3.3 圆的对称性 课时作业 2026-2027学年苏科版数学 九年级上册

**基本信息** 同步练习以“基础巩固-能力提升-拓展探究-中考链接”分层，覆盖圆的对称性、圆心角弧弦关系、垂径定理，通过概念辨析、计算推理、实际应用递进，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|圆的对称性、垂径定理基础计算|选择填空辨析概念，解答题训练“半径-弦心距-半弦”模型| |B组|圆心角弧弦关系、分类讨论|结合平行弦距离、动态弦长考查推理能力| |C组|垂径定理与坐标系、最值问题|通过坐标交点、对称转化培养空间观念| |D组|中考实际应用|以拱桥问题、取值范围强化应用意识与数据观念|

苏科版 九年级上册　第3章 圆　3.3 圆的对称性 课时作业 第3章 圆　3.3 圆的对称性 （苏科版·九年级上册）课时作业 · 含知识梳理、典型例题、分层作业与详细解析 班级：____________　　姓名：____________　　学号：________　　得分：________ 一、学习目标 1．经历探索圆的中心对称性、旋转不变性和轴对称性的过程，理解圆的对称性。 2．理解圆心角的概念，掌握“在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系”。 3．理解并掌握垂径定理及其推论，能用它们进行计算和证明。 4．会构造“半径、弦心距、半弦”组成的直角三角形解决实际问题，体会分类讨论思想。 二、知识梳理 知识点1　圆的中心对称性与旋转不变性 （1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 （2）圆绕圆心旋转任意角度后都能与自身重合，这就是圆的旋转不变性。 （3）顶点在圆心的角叫做圆心角。 （4）1°的圆心角所对的弧叫做 1°的弧；圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 知识点2　圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：① 前提“在同圆或等圆中”不能省略；② 弦所对的弧有两条，“弦相等”推出的“弧相等”是指劣弧与劣弧、优弧与优弧分别相等。 知识点3　圆的轴对称性与垂径定理 （1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 （3）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 （4）如图1，若直径 于 ，则 ，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。 图1　垂径定理 知识点4　垂径定理的常用计算模型 设圆的半径为 ，弦长为 ，弦心距（圆心到弦的距离）为 ，弓形高为 ，则 　　，　（劣弧所在弓形）或 （优弧所在弓形）。 已知 、、、 中的任意两个量，就可以求出其余两个量。常用方法：“连半径、作弦心距，构造直角三角形”，必要时设未知数，用勾股定理列方程。 三、典型例题 例1　⊙O 的半径为 10，弦 ，求圆心 到 的距离。 【解答】作 于 ，连接 ，由垂径定理得 。 在Rt△OAC 中，，即圆心到 的距离为 6。 例2　如图，、、、 是⊙O 上的四点，且弧AB=弧CD。求证：。 例2图 【证明】∵ 弧AB=弧CD，∴ 弧AB+弧BC=弧CD+弧BC，即弧AC=弧BD， ∴ （在同圆中，相等的弧所对的弦相等）。 例3　如图，一座圆弧形拱桥的跨度 m，拱高 m（ 为 中点，），求这座拱桥所在圆的半径。 例3图 【解答】设圆心为 ，半径为 m。由垂径定理的推论知，直线 经过圆心 ， m， m。 在Rt△OAD 中，，即 ， 整理得 ，解得 。答：这座拱桥所在圆的半径为 10 m。 例4　⊙O 的半径为 5，、 是⊙O 的两条弦，，，，求 与 之间的距离。 例4图 【解答】圆心到 的距离 ，圆心到 的距离 。 （1）当 、 在圆心的同侧时，距离为 ； （2）当 、 在圆心的两侧时，距离为 。 所以 与 之间的距离为 1 或 7。 【点评】两条平行弦的位置关系不确定时，要分“同侧”和“异侧”两种情况讨论。 例5　如图， 是⊙O 的直径，弦 于点 ，，，求⊙O 的半径。 例5图 【解答】连接 ，设半径为 ，则 。由垂径定理得 。 在Rt△OCE 中，，解得 。所以⊙O 的半径为 5。 四、易错警示 1．说“圆的对称轴是直径”是错误的，对称轴是直线，直径是线段，应说“直径所在的直线”。 2．“平分弦的直径垂直于弦”必须加上条件“弦不是直径”，因为任意两条直径都互相平分。 3．使用“圆心角、弧、弦”关系时，不能丢掉“在同圆或等圆中”。 4．求平行弦间距离、弓形高等问题时，易漏解，要注意分类讨论。 五、课时作业 A组　基础巩固 一、选择题 1．下列说法中，正确的是（　　） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 D．垂直于弦的直径平分这条弦 2．⊙O 的半径为 5，圆心 到弦 的距离为 3，则 的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 3．如图， 是⊙O 的直径，弦 于点 ，则下列结论中不一定成立的是（　　） 第3题图 A． B．弧BC=弧BD C． D． 4．在⊙O 中，弧AB=2弧CD，则弦 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 5．在半径为 4 的⊙O 中，弦 所对的圆心角 ，则 的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 6．