3.7 课时1 弧长及扇形面积 课时同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第三章 圆 3．7 扇形 课时1 弧长及扇形面积 ▌课时目标 1. 理解圆的周长与弧长公式，掌握扇形面积的两个计算公式。 2. 掌握弧长l＝nπr÷180与扇形面积S＝nπr²÷360（或S＝lr）的计算。 3. 能运用公式进行弧长与扇形面积的计算，并解决弓形面积等综合问题。 ▌课时目录 知识点01：圆的周长与弧长公式 知识点02：弧长的计算 知识点03：扇形面积与圆的周长、面积的关系 知识点04：扇形面积公式 知识点05：弓形面积的计算 知识点06：弧长与扇形面积的综合应用 ▌知识点01：圆的周长与弧长公式 圆周长C＝2πr；圆心角n°所对的弧长l＝nπr÷180。 弧长与圆心角成正比。 例如：半径r＝3、圆心角60°的弧长l＝60×π×3÷180＝π。 注意：公式中n是角度数，r是半径；弧长单位是长度单位，不是“度”。 1．（25-26九年级下·江苏南通·期中）若扇形的半径为，圆心角是，则此扇形的弧长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵扇形的半径为，圆心角是， ∴此扇形的弧长为． 2．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图1是盐城博物馆展出的战国时期的青铜剑，青铜剑被放置在一个弧形剑架上．如图2所示，剑架的弧形部分可看作一段圆弧，所在圆的圆心为点，弦的长为，过点作，垂足为点，且，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理得到，结合题意得到是等腰直角三角形，则，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：弦的长为，过点作，垂足为点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ ． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，直线，直线m分别交、于点A、B，以A为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线m同侧的点C、D，，，则的长等于（     ） A．2π B． C． D．4π 【答案】B 【分析】根据平行性质和等腰三角形的性质得到的度数，再利用弧长公式求出的长． 【详解】解：连接， ∵以A为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线m同侧的点C、D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（2026·江苏苏州·二模）图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径，，则图1中图形（实线部分）的周长为______（结果保留）． 【答案】/ 【分析】先根据图①确定图②的周长等于2个的长，根据弧长公式求解可得结论． 【详解】解：由图①得：的长的长的长，且实线部分是由四个图②组成， ∵半径，， 则图②的周长为：， 故图①中图形（实线部分）的周长为． ▌知识点02：弧长的计算 已知半径r和圆心角n°，直接用l＝nπr÷180求弧长。 例如：r＝6、n＝90°，则l＝90×π×6÷180＝3π。 注意：n必须用“度数”代入；若给的是弧长求圆心角，可反推n＝180l÷(πr)。 5．（2026·江苏苏州·二模）如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了_________．（结果保留） 【答案】 【分析】由题意可得重物上升的高度即为定滑轮所转动的弧长，进而可根据弧长公式进行求解． 【详解】解：由题意得：， 重物上升了． 6．（2026·江苏泰州·三模）在半径为5的中，弦所对的圆心角为，则弦所对的弧长为___________． 【答案】 或 【分析】弦在圆中对应两条不同的弧，分别为劣弧和优弧，根据弧长公式分别计算两条弧的长度即可. 【详解】解：已知的半径，弦所对的圆心角为，弧长公式为，其中为弧所对的圆心角度数，为圆的半径.当所求弧为劣弧时， 当圆心角，代入公式得； 当所求弧为优弧时，圆心角， 代入公式得. 综上：弧长为或 7．（2026·江苏扬州·二模）如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为，而破损处的缺口两端点，之间的距离为，则的长为_____． 【答案】 【分析】令圆心为O，连接，，，证明是等边三角形，推出，最后根据弧长公式求解． 【详解】解：如图，令圆心为O，连接，，， 直径为，， ， 是等边三角形， ， 的长为． 8．（2026·江苏南京·二模）如图，某纸杯上、下两底面圆的直径分别为和，将该纸杯的侧面展开后，得到一个以为圆心，圆心角为的扇环，则的长为______． 【答案】 【分析】先计算上下两个底面的圆周长，再由侧面展开后的弧长列方程求解，最后作差即可． 【详解】解：某纸杯上、下两底面圆的直径分别为和， 、， 将该纸杯的侧面展开后，得到一个以为圆心，圆心角为的扇环， 、， 解得、， ． ▌知识点03：扇形面积与圆的周长、面积的关系 扇形是圆的一部分，由圆心角的两条半径和所对弧围成。 扇形面积占整个圆面积的比例，等于其圆心角度数与360°的比。 