3.7 扇形（弧长与扇形面积）及圆锥的侧面积，易错专题 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版2024 · 扇形（弧长与扇形面积）及圆锥的侧面积 3.7扇形（弧长与扇形面积）及圆锥的侧面积 苏科版（2024）九上易错专题 苏科版2024 本专题面向苏科版（2024）九上 3.7「扇形」，把易错题池中 95 道易错题按「易错原因」重新聚合，而非按知识点顺序罗列。3.7 含 3.7.1 弧长及扇形面积（题号 1–60）与 3.7.2 圆锥的侧面积（题号 61–95）两节，学生在此处高频失分集中在五类病根：①弧长与扇形面积公式记混、圆心角与弧度混淆；②组合图形阴影面积不会割补或边界算错；③旋转/平移扫过的面积与弧长识别不清；④圆锥侧面展开的基本量关系（母线 l、底面半径 r、高 h、圆心角 n、侧面积）张冠李戴；⑤绕边旋转成型、圆锥体积与全面积比等综合题漏想旋转轴。每个模块由一道精讲例题搭配即时巩固与文末综合过关测试，即学即练，适合课堂讲评与课后纠错。 目录 易错点1：弧长与扇形面积公式直接应用（记混 / 漏算圆心角） 易错点2：阴影面积——扇形与规则图形的割补组合（静态） 易错点3：旋转 / 平移扫过的面积与弧长（动态几何） 易错点4：圆锥侧面展开——母线 / 底面半径 / 高 / 圆心角 / 侧面积关系 易错点5：圆锥综合与旋转成型（绕边旋转 / 体积 / 全面积比） 易错点1：弧长与扇形面积公式直接应用（记混 / 漏算圆心角） 学习目标 · 能准确写出弧长公式 l = nπr/180 与扇形面积公式 S = nπr²/360 = ½lr · 会在弧长、面积、半径、圆心角之间互求，不混淆圆心角度数与弧度 · 能识别半圆周长 = πr + 2r、扇形面积比较需同圆心角且半径相同 纠错指引 弧长 l = nπr/180（n 为圆心角度数，非弧度）；扇形面积 S = nπr²/360 = ½lr。互求时先锁定已知两量：已知 l、r 求 n 用 n = 180l/(πr)；已知 S、r 求 l 用 l = 2S/r。半圆周长含一条直径，不是 πr。 精讲例题 例题1．（2025•安徽三模）·【提升】一个扇形的半径为4，弧长等于3π，则扇形的圆心角度数为（　　） A．120° B．135° C．150° D．270° 【分析】设扇形的圆心角度数为n°，根据弧长公式列关于n的方程并求解即可． 【解答】解：设扇形的圆心角度数为n°， 根据题意，得2π×4＝3π， 解得n＝135， ∴扇形的圆心角度数为135°． 故选：B． 教学提示：围绕「弧长公式漏乘 n/180，误写成 πr」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 易错倾向标签：易记错｜易漏算 【本题核心易错点】 · 弧长公式漏乘 n/180，误写成 πr · 扇形面积误用 πr²（整圆）或漏 1/360 · 圆心角与弧度混淆、半圆周长漏加直径 即时巩固 即时巩固1．（2025秋•长沙期中）·【基础】一个扇形的圆心角为120°，半径为5，则这个扇形的面积为 　 　 ．（结果保留π） 【分析】利用扇形面积公式计算即可． 【解答】解：π×52， ∴这个扇形的面积为． 故答案为：． 教学提示：围绕「弧长公式漏乘 n/180，误写成 πr」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固2．（2024秋•纳溪区期末）·【提升】已知一个扇形的面积为12πcm2，半径为，则它的圆心角度数为 　 　 ． 【分析】设这个扇形的圆心角为n°，根据扇形面积公式列关于n的方程并求解即可． 【解答】解：设这个扇形的圆心角为n°． 根据题意，得π×（6）2＝12π， 解得n＝40， ∴这个扇形的圆心角为40°． 故答案为：40°． 教学提示：围绕「弧长公式漏乘 n/180，误写成 πr」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固3．（2025•涟水县二模）·【提升】如果一个扇形的圆心角为30°，面积是，那么这个扇形的半径为 　 　 ． 【分析】设这个扇形的半径为r，根据扇形面积公式列关于r的方程并求解即可． 【解答】解：设这个扇形的半径为r． 根据题意，得πr2， 解得r1＝2，r2＝﹣2（舍去）， ∴这个扇形的半径为2． 故答案为：2． 教学提示：围绕「弧长公式漏乘 n/180，误写成 πr」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 易错点2：阴影面积——扇形与规则图形的割补组合（静态） 学习目标 · 会把阴影拆成「扇形 ± 三角形 ± 圆」的加减运算 · 能识别等积变换（如阴影面积 = 某三角形面积）减少计算量 · 注意半圆、扇形边界，避免把弧长当线段或漏减重叠部分 纠错指引 先观察阴影由哪些规则图形（扇形、三角形、圆、正方形、菱形）叠加或挖去得到。扇面形阴影 = 大扇形 − 小扇形；含弧的阴影常等于某三角形（等积变换）。下笔前用彩色笔标出每个边界属于哪个图形。 精讲例题 例题2．（2026•铜仁市校级一模）·【基础】如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（　　） A． B．3m2 C． D． 【分析】利用扇形面积公式，根据阴影部分的面积＝扇形AOD的面积﹣扇形BOC的面积计算即可． 【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOCπ×32π×1.52（m2）． 故选：A． 教学提示：先板书弧长与扇形面积两公式及其互求变形，让学生口述『已知弧长半径求圆心角』的代换步骤；用第 21 题当堂板演，强调 n 是角度不是弧度。 易错倾向标签：易拆错｜易漏减 【本题核心易错点】 · 不会把阴影拆成规则图形的加减 · 漏减重叠部分或多加公共区域 · 识别不到等积变换、把弧长当线段边界 即时巩固 即时巩固4．（2025•礼县三模）·【提升】已知正方形的边长为3，对角线AC，BD交于点O，以O为圆心，AB长为半径作圆心角为90°的扇形EOF，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】设AB与OE交于点G，BC与OF交于点H．根据正方形的性质及全等三角形的判定与性质，得S△OBG＝S△OCH，从而得S四边形OGBH＝S△BOCS正方形ABCD，由扇形的面积公式，根据S阴影＝S扇形EOF﹣S四边形OGBH求出阴影部分的面积即可． 【解答】解：如图，设AB与OE交于点G，BC与OF交于点H． ∵四边形ABCD是正方形，点O是对角线AC、BD的交点， ∴AC⊥BD，AC＝BD，OBBD，OCAC，∠OBG＝∠OCH＝45°， ∴∠BOC＝90°，OB＝OC， ∵∠BOG+∠BOH＝90°，∠COH+∠BOH＝90°， ∴∠COH＝∠BOG， 在△OBG与△OCH中， ， ∴△OBG≌△OCH（ASA）， ∴S△OBG＝S△OCH， ∴S四边形OGBH＝S△OBG+S△OBH＝S△OCH+S△OBH＝S△BOCS正方形ABCD32（cm2）， ∵S扇形EOFπ×32（cm2）， ∴S阴影＝S扇形EOF﹣S四边形OGBH＝（）（cm2）． 故选：A． 教学提示：板书画圆锥展开图，标清 l（母线）、r（底半径）、h（高）三角关系；强调 S侧 = πrl，用第 64 题 nπl/180 = 2πr 现场推导圆心角。 即时巩固5．（2026•东兴区校级三模）·【提升】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，以点A为圆心，AD为半径的弧交BC于点E，则阴影部分的扇形面积是（　　） A． B．π C．2π D．3π 【分析】根据矩形的性质和“直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半”求出∠DAE的度数，再由扇形的面积公式计算阴影部分的扇形面积即可． 【解答】解：根据题意，得AE＝AD＝6， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE＝90°，BC∥AD， ∵AB＝3， ∴∠AEB＝30°， ∴∠DAE＝∠AEB＝30°， ∴阴影部分的扇形面积是π×62＝3π． 故选：D． 教学提示：第 95 题先让学生找安安错在哪（全面积漏底、比反），再重算；绕边旋转用模型演示高与半径的对应，排水法列体积等式。 即时巩固6．（2025春•沿河县校级月考）·【提升】中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．OA、OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝20cm，OB＝10cm，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C．100πcm2 D． 【分析】根据扇形面积公式计算即可． 【解答】解：π（202﹣102）＝100π（cm2）． 故答案为：C． 教学提示：围绕「不会把阴影拆成规则图形的加减」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 易错点3：旋转 / 平移扫过的面积与弧长（动态几何） 学习目标 · 会求线段 / 图形旋转扫过的面积（以旋转中心为圆心、到图形距离为半径的扇形） · 会求平移扫过的面积（矩形 + 两端半圆）与滚动圈数 · 能求若干段弧的弧长之和、判断劣弧，处理拴绳活动区域（扇环） 纠错指引 旋转扫过面积：圆心 = 旋转中心，半径 = 图形上离旋转中心最远点的距离，圆心角 = 旋转角，扫过区 = 扇形（或扇形差）。平移扫过 = 矩形 + 两端半圆。轮子滚动圈数 = 路程 ÷ 周长。拴绳活动区域常是扇环，半径取绳子长。 精讲例题 例题3．（2025秋•浦东新区期末）·【提升】如图，将△ABC绕点B逆时针旋转n°后得到△A1BC1，其中点A、C分别与点A1、C1对应，AC与A1B交于点O，那么下列说法中错误的是（　　） A．AB＝A1B B．∠ABA1＝∠CBC1 C．阴影部分的面积与△ABA1的面积相等 D．△AA1O与△BCO的面积相等 【分析】AB．根据旋转的性质判断即可； C．设△A1BC1中阴影部分的面积为S1，由S△AOB+S△BOC＝S△BOC+S1，得S△AOB＝S1，从而得S阴影S1S△AOB； D.S△AOB，S△BCO+S△AOB＝S△ABC，由于S△ABC不一定成立，故S△BCO不一定成立． 【解答】解：根据旋转的性质，AB＝A1B，∠ABA1＝∠CBC1＝n°， ∴AB正确，不符合题意； 设△A1BC1中阴影部分的面积为S1， ∵S△AOB+S△BOC＝S△BOC+S1， ∴S△AOB＝S1， ∴S阴影S1S△AOB， ∴C正确，不符合题意； S△AOB，S△BCO+S△AOB＝S△ABC， ∵S△ABC不一定成立， ∴S△BCO不一定成立， ∴D错误，符合题意． 故选：D． 教学提示：让学生用彩色笔把阴影边界拆成「扇形 / 三角形 / 圆」，同桌互说拆法；重点讲第 1 题扇面 = 大扇 − 小扇、第 8 题等面积推弧长比的等积思想。 易错倾向标签：易想错｜易漏形 【本题核心易错点】 · 旋转扫过区当成整圆而非扇形 · 平移扫过漏算两端半圆、滚动圈数算反 · 多段弧长和、劣弧判断出错 即时巩固 即时巩固7．（2025•湖南）·【基础】如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 【分析】根据弧长公式计算即可． 【解答】解：∵∠AOC＝40°，∠BOC＝15°， ∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝40°﹣15°＝25°， ∴2πRπR（千米）． ∴点A和点B之间的劣弧长约为πR千米． 故选：C． 教学提示：围绕「旋转扫过区当成整圆而非扇形」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固8．（2024秋•江山市期末）·【提升】如图，将Rt△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰为BC边的中点，若AB＝1，则的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据旋转的性质得AD＝AB＝1，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求出BC，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC，利用三角函数求得∠ABC＝60°，从而证明△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质求出∠BAD＝60°，进而得∠CAE＝∠BAD＝60°，最后利用弧长公式计算即可． 【解答】解：根据旋转的性质，得AD＝AB＝1， ∵点D是BC的中点， ∴BC＝2AD＝2， 在Rt△ABC中利用勾股定理，得AC， ∵tan∠ABC， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD＝60°， ∵∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD＝60°， ∴2π． 故选：C． 教学提示：用动画或实物演示旋转扫过区，提问『圆心是谁、半径是多少、转了多少度』；第 52 题轮子滚动圈数与扫过面积分两步算，防止一步到位出错。 易错点4：圆锥侧面展开——母线 / 底面半径 / 高 / 圆心角 / 侧面积关系 学习目标 · 能区分扇形半径 = 圆锥母线 l（不是高 h），弧长 = 底面周长 2πr · 会用 nπl/180 = 2πr 求圆心角 n = 360r/l · 会算侧面积 S侧 = πrl、全面积 = πrl + πr²、高 h = √(l² − r²) 纠错指引 圆锥侧面展开是扇形：扇形半径 = 母线 l，扇形弧长 = 底面周长 2πr，故 nπl/180 = 2πr → n = 360r/l。侧面积 S侧 = πrl（不是 πr² 或 πl²）。高 h = √(l² − r²)。注意题给的是半径还是直径、是母线还是高，先标好再代。 精讲例题 例题4．（2024秋•昭阳区期末）·【提升】用一个圆心角是120°，半径是3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为r，利用弧长和圆的周长公式，根据扇形的弧长＝圆锥的底面圆的周长列关于r的方程并求解即可． 【解答】解：设这个圆锥的底面圆的半径为r． 根据题意，得2πr2π×3， 解得r＝1， ∴这个圆锥的底面圆的半径为1． 故选：A． 教学提示：围绕「把扇形半径当成圆锥的高 h」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 易错倾向标签：易张冠李戴｜易算错 【本题核心易错点】 · 把扇形半径当成圆锥的高 h · 侧面积误用 πr² 或 πl²，漏乘 π · 半径 / 直径、母线 / 高混淆 即时巩固 即时巩固9．（2025•河南校级三模）·【基础】综合实践课上，刘明和张亮合作制作一个带底的圆锥型道具，刘明裁剪侧面，张亮裁剪底面．刘明先裁出一个半径为30cm，圆心角为120°的扇形用来制作侧面（无重合，无缝隙），那么张亮裁出的圆的半径应该为（　　） A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm 【分析】扇形的弧长等于圆锥底面周长，从而根据弧长和圆的周长公式计算即可． 【解答】解：2π×30÷2π＝10（cm）， ∴张亮裁出的圆的半径应该为10c． 故选：A． 教学提示：围绕「把扇形半径当成圆锥的高 h」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固10．（2024秋•惠州期末）·【提升】综合实践课上，珍珍用半径9cm，圆心角为120°的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽．如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是（　　）cm． A．1.5 B．2.5 C．3 D．6 【分析】设个圆锥形生日帽的底面半径是rcm，根据弧长公式列关于r的一元一次方程并求解即可． 【解答】解：设个圆锥形生日帽的底面半径是rcm． 根据题意，得2πr2π×9， 解得r＝3， ∴个圆锥形生日帽的底面半径是3cm． 故选：C． 教学提示：围绕「把扇形半径当成圆锥的高 h」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固11．（2024秋•杨陵区期末）·【提升】如图，圆锥底面圆的半径OB的长为5cm，母线AB的长为12cm，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 【分析】设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数为n°，根据弧长公式列关于n的一元一次方程并求解即可． 【解答】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数为n°． 根据题意，得2π×12＝2π×5， 解得n＝150， ∴圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是150°． 故选：D． 教学提示：围绕「把扇形半径当成圆锥的高 h」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固12．（2025•宿城区校级一模）·【提升】将一个半径为6，圆心角是60°的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径＝ 　 　 ． 【分析】设该圆锥的底面半径为未知数，根据圆的周长公式、弧长公式列方程并求解即可． 【解答】解：设该圆锥的底面半径为r． 根据题意，得2πr2π×6， 解得r＝1， ∴该圆锥的底面半径为1． 故答案为：1． 教学提示：围绕「把扇形半径当成圆锥的高 h」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 易错点5：圆锥综合与旋转成型（绕边旋转 / 体积 / 全面积比） 学习目标 · 会判断直角三角形绕哪条边旋转：该边为高、另一直角边为底面半径 · 会算两个圆锥的全面积比，不漏底面积 · 会用圆锥体积 V = ⅓πr²h 与排水法（水面上升体积 = 圆锥体积）求高 纠错指引 Rt△ 绕直角边旋转：旋转轴那条边是高 h，另一条直角边是底面半径 r，斜边是母线 l。全面积 S全 = πrl + πr²（含底）。两个圆锥比全面积要先分别算 S全 再比，不能只比侧面积。排水法：上升的水体积 = 圆锥体积，用 V = ⅓πr²h 反求未知量。 精讲例题 例题5．（新教材同步题）·【基础】在Rt△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，∠A＝90°．如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2，求S1：S2的值． 安安的解法如下： ∵AB＝6，AC＝8，∠A＝90°， ∴BC＝10． ∴绕直线AC旋转一周得到的圆锥的全面积S1＝60π，绕直线AB旋转一周得到的第二个圆锥的全面积S2＝80π， ∴S1：S2＝3：4． 请问安安的解法正确吗？如果不正确，请说明理由． 【分析】根据勾股定理求出BC，根据圆锥的全面积公式计算，得到答案． 【解答】解：安安的解法不正确， 理由如下：由勾股定理得，BC10， 把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到圆锥的侧面积2π×6×10＝60π，底面积＝π×62＝36π， ∴全面积为S1＝60π+36π＝96π， 把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到圆锥的侧面积2π×8×10＝80π，底面积＝π×82＝64π， ∴全面积为S2＝80π+64π＝144π， ∴S1：S2＝2：3． 教学提示：围绕「绕边旋转搞错高与底面半径」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 易错倾向标签：易漏底｜易想反 【本题核心易错点】 · 绕边旋转搞错高与底面半径 · 全面积比漏加底面、只比侧面积 · 排水法体积关系列错 即时巩固 即时巩固13．（2024•济南开学）·【基础】从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”．一铁匠将铁块烧红，击打成底面半径为10厘米的圆锥，然后完全没入一底面积为314平方厘米的长方体容器里淬火，水面上升了1厘米．请你计算这个圆锥的高是多少厘米．（损耗忽略不计） 【分析】水面上升部分的体积就是圆锥的体积，根据长方体的体积公式求出水面上升部分的体积，再由圆锥的体积公式求出圆锥的高即可． 【解答】解：314×1÷（102π）＝3（厘米）， 答：这个圆锥的高是3厘米． 教学提示：围绕「绕边旋转搞错高与底面半径」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固14．（2025秋•贵州期末）·【提升】如图，有一个圆形纸片⊙O，AB是弦，量得⊙O半径为10cm，圆心角∠AOB＝120°． （Ⅰ）求弦AB的长； （Ⅱ）若用剪刀剪下这个圆心角为120°的扇形，再用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆的半径是多少？ 【分析】（1）过点O作AB的垂线，垂足为C．由等腰三角形的性质得ACAB，∠AOC∠AOB，根据三角形函数求出AC，从而求出AB即可； （2）根据弧长公式计算，即这个圆锥的底面圆的周长，再由圆的周长公式计算这个圆锥的底面圆的半径即可． 【解答】解：（1）如图，过点O作AB的垂线，垂足为C． ∵OA＝OB，OC⊥AB， ∴ACAB，∠AOC∠AOB120°＝60°， ∴AC＝OA•sin∠AOC＝105（cm）， ∴AB＝2AC＝2×510（cm）， ∴弦AB的长为10cm． （2）2π×10（cm）， 2π（cm）． 答：这个圆锥的底面圆的半径是cm． 教学提示：围绕「绕边旋转搞错高与底面半径」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 即时巩固15．（2025春•普陀区期末）·【提升】如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似地看作圆锥，其母线长为12cm，底面圆直径长为8cm． （1）求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； （2）当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为9cm，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留π） 【分析】（1）设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为n°，根据扇形面积的两个公式，即S扇形和S扇形rl列关于n的方程并求解即可； （2）根据扇形面积公式S扇形计算即可． 【解答】解：（1）设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为n°． 根据题意，得π×12212×8π， 解得n＝120． 答：该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为120°． （2）π×92＝27π（cm2）． 答：此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积为27πcm2． 教学提示：围绕「绕边旋转搞错高与底面半径」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 【附录‑备用题库】 8．（2025秋•南关区校级期末）·【提升】如图，以点O为圆心的两个同心圆中，点A，B在大圆上，点C，D在小圆上，和的长度分别是l1，l2．若扇形OAB与扇形OCD的面积相等，则l1与l2的大小关系为（　　） A．l1＞l2 B．l1＜l2 C．l1＝l2 D．不能确定 【分析】设大圆的半径为r1，小圆的半径为r2．根据扇形的面积公式（用弧长表示）列出等式，由r1＞r2判断l1与l2的大小关系即可． 【解答】解：设大圆的半径为r1，小圆的半径为r2． 根据题意，得r1l1r2l2， ∵r1＞r2， ∴l1＜l2． 故选：B． 10．（2024秋•汾阳市期末）·【提升】如图，一扇形纸片的圆心角为90°，半径为3．将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影部分为重叠部分，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OD、AD，根据折叠的性质得AD＝OD，由等边三角形的判定与性质得到∠AOD＝60°，在Rt△COD中利用勾股定理求出CD，从而求出△COD的面积，再由扇形面积公式求出扇形AOD的面积，最后由阴影部分的面积＝扇形AOD的面积﹣△COD的面积计算即可． 【解答】解：如图，连接OD、AD． ∵根据折叠的性质，得AD＝OD， ∵OA＝OD， ∴AD＝OD＝OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∵OA＝3， ∴OCOA， 在Rt△COD中利用勾股定理，得CD， ∴S△CODCD•OC， ∵S扇形AODπ×32， ∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△COD． 故选：A． 13．（2024秋•大同期末）·【提升】如图，在边长为2的菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以点C为圆心，CB长为半径画，若点A恰好在，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质求出∠ACD的度数，利用三角形和扇形面积公式，根据阴影部分的面积＝扇形ACD的面积﹣三角形COD的面积计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2的菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，AC⊥BD， ∵以点C为圆心，CB长为半径画，点A恰好在， ∴BC＝AC＝CD， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC＝2， ∴△ABC是等边三角形，△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∴OD＝CD•sin∠ACD＝2， ∵OCAC＝1， ∴S△CODOC•OD1， ∵S扇形ACDπ×22， ∴S阴影＝S扇形ACD﹣S△COD． 故选：A． 15．（2025春•淮滨县校级月考）·【提升】如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．到以点C为圆心，4为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．4π﹣12 D．16﹣4π 【分析】连接BD，由S弓形OB＝S弓形OD，得S阴影＝S弓形BD＝S扇形BCD﹣S△BCD，再分别根据扇形和三角形面积公式计算即可． 【解答】解：如图，连接BD． ∵S弓形OB＝S弓形OD， ∴S阴影＝S弓形BD＝S扇形BCD﹣S△BCDπ×424×4＝4π﹣8． 故选：B． 17．（2025•永川区模拟）·【提升】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，以O为圆心，BO长为半径画弧，分别与该菱形四边相交，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8π B．83π C．3π D．16﹣3π 【分析】根据菱形的性质和特殊角的三角形函数值求出AC、BD的长，再由菱形和圆的面积公式求出菱形ABCD的面积和圆O的面积，根据阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣圆O的面积计算公式即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABO∠ABC＝30°， ∵BO＝2， ∴AO＝BO•tan∠ABO＝22， ∴AC＝2AO＝4， ∵BD＝2BO＝4， ∴S菱形ABCDAC•BD4×48， ∵S⊙O＝（2）2π＝3π， ∴S阴影＝S菱形ABCD﹣S⊙O＝83π． 故选：B． 18．（2025春•江津区校级月考）·【提升】如图，在圆心角为90°的扇形BAC中，半径AC＝12，以AB为直径作半圆O．过点O作AC的平行线交两弧于D、E，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AE，利用扇形和三角形面积公式分别求出扇形BAC、扇形CAE、三角形AEO的面积，根据阴影部分的面积＝扇形BAC的面积﹣扇形CAE的面积﹣三角形AEO的面积列式计算即可． 【解答】解：如图，连接AE． ∵AB＝AC＝AE＝12，OAAB＝6， ∴sin∠AEO， ∴∠AEO＝30°， ∴OE＝AE•cos∠AEO＝126， ∴SRt△AEOOA•OE6×618， ∵OE∥AC， ∴∠CAE＝∠AEO＝30°， ∴S扇形CAEπ×122＝12π， ∵S扇形BACπ×122＝36π， ∴S阴影＝S扇形BAC﹣SRt△AEO﹣S扇形CAE＝36π﹣1812π＝24π﹣18． 故选：C． 19．（2025•清远二模）·【提升】如图，AB是圆的直径，点O是圆心，AB＝8，右边阴影部分是以BO为直径的半圆，那么图中阴影部分面积是（　　） A．2π B．4π C．6π D．8π 【分析】根据扇形和圆的面积公式计算即可． 【解答】解：π×（）2π×（）2＝6π， ∴图中阴影部分面积是6π． 故选：C． 20．（2025•宁江区校级三模）·【提升】如图，扇形AOB的圆心角为60°点C是OA的中点，连接CB．若OA＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用扇形和三角形面积公式，根据“阴影部分的面积＝扇形AOB的面积﹣三角形BOC的面积”计算即可． 【解答】解：S扇形AOBπ×42， ∵点C是OA的中点， ∴OCOA＝2， ∵OB＝OA＝4， ∴BC＝OB•sin∠AOB＝42， ∴S△BOCOC•BC2×22， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC2． 故选：D． 22．（2025•松原模拟）·【提升】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以O为圆心，OD长为半径作圆心角为120°的扇形MON，OM与边AD交于点E，ON与边CD交于点F．若AO＝1，∠BAD＝120°，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】，过点O分别作AD、CD的垂线，垂足分别是G、H，根据全等三角形的判定与性质证明SRt△OGE＝SRt△OHF，从而证明S四边形EOFD＝S四边形GOHD，再根据S阴影＝S扇形MON﹣S四边形GOHD计算阴影部分的面积即可． 【解答】解：如图，过点O分别作AD、CD的垂线，垂足分别是G、H． ∵OG⊥AD，OH⊥CD， ∴∠OGE＝∠OHF＝90°， ∵四边形ABCD是菱形，BD是对角线， ∵BD是∠ADC的平分线， ∴OG＝OH， ∵AB∥CD，∠BAD＝120°， ∴∠ADC＝180﹣120°＝60°， ∴∠GOH＝180°﹣∠ADC＝180°﹣60°＝120°， ∵∠EOF＝∠EOG+∠GOF＝120°，∠GOH＝∠GOF+∠FOH＝120°， ∴∠EOG＝∠FOH， 在Rt△OGE与Rt△OHF中， ， ∴Rt△OGE≌Rt△OHF（ASA）， ∴SRt△OGE＝SRt△OHF， ∴S四边形EOFD＝S四边形GOHD， ∵∠ADC＝60°， ∴∠ADO∠ADC＝30°， ∵AO＝1， ∴OD＝AO•ctan∠ADO＝1，OGOD，DG＝OD•cos∠ADO， ∴SRt△OGDDG•OG， 同理，SRt△OHD， ∴S四边形GOHD＝SRt△OGD+SRtMON＝△OHD， ∵S扇形MONπ×（）2＝π， ∴S阴影＝S扇形MON﹣S四边形GOHD＝π． 故选：B． 25．（2025春•莱阳市期中）·【提升】如图，已知点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝2，，以O为圆心，OA为半径作扇形AOD，点E为弧AD的中点，连接BE，则图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接EO交AD于点F，延长EO交BC于点G，设OA与BE交于点H，由题意可知点O是矩形ABCD两条对角线的交点，根据矩形的性质和三角形函数求出∠AOF的角度，由全等三角形的判定与性质证明S△ABH ＝S△OEH，从而证明S阴影＝S扇形AOE，再利用扇形面积公式计算即可． 【解答】解：如图，连接EO交AD于点F，延长EO交BC于点G，设OA与BE交于点H． ∵点O为矩形ABCD的对称中心， ∴点O是矩形ABCD两条对角线的交点， ∴OA＝OD， ∵点E为弧AD的中点， ∴∠AOE＝∠DOE， ∴OE是AD的垂直平分线， ∵AD＝BC＝2，FG＝AB＝2， ∴AFAD，OF＝OGFG＝1，BGBC， ∵tan∠AOF， ∴∠AOF＝60°， ∴OA2， ∵AB∥EG， ∴∠ABH＝∠OEH， ∵AB＝2，OE＝OA＝2， ∴AB＝OE， 在△ABH 与△OEH中， ， ∴△ABH≌△OEH（AAS）， ∴S△ABH ＝S△OEH， ∴S阴影＝S扇形AOEπ×22． 故选：A． 68．（2025•潍坊一模）·【提升】一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 【分析】设该圆锥的底面半径为r，母线长为R，侧面展开图的圆心角为n°，将底面积和侧面积表示出来，找到r与R的数量关系，从而求出该圆锥侧面展开图的圆心角． 【解答】解：如图，设该圆锥的底面半径为r，母线长为R，侧面展开图的圆心角为n°． S底＝πr2，S侧R•2πrπR2， 根据题意，得R•2πrπR2＝4πr2， ∵R•2πr＝4πr2， ∴R＝4r， ∵πR2＝4πr2， ∴π（4r）2＝4πr2， ∴n＝90， ∴该圆锥侧面展开图的圆心角是90°． 故选：A． 69．（2024秋•高新区校级月考）·【提升】一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该扇形的侧面积是（　　） A．2π B．4π C．12π D．24π 【分析】根据扇形面积公式计算即可． 【解答】解：6×2π×2＝12π， ∴该扇形的侧面积是12π． 故选：C． 70．（2024秋•安次区校级月考）·【提升】一个圆锥的母线长为10，高为6，则圆锥的侧面积是（　　） A．80π B．60π C．48π D．30π 【分析】利用勾股定理求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【解答】解：如图： 利用勾股定理，圆锥的底面半径为8， 则该圆锥的侧面积为10×2π×8＝80π． 故选：A． 75．（2025•绥棱县校级开学）·【基础】若圆锥的底面直径为5，母线长为5，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 　 　 ． 【分析】设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n°，利用弧长公式，根据圆锥侧面展开的扇形的弧长＝圆锥的底面周长列关于n的方程并求解即可． 【解答】解：设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n°． 根据题意，得2π×5＝5π， 解得n＝180， ∴该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为180°． 故答案为：180°． 79．（2025春•松江区校级月考）·【基础】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积是 　 　 ． 【分析】根据弧长公式及圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积，再根据圆的面积公式求出圆锥的底面积，从而根据“圆锥的表面积＝侧面积+底面面积”计算即可． 【解答】解：2π×5＝2π， 则圆锥的侧面积为5×2π＝5π，圆锥的底面积为（）2π＝π， 5π+π＝6π， ∴该圆锥的表面积是6π． 故答案为：6π． 26．（2026•利州区一模）·【提升】如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为30cm，则这个“莱洛三角形”的周长是 　 　 .（结果保留π） 【分析】根据等边三角形的性质和弧长公式计算即可． 【解答】解：如图． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝30cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴2π×30＝10π（cm）， ∴这个“莱洛三角形”的周长是10π+10π+10π＝30π（cm）． 故答案为：30π cm． 27．（2026•惠州一模）·【提升】如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且，连接BC，以B为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，若AB＝2，则的长是 　 　 ． 【分析】连接OC，根据弧、弦、圆心角的关系求出∠BOC，由等腰三角形的判定与性质求出∠OBC的度数，由勾股定理求出BC，从而根据弧长公式求出的长即可． 【解答】解：如图，连接OC． ∵， ∴∠BOC90°， ∵OB＝OCAB＝1， ∴∠OBC45°， ∵BC， ∴2π． 故答案为：． 29．（2026春•青浦区校级期中）·【提升】如果圆上一段弧长为15.7，它所对的圆心角为100°，那么这个圆的半径为 　 　 （π取3.14）． 【分析】设这个圆的半径为r，根据弧长公式列关于r的方程并求解即可． 【解答】解：设这个圆的半径为r， 根据题意，得2πr＝15.7， 解得r＝9， ∴这个圆的半径为9． 故答案为：9． 30．（2026•市南区校级模拟）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，与弦CD交于点E，∠CAB＝30°，AC＝AE、CD＝2，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 【分析】连接OC、OD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求得∠OCD＝∠ODC＝45°，从而求得∠COD＝90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式，根据“S阴影＝S扇形COD﹣SRt△COD”求出阴影部分的面积公式即可． 【解答】解：连接OC、OD． ∵AC＝AE，∠CAB＝30°， ∴∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣∠CAB）÷2＝75°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC＝∠ACE﹣∠OCA＝75°﹣30°＝45°， ∴∠COD＝180°﹣∠OCD﹣∠ODC＝90°， ∴OD＝CD•sin∠OCD＝2， ∴SRt△CODOC•OD＝1， ∵S扇形CODπOD2， ∴S阴影＝S扇形COD﹣SRt△COD1． 故答案为：1． 31．（2025•温州模拟）·【提升】如图，扇形AOB的面积为8π，OA＝6，则的长为 　 　 ． 【分析】设的长为未知数，根据扇形面积公式列方程并求解即可． 【解答】解：设的长为x， 根据题意，得6x＝8π， 解得x， ∴的长为． 故答案为：． 32．（2025•滁州三模）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，OC＝6，∠BAC＝40°，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”得S△BOC＝S△AOC，从而得S阴影＝S扇形BOC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，进而由扇形面积公式计算即可． 【解答】解：∵点O是AB的中点， ∴S△BOC＝S△AOC， ∴S阴影＝S扇形BOC， ∵∠BAC＝40°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝80°， ∵OC＝6， ∴S扇形BOCπ×62＝8π， ∴阴影部分的面积为8π． 故答案为：8π． 34．（2025秋•潮阳区期末）·【提升】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，∠CAB＝60°，以点C为圆心，AC的长为半径作弧，分别交边BC，AB于点D，E，则阴影部分的面积为 　 　 ． 【分析】连接CE，过点C作CF垂直于AB交AB于点F．