如图，⊙O 的直径 ，弦 于点 ，，则 的长为（　　） 第6题图 A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题 7．圆有________条对称轴；圆绕圆心旋转________角度都能与自身重合。 8．在⊙O 中，，，则 ________。 9．⊙O 的半径为 13，弦 ，则圆心到 的距离为________。 10．⊙O 中，弦 ，圆心 到 的距离为 3，则⊙O 的半径为________。 11．如图， 是⊙O 的直径，弦 于点 ，，，则 ________。 第11题图 12．在⊙O 中，弦 所对的劣弧的度数为 100°，则 ________°，弦 所对的优弧的度数为________°。 三、解答题 13．如图，、 是⊙O 的两条弦，， 于 ， 于 。求证：。 第13题图 14．如图，两个圆都以点 为圆心，大圆的弦 交小圆于 、 两点。求证：。 第14题图 15．如图，一条圆柱形排水管的截面直径为 10 dm，管内水面宽 dm（水面低于圆心），求水的最大深度 。 第15题图 B组　能力提升 16．⊙O 的半径为 5， 是⊙O 内一点，，则过点 且长度为整数的弦共有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 17．⊙O 的半径为 10，弦 ，，，则 与 之间的距离为________。 18．如图， 是弧AB 的中点， 交弦 于点 ，，，则⊙O 的半径为________。 第18题图 19．如图， 是⊙O 的直径，弦 与 相交于点 ，，，，求 的长。 第19题图 C组　拓展探究 20．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心为 ，半径为 5，求⊙P 与 轴、 轴的交点坐标。 第20题图 21．如图， 是⊙O 的直径，，点 在⊙O 上，，点 是弧AN 的中点， 是直径 上的动点，求 的最小值。 第21题图 D组　中考链接 22．（生活应用）某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为 12 m，拱顶高出水面 4 m。现有一艘宽 4 m、船舱顶部为长方形并高出水面 3.5 m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由。 23．已知⊙O 的直径为 10，弦 ， 是弦 上的一个动点，则 的取值范围是________。 【课堂小结】 1．圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，还具有旋转不变性。 2．同圆或等圆中，圆心角、弧、弦“知一推二”。 3．垂径定理的基本图形：半径、弦心距、半弦构成直角三角形；“知二求二”，常用方程思想和分类讨论思想。 六、参考答案与解析 A组　基础巩固 1．D　【解析】A缺少“在同圆或等圆中”；B缺少“弦不是直径”；C对称轴应是直径所在的直线；D是垂径定理，正确。 2．C　【解析】，∴ 。 3．D　【解析】由垂径定理得 ，弧BC=弧BD；又 公共，，∴ △ACE≌△ADE（SAS），∴ ；只有 需要 为 中点，不一定成立。 4．C　【解析】取弧AB 的中点 ，连接 、，则弧AE=弧BE=弧CD，所以 。在△ABE 中，，即 。 5．B　【解析】，，△OAB 是等边三角形，。 6．B　【解析】，，连接 ，，。 7．无数；任意 8．3　【解析】在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等。 9．5　【解析】。 10．5　【解析】。 11．2　【解析】连接 ，，，，。 12．100；260　【解析】圆心角的度数等于它所对弧的度数；优弧度数为 。 13．证明：∵ ，∴ （同圆中相等的圆心角所对的弦相等）。 ∵ ，，∴ ，，∴ 。 在Rt△AOE 和Rt△COF 中，，，∴ Rt△AOE≌Rt△COF（HL），∴ 。 14．证明：过点 作 于点 。 在大圆中，由垂径定理得 ；在小圆中，由垂径定理得 。 ∴ ，即 。 15．解：连接 ，由题意知 于 ， dm， dm。 在Rt△OAD 中，（dm），∴ （dm）。答：水的最大深度为 2 dm。 B组　能力提升 16．C　【解析】过 的最长弦是直径 10，最短弦是垂直于 的弦，长为 。所以过 的弦长范围是 ，长为 8 和 10 的弦各1条，长为 9 的弦有2条（关于 对称），共4条。 17．2 或 14　【解析】圆心到 的距离为 ，到 的距离为 。同侧时距离为 ，异侧时距离为 。 18．10　【解析】由垂径定理的推论知 ，。设半径为 ，则 ，，解得 。 19．解：，半径 ，。 作 于 ，连接 。在Rt△OEF 中，（对顶角），∴ 。 在Rt△ODF 中，，∴ 。 C组　拓展探究 20．解：过 作 轴于 ，则 ，。设⊙P 与 轴交于 、，由垂径定理得 ， ∴ 与 轴的交点为 、。 过 作 轴于 ，则 ，，与 轴的交点到 的距离为 ， ∴ 与 轴的交点为 、。 综上，⊙P 与坐标轴的交点为 、、。 21．解：作点 关于 的对称点 ，由圆的轴对称性知 在⊙O 上，且 。 连接 交 于点 ，此时 最小。 ∵ 点 是弧AN 的中点，∴ ，∴ 。 在Rt△A′OB 中，，。∴ 的最小值为 。 D组　中考链接 22．解：能顺利通过。理由：设拱桥所在圆的半径为 m，由 解得 。 货船宽 4 m，当船居中时，船舱边缘到拱桥中轴线的距离为 2 m，此处拱桥高出水面的高度为 （m）。 ∵ ，∴ ，∴ 货船能顺利通过这座拱桥。 23．　【解析】 最小时 ，； 最大时 与 或 重合，。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $