3.4 课时2 圆周角定理的推论 课时同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训川练 第三章圆 3.4圆周角 课时2圆周角定理的推论 课时目标 理解圆周角定理的推论（同弧或等弧所对圆周角相等）。 2. 掌握“90°圆周角所对弦是直径”的逆用结论。 3 能综合运用圆周角定理及其推论求角度、转化圆周角与圆心角并进行证明。 课时目逯 知识点01：圆周角定理的推论 知识点02：90°圆周角所对的弦是直径 知识点03：圆内同侧等弧所对圆周角相等的应用 知识点04：利用圆周角定理及其推论求角度 知识点05：圆周角与圆心角的转化计算 知识点06：圆周角定理在证明与计算中的应用 知识点01：圆周鱼定理的推论 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。 1/13 因为同弧所对圆心角相同，圆周角都等于该圆心角的一半。 例如：⊙O中AB所对的所有圆周角∠ACB、∠ADB都相等。 注意：要求“同弧或等弧”，且必须在同圆或等圆中才成立。 D C 1.(25-26九年级下·江苏宿迁·阶段检测)新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦. D D 图1 图2 (I)如图1，AB,AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E.求证：四边形 ADOE是正方形： (2)如图2，弦AB与弦CD交于点E,OD⊥OA,OC⊥OB」 ①求证：AB,CD是⊙O的等垂弦： ②连接BD,若CE=3,0C=v质 ,求BD 的长度， 2.(24-25九年级上江苏南京·阶段检测)如图，若△ABC所在平面内有一点D,满足∠CAB=∠CDB, BC=BD,利用尺规求作点D(不写画法，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑) B 3.(25-26九年级上江苏扬州阶段检测)如图，A,B,C,D是⊙0上的四点，且AD=BC, 2/13 E 0 D (I)求证：AB=CD, (2)设AB与CD交于点E.求证：DE=BE. 4.(25-26九年级上·江苏宿迁·期末)尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕 迹.) C iA ① ② ()如图①，点A、O在直线I上，⊙0交直线I于BC两点，在BC上方的圆弧上找一点P,使得 ∠A0P=45°： (②)如图②，点A、O在直线I上，⊙0交直线I于B、C两点，在BC上方的圆弧上找一点P,使得 ∠AP0=45° 知识点02：90圆周鱼所对的弦是直径 半圆（直径）所对圆周角是直角的逆命题也成立：90°的圆周角所对的弦是圆的直径。 例如：若⊙0中∠ACB=90°，则弦AB必为⊙O的直径。 注意：这是直径所对圆周角为直角的逆用，常用于判定某弦为直径或证明三点共线。 5.(26-27九年级上江苏泰州阶段检测)如图，⊙A过原点0，分别与x轴、y轴交于点C和点D,点B 在⊙A上，已知∠B=30°，⊙A的半径为4，则圆心A的坐标是一· 3/13 B ·A 6.(26-27九年级上江苏泰州阶段检测)如图，AC⊥BD,垂足为点C,AC=6,BC=4,点M是平 面内的一个动点，且满足∠MAC=∠MCD,则线段BM的最大值为 D 7.(2026江苏南通·二模)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲 为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，⊙0的直径为25寸，矩形ABCD内接 于⊙0，若AB=7寸，则BC=寸 D d B 8.(2026江苏泰州二模)四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°. D D C 图1 图2 (1)如图1，经过A、B、C三点作⊙0，求证：点D在O0上； 4/13 (2)如图2，连结AC、BD,若AC⊥BD,求证：AB=AD 知识点03：圆内同侧等弧所对圆周鱼相等的应用 圆内位于同侧且相等的弧，所对的圆周角相等，这一性质可用于角度相等关系的证明。 例如：若AB=CD且位于同侧，则它们所对圆周角相等，可据此推导角相等。 注意：要确认弧确实相等且对应圆周角位置恰当，避免错配弧。 9.(2026江苏徐州三模)如图，在O0中，弦AB,CD交于点E,连接AD,BC.若∠A=50°， ∠AED=100°，则∠B=() A.30° B.40° C.50° D.60° 10.(2026江苏无锡二模)如图，AB为⊙0的直径，点C,D是⊙0上的两点，∠D=50°，则∠ABC的 大小为() C A B D A.40° B.50° C.60° D.70° 1Ⅱ.(2026-江苏泰州二模)如图，四边形BCD内接于O0,ADBC,AB≠BC,B+G⑦=BC+D 弦AC与BD交于点E.若AB=8,设点O到点E的距离为d,则d的取值范围是 5/13 B D 12.(25-26九年级上江苏泰州阶段检测)如图，AB是⊙0的直径，弦CD交AB于点E,∠ACD=60° ,∠ADC=50°，求∠CEB的度数. E B 知识点04：利田圆周角定理及其推论求角度 已知圆心角、弧或同弧上其他圆周角，可利用定理及其推论求未知圆周角或圆心角。 方法是先找“同弧”，再用“圆周角=2圆心角”“同弧圆周角相等”。 