根据等边三角形的判定与性质求出∠ACE、AE，从而求出∠DCE，根据三角函数求出CF，再由扇形和三角形面积公式，根据S阴影＝S扇形ACD+SRt△ABC﹣2（S△ACE+S扇形DCE）计算阴影部分的面积即可． 【解答】解：如图，连接CE，过点C作CF垂直于AB交AB于点F． ∵∠CAB＝60°，AC＝CE， ∴△ACE是等边三角形， ∴∠ACE＝60°，AE＝AC＝3， ∴CF＝AC•sin∠CAB＝3， ∵∠ACB＝90°， ∴BC＝AC•tan∠CAB＝33，∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°， ∴S阴影＝S扇形ACD+SRt△ABC﹣2（S△ACE+S扇形DCE）π×3233﹣2×（3π×32）． 故答案为：． 35．（2025•郑州二模）·【提升】如图，等边三角形ABC中，AB＝2，分别以点A，C为圆心，AB为半径作弧BE和弧BD，两弧交于点E，点B，C，D在同一条直线上，则阴影部分的面积是 　 　 ． 【分析】连接AE，根据等边三角形的性质和扇形面积公式证明S扇形BAC＝S扇形ACE，根据全等三角形的判定与性质证明S△ABC＝S△ACE，从而证明S弓形BC＝S弓形CE，进而证明S阴影＝S扇形DCE，再由扇形面积公式计算扇形DCE的面积即可． 【解答】解：如图，连接AE、CE． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵AB为半径作弧BE和弧BD， ∴AB＝AC＝AE＝BC＝CD＝CE＝2， ∴△ACE是等边三角形， ∴∠ACE＝60°， ∴S扇形BAC＝S扇形ACE， 在△ABC与△ACE中， ， ∴△ABC≌△ACE（SSS）， ∴S△ABC＝S△ACE， ∴S弓形BC＝S弓形CE， ∴S阴影＝S扇形DCE， ∵∠DCE＝180°﹣∠ACE﹣∠ACE＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴S扇形DCEπ×22， ∴S阴影． 故答案为：． 36．（2025•莱西市校级模拟）·【提升】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，G，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．当DB＝BF＝5时，阴影部分的面积为 　 　 ． 【分析】连接AD，由圆周角定理证明∠ADB＝90°，由等腰三角形的性质证明点D是BC的中点，从而由三角形中位线定理证明OD∥AC，由平行线的性质证明∠ODF＝90°，由∠ODB+∠BDF＝∠DOB+∠F＝90°、∠BDF＝∠F、∠ODB＝∠DBO证明∴△BOD是等边三角形，由等边三角形的性质、特殊角的三角形函数值、三角形面积公式求出△ODF的面积，由扇形面积公式求出扇形BOD的面积，再根据阴影部分的面积＝△ODF的面积﹣扇形BOD的面积计算即可． 【解答】解：如图，连接AD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝AC， ∴点D是BC的中点， ∵点O是AB的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵EF⊥AC， ∴∠AEF＝90°， ∴∠ODF＝∠AEF＝90°， ∴∠ODB+∠BDF＝∠DOB+∠F＝90°， ∵DB＝BF＝5， ∴∠BDF＝∠F， ∴∠ODB＝∠DOB， ∵∠ODB＝∠DBO， ∴∠ODB＝∠DOB＝∠DBO， ∴△BOD是等边三角形， ∴OB＝OD＝DB＝BF＝5，∠DOB＝60°， ∴DF＝OD•tan∠DOB＝55， ∴S△ODFOD•DF5×5， ∵S扇形BODπ×52， ∴S阴影＝S△ODF﹣S扇形BOD． 故答案为：． 38．（2024秋•开封期末）·【提升】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，以C为圆心，AC长为半径作弧，分别交于AB，BC于点D，E，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 【分析】连接CD，过点D作DF⊥BC于点F，根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边长的一半”求出AC，在Rt△ABC中利用勾股定理求出BC，由等边三角形的判定与性质求出AD、∠BCD，从而求出BD，进而求出DF，再利用三角形和扇形面积公式，根据阴影部分的面积＝三角形BCD的面积﹣扇形DCE的面积计算即可． 【解答】解：如图，连接CD，过点D作DF⊥BC于点F． ∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4， ∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，ACAB4＝2， 在Rt△ABC中利用勾股定理，得BC2， ∵以C为圆心，AC长为半径作弧， ∴AC＝CD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝60°，AC＝CD＝AD＝2， ∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，BD＝AB﹣AD＝4﹣2＝2， ∴DFBD2＝1， ∴S△BCDBC•DF21， ∵S扇形DCEπ×22， ∴S阴影＝S△BCD﹣S扇形DCE． 故答案为：． 39．（2024秋•凉州区校级期末）·【提升】如图，在等边△ABC中，BC＝2，以BC为直径作半圆，交边AB、AC于点D、E，则图中阴影部分的面积是 　 　 ． 【分析】取圆心O，连接OA、OD、OE，过点D作BC的垂线交BC于点F．根据等边三角形的判定与性质证明△BOD与△COE是等边三角形，从而求出∠DOE的度数，再由全等三角形的判定定理证明△BOD≌△COE，根据三角形和扇形面积公式求出空白部分的面积，进而由S阴影S⊙O+S△ABC﹣2S空白计算出阴影部分的面积即可． 【解答】解：如图，取圆心O，连接OA、OD、OE，过点D作BC的垂线交BC于点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BOD＝60°， ∵OB＝OD， ∴△BOD是等边三角形， ∴OB＝OD＝BD1， 同理，∠COE＝60°，OC＝OE＝CE1， 在△BOD与△COE中， ， ∴△BOD≌△COE（SSS）， ∴S△BOD＝S△COEOB•DFOB•BD•sin∠ABC1×1， ∵∠BOD＝∠COE＝60°， ∴∠DOE＝180°﹣∠BOD﹣∠COE＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴S扇形DOEπ×12， ∴S空白＝S△BOD+S△COE+S扇形DOE， ∵△ABC是等边三角形，点O是BC的中点， ∴OA⊥BC， ∴S△ABCBC•OABC•AB•sin∠ABC2×2， ∴S阴影S⊙O+S△ABC﹣2S空白 π×122×（） ， ∴阴影部分的面积是． 故答案为：． 40．（2025•韶关模拟）·【提升】如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝4，扇形BEF的半径为4，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是 　 　 ．（结果保留π） 【分析】过点B作BM⊥AD交AD于点M，过点B作BN⊥CD交CD于点N，连接BD，设AD与BE交于点G，CD与BF交于点H；根据全等三角形的判定与性质证明SRt△BMG＝SRt△BNH，从而证明S四边形BGDH＝S四边形BMDN，根据等边三角形的判定与性质、三角形的面积公式计算出S四边形BMDN，再由S阴影＝S扇形BEF﹣S四边形BMDN计算阴影部分的面积即可． 【解答】解：过点B作BM⊥AD交AD于点M，过点B作BN⊥CD交CD于点N，连接BD． 设AD与BE交于点G，CD与BF交于点H． ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD是角∠ADC的平分线， ∵BM⊥AD，BN⊥CD， ∴∠BMG＝90°，∠BNH＝90°，BM＝BN， ∵∠A＝60°，AB∥CD， ∴∠ADC＝180°﹣∠A＝120°， ∴∠MBN＝360°﹣∠BMD﹣∠BNH﹣∠ADC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°， ∵∠EBF＝∠GBM+∠MBF＝60°，∠MBN＝∠MBF+∠HBN＝60°， ∴∠GBM＝∠HBN， 在Rt△BMG与Rt△BNH中， ， ∴Rt△BMG≌Rt△BNH（AAS）， ∴SRt△BMG＝SRt△BNH， ∴S四边形BGDH＝S四边形BMDN， ∵AB＝AD＝BD＝4， ∴△ABD是等边三角形， ∵BM⊥AD， ∴MD＝MA， ∴SRt△ABM ＝SRt△DBM， 同理，得SRt△CBN ＝SRt△DBN， ∴S四边形BMDN＝SRt△DBM+SRt△DBNS菱形ABCDAD•BMAD•（AB•sin∠A）4×44， ∵S扇形BEFπ×42， ∴S阴影＝S扇形BEF﹣S四边形BMDN4． 故答案为：4． 41．（2025•滕州市校级模拟）·【提升】如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD且与AD交于点E，连接BC．若AB＝8，∠ABC＝30°，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 【分析】根据圆周角定理求得∠ADB的度数和∠AOC的度数，由平行线的性质求出∠AEO的度数，从而由特殊角的三角函数值分别求出AE、OE，进而根据等腰三角形的判定与性质求出AD的长和∠AOD的度数，再利用三角形和扇形面积公式，根据阴影部分的面积＝扇形AOD的面积﹣三角形AOD的面积计算即可． 【解答】解：如图，连接OD． ∵AB＝8， ∴OA＝OB＝OC＝ODAB＝4， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OC∥BD， ∴∠AEO＝∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝2×30°＝60°， ∴AE＝OA•sin∠AOC＝42，OE＝OA•cos∠AOC＝42， ∵OA＝OD，OC⊥AD， ∴OC既是△AOD的中线，又是∠AOD的平分线， ∴AD＝2AE＝2×24，∠AOD＝2∠AOC＝2×60°＝120°， ∴S△AODAD•OE42＝4， ∵S扇形AODπ×42， ∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD4． 故答案为：4． 42．（2025春•孝义市月考）·【提升】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，将扇形AOB翻折，使得点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是 　 　 ． 【分析】根据对称的性质及等边三角形的判定与性质求出∠AOC的度数，从而求出∠OBC的度数，再由扇形和三角形面积公式求出弓形AC的面积（与弓形OC的面积相等），再利用扇形面积公式，根据阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣弓形OC的面积计算即可． 【解答】解：如图，连接OC、AC． ∵将扇形AOB翻折，使得点A与圆心O重合， ∴CD是OA的垂直平分线， ∴OC＝AC， ∵OA＝OC， ∴OA＝OC＝AC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°， ∴S扇形AOCπ×22， ∵OC＝OA＝2， ∴CD＝OC•sin∠AOC＝2×sin60°＝2， ∴S△AOCOA•CD2， ∴S弓形AC＝S扇形AOC﹣S△AOC， ∴S弓形OC＝S弓形AC， ∴S阴影＝S扇形BOC﹣S弓形OCπ×22﹣（）． 故答案为：． 43．（2024秋•铜梁区校级期末）·【提升】如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝4，∠BAD＝120°，则阴影部分的面积为 　 　 ． 【分析】连接AC，根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质证明S△AEC＝S△AFC，由三角形和扇形面积公式，根据“四边形AECF的面积﹣扇形ECF的面积”列式计算即可． 【解答】解：如图，连接AC． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AD∥BC，∠BCD＝∠BAD＝120°， ∵∠BAD＝120°， ∴∠B＝180°﹣∠BAD＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝4， ∵点E是BC的中点， ∴CEBC＝2，AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， 同理，∠AFC＝90°， ∵以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F， ∴CE＝CF， 在Rt△AEC和Rt△AFC中， ， ∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL）， ∵AE＝AB•sin∠B＝42， ∴S△AEC＝S△AFCCE•AE2×22， ∴S四边形AECF＝S△AEC+S△AFC＝4， ∵S扇形π×22， ∴S阴影＝S四边形AECF﹣S扇形＝4． 故答案为：4． 44．（2025春•从江县校级月考）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠COB＝60°，CO＝2，则阴影部分的面积为 　 　 ． 【分析】根据垂径定理和扇形面积公式计算即可． 【解答】解：如图，连接OD，设AB与CD交于点E． ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE＝DE，， ∴S△COE＝S△DOE，∠COB＝∠DOB＝60°， ∴S阴影＝S扇形BODπ×22． 故答案为：． 46．（2025•河南模拟）·【提升】如图，在△ABC中，BC＝2，，AB＝4，点D为AB的中点，以C为圆心，CD为半径画弧，交AC于点E，则图中阴影部分的面积是 　 　 ． 【分析】根据勾股定理的逆定理证明∠ACB＝90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半及等边三角形的判定与性质求得∠BCD＝60°，从而求出∠DCE的度数，由扇形面积公式求出扇形DCE的面积，最后根据S阴影＝S△ACD﹣S扇形DCE求出阴影部分的面积即可． 【解答】解：∵BC＝2，，AB＝4， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵D为AB的中点， ∴BD＝CDAB＝2， ∵BC＝2， ∴BC＝BD＝CD＝2， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠BCD＝60°， ∴∠DCE＝90°﹣60°＝30°， ∴S扇形DCEπ×22， ∵S△ACDS△ABCAC•BC22， ∴S阴影＝S△ACD﹣S扇形DCE． 故答案为：． 47．（2025•宝安区模拟）·【提升】如图，AB是半圆O的直径，D是的中点，E是的中点，连接OD，OE，若OA＝2，则图中两个阴影部分的弧长和为 　 　 ． 【分析】根据圆的周长公式计算即可． 【解答】解：∵D是的中点，E是的中点， ∴，， ∴DE， ∵2DE2π×22π， ∴DEπ， ∴DEπ． 故答案为：π． 48．（2025•隆昌市校级二模）·【提升】已知如图，扇形OAB的半径为2cm，弧长为cm，求阴影部分的面积为 　 　 ． 【分析】过点O作OH⊥AB于点H，根据弧长公式求出∠AOB的度数，由等边三角形的判定与性质、特殊角的三角形函数值、三角形的面积公式求出△AOB的面积，由扇形面积公式求出扇形AOB的面积，再根据阴影部分的面积＝扇形AOB的面积﹣△AOB的面积计算即可． 【解答】解：如图，过点O作OH⊥AB于点H． 设∠AOB＝n°， 根据题意，得2π×2π， 解得n＝60， ∴∠AOB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝2cm， ∵∠AOH∠AOB＝30°， ∴OH＝OA•cos∠AOH＝2（cm）， ∴S△AOBAB•OH2（cm2）， ∵S扇形AOB2π（cm2）， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝（）（cm2）． 故答案为：（）cm2． 50．（2025春•宝山区期末）·【提升】一个闹钟的时针长6cm，从中午12：00到下午4：00，时针扫过的面积是 　 　 平方厘米．（保留π） 【分析】求出时针一个小时转过的角度，从而求出时针从中午12：00到下午4：00经过4个小时转过的角度，再由扇形面积公式计算时针扫过的面积即可． 【解答】解：时针一个小时转过的角度为360°÷12＝30°， 时针从中午12：00到下午4：00经过4个小时转过的角度为30°×4＝120°，则时针扫过的面积是π×62＝12π（平方厘米）． 故答案为：12π． 71．（2026•江阳区模拟）·【提升】若圆锥的底面半径为4cm，侧面积为20πcm2，则圆锥的母线为 　 　 cm． 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【解答】解：20π÷（2π×4）＝5（cm）， ∴圆锥的母线为5cm． 故答案为：5． 72．（2026•西湖区校级三模）·【提升】如图，小东用半径36cm，圆心角为120°的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是 　 　 cm． 【分析】设这个圆锥形生日帽的底面半径是rcm，根据弧长公式列关于r的一元一次方程并求解即可． 【解答】解：设这个圆锥形生日帽的底面半径是rcm． 根据题意，得2πr2π×36， 解得r＝12， ∴这个圆锥形生日帽的底面半径是12cm． 73．（2025秋•苍梧县期末）·【提升】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为10πm，扇形的圆心角的度数是90°，则圆锥的侧面积为 　 　 （结果保留π）． 【分析】设圆锥的母线长为未知数，根据弧长公式列方程，求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式（用母线表示）计算即可． 【解答】解：设圆锥的母线长为Rm． 根据题意，得2πR＝10π， 解得R＝20， 20×10π＝100π（m2）， ∴圆锥的侧面积为100πm2． 故答案为：100πm2． 74．（2024秋•罗江区期末）·【提升】若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，弧长为2π的扇形，则此圆锥的高为 　 　 ． 【分析】根据弧长公式求出圆锥的母线长，根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，再由勾股定理求出圆锥的高即可． 【解答】解：设圆锥的母线长R，则2πR＝2π， 解得R＝3， 设圆锥的底面半径为r，则2πr＝2π， 解得r＝1， 根据勾股定理，得圆锥的高为2． 故答案为：2． 76．（2024秋•费县期末）·【提升】如图，要用一个半径为24cm扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为10cm，则这个扇形的圆心角的度数为 　 　 ． 【分析】设这个扇形的圆心角的度数为n°，利用弧长公式和圆的周长公式，根据弧长等于底面圆周长列方程计算即可得到答案． 【解答】解：设这个扇形的圆心角的度数为n°． 根据题意，得2π×24＝2π×10， 解得n＝150， ∴这个扇形的圆心角的度数为150°． 故答案为：150°． 78．（2024秋•延长县期末）·【提升】将圆心角为90°，半径为16的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 　 　 ． 【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，据此利用弧长和圆的周长公式列关于r的方程并求解即可． 【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为r． 根据题意，得2πr2π×16， 解得r＝4， ∴这个圆锥的底面圆半径为4． 故答案为：4． 80．（2025•大理市校级四模）·【提升】“五育课堂”手工课开课啦！某同学制作了一个圆锥模型，其侧面展开图的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则这个圆锥的母线长为 　 　 ． 【分析】设这个圆锥的母线长为未知数，利用弧长公式列方程并求解即可． 【解答】解：设这个圆锥的母线长为R， 根据题意，得2πR＝2π×1， 解得R＝3， ∴这个圆锥的母线长为3． 故答案为：3． 81．（2025•泉山区校级模拟）·【提升】若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为120°扇形，则该圆锥的侧面面积为 　 　 cm2． 【分析】利用扇形面积公式计算即可． 【解答】解：π×22（cm2）， ∴该圆锥的侧面面积为cm2． 故答案为：． 82．（2025•淮阴区模拟）·【提升】圆锥的底面圆直径为16cm，母线为10cm，则圆锥的侧面积为 　 　 ． 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【解答】解：10×16π＝80π（cm2）， ∴圆锥的侧面积为80πcm2． 故答案为：80πcm2． 83．（2025•西宁一模）·【提升】九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品，这种圆锥型工艺品的母线长为40cm，底面圆的半径为30cm，则该圆锥的侧面积为 　 　 cm2． 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【解答】解：40×（2π×30）＝1200π（cm2）， ∴该圆锥的侧面积为1200πcm2． 故答案为：1200π． 84．（2025•沛县校级一模）·【提升】如图，在一张正方形纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，恰好能围成一个圆锥的表面．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于90°，则扇形的半径是 　 　 ． 【分析】设扇形的半径为未知数，利用弧长公式，根据“扇形的弧长＝圆的周长”列方程并求解即可． 【解答】解：设扇形的半径为r，则2πr＝2π×1， 解得r＝4． 故答案为：4． 85．（2024秋•荔湾区校级期末）·【提升】如图，有一直径是的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形BAC．用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥底面圆的半径为 　 　 ． 【分析】连接BC，根据圆周角定理证明BC是⊙O的直径，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB；设圆锥底面圆的半径为rm，由弧长公式和圆的周长公式列关于r的方程并求解即可． 【解答】解：如图，连接BC． ∵∠BAC＝90°， ∴BC是⊙O的直径， ∴点O在BC上． 在Rt△ABC中利用勾股定理，得2AB2＝BC2，即2AB2＝（）2， 解得AB＝1或AB＝﹣1（舍去）． 设圆锥底面圆的半径为rm， 根据题意，得2πr2π×1， 解得r， ∴圆锥底面圆的半径为m． 故答案为：m． 86．（2024•呼和浩特）·【提升】如图是平行四边形纸片ABCD，BC＝36cm，∠A＝110°，∠BDC＝50°，点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，则∠NMC＝　 　 度；将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 　 　 cm． 【分析】根据平行四边形的性质和圆周角定理计算∠NMC，再根据“弧CN的长度等于圆锥底的周长”及弧长公式和圆的周长公式计算这个圆锥的底面圆半径即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ADC＝180°﹣∠A＝70°， ∵∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝20°， ∵AD∥BC， ∴∠DBC＝∠ADB＝20°， ∵点M为BC的中点， ∴BM＝MC， ∵以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N， ∴MN＝MC， ∴BM＝MC＝MN， ∴点B、C、N在以点M为圆心的圆上， ∴∠NMC＝2∠DBC＝40°， ∵MCBC＝18cm， ∴弧CN的长度为2π•MC•4π， 设这个圆锥的底面圆半径为rcm， 则2πr＝4π， 解得r＝2， ∴这个圆锥的底面圆半径为2cm． 故答案为：40，2． 87．（2024秋•老河口市校级月考）·【提升】工人师傅用一张半径为24cm，圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 　 　 ． 【分析】设这个圆锥的底面圆半径为rcm，利用弧长公式，根据圆锥的底面周长＝扇形的弧长列关于r的方程并求解即可． 【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为rcm． 根据题意，得2πr2π×24， 解得r＝10， ∴这个圆锥的底面圆半径为10cm． 故答案为：10cm． 88．（2024秋•沛县月考）·【提升】若圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则其侧面积为 　 　 cm2（结果保留π）． 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【解答】解：2×4π×6＝24π（cm2）， ∴该圆锥的侧面积为24πcm2． 故答案为：24π． 89．（2024•福建模拟）·【提升】若一个圆锥的底面半径是3cm，母线长是8cm，则其侧面展开图的面积是　 　 cm2．（结果保留π） 【分析】利用圆锥的侧面积公式计算． 【解答】解：圆锥侧面展开图的面积2×3π×8 ＝24π（cm2）， 故答案为：24π． 90．（2024秋•桥西区校级期中）·【提升】（1）若圆锥的底面半径为3，侧面积为12π，则这个圆锥的母线长为 　 　 ； （2）若圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 　 　 °． 【分析】（1）设这个圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面积公式列关于R的一元一次方程并求解即可； （2）设该圆锥侧面展开图的圆心角是n°，根据弧长公式列关于n的一元一次方程并求解即可． 【解答】解：（1）设这个圆锥的母线长为R，则2π×3R＝12π， 解得R＝4， ∴这个圆锥的母线长为4． 故答案为：4． （2）设该圆锥侧面展开图的圆心角是n°． 该圆锥的底面半径为3（cm），则2π×5＝2π×3， 解得n＝216， ∴该圆锥侧面展开图的圆心角是216°． 故答案为：216． 52．（2026春•嘉定区期中）·【提升】拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮．如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米． （1）如果拖拉机模型向前行驶188.4米，那么它的一个后轮滚动了 　 　 圈；（π取3.14） （2）如果拖拉机模型的一个前轮和一个后轮一共滚动了700圈，那么这辆拖拉机模型向前行驶了多少米？（π取3.14） （3）拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留π） 【分析】（1）依据题意，先计算后轮滚动一圈向前行驶了188.4厘米，据此计算即可求得答案； （2）依据题意，先计算前后轮滚动圈数比为5：2，得到前轮滚动500圈，据此计算即可求得答案； （3）依据题意，画出图形，利用圆的面积公式和长方形的面积公式求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得一个后轮滚动一圈向前行驶了3.14×60＝188.4（厘米）， ∴拖拉机模型向前行驶188.4米，那么它的一个后轮滚动了100圈． 故答案为：100； （2）由题意，前后轮滚动圈数比， ∴前轮滚动500圈，后轮滚动200圈． ∴500×0.24π＝120π＝376.8（米）． 答：这辆拖拉机向前行驶了376.8米； （3）这一过程中前轮扫过的面积如图， ，，，， ∴这一过程中前轮扫过的面积是 （360+288π）平方厘米． 53．（2025秋•雁塔区校级期末）·【提升】【问题提出】 （1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，则BC与AB的数量关系为　 　 ． 【问题探究】 （2）如图②，已知∠ABC＝30°，请用尺规作图法，在直线AB上求作一点D，使得∠ADC＝90°，BC＝2CD． 【问题解决】 （3）如图③，为庆祝被誉为“中国最美公路”的独库公路通车，路政工作人员将公路与市区干道交汇处的不规则空地ABC用鲜花进行布置，不同品种的鲜花之间需要用隐形花档PD，DE，PE进行区分，经测量AB＝20米，BC＝10米，∠ABC＝60°，弧形公路AC的圆心角为60°，在大方美观的基础上，为控制成本，试计算说明至少需要多少米的隐形花档才能完成布置． 【分析】（1）依据题意，过A作AH⊥BC于H，由AB＝AC，∠BAC＝120°，可得∠BAH∠BAC＝60°，BC＝2BH，故∠ABH＝90°﹣∠BAH＝30°，进而BHAB，可得BC＝2BHAB，即可得解； （2）依据题意，在∠ABC的外部取一点P，以C为圆心，CP长为半径画圆，交直线AB于M、N两点，再分别以M、N为圆心，大于MN长在直线AB的不同于C的另一侧画弧，两弧交于点Q，作直线CQ交AB于点D，则∠ADC＝90°，结合∠ABC＝30°，故BC＝2CD，从而可以作图得解； （3）依据题意，设弧形公路AC的圆心为O，连接OA、OC、AC，∠AOC＝60°，OA＝OC，可得△AOC为等边三角形，再作AH⊥BC于H，从而判断出H、C重合，可得AC＝OA＝OC10（米），又分别作P关于直线BC、直线AB的对称点P1，P2，连接P1P2分别交AB，BC于点D、点E，再连接CP1，CP2，故根据两点之间线段最短，此时△PDE的周长最小，最小值为P1P2，再由对称性可得，∠PBA＝∠P2BA，∠PBC＝∠P1BC，求出∠P1BP2＝2∠ABC＝120°，结合（1）的结论可得，P1P2PB，进而当PB最小时，P1P2最小，又连接OB，当P在OB上时，PB最小，最后结合∠CAB＝90°﹣∠ABC＝30°，可得OB10（米），进而得解． 【解答】解：（1）由题意，过A作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠BAH∠BAC＝60°，BC＝2BH． ∴∠ABH＝90°﹣∠BAH＝30°． ∴BHAB． ∴BC＝2BHAB，即BCAB． 故答案为：BCAB； （2）由题意，在∠ABC的外部取一点P，以C为圆心，CP长为半径画圆，交直线AB于M、N两点，再分别以M、N为圆心，大于MN长在直线AB的不同于C的另一侧画弧，两弧交于点Q，作直线CQ交AB于点D，则∠ADC＝90°， ∵∠ABC＝30°， ∴BC＝2CD． 作图如下： ； （3）由题意，如图，设弧形公路AC的圆心为O，连接OA、OC、AC， ∵∠AOC＝60°，OA＝OC， ∴△AOC为等边三角形． 作AH⊥BC于H， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∴BHAB＝10米， 又∵BC＝10米， ∴H、C重合． ∴AC⊥BC． ∴AC＝OA＝OC10（米）． 分别作P关于直线BC、直线AB的对称点P1，P2，连接P1P2分别交AB，BC于点D、点E，再连接CP1，CP2， ∴根据两点之间线段最短，此时△PDE的周长最小，最小值为P1P2． 又∵根据对称性可得，∠PBA＝∠P2BA，∠PBC＝∠P1BC， ∴∠P1BP2＝2∠ABC＝120°， 又∵P1B＝P2B＝PB， ∴由（1）的结论可得，P1P2PB． ∴当PB最小时，P1P2最小． 连接OB，当P在OB上时，PB最小． ∵∠CAB＝90°﹣∠ABC＝30°， ∴∠OAB＝∠OAC+∠CAB＝60°+30°＝90°． ∴OB10（米）． ∴PB的最小值为（1010）米． ∴P1P2的最小值为PB（1010）米＝（1030）米． ∴△PDE的周长最小值为（1030）米． ∴为控制成本，至少需要（1030）米的隐形花档才能完成布置． 54．（2024秋•青浦区期末）·【提升】线段AB，AC，点A，点D与点B如图所示（A，B，C三点共线）．其中AB＝a，AC＝b，点A与点D之间的距离AD＝c，点B与点D之间的距离为BD＝d． （1）以点C为旋转中心将线段AB逆时针旋转90°，那么线段扫过的面积如何表示？ （2）以点D为旋转中心将线段AB逆时针旋转90°，那么线段扫过的面积如何表示？当c＝1，d时，扫过的面积是多少？（结果保留π） 【分析】（1）（2）分别画出旋转后的图形，利用扇形面积公式，计算两个扇形面积之差即线段扫过的面积； 【解答】解：（1）旋转后的图形如图所示： S扇形BCB′﹣S扇形ACA′ π（a+b）2πb2 （a2+2ab）． 答：线段扫过的面积为（a2+2ab）． （2）旋转后的图形如图所示： 当c＝1，d时， S扇形BDB′﹣S扇形EDF πd2πc2 （d2﹣c2） （d+c）（d﹣c） （1）×（1） ． 55．（2025春•新泰市期中）·【提升】将如图所示的一个圆分割成三个扇形，这三个扇形的圆心角的度数比为∠AOB：∠BOC：∠AOC＝2：3：4． （1）求这三个扇形的圆心角的度数； （2）若圆的半径为2cm，请分别求出这三个扇形的面积（结果保留π）． 【分析】（1）根据三个扇形的圆心角的度数比分别计算即可； （2）根据扇形面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵∠AOB：∠BOC：∠AOC＝2：3：4， ∴∠AOB＝360°80°，∠BOC＝360°120°，∠AOC＝360°﹣80°﹣120°＝160°． （2）S扇形AOBπ×22（cm2）， S扇形BOCπ×22（cm2）， S扇形AOCπ×22（cm2）． 56．（2025春•徐汇区校级期中）·【提升】如图，扇形AOB的圆心角是120°，弧CD的长度是6.28厘米，AC的长度是3厘米，求阴影部分的面积．（π取3.14） 【分析】根据弧长公式，列关于OC的方程并求解，从而求出OA，再根据阴影部分的面积＝扇形AOB的面积﹣扇形COD的面积计算即可． 【解答】解：根据题意，得2π•OC＝6.28， 解得OC＝3， 则OA＝AC+OC＝3+3＝6（厘米）， π×623×6.28＝28.26（平方厘米）． 答：阴影部分的面积是28.26平方厘米． 57．（2025春•宝山区校级期末）·【提升】如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，连接AC，并以CD为直径画半圆，求阴影部分的面积．（结果保留π） 【分析】根据全等三角形的判定与性质、扇形面积公式计算即可． 【解答】解：如图． 在Rt△AEF与Rt△COF中， ， ∴Rt△AEF≌Rt△COF（AAS）， ∴SRt△AEF＝SRt△COF， ∴S阴影＝S扇形COEπ×12． 58．（2025春•宝山区期末）·【提升】如图，长方形的长和宽分别为10cm和6cm，求涂色部分的面积和周长．（π取3.14） 【分析】根据圆的面积和周长、长方形的面积公式计算即可． 【解答】解：10×6π×（10﹣6）2π×62＝60﹣13π＝19.18（cm2）， 2π×（10﹣6）2π×6+[6﹣（10﹣6）]+10＝5π+12＝27.7（cm）， ∴涂色部分的面积为19.18cm2，周长为27.7cm． 59．（2025•思明区二模）·【提升】如图，有一栋底面呈长方形的建筑物，长12m，宽6m，墙角有一根木桩，木桩上拴着一只小狗，拴小狗的绳子长为x米． （1）若x≤6，当小狗的活动区域面积为3πm2时，求绳子长； （2）若x≤12，请判断小狗的活动区域面积能否达到163πm2，并说明理由． 【分析】（1）作出平面图，画出小狗的活动区域，根据扇形面积公式列关于x的方程并求解即可； （2）分别讨论x≤6、6＜x≤12两种情况下小狗的活动区域，分别根据扇形面积公式列关于x的方程并求解即可． 【解答】解：（1）平面图如图所示： 如图1，当x≤6时，阴影部分是小狗的活动区域， 根据题意，得πx2＝3π， 解得x1＝2，x2＝﹣2（舍去）， ∴绳子长2m． （2）若x≤12，小狗的活动区域面积不能达到163πm2．理由如下： 如图1，当x≤6时，当小狗的活动区域面积达到163πm2，得πx2＝163π， 解得x16（舍去），x2（舍去）； 如图2，当6＜x≤12时，阴影部分是小狗的活动区域， 根据题意，得π×62π（x﹣6）2＝163π， 解得x1＝6+412，x2＝6﹣4（舍去）． 综上，若x≤12，小狗的活动区域面积不能达到163πm2． 60．（2025•沛县模拟）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝6，∠DPA＝45°． （1）求⊙O的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接AE，根据垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质求出∠AOE的度数，再由特殊角的三角形函数求出半径即可； （2）连接OF，求出∠CDP的度数，根据圆周角定理求出∠EOF的度数，利用三角形和扇形面积公式分别求出扇形EOF的面积和三角形EOF的面积，再根据阴影部分的面积＝扇形EOF的面积﹣三角形EOF的面积列式计算即可． 【解答】解：（1）如图，连接AE， ∵弦DE垂直平分半径OA， ∴AE＝OE， ∵OA＝OE， ∴OA＝OE＝AE， ∴△AOE是等边三角形， ∴∠AOE＝60°， ∵CEDE＝3， ∴OE2， ∴⊙O的半径为2． （2）连接OF， ∵弦DE垂直平分半径OA， ∴∠DCP＝90°， ∵∠DPA＝45°， ∴∠CDP＝45°， ∴∠EOF＝2∠CDP＝90°， ∴S扇形EOFπ×（2）2＝3π，S△EOF226， ∴S阴影＝S扇形EOF﹣S△EOF＝3π﹣6． 93．（2024秋•海港区期末）·【提升】如图1，冰激凌的外壳（不计厚度）可近似的看作圆锥，其母线长为12cm，底面圆直径长为10cm． （1）这个冰激凌外壳的侧面展开图的形状是 　 　 ； （2）当冰激凌被吃掉一部分后，其外壳仍可近似的看作圆锥，如图2，其母线长为9cm，求此时冰激凌外壳的侧面积．（结果保留π） 【分析】（1）圆锥的侧面展开图是一个扇形，据此作答即可； （2）根据弧长公式求出这个冰激凌外壳的侧面展开后所得扇形的圆心角的度数，再计算冰激凌被吃掉一部分后外壳的侧面积即可． 【解答】解：（1）这个冰激凌外壳的侧面展开图的形状是扇形． 故答案为：扇形． （2）设这个冰激凌外壳的侧面展开后所得扇形的圆心角是n°． 根据题意，得2π×12＝10π， 解得n＝150， ∴这个冰激凌外壳的侧面展开后所得扇形的圆心角是150°， π×92π（cm2）． 答：此时冰激凌外壳的侧面积是πcm2． 过关测试（综合检测） 1．（2025•靖远县二模）·【基础】小文在假期旅游时，看到了一个美丽的圆弧形门洞（如图），她对这个门洞进行了测量，测得圆弧上任意两点间的最大距离为2.4m，门洞最底部的两个端点A，B和圆弧上一点C构成的∠ACB＝30°，则这个门洞的圆弧长为（　　） A．4πm B．2πm C． D． 【分析】设这个门洞的圆弧的圆心为O，根据圆周角定理求出∠AOB的度数，从而求出所对的圆心角的度数，再根据弧长公式求出这个门洞的圆弧长即可． 【解答】解：画示意图如图所示． 由题意可知，圆O的直径为2.4m， ∵∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝2×30°＝60°， ∴所对的圆心角是360°﹣60°＝300°， ∴π×2.4＝2π（m）， ∴这个门洞的圆弧长为2πm． 故选：B． 教学提示：围绕「旋转扫过区当成整圆而非扇形」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 2．（2025•安州区模拟）·【基础】如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积（　　） A． B． C． D． 【分析】利用菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理和扇形面积公式，根据阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣空白部分的面积计算即可． 【解答】解：如图，设AC与BD交于点O． ∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝6， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝6， ∴OAAC＝3， 在Rt△AOB中利用勾股定理，得OB3， ∴BD＝2OB＝6， ∴S菱形ABCDBD•AC66＝18， ∵S空白＝（）2π＝9π， ∴S阴影＝S菱形ABCD﹣S空白＝189π． 