3.7 扇形 同步练 2026——2027学年苏科版九年级上册数学

**基本信息** 本同步练习针对初中数学“扇形”新授课，采用“基础提质-能力提升-素养提优”三层设计，覆盖弧长、扇形面积、圆锥侧面积等知识点，从公式直接应用到实际情境综合，培养数学抽象、运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础提质|单一知识点直接应用（弧长、扇形面积、圆锥侧面积公式计算）|选择填空为主，如时钟分针路程、圆锥底面半径计算，巩固公式记忆与基本运算| |能力提升|综合知识点与实际情境（几何图形综合、动态问题）|解答题与多步推理，如摩天轮路径长度、正方形渐开线面积和，发展空间观念与推理能力| |素养提优|跨情境复杂问题（生活场景中的圆弧设计）|融合实际问题，如道路圆弧长度关系，培养应用意识与创新思维|

3.7 扇形 第1课时 弧长及扇形面积 基础提质 知识点1 弧长 1.若扇形的半径为3，圆心角是120°，则此扇形的弧长为( ) A.2π B.3π C.4π D.6π 2.时钟分针长6厘米，从早上9点到9点40分针针尖所走过的路程是 ( ) A.3π厘米 B.6π厘米 C.8π厘米 D.12π厘米 3.如图1所示的是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，AB是以点O 为圆心，18cm为半径的弧,弦AB 的长为18 cm,则AB的长是 ( ) A.24πcm B.12πcm C.10πcm D.6πcm 4.“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型.图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1 cm和10cm,当⊙M顺时针转动3周时,⊙N上的点 P 随之旋转n°,则n= . 知识点 2 扇形面积 5.图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它以A为圆心,AB,AC的夹角为120°,AB 的长为45 cm,扇面BD的长为30cm,则扇面的面积为( ) A.375πcm² B.450πcm² C.600πcm² D.750πcm² 6.已知扇形的面积为6π，半径为3，则这个扇形的弧长是 (结果保留π). 7.草坪上的自动喷水装置能旋转220°，若它的喷射半径是20m，则它能喷灌的草坪的面积为 m². 能力提升 8.如图1，“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图2所示.该摩天轮高128 m(即最高点到水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点 A 出发，10 min后到达点 B，此过程中，该轿厢所经过的路径(即AB)长度为 m(结果保留π). 9.我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图所示的是研究“割圆术”时的一个图形， 所在圆的圆心为点 O，四边形ABCD 为矩形,边CD与⊙O 相切于点 E,连接BE,∠ABE=15°,连接OE交AB 于点 F.若AB=4,则图中阴影部分的面积为 . 10.如图,在扇形AOB 中,∠AOB=30°,点 C 在 OB上,且OC=AC.延长CB到D,使CD=CA.以CA,CD为邻边作平行四边形ACDE，则图中阴影部分的面积为 (结果保留π). 11.如图,四边形ABCD 是正方形，AB=1.执行下面操作：第一次操作以点A 为圆心，以AD为半径顺时针作弧DE 交 BA的延长线于点 E，得到扇形DAE；第二次操作以点B为圆心，以BE为半径顺时针作弧 EF 交CB 的延长线于点 F，得到扇形 EBF；第三次操作以点 C 为圆心，以CF 为半径顺时针作弧 FG交 DC 的延长线于点 G，得到扇形 FCG，依此类推进行操作，其中 的圆心依次按A,B,C,D循环,所得曲线DEFGH…叫作“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 (结果保留π). 12.如图,AB是⊙O的直径,弦AD平分∠BAC,DE⊥AC,垂足为 E,AC与⊙O交于点 F,连接DF. (1)判断DE与⊙O 有怎样的位置关系，并说明理由. (2)若AB=8,∠BAC=60°,求阴影部分的面积. 