例如：已知∠AOB=120°，则同弧圆周角为60°。 注意：求角前先明确所求角对着哪条弧。 13.(2026江苏扬州一模)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，作直径BD,若∠BAC=40°，则∠DBC 为() D A.40° B.50° C.60° D.70° 14.(2026江苏常州一模)如图，点A、B在O0上，点C是劣弧AB的中点，若∠A0C=50°，则 ∠CDB的度数为—°. 6/13 B 15,(2026江苏徐州一模)如图，4B是0的弦，点C是 的中点，连接 MOC,AC,BC,若 ∠BAC=28°，则∠AOC=° 16.(25-26九年级下江苏扬州期中)如图，AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0上，∠ABC=25°，则 ∠BDC的度数为 知识点05：圆周鱼与圆心角的转化计算 圆中角度计算常在圆周角与圆心角之间转化：同弧所对圆周角是圆心角的一半，或圆心角 是圆周角的两倍。 例如：圆周角为35°，同弧圆心角为70°。 注意：转化必须基于“同一条弧”，且圆心在弧所对的同一侧，否则对应关系不成立。 17.(2026江苏盐城二模)如图，AB是⊙0的直径，若∠ACD=35°，则∠BOD的度数为() 7/13 D A.55 B.70° C.110° D.140° 18.(2026江苏扬州·一模)如图，点A、B在O0上，点C是劣弧AB的中点，∠CDB=40°，则∠A0C 为 B D 19.(25:26九年级上江苏盐城期末)如图，CD是O0的直径，点AB在O0上.若C=BC ∠A0C=32°，则∠D=°. B 20.(2026江苏盐城二模)如图，点A,B,C均在⊙0上，若∠ACB=56°，则∠A0B的度数为一 B 知识点06：圆周角定理在证明与计算中的应用 圆周角定理及其推论常用于证明角相等、线段关系，以及计算圆中未知角。 8/13 例如：证明两角相等，可证它们同对一段弧；计算角可借直径得直角。 注意：证明时先指明“同弧所对”，再引用定理，确保推理有据。 21.(2025·江苏盐城一模)如图，⊙0是正方形ABCD的外接圆，若BC=4,则⊙0的半径是() D B A.2W2 B.2 c. D.25 22.(24-25九年级上：江苏宿迁期末)如图，AB是⊙0的直径，AC是⊙0的弦，AB=2,∠BAC=30°， 若点D在⊙O上，且∠BAD=60°，则CD长为 、 23.(25-26九年级下江苏泰州阶段检测)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,连接AC, AD.若∠BAC=26°，则∠D的度数是 D E B 24.(24-25九年级上江苏无锡期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=2, ⊙0是△ABC的外接圆.求OO的半径和BC的长 9/13 B 课时训练 一、选择题 1,(2026江苏南京模拟预测)如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB,AC交于点D,E,若 A=70，则DE 的度数为() A E B A.20° B.30° C.40° D.50° 2.(2026江苏南京·一模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=AD,BE是直径，若 ∠A=70°，则∠ABE的度数为() E A.55° B.40° C.38 D.35 3。(2023江苏苏州模拟预测)如图，4B是O 的直径，4 是弦，点D为C中点，过D作4C BC 的垂线， 垂足为E,若AB=10,AC=8,则线段DE的长为() 10/13 D B O A25 B.4 C.3 D V5 4,(2026江苏南通一模)如图，以AB为直径画半圆，点C为半圆的中点，连接AC,BC,点E在弦 BC上，∠BB-CB,过点日作B的重线交1G的延长线于点D,则是的值为《） CE C E A B A专 2-3 2+V5 B.2 C.2 D.2 二、填空题 5.(25-26九年级上江苏扬州阶段检测)如图，若AB是⊙0的直径，CD是⊙0的弦，∠ABD=55°，则 ∠BCD= 0 D A B 6.(25-26九年级上江苏南京期末)如图，AB为⊙0的直径，点C,D在⊙0上.若∠ABC=60,则∠D 的度数为」 11/13 B 7.(25-26九年级上江苏苏州期中)如图，OA是⊙0的半径，以0A为直径的⊙C与⊙0的弦AB相交于 点D,则AD BD(填“>”或“=”或“<”). B 8.(2026江苏连云港模拟预测)如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当 长为半径画弧，交BA于点M,交BC于点N,分别以点M,N为圆心，大于2MW的长为半径画弧，两 弧在∠ABC的内部相交于点D,画射线BD,连接AC.若LCAB=40°，则∠CBD的度数是一 D MO 三、解答题 9.(2026江苏盐城中考真题)如图1所示的LOG0标志由正方形和圆构成.如图2，正方形ABCD的边 AB,BC分别为⊙E,OF的直径，OB经过点F,点G,H,K是⊙B,⊙F,OE两两的公共点. A D 1937-2022 中图人民大学 建校85周年 Renmin University of China 85th Anniversary 图1 图2 12113 )求G示 的度数： (②)探究：仅用直尺在图2中画出一条15°的弧，请用符号表示该弧，并说明理由. 10.(2026江苏南京·一模)如图①，在半径为10的⊙0中，弦AB=12,点P在优弧AB上，过点P作 PC⊥A B分别交O0、弦MB于点C、D.连接PB,过点A作AE LPB分别交OO、弦PBPC于点 E、F、G. 0● 0中 E E G B B C C ① ② (I)如图②，当PC为⊙0的直径时，求CD的长： (②)求证：CD=GD: (3)当点P运动时，关于PG的长的描述，正确的是 A.PG的长随PC的增大而增大 B.PG的长随PC的增大而减小 C.PG的长随PC的增大先增大后减小 D.PG的长随PC的增大而不变 13/13 2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第三章 圆 3．4 圆周角 课时2 圆周角定理的推论 ▌课时目标 1. 理解圆周角定理的推论（同弧或等弧所对圆周角相等）。 2. 掌握“90°圆周角所对弦是直径”的逆用结论。 3. 能综合运用圆周角定理及其推论求角度、转化圆周角与圆心角并进行证明。 ▌课时目录 知识点01：圆周角定理的推论 知识点02：90°圆周角所对的弦是直径 知识点03：圆内同侧等弧所对圆周角相等的应用 知识点04：利用圆周角定理及其推论求角度 知识点05：圆周角与圆心角的转化计算 知识点06：圆周角定理在证明与计算中的应用 ▌知识点01：圆周角定理的推论 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。 因为同弧所对圆心角相同，圆周角都等于该圆心角的一半。 例如：⊙Ｏ中所对的所有圆周角∠ACB、∠ADB都相等。 注意：要求“同弧或等弧”，且必须在同圆或等圆中才成立。 1．（25-26九年级下·江苏宿迁·阶段检测）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． (1)如图1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形； (2)如图2，弦与弦交于点，，． ①求证：，是⊙的等垂弦； ②连接，若，，求的长度． 【答案】(1) 证明：∵，是的等垂弦，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，是的等垂弦， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴矩形是正方形； (2) ①证明：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴、是的等垂弦． ②． 【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形是正方形； （2）①连接，由圆心角、弦的关系及全等三角形的判定和性质可得，由圆周角定理可得，，可得结论； ②连接并双向延长交于点F，交于点G，根据题意得出为等腰直角三角形，再由垂直平分线的判定和性质得出，利用平行线的判定和性质及全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②连接并双向延长交于点F，交于点G，如图所示： 由①得，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，若所在平面内有一点D，满足，，利用尺规求作点D（不写画法，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑） 【答案】 如图，点D为所作． 【分析】本题考查了作图，复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．先作和的垂直平分线，它们相交于点O，再以O点为圆心，为半径作，然后以B点为圆心，为半径画弧交于点D，根据圆周角定理得到． 【详解】略 3．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，，，，是上的四点，且． (1)求证：； (2)设与交于点．求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ， ，即 ∴； (2) 连接， ， ， ． 【分析】此题考查了圆周角定理，弧、弦之间的关系、等角对等边等知识， （1）根据弧、弦之间的关系得到，根据弧的和差求出即可得出结论； （2）根据圆周角定理得到，再根据等角对等边即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹．） (1)如图①，点在直线上，交直线于两点，在上方的圆弧上找一点，使得； (2)如图②，点在直线上，交直线于两点，在上方的圆弧上找一点，使得 【答案】(1) 点P即为所求； (2) 点P即为所求． 【分析】本题考查了作垂线，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）作的垂直平分线，与交于点，再以点为圆心，以为半径，画弧交的垂直平分线，于点，连接，交于点P，因为，所以，即，即可作答． （2）以点为圆心，为半径画圆，交于点P，由（1）得由得，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 ▌知识点02：90°圆周角所对的弦是直径 半圆（直径）所对圆周角是直角的逆命题也成立：90°的圆周角所对的弦是圆的直径。 