例如：圆心角90°的扇形面积是圆面积的。 注意：扇形面积与弧长都随圆心角增大而增大，但公式不同。 9．（2026·江苏连云港·三模）一个扇形的半径是3，面积为，那么这个扇形的圆心角的度数是______． 【答案】 【分析】将已知的半径和面积代入扇形面积公式，即可求解得到圆心角． 【详解】解：设该扇形的圆心角为，已知扇形半径，面积， 根据扇形面积公式，得，整理得，解得：， 即这个扇形的圆心角是． 10．（2026·江苏盐城·二模）如图，正六边形的边长为3，经过点、，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质可知其内角为，结合题干中正六边形的边长为3，可知阴影部分为半径为、圆心角为的扇形，利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：多边形 是正六边形，边长为3， ，且， 经过点、， 的半径， ． 11．（2026·江苏盐城·一模）一个扇形的弧长是，半径为，则该扇形的面积是______． 【答案】 【分析】利用扇形面积公式，其中为弧长，为半径，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得，，， 根据扇形的面积公式可得． 12．（2026·江苏苏州·一模）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林围墙上的花窗（如图1），其形状是扇形的一部分（如图2所示，阴影部分为花窗），若，，，则花窗（阴影部分）的面积为__________． 【答案】 【分析】根据弧长公式求出扇形的半径，再分别求出扇形面积和扇形的面积，最后用扇形的面积减去扇形面积即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：，弧长公式为，， 在扇形中有， ， ，，， ， ，， ， ． ▌知识点04：扇形面积公式 扇形面积有两个公式：S＝nπr²÷360（已知圆心角n°与半径r），或S＝lr（已知弧长l与半径r）。 例如：r＝6、n＝90°，S＝90×π×36÷360＝9π；或l＝3π时S＝×3π×6＝9π。 注意：两式等价，按已知量选用。 13．（2026·江苏连云港·一模）一个扇形的半径为，圆心角为，此扇形的面积为______．（结果保留） 【答案】 【分析】牢记扇形面积公式，代入对应数值计算即可． 【详解】解：扇形面积公式为. 由题意可知，圆心角，半径. 可得：. 14．（2026·江苏苏州·一模）图中的银杏叶的面积可近似地看成扇形的面积．已知，，则该银杏叶的面积约为_________．（结果保留） 【答案】 【分析】把已知数据代入扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：扇形的面积． 15．（2026·江苏南京·模拟预测）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______． 【答案】140 【分析】设扇形的半径为，扇形的半径为，利用弧长公式得出半径之比，结合的长求出和的值，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为，扇形的半径为，圆心角为， 弧的长为，弧的长为， ，， ，即． ， ， 解得， ， 该砖雕的面积为 ． 16．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段检测）扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的半径为______． 【答案】5 【分析】已知扇形的圆心角度数与面积，求半径，可利用扇形面积公式列方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果． 【详解】设此扇形的半径为， 由题意得，圆心角，面积， 根据扇形面积公式，代入已知条件得： 等式两边同时约去，化简得： 整理得， 因为扇形半径为正数，所以． ▌知识点05：弓形面积的计算 弓形是由一条弦及其所对弧围成的图形。 劣弧弓形面积＝扇形面积－三角形面积；优弧弓形面积＝扇形面积＋三角形面积。 例如：半径r圆心角60°的弓形，面积为对应扇形减等边三角形面积。 注意：根据弧劣、优选用“减”或“加”。 17．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，点，，为上的三个点，，． (1)求的长； (2)求弦和它所对的劣弧围成的弓形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了扇形面积、勾股定理，圆周角定理，垂径定理等知识，熟练掌握圆的相关性质定理是解题的关键． （1）作于，根据圆周角定理得到，根据等边对等角求出 ，在中，，由勾股定理求出，根据垂径定理即可得到的长； （2）根据进行解答即可． 【详解】（1）解：作于， ， ， ， ， 在中，， ，     ，过圆心， ； （2）由（1）得到，     ， ． 18．（2025·江苏泰州·三模）如图，在以为圆心的两个同心圆中，点是小圆上一点． (1)过点作大圆的弦，使得；运用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法 (2)在（1）的条件下，若两个同心圆中大圆的弦长为，则两个同心圆围成的圆环面积为______用含的代数式表示； (3)在（1）的条件下，若两个同心圆圈成的圆环宽为，大圆的弦长为，求大圆中弦与弧所围成的图形面积． 