素养提优 13.如图，两条道路的宽分别为10m,8m,∠A=∠B=120°.现修建圆弧形道路，其内侧(CD与边界相切于点 C，D，外侧EF与边界相切于点E，F，两弧的圆心均在直线CE上. 的长度m，n满足的数量关系为 . 学科网（北京）股份有限公司 第2课时 圆锥的侧面积 基础提质 知识点 圆锥的侧面积、全面积 1.已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为( ) A.90° B.180° C.135° D.120° 2.如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径等于大圆的半径.下列剪法恰好能配成一个圆锥的是( ) 3.已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为 . 4.如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO 的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为 . 5.若一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，它的高为4cm，求圆锥的全面积. 能力提升 6.如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm 的圆锥侧面，则圆锥中粘贴部分的面积是 cm². 7.如图1，正方形纸片ABCD的边长为6dm,O是AD的中点,点 E,F分别在边 AB,CD 上,扇形纸片 OEF 的半径OE=6dm.剪下该扇形纸片，将其围成一个如图2所示的圆锥形纸帽. (1)求该纸帽的底面半径. (2)如图3，N是母线OM的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是M，终点是N，求丝带的最短长度. 3.7 扇形 第1课时 弧长及扇形面积 基础提质 1. A l===2π. i故选 A. 2. C ∵从早上9点到9点40 分针转过的圆心角为360°×=240°,∴从早上9点到9点40分针针尖所走过的路程==8(厘米).故选 C. 3. D ∵⊙O 的半径为18 cm,弦AB 的长为18 cm,∴OA=OB=AB=18cm, ∴△OAB 是等边三角形, ∴∠AOB=60°, ∴的长==6π(cm).故选D. 4.答案 108 解析 易得⊙M的周长为2πcm，∴⊙M 顺时针转动3周时,点 P 移动的弧长为6πcm, 解得n=108. 5. C ∵AB=45cm,BD=30cm, ∴AD=AB-BD=45-30=15(cm), ∵∠BAC=120°, ∴S扇形DAE=π⋅AD²,S扇形BAC=π⋅AB², ∴S扇面=S扇形BAC⁻S扇形DAE=π(AB²-AD²)= 600π(cm²).故选C. 6.答案 4π 解析 由题意得， 解得l=4π，∴这个扇形的弧长是4π. 7.答案 解析 它能喷灌的草坪的面积为 能力提升 8.答案 40π 解析 由题意得∠AOB=360°×=120°,圆O的半径为128-68=60(m),∴该轿厢所经过的路径(即AB)长度为 9.答案 解析 ∵AB所在圆的圆心为点 O，边CD与⊙O 相切于点 E,∴OA=OB=OE,OE⊥CD,∵四边形ABCD 为矩形,∴AB∥CD,∴OE⊥AB,∵AB=4,∴AF=BF=AB=2,∵ ∠ABE=15°,∴∠AOE=2∠ABE=30°,∵OA = OB,OF⊥AB,∴ ∠AOB = 2∠AOF = 60°,∴△AOB是等边三角形,∴ OA = AB = 4,∴ OF = ∴阴影部分的面积=S扇形AOE-S△AOF= 10.答案 解析 如图,过点A 作AH⊥OD于点 H, ∵∠AOB=30°,OA=2,∴AH=OA=,∵OC=AC,∴∠OAC=∠AOB=30°,∴ ∠ACB =30°+30°=60°,∴∠CAH=30°,∴ AC=2CH,设 CH=x,则AC=2x,在 Rt△ACH 中,由勾股定理得, (2x)²,解得x=1(负值舍去)，即CH=1,AC=2,∴CD=CA=OC=2, 3-π. 11.答案 解析 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA=1,∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°, ∴∠DAE=∠EBF=∠FCG=∠GDH=180°-90°=90°, ∴ 扇形 DAE 的面积为90π×160²=π, ∵AB=AD=AE=1,∴ BE=AB+AE=2, ∴扇形 EBF 的面积为=π, ∵BF=BE=2,BC=1,∴CF=CB+BF=3, ∴扇形 FCG的面积为=π, ∵GC=CF=3,CD=1,∴GD=GC+CD=4, ∴扇形 GDH 的面积为=4π, ∴四个扇形的面积和为π+π+π+4π=π. 12.解析 (1)DE与⊙O 相切. 理由：如图，连接OD， ∵弦AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∵OA=OD,∴∠BAD=∠ADO, ∴∠ADO=∠CAD,∴OD∥AC, ∵DE⊥AC,∴DE⊥OD, ∵OD 是⊙O 的半径,∴ DE 与⊙O 相切. (2)如图,连接OF, ∵∠BAC=60°,OA=OF,∴△AOF 是等边三角形, ∴ ∠AOF=∠AFO=∠OAF=60°, ∵OD∥AC,∴ ∠BOD=∠BAC=60°, ∴ ∠FOD=180°-∠AOF-∠BOD=60°, 又∵OD=OF,∴△ODF是等边三角形, ∠DFO=60°, ∴ ∠DFE=180°-∠DFO-∠OFA=60°, ∵DE⊥AC,∴∠DEF=90°, ∴ ∠FDE=90°-∠DFE=30°,∴ ∴阴影部分的面积为6- 素养提优 13.答案 n=m+2π 解析 如图,过点 D 作 GD⊥BD,交 EC 的延长线于点G,交AF 于点 N,过点 F作HF⊥AF,交EC的延长线于点 H,过点 H 作 HM⊥DG 于点 M,易得四边形HMNF 是矩形,∴HF=MN,HF∥MN, ∵点C，D，E，F均为切点，且两弧的圆心均在直线CE上, ∴点G为CD所在圆的圆心，点 H 为1EF所在圆的圆心， 设CG=DG= rm,GH= xm, ∵两条道路的宽分别为10m，8m， ∴HE=HF=(r-x+10)m, ∴GM=GN-MN=GN-HF=(r+8)-(r-x+10)=(x-2)m, ∵∠A=∠B=120°, ∴∠G=∠EHF=360°-90°-90°-120°=60°, ∴∠GHM=90°-∠G=30°, ∴GH=2GM,即x=2(x-2),解得x=4, ∴HE=HF=(r-4+10)=(r+6)m, ∴m==(m),n==（m, ∴n=m+2π. 第2课时 圆锥的侧面积 基础提质 1. A设其侧面展开扇形的圆心角的度数为n°，由题意得 解得n=90.故选 A. 2. D设外圆的半径为R，则内圆的半径为R，设圆锥的侧面展开图所对的圆心角的度数为n°，由题意得， ∴n=180,∴对应扇形圆心角的度数为180°.故选 D. 3.答案 15π 解析 ∵圆锥的底面半径为3，高为4，∴圆锥的母线长为 ∵圆锥的底面周长为2×3×π=6π,∴该圆锥的侧面积为 4.答案 8π 解析 ∵母线l与高AO 的夹角为30°，母线l长为4，∴圆锥的底面圆半径r=×4=2,∴圆锥侧面展开图的面积=πrl=π×2×4=8π. 5.解析 设圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，由题意，得2πr=¹⁸0⋅1π⋅1,∴l=2r∴∵r²+(4)²=l²,即 解得r=4(负值舍去),∴l=8,∴圆锥的全面积 能力提升 6.答案 解析 根据圆锥的底面半径为2cm，可得其底面周长为4πcm，∵扇形弧长为 ∴粘贴部分的弧长为 ∴圆锥中粘贴部分的面积是 7.解析 (1)如图,连接EF,∵正方形纸片ABCD 的边长为6 dm,扇形纸片OEF 的半径OE=6dm,∴OE=OF=EF=BC=6dm, ∴△OEF 是等边三角形,∴∠EOF=60°, 设纸帽底面圆的半径为 rdm,∴2πr=,∴r=1.答：该纸帽的底面半径为1dm. (2)如图，易知点 M 与点E重合，作点M 关于直线OF的对称点 M',连接MM'交 OF 于点 K,连接NM'交 OF于点 G,过点 N作 NH⊥MM'于点 H,∴丝带的最短长度为 NM'的长度， ∵△OEF为等边三角形， OF垂直平分线段MM', ∴ EK平分∠OEF,∴∠OEK=30°, 在 Rt△NHM'中,由勾股定理得, 3dm, ∴丝带的最短长度为3dm. 学科网（北京）股份有限公司 $