例如：若⊙Ｏ中∠ACB＝90°，则弦AB必为⊙Ｏ的直径。 注意：这是直径所对圆周角为直角的逆用，常用于判定某弦为直径或证明三点共线。 5．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． 【答案】 【分析】如图，连接，证明为的直径，可得，，，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵的半径为4， ∴，，， ∴，， ∵为的中点， ∴，即． 6．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，垂足为点，，，点是平面内的一个动点，且满足，则线段BM的最大值为__________． 【答案】8 【分析】先证明点M在以为直径的圆上，取的中点O，连接并延长交于点，B，O，三点共线，此时的值最大，据此求解即可． 【详解】如图，，， ， ∵， ∴， ， ∴点M在以为直径的圆上， 取的中点O，连接并延长交于点，B，O，三点共线，此时的值最大， ， ， ∴在中，， ，即的最大值为8． 7．（2026·江苏南通·二模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 【答案】 【分析】连接，由矩形的性质得，即得是的直径，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是的直径， ∴寸， ∵寸， ∴(寸)． 8．（2026·江苏泰州·二模）四边形中，． (1)如图1，经过、、三点作，求证：点在上； (2)如图2，连结、，若，求证：． 【答案】(1)证明：连接， ，且经过、、三点， 为直径， ， 点在上． (2)证明：取中点O，连接，， ∵， ∴ ， 垂直平分 ． 【分析】（1）连接，由，且经过、、三点，得到为直径，再根据，得到点在上． （2）取中点O，连接，，由直角三角形斜边中线得到，即可得到垂直平分，得到． 【详解】（1）略 （2）略 ▌知识点03：圆内同侧等弧所对圆周角相等的应用 圆内位于同侧且相等的弧，所对的圆周角相等，这一性质可用于角度相等关系的证明。 例如：若且位于同侧，则它们所对圆周角相等，可据此推导角相等。 注意：要确认弧确实相等且对应圆周角位置恰当，避免错配弧。 9．（2026·江苏徐州·三模）如图，在中，弦，交于点，连接，．若，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同弧对等角和对顶角相等推出和的度数，最后根据内角和定理即可求出度数． 【详解】解：由图可知，，， ，， ，， ． 10．（2026·江苏无锡·二模）如图，为的直径，点C，D是上的两点，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用圆周角定理得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，最后利用直角三角形两锐角互余计算即可． 【详解】解：连接， ， ， 为的直径， ， ． 11．（2026·江苏泰州·二模）如图，四边形内接于，，，，弦与交于点．若，设点到点的距离为，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】连接，以为直径作，点在以为直径的上运动，且在圆内接四边形的内部，分别求出与重合时，最小值；与重合时，最大值即可得出取值范围. 【详解】解：连接，以为直径作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在以为直径的上运动，且在圆内接四边形的内部， ∴与重合时，最小，； 与重合时，最大，， ∴. 12．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点E，，，求的度数． 【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角等于，求出，再根据外角的性质得出的度数． 【详解】解：连接． ， ， ， 是的直径， ， ， ，， ． ▌知识点04：利用圆周角定理及其推论求角度 已知圆心角、弧或同弧上其他圆周角，可利用定理及其推论求未知圆周角或圆心角。 方法是先找“同弧”，再用“圆周角＝圆心角”“同弧圆周角相等”。 例如：已知∠AOB＝120°，则同弧圆周角为60°。 注意：求角前先明确所求角对着哪条弧。 13．（2026·江苏扬州·一模）如图，是的内接三角形，作直径．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，最后根据直角三角形的两锐角互余即可得解． 【详解】解：，， ， 是的直径， ， ． 14．（2026·江苏常州·一模）如图，点A、B在上，点C是劣弧的中点，若，则的度数为____． 【答案】 【分析】由点是劣弧的中点，得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， 则， ∵点C是劣弧的中点， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 15．（2026·江苏徐州·一模）如图，是的弦，点C是的中点，连接，若，则_______． 【答案】56 【分析】根据，利用等弧所对的圆周角相等，得到，再根据圆周角定理，得出，即可作答． 【详解】解：是的中点， ， ， ． 16．（25-26九年级下·江苏扬州·期中）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数为_____________． 【答案】65 【分析】由是的直径，得，而，则，然后由所对应的圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ， ∴， 又∵所对应的圆周角相等， ∴． ▌知识点05：圆周角与圆心角的转化计算 圆中角度计算常在圆周角与圆心角之间转化：同弧所对圆周角是圆心角的一半，或圆心角是圆周角的两倍。 例如：圆周角为35°，同弧圆心角为70°。 注意：转化必须基于“同一条弧”，且圆心在弧所对的同一侧，否则对应关系不成立。 17．（2026·江苏盐城·二模）如图，是的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理可求出的度数，再利用平角定义求出． 【详解】解：∵ 是的直径 18．（2026·江苏扬州·一模）如图，点、在上，点是劣弧的中点，，则为___________． 【答案】 【分析】根据等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对圆心角的一半求解即可． 【详解】解：点是劣弧的中点， ， ， ， ． 19．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的直径，点A，B在上．若，，则___ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理． 先连接，根据等弧所对的圆心角相等得，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（2026·江苏盐城·二模）如图，点 ， ， 均在上，若，则的度数为____． 【答案】/112度 【详解】解：，， ． ▌知识点06：圆周角定理在证明与计算中的应用 圆周角定理及其推论常用于证明角相等、线段关系，以及计算圆中未知角。 例如：证明两角相等，可证它们同对一段弧；计算角可借直径得直角。 注意：证明时先指明“同弧所对”，再引用定理，确保推理有据。 21．（2025·江苏盐城·一模）如图，是正方形的外接圆，若，则的半径是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，90度的圆周角所对的弦是直径，先根据正方形的性质和勾股定理求出的长，再由90度的圆周角所对的弦是直径得到是的直径，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴是的直径， ∴的半径为， 故选：A． 22．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是的直径，是的弦，，，若点D在上，且，则长为 ________． 【答案】1或2 【分析】本题考查了圆周角定理，含度的直角三角形的性质，度的圆周角所对的弦是直径，运用分类讨论思想是解题的关键．分两种情况：当点D在上时；当点D在上时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当点D在上时，如图： ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在上时，如图： ∵，， ∴， ∴是的直径， ∴； 综上所述：或2， 故答案为：1或2． 23．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则的度数是___________． 【答案】 【分析】根据直角三角形可知，进而根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴, ∵， ∴, ∴． 24．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图， 在 中， ， ， ， 是 的外接圆． 求的半径和的长． 【答案】的半径为， 【分析】本题考查了三角形外接圆、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据题意可得是的直径，，进而求得半径，根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴是的直径， ∴ ∴的半径为 在中，． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，以为直径的半圆分别与交于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，在中利用内角和定理求出的度数，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴的度数为， 故选：C. 2．（2026·江苏南京·一模）如图，四边形是的内接四边形，，是直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质．先连接，利用等腰三角形的性质求出，然后连接，结合圆周角定理求出，进而求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴是等腰三角形． ∵， ∴． ∴． ∵是直径， ∴， ∴． 3．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，是的直径，是弦，点D为中点，过D作的垂线，垂足为E，若，，则线段的长为（   ） A． B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】连接，相交于点F，证四边形是矩形，得，，由点D为中点，得，根据勾股定理得，则． 【详解】解：连接，相交于点F， ∵是的直径，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点D为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．（2026·江苏南通·一模）如图，以为直径画半圆，点C为半圆的中点，连接，，点E在弦上，，过点B作的垂线交的延长线于点D，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设半圆的圆心为，连接，过点作于点，先求出，在中，令则；在中，，;令，则，由得出，代入到中即可求解． 【详解】解：设半圆的圆心为，连接，过点作于点， 点C为半圆的中点， ， ， ， ， 为半圆的直径， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 设则, , 令，则， ， , , ． 二、填空题 5．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，若是的直径，是的弦，，则___________°． 【答案】35 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识．连接．首先证明，求出即可解决问题． 【详解】解：连接． 是直径， ， ， ， ， 故答案为：35． 6．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为____________°． 【答案】30 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，先根据直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得． 【详解】解：为直径， ， ， ， ∵， ． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的半径，以为直径的与的弦相交于点D，则________（填“>”或“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 连接，根据半圆或直径所对的圆周角是直角得到，然后根据垂径定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ． 故答案为：． 8．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键． 由圆周角定理得到，由直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可求得答案． 【详解】解：∵是半圆O的直径， ， ∵， ， 由题意得，为的平分线， ． 故答案为：． 三、解答题 9．（2026·江苏盐城·中考真题）如图1所示的标志由正方形和圆构成．如图2，正方形的边，分别为，的直径，经过点，点，，是，，两两的公共点． (1)求的度数； (2)探究：仅用直尺在图2中画出一条的弧，请用符号表示该弧，并说明理由． 【答案】(1)的度数为； (2)解：如图，即为所作． 连接，，， ∵正方形的边，分别为，的直径， ∴，， ∴， ∴点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为， ∴即为所作． 【分析】（1）连接，，证明是等边三角形，据此即可求解； （2）连接，，，，证明点共线，推出，，据此即可得到的度数为． 【详解】（1）解：连接，， 由题意得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的度数为； （2）略 10．（2026·江苏南京·一模）如图①，在半径为10的中，弦，点在优弧上，过点作分别交、弦于点、．连接，过点作分别交、弦于点、、． (1)如图②，当为的直径时，求的长； (2)求证：； (3)当点运动时，关于的长的描述，正确的是_____． A．的长随的增大而增大 B．的长随的增大而减小 C．的长随的增大先增大后减小 D．的长随的增大而不变 【答案】(1)2 (2) 证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)D 【分析】（1）根据垂径定理勾股定理求解即可； （2）连接，导角证明，利用等角对等边求得，再利用等腰三角形的性质即可证明； （3）作直径，连接，，，，证明四边形是平行四边形，推出，在中，利用勾股定理求得，得到，据此判断即可． 【详解】（1）解：连接， ∵为的直径，， ∴， ∵的半径为10， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； （2）略 （3）解：作直径，连接，，，， 在中，，， ∴点是的垂心， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴ ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴的长随的增大而不变． / 学科网（北京）股份有限公司 $