【答案】(1) 线段即为所求； (2)； (3) 【分析】（1）过P做的垂线交大圆于A，B，根据垂径定理可得． （2）利用圆环面积等于大圆面积减去小圆面积及勾股定理计算即可． （3）根据大圆中弦与所围成的图形面积求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过P做的垂线交大圆于A，B， ， ， 则线段即为所求； （2）， ， 两个同心圆围成的圆环面积． 故答案为：； （3）， ， 设，则有    ， ， ， ， ，， ， 大圆中弦与所围成的图形面积 【点睛】本题考查垂径定理，圆环面积，弓形面积，切线的性质，锐角三角函数，尺规作图，掌握相关知识是解决问题的关键． 19．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切， 理由如下： 如图，连接， 是正三角形， ， 为正三角形的外接圆的圆心， ∴也是正三角形的内接圆的圆心， 平分， ， ， ， ， 是半径， 直线与相切； (2) 【分析】（1）由正三角形的性质可得，由平行线的性质可得，求出，可证直线与相切； （2）由圆周角定理得，根据阴影部分的面积等于，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，作于点H， ， ， ． ，， ，， ， ， ． 图中阴影部分的面积为：． 【点睛】本题考查切线的判定，正三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆中弓形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为是解题的关键． 20．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)的半径 (2) 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键． （1）根据垂径定理得的长，再根据平分得，根据勾股定理列方程求解即可得答案； （2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵弦垂直平分半径，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径． （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴ ▌知识点06：弧长与扇形面积的综合应用 实际问题常需同时用到弧长与扇形面积，如跑道弯道、扇环等。 解题先弄清所求对象是弧长还是面积，再选用公式。 例如：已知半径与圆心角，可一并算出弧长与扇形面积。 注意：单位统一，角度代入度数，结果保留π或取近似值按题目要求。 21．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图边长为的正三角形的顶点在一个半径为2的圆上，将正三角形沿圆的内壁作无滑动的滚动．当滚动一周回到原位置时，点运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，首先判断出当滚动一周回到原位置时点滚动四次，每次滚动的弧长是圆心角为半径为的弧长，由此即可解决问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵是正三角形， ∴，， 由正三角形沿圆的内壁作无滑动的滚动，当滚动一周回到原位置时，点滚动四次，每次滚动的弧长是圆心角为半径为的弧长， ∴点运动的路径长， 故选：． 22．（2026·江苏徐州·一模）如图，正八边形和正六边形的边长均为3，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为____．（结果保留） 【答案】 【分析】先求出正八边形和正六边形的内角度数，分别为．，然后求得，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：∵八边形是正八边形，六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴． 23．（2026·江苏盐城·三模）如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 【答案】 【分析】先分析得出点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为，在由已知条件根据勾股定理，求出，最后运用弧长公式求出点A经过的路径长． 【详解】∵将绕点O顺时针旋转，得到， ∴点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点A经过的路径长为的长， ∴． 24．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在扇形中，，，正方形的顶点C、D、E、F分别在、上． (1)求正方形的边长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)正方形的边长为1 (2) 【分析】（1）连接，设正方形的边长为x，推导出为等腰直角三角形，得到，再根据勾股定理求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图 ∴， 设正方形的边长为x，有， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得或（不符合题意，舍去）， ∴正方形的边长为1； （2）解：由（1），得， ∴，， ∴． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·江苏常州·一模）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则弧的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式，将半径和圆心角代入计算即可求解． 【详解】解：∵圆弧的半径，圆心角， ∴弧的长． 2．（2026·江苏宿迁·二模）如图，是的内接三角形，，设的半径为2，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆周角定理求出，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ， ， ∵的半径为2， 的长． 3．（2026·江苏常州·模拟预测）如图，是的内接三角形，，，连接，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理可得，根据可得，作，由题意可得，设，则，由勾股定理可得，，求解即可． 【详解】解：作，如下图， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，，即，解得， 则， 的长为， D选项符合题意． 4．（2026·江苏苏州·一模）如图，为的直径，过点的的切线与半径的延长线交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据切线的性质，圆周角定理推出为含30度角的直角三角形，求出的长，根据阴影部分的面积等于，进行求解即可. 【详解】解：连接， ∵为的直径，过点的的切线与半径的延长线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积为. 二、填空题 5．（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 【答案】 【分析】连接,根据,,可求得,由于与同底等高，用替换，阴影部分的面积就变成了求扇形的面积，所以求出扇形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，连接． ∵点是切点， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴, ∵, ∴为等腰三角形， ∴, ∴, ∵与同底等高， ∴， ∵半径，圆心角， ∴扇形面积． 6．（2026·江苏淮安·二模）一个扇形的半径为，圆心角为，此扇形的弧长为_____．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形弧长公式的应用，根据扇形弧长公式，代入对应数值计算即可． 【详解】解：根据题意可得 此扇形的弧长为. 7．（2026·江苏连云港·三模）如图，在中，，，若将此三角形绕直角顶点O顺时针旋转，那么斜边扫过的面积为_____． 【答案】 【分析】作，在中，先求出的长，等积法求出的长，斜边扫过的面积等于以为半径的扇形面积减去以为半径的扇形面积，再加上弓形的面积，据此进行求解即可． 【详解】解：作， 在中，，，， ，， ， ∵， ∴，即， ∴， 将此三角形绕直角顶点顺时针旋转， 斜边扫过的面积， ∵旋转， ∴，，， 设弧与交于点，则为等边三角形， ∴斜边扫过的面积 ． 8．（2026·江苏盐城·二模）如图，在中，，点在上，以点为圆心，长为半径的半圆分别交，于点，，半圆与相切于点．若，则图中阴影部分的周长为____．（结果保留） 【答案】 【分析】连接，由中，，可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，根据切线的性质可知，利用勾股定理可以求出，所以可知，根据弧长公式可以求出，根据周长公式可知阴影部分的周长为. 【详解】解：如下图所示，连接， 在中，，， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的周长为. 三、解答题 9．（2026·江苏南通·中考真题）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． (2)． 【分析】（1）连接，根据切线性质可知，再由可得，利用等角的余角相等即可得出结论． （2）利用（1）的结论结合，求出，进而求出所对圆心角度数，由此得出结论． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴的长． 10．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切线的性质得到，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得，利用直径得，勾股定理计算． （2）通过转化思想，计算． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． （2）解：连接， ，， ∴，， ， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训川练 第三章圆 3.7扇形 课时1弧长及扇形面积 课时目标 理解圆的周长与弧长公式，掌握扇形面积的两个计算公式。 掌握弧长1=1m广180与扇形面积S=m产360（或S=2r)的计算。 3 能运用公式进行弧长与扇形面积的计算，并解决弓形面积等综合问题。 课时目逯 知识点01：圆的周长与弧长公式 知识点02：弧长的计算 知识点O3:扇形面积与圆的周长、面积的关系 知识点04：扇形面积公式 知识点05：号形面积的计算 知识点06：弧长与扇形面积的综合应用 知识点01：圆的周长与弧长公式 圆周长C=2π；圆心角°所对的弧长l=1÷180。 1/12 弧长与圆心角成正比。 例如：半径r=3、圆心角60°的弧长1=60×π×3÷180=π。 注意：公式中n是角度数，r是半径；弧长单位是长度单位，不是“度”。 1.(25-26九年级下·江苏南通期中)若扇形的半径为3，圆心角是120°，则此扇形的弧长为() A.2π B.3π C.4π D.6 2.(2026江苏盐城模拟预测)如图1是盐城博物馆展出的战国时期的青铜剑，青铜剑被放置在一个弧形 剑架上.如图2所示，剑架的弧形部分可看作一段圆弧， B所在圆的圆心为点，弦4B的长为 A 40 cm ,过点0作c1B,垂足为点C,且OC=1C,则 的长为() O B 图1 图2 20W2元cm 10W2πcm 200x cm 400πcm B. D 3.(25-26八年级下·江苏盐城阶段检测)如图，直线 ∥12 ,直线m分别交、于点4、B,以4为圆心， 4B长为半径画孤，分别交、于直线m同侧的点C、D,40=35°，8=9，则① 的长等于 () D- B 8 1 A.2元 C. D.4π 4.(2026江苏苏州：二模)图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形 的相关数据：半径OA=2cm,∠AOB=120°，则图1中图形（实线部分）的周长为_cm(结果保 留元). 2/12 1 图2 知识点02：弧长的计算 已知半径r和圆心角n°，直接用l=÷180求弧长。 例如：r=6、1=90°，则1=90×π×6÷180=3π。 注意：n必须用“度数”代入：若给的是弧长求圆心角，可反推n=l80-()。 5.(2026江苏苏州：二模)如图，用一个半径为18cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了120°， 假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 _cm.(结果保留π) 重物 6.(2026江苏泰州·三模)在半径为5的⊙0中，弦AB所对的圆心角为60°，则弦AB所对的弧长为 7.(2026江苏扬州·二模)如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其 部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为l6m,而破损处的缺口两端点A,B之间的距离 8 cm 4B 为，则AB的长为 cm 8.(2026江苏南京·二模)如图，某纸杯上、下两底面圆的直径分别为9cm和6cm,将该纸杯的侧面展 开后，得到一个以O为圆心，圆心角为90°的扇环ABCD,则AB的长为一cm. 3/12 知识点03：扇形积与圆的周长、面积的送系 扇形是圆的一部分，由圆心角的两条半径和所对弧围成。 扇形面积占整个圆面积的比例，等于其圆心角度数与360的比。 1 例如：圆心角90°的扇形面积是圆面积的4。 注意：扇形面积与弧长都随圆心角增大而增大，但公式不同。 9.(2026江苏连云港三模)一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角的度数是 10 ,(2026江苏盐城·二模)如图，正六边形ABCDEO的边长为3，⊙0经过点A、E,则阴影部分的面 积为 11.(2026江苏盐城·一模)一个扇形的弧长是2π，半径为6，则该扇形的面积是」 12.(2026江苏苏州一模)“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林围墙上的花窗（如图1)，其形状是扇形 的一部分（如图2所示，阴影部分为花窗），若∠B0D=60°，AB=6dm,BD-2dm ,则花窗（阴 影部分)的面积为 dm2 4/12 图1 图2 知识点04：扇形面积公式 扇形面积有两个公式：S=m2360(已知圆心角n°与半径r),或S=2r(已知弧长1与 半径r)。 例如：r=6、n=90°，S=90×πx36÷360=9元；或1=3元时S=2×3×6=9元。 注意：两式等价，按已知量选用。 13.(2026江苏连云港一模)一个扇形的半径为4，圆心角为60°，此扇形的面积为 (结果保留 π) 14.(2026江苏苏州·一模)图中的银杏叶的面积可近似地看成扇形AOB的面积.已知OA=3cm, ∠AOB=150°，则该银杏叶的面积约为 cm2.(结果保留π) 15.(2026江苏南京模拟预测)砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气. 图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O.已 知B的长为10©m,AD和BC的长分别为20cm和8cm,则该砖雕的面积为 cm2 B 图① 图② 5/12 16.(24-25九年级下·江苏宿迁阶段检测)扇形的圆心角为72°，面积为5π，则此扇形的半径为， 知识点05：弓形面积的计算 弓形是由一条弦及其所对弧围成的图形。 劣弧弓形面积=扇形面积一三角形面积：优弧弓形面积=扇形面积十三角形面积。 例如：半径r圆心角60的弓形，面积为对应扇形减等边三角形面积。 注意：根据弧劣、优选用“减”或“加”。 17.(25-26九年级上江苏南通期末)如图，点A,B,C为⊙0上的三个点，∠BAC=60°，OC=4」 B (I)求BC的长： (2)求弦BC和它所对的劣弧围成的弓形面积. 18.(2025江苏泰州·三模)如图，在以O为圆心的两个同心圆中，点P是小圆0上一点. ○ (I)过点P作大圆的弦AB,使得PA=PB;（运用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法) (2)在(1)的条件下，若两个同心圆中大圆的弦AB长为m,则两个同心圆围成的圆环面积为 用含m的代数式表示)： .4v3cm ③)在(4)的条件下，若两个同，心圆圈成的圆环宽为2cm,大圆的弦1B长为4 Bcm,求大圆O中弦 AB与弧AB所围成的图形面积. 19.(2025江苏徐州中考真题)如图，⊙O为正三角形ABC的外接圆，直线CD经过点C,CD∥AB. 6/12 0。 B (I)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积. 20.(2025·江苏徐州模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA,C为垂足，弦DF与 半径OB相交于点P,连接EF,E0,若DE=6,∠DPA=45 D E (1)求⊙0的半径： (2)求图中阴影部分的面积. 知识点06：孤长与扇形面积的综合应里 实际问题常需同时用到弧长与扇形面积，如跑道弯道、扇环等。 解题先弄清所求对象是弧长还是面积，再选用公式。 例如：已知半径与圆心角，可一并算出弧长与扇形面积。 注意：单位统一，角度代入度数，结果保留π或取近似值按题目要求。 21.(25-26九年级上江苏无锡阶段检测)如图边长为2的正三角形OAB的顶点AB在一个半径为2的 圆上，将正三角形OAB沿圆的内壁作无滑动的滚动.当滚动一周回到原位置时，点B运动的路径长为 () 7/12 A c” 0 8 A.4元 B.2m 22.(2026·江苏徐州·一模)如图，正八边形ABCDEFGH和正六边形GHIJKL的边长均为3，以顶点H为 圆心，HG的长为半径画圆，则阴影部分的面积为一，（结果保留π） G 个 H 23.(2026江苏盐城·三模)如图，RtAAOB中，∠AB0=90°，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°，得到 △AOB',若点A的坐标为 -3,4) ,则点A经过的路径长为」 日B 24.(25-26九年级下江苏泰州阶段检测)如图，在扇形AOB中，∠AOB=45°，OA=5,正方形CDEF 的顶点C、D、E、F分别在 A、OB、AB上. D E B 8/12 (I)求正方形CDEF的边长： (2)求图中阴影部分的面积。 课时训练 一、选择题 1.(2026江苏常州·一模)如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧AB,圆弧的 半径OA=10cm,圆心角∠AOB=90°，则弧AB的长是() B 图1 图2 A.2πcm B.5πcm C.10πcm D.20πcm 2。(2026江苏宿迁二模)如图，△M8C是O0的内接三角形，∠B1C=60°，设©0的半径为2，则BC 的长度为() Q A.2 B.元 D. 3.(2026江苏常州模拟预测)如图，△MBC是 0的内接三角形，1B45.∠1CB=6心，连接O4。 OB,则MB的长是() 9/12 B A.3 8 D.37 4.(2026江苏苏州·一模)如图，AB为⊙0的直径，过点A的⊙0的切线与半径OC的延长线交于点P 若AB=6,∠B=∠P,则图中阴影部分的面积为() y 9V5 C.4+3z 95,3π A.95 B.3V3+3z D.42 二、填空题 5.(2026山东青岛中考真题)如图，PA是⊙0的切线，A是切点，过点A作OP的平行线，交⊙0于点 B,若OB=3,∠AP0=36°，则图中阴影部分的面积为 (结果保留兀)， B 6.(2026江苏淮安·二模)一个扇形的半径为6，圆心角为45°，此扇形的弧长为一·（结果保留π） 7.(2026江苏连云港·三模)如图，在R1△AOB中，∠A=30°，OB=2,若将此三角形绕直角顶点O顺 时针旋转90°，那么斜边AB扫过的面积为一 10112 8.(2026江苏盐城二模)如图，在Rt△ABC中，AC=BC,点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半 径的半圆分别交AC,AB于点D,F,半圆与BC相切于点E.若BE=4,则图中阴影部分的周长为 (结果保留兀) 三、解答题 9.(2026江苏南通中考真题)如图，AB是⊙0的直径，C为⊙0上一点，过点C作⊙0的切线，交BA 的延长线于点D,CE⊥AB,垂足为E. (I)求证：CA平分∠DCE 2)若ZDCA=25°.AB=6 的长 10.(2026江苏无锡中考真题)如图，AB是⊙0的直径，AD是⊙O的弦，过点B的切线交AD的延长 线于点C,AD=DC=1. 11/12 D O B (I)求BC的长： (2)求图中阴影部分的面积. 12112