故选：A． 教学提示：围绕「不会把阴影拆成规则图形的加减」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 3．（2025•山西模拟）·【基础】如图，已知扇形OAB，在其内部作一个菱形ODCE，其中点D，E分别在OA，OB上，点C在上．若OA＝4，∠AOB＝60°，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OC、DE交于点F，根据菱形的性质和特殊角的三角形函数求出DE，从而求出菱形ODCE的面积，进而求出△CEO的面积，再利用扇形面积公式，根据阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△CEO的面积计算即可． 【解答】解：如图，连接OC、DE交于点F． ∵OA＝4， ∴OC＝OA＝4， ∵ODCE是菱形， ∴OFOC＝2，DE⊥OC， ∵∠AOB＝60°， ∴∠EOF∠AOB＝30°， ∴EF＝OF•tan∠DOF＝2， ∴DE＝2DF， ∴S菱形ODCEOC•DE4， ∴S△CEOS菱形ODCE， ∵S扇形BOCπ×42， ∴S阴影＝S扇形BOC﹣S△CEO． 故选：A． 教学提示：围绕「不会把阴影拆成规则图形的加减」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 4．（2025春•南岗区校级期中）·【基础】一个正方体容器装满水，再用正方体容器中的水将一个与它等底面积且等高的圆锥形容器倒满，这时正方体容器中还剩18升水．正方体容器的棱长是（　　）（容器厚度不计） A．7分米 B．5分米 C．3分米 D．4分米 【分析】设正方体容器的棱长是x分米，根据圆锥和正方体的体积公式列关于x的方程并求解即可． 【解答】解：设正方体容器的棱长是x分米． 根据题意，得x2•x+18＝x3， 解得x＝3， ∴正方体容器的棱长是3分米． 故选：C． 教学提示：第 65 题是正方体倒水入圆锥剩 18 升，用 V锥 = ⅓πr²h 与剩下体积反推棱长，提醒容器厚度不计。 5．（2025•河北模拟）·【提升】如图，等边三角形ABC的边长为8，以AB边为直径作半圆，分别与AC，BC相交于点D，E，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OD、OE，过点O作OF⊥DE交DE于点F，根据等边三角形的判定与性质，利用三角形和扇形面积公式，由阴影部分的面积＝扇形DOE﹣△DOE的面积计算即可． 【解答】解：如图，连接OD、OE，过点O作OF⊥DE交DE于点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， ∵OA＝OD＝OB＝OEAB＝4， ∴△AOD与△BOE为等边三角形， ∴∠AOD＝60°，∠BOE＝60°， ∴∠DOE＝60°， ∴△DOE为等边三角形， ∴∠ODE＝60°，DE＝OD＝OE＝4， ∴OF＝OD•sin∠ODE＝42， ∴S△DOEDE•OF4×24， ∵S扇形DOEπ×42， ∴S阴影＝S扇形DOE﹣S△DOE4． 故选：D． 教学提示：围绕「不会把阴影拆成规则图形的加减」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 6．（2025•南阳二模）·【提升】如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，将扇形OAB沿OB方向平移得到扇形O′A′B′，当O′A′恰好经过的中点C，OA＝2时，图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝和∠BOC的度数，再由平移的性质和特殊角的三角形函数值求出OO′和O′C的长，从而利用三角形和扇形的面积公式，分别求出△OO′C和扇形AOC的面积，进而根据阴影部分的面积＝△OO′C的面积+扇形AOC的面积计算即可． 【解答】解：如图，连接OC． ∵∠AOB＝90°，O′A′恰好经过的中点C， ∴∠AOC＝∠BOC∠AOB90°＝45°， ∵将扇形OAB沿OB方向平移得到扇形O′A′B′， ∴∠A′O′B′＝90°， ∴OO′＝O′C＝OC•sin∠BOC＝2， ∴S△OO′COO′•O′C1， ∵S扇形AOCπ×22， ∴S阴影＝S△OO′C+S扇形AOC1． 故选：B． 教学提示：围绕「旋转扫过区当成整圆而非扇形」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 7．（2025•香洲区二模）·【提升】如图，四条边都大于2的平行四边形ABCD，分别以四个顶点为圆心，半径都为1在四边形内画弧，则阴影部分四段弧长之和为（　　） A． B．π C．2π D．4π 【分析】设平行四边形ABCD的四个内角分别是n1°，n2°，n3°，n4°，利用弧长公式与四边形内角和计算四段弧长之和即可． 【解答】解：设平行四边形ABCD的四个内角分别是n1°，n2°，n3°，n4°， 2π×12π×12π×12π×12π×12π×1＝2π， ∴阴影部分四段弧长之和为2π． 故选：C． 教学提示：围绕「旋转扫过区当成整圆而非扇形」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 8．（2025春•杨浦区校级期中）·【提升】下列说法正确的有（　　）个． ①圆的周长是直径的3.14倍； ②圆心角是30°的两个扇形，它们的面积一样大； ③小圆与大圆的半径之比是1：2，则它们的面积之比是1：4； ④半圆形铁片的直径为16，则它的周长为8π+16； ⑤甲地到乙地，甲车要6小时，乙车要8小时，甲车和乙车的速度比是3：4． A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 【分析】①根据圆的周长公式判断即可； ②根据扇形的面积公式判断即可； ③根据圆的面积公式判断即可； ④根据半个圆周的长度+直径列式计算即可； ⑤根据路程相等，速度与时间成反比计算即可． 【解答】解：圆的周长是直径的π倍， ∴①不正确，不符合题意； 在同圆或等圆中，圆心角是30°的两个扇形，它们的面积一样大， ∴②不正确，不符合题意； 小圆与大圆的半径之比是1：2，则它们的面积之比是1：4， ∴③正确，符合题意； 半圆形铁片的直径为16，则它的周长为π×16+16＝8π+16， ∴④正确，符合题意； 设甲、乙两地的距离为S，则甲车和乙车的速度比是4：3， ∴⑤不正确，不符合题意． 综上，正确的选项有2个，分别是③④． 故选：B． 教学提示：围绕「弧长公式漏乘 n/180，误写成 πr」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 9．（2026•雁塔区校级模拟）·【提升】如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°，弧长为6π的扇形，则圆锥的高h为（　　） A．9 B． C． D． 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，由弧长公式求出圆锥的母线，再由勾股定理计算圆锥的高即可． 【解答】解：圆锥的底面半径为6π÷2π＝3， 圆锥的母线为6π÷（2π）＝9， 利用勾股定理，得圆锥的高h6． 故选：C． 教学提示：围绕「把扇形半径当成圆锥的高 h」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 10．（2025•梁溪区一模）·【提升】小红用彩色纸制作了一个圆锥型的生日帽，其底面半径为9cm，母线长为20cm，不考虑接缝，这个生日帽的侧面积为（　　） A．180πcm2 B．180cm2 C．360πcm2 D．360cm2 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【解答】解：20×（2π×9）＝180π（cm2）， ∴这个生日帽的侧面积为180πcm2． 故选：A． 教学提示：围绕「把扇形半径当成圆锥的高 h」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 11．（2025春•宝山区校级期末）·【基础】把一个圆剪成两个扇形，如果其中较小扇形的圆心角为120度，那么较小扇形的弧长与较大扇形的弧长的比为 　 　 ． 【分析】根据弧长计算公式计算即可． 【解答】解：设这个圆的半径为r，则2πr：2πr＝1：2． 故答案为：1：2． 教学提示：围绕「弧长公式漏乘 n/180，误写成 πr」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 12．（2025春•锦江区校级月考）·【基础】如图，已知点A，B，C依次在⊙O上，∠C＝40°，OA＝4，则的长为 　 　 ． 【分析】由圆周角定理求出∠AOB的度数，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：∵∠C＝40°， ∴∠AOB＝2∠C＝80°， ∵OA＝4， ∴2π×4． 故答案为：． 教学提示：围绕「弧长公式漏乘 n/180，误写成 πr」设计课堂提问，并布置一道同型变式巩固。 13．（2026春•浦东新区校级期中）·【提升】如图，直线上有A、B、O三点，点A与点O的距离为8米，比点B与点O的距离多，若以O为圆心，以点B与点O的距离为半径作圆心角为90°的扇形，其面积记为S1（结果保留π）． （1）求S1的值． （2）若有一个动点P以每秒2米的速度从A出发向右匀速运动，则当点P运动多少秒时，点P到点B的距离与点P到点O的距离的比为2：1． （3）在（2）的条件下，连接BC、CP，将三角形CPB的面积记为S2，求S1与S2不重合部分的面积． 【分析】（1）先求出半径，再根据扇形的面积公式计算求解； （2）分类讨论，根据“BP：PO＝2：10”列方程求解； （3）由（2）的结论，根据三角形的面积公式求解． 【解答】解：（1）点B与点O的距离为： （米）； A、B两点的距离为：8﹣6＝2（米）； （平方米）， 答：S1的值为9π平方米． （2）由题意可知：BP：PO＝2：1， 当P点运动到O点左侧时（图①），BO＝6 米， 所以BP＝4米，AP＝2+4＝6（米），6÷2＝3（秒）， 当P点运动到O点右侧时（图②），BP：PO＝2：1， ∴BO＝OP＝6米，（2+6+6）÷2＝7（秒）， 答：点P运动3秒或7秒时，点P到点B的距离与点P到点O的距离的比为2：1． （3）当P运动3秒时：S2＝4×6÷2＝12 （平方米）； 不重合面积为：S1﹣S2＝（9π﹣12）（平方米）； 当P运动7秒时不重合面积为：S1+S△COP＝S△COB：S△COP＝S△COB． ∴不重合面积为 S1＝9π （平方米）． 答：S1S2 不重合部分的面积是（9π﹣12）平方米或 9π平方米． 教学提示：第 51 题把扇形面积与动点、不重合面积综合，建议拆三问分别讲，避免学生被长题干吓住。 苏科版2024 · 扇形（弧长与扇形面积）及圆锥的侧面积 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2024 · 扇形（弧长与扇形面积）及圆锥的侧面积 3.7扇形（弧长与扇形面积）及圆锥的侧面积 苏科版（2024）九上易错专题 苏科版2024 班级：________________ 姓名：________________ 本专题面向苏科版（2024）九上 3.7「扇形」，把易错题池中 95 道易错题按「易错原因」重新聚合，而非按知识点顺序罗列。3.7 含 3.7.1 弧长及扇形面积（题号 1–60）与 3.7.2 圆锥的侧面积（题号 61–95）两节，学生在此处高频失分集中在五类病根：①弧长与扇形面积公式记混、圆心角与弧度混淆；②组合图形阴影面积不会割补或边界算错；③旋转/平移扫过的面积与弧长识别不清；④圆锥侧面展开的基本量关系（母线 l、底面半径 r、高 h、圆心角 n、侧面积）张冠李戴；⑤绕边旋转成型、圆锥体积与全面积比等综合题漏想旋转轴。每个模块由一道精讲例题搭配即时巩固与文末综合过关测试，即学即练，适合课堂讲评与课后纠错。 目录 易错点1：弧长与扇形面积公式直接应用（记混 / 漏算圆心角） 易错点2：阴影面积——扇形与规则图形的割补组合（静态） 易错点3：旋转 / 平移扫过的面积与弧长（动态几何） 易错点4：圆锥侧面展开——母线 / 底面半径 / 高 / 圆心角 / 侧面积关系 易错点5：圆锥综合与旋转成型（绕边旋转 / 体积 / 全面积比） 易错点1：弧长与扇形面积公式直接应用（记混 / 漏算圆心角） 学习目标 · 能准确写出弧长公式 l = nπr/180 与扇形面积公式 S = nπr²/360 = ½lr · 会在弧长、面积、半径、圆心角之间互求，不混淆圆心角度数与弧度 · 能识别半圆周长 = πr + 2r、扇形面积比较需同圆心角且半径相同 纠错指引 弧长 l = nπr/180（n 为圆心角度数，非弧度）；扇形面积 S = nπr²/360 = ½lr。互求时先锁定已知两量：已知 l、r 求 n 用 n = 180l/(πr)；已知 S、r 求 l 用 l = 2S/r。半圆周长含一条直径，不是 πr。 精讲例题 例题1．（2025•安徽三模）·【提升】一个扇形的半径为4，弧长等于3π，则扇形的圆心角度数为（　　） A．120° B．135° C．150° D．270° 易错倾向标签：易记错｜易漏算 【本题核心易错点】 · 弧长公式漏乘 n/180，误写成 πr · 扇形面积误用 πr²（整圆）或漏 1/360 · 圆心角与弧度混淆、半圆周长漏加直径 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固1．（2025秋•长沙期中）·【基础】一个扇形的圆心角为120°，半径为5，则这个扇形的面积为 　 　 ．（结果保留π） 即时巩固2．（2024秋•纳溪区期末）·【提升】已知一个扇形的面积为12πcm2，半径为，则它的圆心角度数为 　 　 ． 