线上一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查圆的半径性质、等腰三角形性质、三角形外角定理．解题关键是利用“半径相等”将转化为等腰三角形的腰，通过外角定理推导角的倍数关系；易错点是遗漏连接辅助线，或混淆外角与内角的关系． 首先连接，由，得是等腰三角形，故；其次由三角形外角定理，得；然后由，得是等腰三角形，故；最后再由外角定理，得． 【详解】解：连接，如图， ，， ， ， 而， ， ，， ， ， ． 故选：C． 8．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，的半径是1，点A、B在上，弦，则___________度． 【答案】60 【分析】本题考查了圆的基本性质和等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定是解决本题的关键． 根据题意可得，进而可证是等边三角形，即可求出的度数． 【详解】解：∵的半径是1， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：60． ▌知识点03：弦的概念 连接圆上任意两点的线段叫做弦。 弦是圆内部的线段，直径是通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦。 例如：在⊙Ｏ中，A、B是圆上两点，线段AB就是一条弦；若AB经过圆心Ｏ，则AB是直径。 注意：弦的两个端点都必须在圆上，弦是线段而非直线。 9．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧． A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理，运用直径的定义与性质即可判断①③⑤是否正确；运用“比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧” 即可判断②④是否正确；运用“在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧”即可判断⑥⑧是否正确；运用“圆上两点间的部分叫做圆弧”即可判断⑦是否正确．解题的关键是理解命题有题设和结论两部分组成． 【详解】解：直径是圆中最长的弦，故①正确； 弧不一定是半圆，故②错误； 直径是线段不是直线，故③错误； 半圆是弧，故④错误； 直径是弦，故⑤错误； 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故⑥错误； 圆上两点间的部分叫做圆弧，故⑦错误； ⑧∵在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧， ∴大小不等的圆中不存在等弧，该命题正确． ∴正确的命题是①⑧． 故选：A． 10．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④长度相等的弧的度数相等．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本概念，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．根据圆的基本概念，即可判断答案． 【详解】因为“直径是弦”是真命题，所以①正确； 因为“经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆”，所以②错误； 因为“三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等”是真命题，所以③正确； 只有在同圆或等圆中，长度相等的弧的度数才相等，所以④错误； 所以其中正确的有2个． 故选：B． 11．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，是直径，是弦，延长相交于点，且，，则________________． 【答案】57 【分析】本题考查的是圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形，利用等腰三角形及三角形外角的性质求解是解答此题的关键．连接，由可得出，故可得出的度数，根据三角形外角的性质求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，根据补角的定义即可得出结论． 【详解】解：连接， ，， ， ． 是的外角， ． ， ， ， ． 故答案为：57． 12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，为的直径，和是的两条弦，且，，求的度数． 【答案】的度数为． 【分析】本题考查平行线的性质，半径相等，三角形的外角性质．由平行线的性质，可得，由等边对等角求得，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． ▌知识点04：弧的概念 圆上任意两点间的部分叫做弧。直径将圆分成两条相等的弧，每一条叫做半圆。 小于半圆的弧叫做劣弧（用两个字母表示，如），大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示，如）。 例如：半圆是特殊的弧。注意：同一条弦所对的弧有两条，一条劣弧一条优弧。 13．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．在同一个圆中，直径是最长的弦 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．半圆是弧，弧也是半圆 【答案】A 【分析】本题考查了圆的相关概念，熟练掌握圆的相关概念是解此题的关键．根据圆的相关概念逐项分析即可． 【详解】解：A．在同一个圆中，直径是最长的弦，正确；     B．能够重合的弧是等弧，故不正确； C．直径是弦，但弦不一定是直径，故不正确；     D．半圆是弧，弧不一定是半圆，故不正确； 故选A． 14．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）有下面4个命题： ①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦； ④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理及圆的认识的知识，解题的关键是了解等圆、等弧、弦的定义，难度不大，属于基础题．利用等圆、等弧、弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①直径相等的两个圆是等圆，正确，是真命题； ②长度相等的弧是等弧，错误，是假命题； ③圆中最长的弦是通过圆心的弦，正确，是真命题； ④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不一定是等弧，错误，是假命题， 真命题有两个． 故选：B． 15．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤平面上任意三点能确定一个圆．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是圆的认识，根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断． 【详解】解：直径是弦，故①正确， 半圆是弧，故②正确， 半径相等的圆是等圆，故③正确， 同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故④错误， 平面上不共线的三点能确定一个圆，故⑤错误， 正确的各数为3， 故选：C． 16．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）下列说法中，正确的个数为（   ） ①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了等圆、等弧、弦的相关定义，利用等圆及弧、弦的概念对说法进行判断即可得到答案． 【详解】解：①面积相等的圆是等圆，故原说法正确； ②连接圆周上两点并通过圆心的线段是圆的直径，故原说法错误； ③等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，故原说法错误； ④连接圆上任意两点的线段叫作弦，半径不是弦，故原说法错误； ⑤连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是最长的弦，故原说法正确； ⑥等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，即等弧所在的圆一定是等圆或同圆，故原说法正确 ∴正确的说法有①⑤⑥，共3个． 故选：C． ▌知识点05：等圆与等弧的概念 能够完全重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，等弧不仅长度相等，弯曲程度也相同。 例如：半径都是4的两个圆是等圆；长度相同但来自不同半径圆的弧不一定是等弧。 注意：长度相等的弧未必是等弧。 17．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）下列说法中，不正确的是（  ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．等弧的长度一定相等 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键． 根据直径、弦、弧、等圆和等弧的定义和性质，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、过圆心的弦是圆的直径，这是直径的定义，则A正确； 选项B、在同一个圆中，当弦为直径时，所对的两条弧相等，且都为半圆，其他情况下一条弦所对的两条弧，是一条优弧和一条劣弧，两条弧不相等，因此同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，则B错误； 选项C、根据圆的周长公式半径，周长相等的圆，半径也相等，为等圆，则C正确； 选项D、等弧能完全重合，长度一定相等，则D正确； 故选：B． 18．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．弧是半圆 B．直径是弦 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径 【答案】B 【分析】本题考查了圆的相关性质，解题的关键是掌握圆的弦、弧、直径等知识，依次判断即可． 【详解】解：A、圆上任意两点间的部分是弧，所以弧不一定都是半圆，故此选项错误，不符合题意； B、圆上任意两点间的线段是弦，所以直径是弦，故此选项正确，符合题意； C、只有在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才是等弧，故此选项错误，不符合题意； D、圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径所在的直线，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 19．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．所有半径都相等 B．过圆心的直线是圆的直径 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的基本概念（半径、直径、对称性、等弧），熟练掌握这些概念的定义及限制条件是解题的关键． 根据圆的基本概念（半径、直径、对称性、等弧）的定义，逐一分析每个选项的正误． 【详解】解：半径相等仅在同圆或等圆中成立，否则不一定相等，A选项错误； 直径是通过圆心且两端点在圆上的线段，而过圆心的直线是无限延伸的，不是直径，B选项错误； 圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且绕圆心旋转180度后与自身重合，故 圆既是轴对称图形又是中心对称图形，C选项正确； 等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，仅长度相等不一定是等弧，D选项错误． 故选：C． 20．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．弦是直径 B．长度相等的两条弧一定是等弧 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．半圆是弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、弧、等弧和对称轴的定义，掌握知识点是解题的关键．正确理解弦、直径、弧、等弧和对称轴的定义是解题关键，注意细节区别． 根据圆的基本概念，包括弦、弧、等弧和对称轴的定义，逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：∵ 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦，但并非所有弦都是直径，∴ A错误； ∵ 等弧要求长度相等且在同圆或等圆中，仅长度相等不一定构成等弧，∴ B错误； ∵ 圆的对称轴是直径所在的直线，而直径是线段，不是直线，∴ C错误； ∵ 半圆是圆的一条弧，其度数为180°，∴ D正确． 故选D． ▌知识点06：与圆有关的角的初步认识 顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫做圆周角；圆心到弦的垂线段长度叫做弦心距。 例如：∠AOB顶点在圆心Ｏ，是圆心角；∠ACB顶点在圆上，是圆周角。 注意：弦心距是距离（线段长），不是线段本身；圆周角必须两边都和圆相交。 21．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）小兰从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，图中的度数为 _______． 【答案】 【分析】本题考查了周角的定义，等分图形的角度计算方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题目中明确青铜太阳轮的正面图形是将圆五等分，因此要求的角就是把周角平均分成份后每份的角度，即可得出的度数为． 【详解】解：由题意得正面图形是将圆五等分， ． 故答案为：． 22．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角，圆的性质，等腰三角形的性质，解题的关键掌握相关知识．由，可得，再根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 即弦所对的圆心角的度数是， 故答案为：． 23．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 24．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是______． 【答案】/60度 【分析】连接、，证明为等边三角形得到即可． 【详解】解：如图，连接、，    直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】根据圆的基本概念逐一判断各说法的正确性． 本题考查了圆的基本概念，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ①半圆是圆上任意直径的两个端点之间的部分，是弧的一种，正确； ②直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，是弦的一种，正确； ③长度相等的两条弧必须在同圆或等圆中才能称为等弧，否则不一定重合，错误； ④圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，正确； ⑤　弦连接圆上两个不同点，，最大弦为直径， ∴，正确。 ∴ 正确的是①②④⑤， 故选：B． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，中，，，以为圆心、为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的有关概念，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，先求得，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，再根据与互余求解即可，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的性质与判定，可证明是等边三角形，得到，再根据圆的面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，线段的和差，解题的关键是熟练掌握以上性质． 连接，根据矩形的性质得出相等的边和直角，利用勾股定理和线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：C． 二、填空题 5．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是⊙O的直径，弦于点E，若，，则的半径为______． 【答案】5 【分析】设的半径为r，则，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的半径为r， ∵是⊙O的直径，， ∴，， ∵，， ∴在中，， 解得，故的半径为5． 6．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，是的直径，点在上，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键，先证明得出，再利用直径所对圆周角是90度得出，即可求解． 【详解】解：在中，，     在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）用半径为2圆心角为的扇形纸片剪一个正方形，则所剪正方形的最大面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，正方形的性质，勾股定理，分类讨论，当正方形的两个顶点在半径上，一个两点在弧上时，当正方形的三个顶点在半径上，一个顶点在弧上时，分别求得正方形的面积，设正方形边长为，①先表示出，勾股定理求得，②求得，进而在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设正方形边长为， ①如图所示，当正方形的两个顶点在半径上，两点在弧上时， 根据对称性可得， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴ ∴， 在中， ∴ 解得： ②如图所示，当正方形的三个顶点在半径上，一个顶点在弧上时， ∵，则 ∴， ∵ ∴，， 在中，，， ∵， ∴， 解得：． ∵ ∴正方形的最大面积为 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点C．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角，圆的半径相等，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，由已知可得，设，，则由根据三角形外角性质列方程即可求解． 【详解】解：连接， ， ， 设， 则， ， ， ， ， 则的度数为． 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，是的直径，A为延长线上一点，点E在上，，交于点B，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆的基本性质（同圆半径相等），等腰三角形的性质和三角形外角定理，正确作出辅助线，利用圆的半径相等得到等腰三角形，再结合三角形外角性质，将已知角与所求角建立联系，通过方程求解是解题的关键． 连接，由，得到，则，得，由得，由得，由，代入即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故的度数为． 10．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知的直径，是的弦，，垂足为M．若，求弦的长． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当弦在靠近点C的一侧时；当弦在靠近点D的一侧时；连接、，由直径为10得出半径为5，根据线段比得出的长，由，由勾股定理得出长，再用勾股定理求长． 【详解】解：分以下两种情况： 当弦在靠近点C的一侧时，如图，连接、， ∵直径， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 当弦在靠近点D的一侧时，如图，连接、， ∵直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，弦的长为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训川练 第三章圆 3.1圆的相关概念 课时目标 理解圆、圆心、半径、直径、弦、弧、等圆、等弧的概念，掌握圆的集合定义。 掌握弦、弧（半圆、优弧、劣弧）的区分与表示，能识别圆的基本元素。 3 能在实际图形中运用圆的有关概念识别圆心、半径、弦、弧及与圆相关的角。 课时目逯 知识点01：圆的定义 知识点02：圆心、半径、直径的概念 知识点03：弦的概念 知识点04：弧的概念 知识点05：等圆与等弧的概念 知识点06：与圆有关的角的初步认识 【知识点01：圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，这个定点叫做圆心，定长叫做 半径。 圆是到定点距离等于定长的点的集合。 1/10 例如：以O为圆心、半径为3的圆记作⊙0，圆上任意一点到0的距离都等于3。 注意：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 ● 1.(26-27九年级上江苏扬州阶段检测)下列说法中，正确的是() A.弦是直径 B.圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C.直径是弦 D.过圆心的线段是直径 2。(2026江苏莲云港中考真题)如图，扇形O1B,点C在B上.若∠40B=60 则<4C 的度数是 () 00 B A.150° B.140° C.130° D.120° 3.(2425九年级上江苏南京阶段检测)如图，在⊙0中，直径AB=4,BC是弦，∠ABC=30°，点P 在BC上移动，点Q在⊙0上移动，且OP1P№，P吧长度的最大值是() B A.4 B.2 C v3 2/10 4.(25-26九年级上江苏南通期末)如图，AB为⊙0的直径，CA,CD为⊙0的弦，CA=CD,连接 BC BDO BCD .若的半径为，则 的面积的最大值为() A.55 B.12.5 C.10W2 D.15 知识点02：圆心半径、直径的概念 圆心是圆的中心定点，用字母0表示；连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径()，圆 有无数条半径且都相等。 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径(d)，直径是圆中最长的弦，d=2。 例如：半径5的圆，其直径为10。 注意：半径、直径都是线段，不是直线。 5.(25-26九年级上江苏苏州阶段检测)《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的 木质车辆.对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具.生活中，车轮通常的形状是圆形. 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是() ①圆是轴对称图形： ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等： ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上： ④圆中垂直于弦的直径平分弦. 3/10 古代车轮 现代车轮 A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 6.(25-26九年级上：江苏南京期中)已知点A在直径为6的⊙0上，则0A的长度是() A.2 B.3 C.4 D.6 7.(25-26九年级上江苏连云港期中)如图，CD是⊙0的直径，E是⊙0上一点，∠A=24°，A为DC 延长线上一点，且AB=OC,则∠DOE的度数是() A.48° B.60° C.72° D.84° 8.(25-26九年级上江苏泰州阶段检测)如图，⊙0的半径是1，点A、B在⊙0上，弦AB=1,则 ∠AOB= 度」 知识点03：弦的概念 连接圆上任意两点的线段叫做弦。 弦是圆内部的线段，直径是通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦。 例如：在⊙O中，A、B是圆上两点，线段AB就是一条弦；若AB经过圆心O,则AB是 直径。 注意：弦的两个端点都必须在圆上，弦是线段而非直线。 4/10 B 9.(25-26九年级上·江苏南通阶段检测)下列命题中正确的是() ①直径是圆中最长的弦.②弧是半圆.③过圆心的直线是直径.④半圆不是弧.⑤直径不是弦.⑥长 度相等的弧是等弧.⑦圆上两点间的部分叫做弦.⑧大小不等的圆中不存在等弧 A.①⑧ B.②⑦ C.③⑤ D.④⑥ 10.(24-25九年级上·江苏连云港期中)有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆：③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等：④长度相等的弧的度数相等.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.(24-25九年级上江苏徐州期中)如图，在⊙0中，AB是直径，CD是弦，延长AB,CD相交于点P, 且AB=2DP,∠P=19°，则∠AOC= 12.(25-26九年级上江苏南京阶段检测)如图，AC为⊙0的直径，AB和CD是⊙0的两条弦，且 AB∥CD,∠BAC=35°，求∠AOD的度数. B 知识点04：弧的概念 圆上任意两点间的部分叫做弧。直径将圆分成两条相等的弧，每一条叫做半圆。 小于半圆的弧叫做劣弧（用两个字母表示，如AB),大于半圆的弧叫做优弧（用三个字 5/10 母表示，如ACB)。 例如：半圆是特殊的弧。注意：同一条弦所对的弧有两条，一条劣弧一条优弧。 0 13.(24-25九年级上江苏盐城期中)下列说法中，正确的是() A.在同一个圆中，直径是最长的弦 B.长度相等的弧是等弧 C.弦是直径 D.半圆是弧，弧也是半圆 14.(24-25九年级上江苏扬州阶段检测)有下面4个命题： ①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦；④一条弦 把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 15.(24-25九年级上江苏扬州·阶段检测)下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是 等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤平面上任意三点能确定一个圆.其中正确的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 16.(24-25九年级上：江苏徐州阶段检测)下列说法中，正确的个数为() ①面积相等的圆是等圆：②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最 长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点05：等圆与等弧的概念 能够完全重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧 叫做等弧，等弧不仅长度相等，弯曲程度也相同。 例如：半径都是4的两个圆是等圆；长度相同但来自不同半径圆的弧不一定是等弧。 注意：长度相等的弧未必是等弧。 17.(25-26九年级上江苏连云港·期中)下列说法中，不正确的是() A.过圆心的弦是圆的直径 B.同一条弦所对的两条弧一定是等弧 6/10 C.周长相等的两个圆是等圆 D.等弧的长度一定相等 18.(25-26九年级上：江苏无锡·阶段检测)下列说法正确的是() A.弧是半圆 B.直径是弦 C,等弧就是长度相等的两条弧 D.圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径 19.(25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中)下列说法正确的是() A.所有半径都相等 B.过圆心的直线是圆的直径 C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D.长度相等的两条弧是等弧 20.(25-26九年级上·四川绵阳期中)下列说法中，正确的是() A,弦是直径 B.长度相等的两条弧一定是等弧 C.圆的每一条直径都是它的对称轴 D.半圆是弧 几知识点06：与圆有关的角的初步认识 项点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫做圆周角；圆心到弦的 垂线段长度叫做弦心距。 例如：∠AOB顶点在圆心O,是圆心角：∠ACB顶点在圆上，是圆周角。 注意：弦心距是距离（线段长），不是线段本身：圆周角必须两边都和圆相交。 21.(25-26九年级上·新疆乌鲁木齐阶段检测)小兰从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示)，发现它 的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，图中“的度数为 7/10 22.(24-25九年级上广东广州阶段检测)如图，在⊙0中，已知∠0AB=50°，则弦AB所对的圆心角的 度数是」 23.(24-25九年级上浙江丽水期中)在⊙0中，弦4B=3,圆心角∠40B=60°，则⊙0的半径为一 24.(23-24九年级上江苏连云港阶段检测)直径为20cm的⊙0中，弦AB=10cm,则弦AB所对的圆心 角是 课时训练 一、选择题 1.(25-26九年级上广东东莞·期中)给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是 等弧：④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A,B是半径为cm的⊙0上两个 不同的点，则弦AB的取值范围是0cm<AB≤6cm.其中，正确的是() A.②③④⑤ B.①②④⑤ C.①③④⑤ D.①②③⑤ 2.(25-26九年级上吉林长春期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，以C为圆心、CB为半 径的圆交AB于点D,则∠ACD的度数为() 8/10 A.40° B.45° C.50° D.55 3.(25-26九年级上江苏常州阶段检测)如图，在⊙0中，∠A0B=60°，弦AB的长为4，则⊙0的面积 为() 0 B A.3π B.16π C.8π D.9π 4.(25-26九年级上江苏宿迁阶段检测)如图，OA是⊙0的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重 合)，过点B作OA的垂线交圆O于点C,以OBBC为边作矩形OBCD,连接BD,若 BD=10,BC=8,则AB的长为() B A.8 B.6 C.4 D.1 二、填空题 5.(26-27九年级上江苏宿迁阶段检测)如图，AB是⊙0的直径，弦CD1AB于点E,若BE=9, CE=3⊙O ,则的半径为一 C A 6.(25-26九年级上山东济宁阶段检测)如图，AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0上，AC=AD, ∠AOD=70°，则∠BC0=_ 9/10 B 0 D 7.(25-26九年级上江苏南京阶段检测)用半径为2圆心角为60°的扇形纸片剪一个正方形，则所剪正方 形的最大面积为 8.(25-26八年级上·江苏无锡阶段检测)如图，⊙O的直径AB的延长线与弦ED的延长线交于点C.若 DC=OE,∠AOE=117°，则∠C的度数为- E D C B 三、解答题 9.(25-26九年级上·江苏南通阶段检测)如图，CD是⊙0的直径，A为DC延长线上一点，点E在⊙0 上，∠OED=54°，AE交⊙0于点B,且AB=0C,求∠A的度数. 10.(25-26九年级上江苏南通阶段检测)已知⊙0的直径CD=10,AB是⊙0的弦，AB⊥CD,垂足为 M.若OM:OC=3:5,求弦AC的长. 10110