即时巩固3．（2025•涟水县二模）·【提升】如果一个扇形的圆心角为30°，面积是，那么这个扇形的半径为 　 　 ． 易错点2：阴影面积——扇形与规则图形的割补组合（静态） 学习目标 · 会把阴影拆成「扇形 ± 三角形 ± 圆」的加减运算 · 能识别等积变换（如阴影面积 = 某三角形面积）减少计算量 · 注意半圆、扇形边界，避免把弧长当线段或漏减重叠部分 纠错指引 先观察阴影由哪些规则图形（扇形、三角形、圆、正方形、菱形）叠加或挖去得到。扇面形阴影 = 大扇形 − 小扇形；含弧的阴影常等于某三角形（等积变换）。下笔前用彩色笔标出每个边界属于哪个图形。 精讲例题 例题2．（2026•铜仁市校级一模）·【基础】如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（　　） A． B．3m2 C． D． 易错倾向标签：易拆错｜易漏减 【本题核心易错点】 · 不会把阴影拆成规则图形的加减 · 漏减重叠部分或多加公共区域 · 识别不到等积变换、把弧长当线段边界 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固4．（2025•礼县三模）·【提升】已知正方形的边长为3，对角线AC，BD交于点O，以O为圆心，AB长为半径作圆心角为90°的扇形EOF，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 即时巩固5．（2026•东兴区校级三模）·【提升】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，以点A为圆心，AD为半径的弧交BC于点E，则阴影部分的扇形面积是（　　） A． B．π C．2π D．3π 即时巩固6．（2025春•沿河县校级月考）·【提升】中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．OA、OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝20cm，OB＝10cm，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C．100πcm2 D． 易错点3：旋转 / 平移扫过的面积与弧长（动态几何） 学习目标 · 会求线段 / 图形旋转扫过的面积（以旋转中心为圆心、到图形距离为半径的扇形） · 会求平移扫过的面积（矩形 + 两端半圆）与滚动圈数 · 能求若干段弧的弧长之和、判断劣弧，处理拴绳活动区域（扇环） 纠错指引 旋转扫过面积：圆心 = 旋转中心，半径 = 图形上离旋转中心最远点的距离，圆心角 = 旋转角，扫过区 = 扇形（或扇形差）。平移扫过 = 矩形 + 两端半圆。轮子滚动圈数 = 路程 ÷ 周长。拴绳活动区域常是扇环，半径取绳子长。 精讲例题 例题3．（2025秋•浦东新区期末）·【提升】如图，将△ABC绕点B逆时针旋转n°后得到△A1BC1，其中点A、C分别与点A1、C1对应，AC与A1B交于点O，那么下列说法中错误的是（　　） A．AB＝A1B B．∠ABA1＝∠CBC1 C．阴影部分的面积与△ABA1的面积相等 D．△AA1O与△BCO的面积相等 易错倾向标签：易想错｜易漏形 【本题核心易错点】 · 旋转扫过区当成整圆而非扇形 · 平移扫过漏算两端半圆、滚动圈数算反 · 多段弧长和、劣弧判断出错 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固7．（2025•湖南）·【基础】如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 即时巩固8．（2024秋•江山市期末）·【提升】如图，将Rt△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰为BC边的中点，若AB＝1，则的长为（　　） A． B． C． D． 易错点4：圆锥侧面展开——母线 / 底面半径 / 高 / 圆心角 / 侧面积关系 学习目标 · 能区分扇形半径 = 圆锥母线 l（不是高 h），弧长 = 底面周长 2πr · 会用 nπl/180 = 2πr 求圆心角 n = 360r/l · 会算侧面积 S侧 = πrl、全面积 = πrl + πr²、高 h = √(l² − r²) 纠错指引 圆锥侧面展开是扇形：扇形半径 = 母线 l，扇形弧长 = 底面周长 2πr，故 nπl/180 = 2πr → n = 360r/l。侧面积 S侧 = πrl（不是 πr² 或 πl²）。高 h = √(l² − r²)。注意题给的是半径还是直径、是母线还是高，先标好再代。 精讲例题 例题4．（2024秋•昭阳区期末）·【提升】用一个圆心角是120°，半径是3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为（　　） A．1 B． C． D．2 易错倾向标签：易张冠李戴｜易算错 【本题核心易错点】 · 把扇形半径当成圆锥的高 h · 侧面积误用 πr² 或 πl²，漏乘 π · 半径 / 直径、母线 / 高混淆 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固9．（2025•河南校级三模）·【基础】综合实践课上，刘明和张亮合作制作一个带底的圆锥型道具，刘明裁剪侧面，张亮裁剪底面．刘明先裁出一个半径为30cm，圆心角为120°的扇形用来制作侧面（无重合，无缝隙），那么张亮裁出的圆的半径应该为（　　） A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm 即时巩固10．（2024秋•惠州期末）·【提升】综合实践课上，珍珍用半径9cm，圆心角为120°的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽．如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是（　　）cm． A．1.5 B．2.5 C．3 D．6 即时巩固11．（2024秋•杨陵区期末）·【提升】如图，圆锥底面圆的半径OB的长为5cm，母线AB的长为12cm，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 即时巩固12．（2025•宿城区校级一模）·【提升】将一个半径为6，圆心角是60°的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径＝ 　 　 ． 易错点5：圆锥综合与旋转成型（绕边旋转 / 体积 / 全面积比） 学习目标 · 会判断直角三角形绕哪条边旋转：该边为高、另一直角边为底面半径 · 会算两个圆锥的全面积比，不漏底面积 · 会用圆锥体积 V = ⅓πr²h 与排水法（水面上升体积 = 圆锥体积）求高 纠错指引 Rt△ 绕直角边旋转：旋转轴那条边是高 h，另一条直角边是底面半径 r，斜边是母线 l。全面积 S全 = πrl + πr²（含底）。两个圆锥比全面积要先分别算 S全 再比，不能只比侧面积。排水法：上升的水体积 = 圆锥体积，用 V = ⅓πr²h 反求未知量。 精讲例题 例题5．（新教材同步题）·【基础】在Rt△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，∠A＝90°．如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2，求S1：S2的值． 安安的解法如下： ∵AB＝6，AC＝8，∠A＝90°， ∴BC＝10． ∴绕直线AC旋转一周得到的圆锥的全面积S1＝60π，绕直线AB旋转一周得到的第二个圆锥的全面积S2＝80π， ∴S1：S2＝3：4． 请问安安的解法正确吗？如果不正确，请说明理由． 易错倾向标签：易漏底｜易想反 【本题核心易错点】 · 绕边旋转搞错高与底面半径 · 全面积比漏加底面、只比侧面积 · 排水法体积关系列错 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固13．（2024•济南开学）·【基础】从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”．一铁匠将铁块烧红，击打成底面半径为10厘米的圆锥，然后完全没入一底面积为314平方厘米的长方体容器里淬火，水面上升了1厘米．请你计算这个圆锥的高是多少厘米．（损耗忽略不计） 即时巩固14．（2025秋•贵州期末）·【提升】如图，有一个圆形纸片⊙O，AB是弦，量得⊙O半径为10cm，圆心角∠AOB＝120°． （Ⅰ）求弦AB的长； （Ⅱ）若用剪刀剪下这个圆心角为120°的扇形，再用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆的半径是多少？ 即时巩固15．（2025春•普陀区期末）·【提升】如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似地看作圆锥，其母线长为12cm，底面圆直径长为8cm． （1）求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； （2）当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为9cm，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留π） 本专题错因自查清单 ☐ 弧长公式漏乘 n/180、扇形面积误用 πr² ☐ 半圆周长漏加直径、扇形面积比较忽略半径 ☐ 阴影面积不会割补或漏减重叠部分 ☐ 旋转扫过区当成整圆、平移漏算两端半圆 ☐ 圆锥侧面展开中扇形半径 = 母线 l（非高 h） ☐ 侧面积 S侧 = πrl，半径/直径、母线/高混淆 ☐ 绕边旋转搞错高与底面半径、全面积比漏底 过关测试（综合检测） 1．（2025•靖远县二模）·【基础】小文在假期旅游时，看到了一个美丽的圆弧形门洞（如图），她对这个门洞进行了测量，测得圆弧上任意两点间的最大距离为2.4m，门洞最底部的两个端点A，B和圆弧上一点C构成的∠ACB＝30°，则这个门洞的圆弧长为（　　） A．4πm B．2πm C． D． 2．（2025•安州区模拟）·【基础】如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积（　　） A． B． C． D． 3．（2025•山西模拟）·【基础】如图，已知扇形OAB，在其内部作一个菱形ODCE，其中点D，E分别在OA，OB上，点C在上．若OA＝4，∠AOB＝60°，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 4．（2025春•南岗区校级期中）·【基础】一个正方体容器装满水，再用正方体容器中的水将一个与它等底面积且等高的圆锥形容器倒满，这时正方体容器中还剩18升水．正方体容器的棱长是（　　）（容器厚度不计） A．7分米 B．5分米 C．3分米 D．4分米 5．（2025•河北模拟）·【提升】如图，等边三角形ABC的边长为8，以AB边为直径作半圆，分别与AC，BC相交于点D，E，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 6．（2025•南阳二模）·【提升】如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，将扇形OAB沿OB方向平移得到扇形O′A′B′，当O′A′恰好经过的中点C，OA＝2时，图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 7．（2025•香洲区二模）·【提升】如图，四条边都大于2的平行四边形ABCD，分别以四个顶点为圆心，半径都为1在四边形内画弧，则阴影部分四段弧长之和为（　　） A． B．π C．2π D．4π 8．（2025春•杨浦区校级期中）·【提升】下列说法正确的有（　　）个． ①圆的周长是直径的3.14倍； ②圆心角是30°的两个扇形，它们的面积一样大； ③小圆与大圆的半径之比是1：2，则它们的面积之比是1：4； ④半圆形铁片的直径为16，则它的周长为8π+16； ⑤甲地到乙地，甲车要6小时，乙车要8小时，甲车和乙车的速度比是3：4． A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 9．（2026•雁塔区校级模拟）·【提升】如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°，弧长为6π的扇形，则圆锥的高h为（　　） A．9 B． C． D． 10．（2025•梁溪区一模）·【提升】小红用彩色纸制作了一个圆锥型的生日帽，其底面半径为9cm，母线长为20cm，不考虑接缝，这个生日帽的侧面积为（　　） A．180πcm2 B．180cm2 C．360πcm2 D．360cm2 11．（2025春•宝山区校级期末）·【基础】把一个圆剪成两个扇形，如果其中较小扇形的圆心角为120度，那么较小扇形的弧长与较大扇形的弧长的比为 　 　 ． 12．（2025春•锦江区校级月考）·【基础】如图，已知点A，B，C依次在⊙O上，∠C＝40°，OA＝4，则的长为 　 　 ． 13．（2026春•浦东新区校级期中）·【提升】如图，直线上有A、B、O三点，点A与点O的距离为8米，比点B与点O的距离多，若以O为圆心，以点B与点O的距离为半径作圆心角为90°的扇形，其面积记为S1（结果保留π）． （1）求S1的值． （2）若有一个动点P以每秒2米的速度从A出发向右匀速运动，则当点P运动多少秒时，点P到点B的距离与点P到点O的距离的比为2：1． （3）在（2）的条件下，连接BC、CP，将三角形CPB的面积记为S2，求S1与S2不重合部分的面积． 苏科版2024 · 扇形（弧长与扇形面积）及圆锥的侧面积 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $