精品解析：陕西省西安市第一中学2026-2027学年高三上学期第一次质量检测数学试题

2026-2027学年第一学期西安市第一中学 第一次质量检测数学 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．测试范围：集合及逻辑用语；函数与导数；解三角形与三角函数；数列 第Ⅰ卷（选择题　共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 设集合，，若，则由实数构成的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年提出铅酸电池的容量C、放电时间t（单位：h）和放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为48 h；当放电电流为25A时，放电时间为12h，则该蓄电池的常数约为（参考数据：，）（ ） A. 1.14 B. 1.15 C. 1.16 D. 1.17 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，若关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 1或 7. 在直角中，，是内一点，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则n的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记为．若，则下面选项正确的是（    ） A. B. C. D. 10. 已知函数恰有一个零点，且，则的取值可能为（ ） A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 11. 已知函数分别在点，处取极大值和极小值，曲线和轴的三个交点依次为，，（），为曲线上异于，，的动点，则（ ） A. B. 四边形为平行四边形 C. 在曲线上存在三个不同的点的切线与直线平行 D. ，，的斜率之和与曲线在处的切线斜率相等 第II卷（非选择题　共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某厂生产某产品（万件）的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100万件这样的产品单价为50万元，产量定为_________万件时总利润最大． 13. 设､都是定义在上的奇函数，且为单调函数，．若对任意有（为常数），，则______． 14. 已知集合 中的最大元素为2，且 ，对任意的 ，则集合中所有元素的和为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式，并证明为等差数列； （2）若，求． 16. 已知函数. （1）当时，求在上的单调递减区间； （2）若函数的图象关于直线对称，求不等式的解集. 17. 已知函数，. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，求的值； （3）令，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围． 18. 固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为. （1）求的值； （2）证明：当时，； （3）若函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）证明：函数的图象是中心对称图形； （3）若函数为减函数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期西安市第一中学 第一次质量检测数学 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．测试范围：集合及逻辑用语；函数与导数；解三角形与三角函数；数列 第Ⅰ卷（选择题　共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 设集合，，若，则由实数构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若，则，此时，，满足题意； 若，则，解得， 当时，则，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，满足题意； 若，则，解得或； 当时，满足题意； 当时，，，满足题意； 综上所述：由实数构成的集合为. 2. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】因为命题为，， 所以为，. 3. 研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年提出铅酸电池的容量C、放电时间t（单位：h）和放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为48 h；当放电电流为25A时，放电时间为12h，则该蓄电池的常数约为（参考数据：，）（ ） A. 1.14 B. 1.15 C. 1.16 D. 1.17 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，故，所以，， 两边取常用对数得，所以. 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域和奇偶性排除选项A，C ，然后利用函数在无穷远处的变化趋势确定最终选项. 【详解】函数的定义域为. ，都有， 且， 所以为偶函数，的图象关于轴对称. 所以A，C错误． ， 当时，， 所以，单调递增. 所以排除D，B符合. 5. 已知函数，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的零点及最值点列方程组，可得的关系式，根据在区间上有且只有一个使，得在区间上有且只有一个最小值，从而求得的取值范围，得到的最大值. 【详解】因为对任意恒有，所以在处取得最值， 所以， 由，得， 所以， 令，则. 由在区间上有且只有一个使，所以， 所以， 所以，解得，又，， 若，则，此时取，可使成立， 当时，，其中或时，，不合题意，所以. 若，，此时取可使成立. 当时，，当且仅当时，，所以满足题意. 故的最大值为. 6. 设函数，若关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，从而可得关于直线对称，据此求解即可． 【详解】因为， ， 所以，故关于直线对称， 设与的图象在处有个交点， 与的图象在上有个交点， 则与的图象在上也有个交点， 所以与的图象在上共有个交点， 由于关于的方程在上有奇数个不同的实数解， 故与的图象在上交点的个数为奇数，即为奇数， 因此只能，即与的图象在处有1个交点，故． 7. 在直角中，，是内一点，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】借助图像的旋转与已知条件求出三角形面积. 【详解】已知在直角中，，所以为等腰直角三角形， 因为，所以，将绕点 顺时针旋转 ，使与 重合，得到，连接， 由旋转性质知：，是等腰直角三角形， 因为在中，，所以是等腰直角三角形， 所以， 在中，由余弦定理：， 所以的面积为. 8. 已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则n的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先得到，设等差数列的公差分别为，利用和得到方程组，求出，进而表达出为整数，设，求出，由求出的取值范围，从而得到答案. 【详解】由题意得， 设等差数列的公差分别为， ，，故， 故，又， 故，即， ，又， ，即， 联立，化简得，解得 又是整数，即是整数， 设，故，即，解得， 令，解得，且， 当时，满足要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 综上，的值为15. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记为．若，则下面选项正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】，则， ， ， ， 依此类推： ， 所以，， ， ， 10. 已知函数恰有一个零点，且，则的取值可能为（ ） A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 【答案】CD 【解析】 【详解】对函数求导， 当时，，所以在上单调递增，由于，所以在区间必有一个零点，符合题意； 当时，令，即， 当，，则在、上递增， 当，，则在上递减， 故要使恰有一个负零点，只需满足极小值， 即， 令，故，解得，所以． 综上. 11. 已知函数分别在点，处取极大值和极小值，曲线和轴的三个交点依次为，，（），为曲线上异于，，的动点，则（ ） A. B. 四边形为平行四边形 C. 在曲线上存在三个不同的点的切线与直线平行 D. ，，的斜率之和与曲线在处的切线斜率相等 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数的意义求得极大值和极小值，进而计算求得可判断A；计算可得，与不共线，可判断B；由题意得，计算可判断C；设，计算得，结合导数的意义可判断D. 【详解】对于A，由，得， 令，得，解得， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点， 所以极大值， 极小值， 所以，解得，故A正确； 对于B，由A知，令，解得或或， 从而可得曲线和轴的三个交点为，，， 又， 所以，， 所以，与不共线，所以四边形为平行四边形，故B正确； 对于C，由，可得， 令，解得， 所以在曲线上存在两个不同的点的切线与直线平行，故C错误； 对于D，设， 则，，， 所以， 又曲线在处的切线斜率为， 所以，，的斜率之和与曲线在处的切线斜率相等，故D正确. 第II卷（非选择题　共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某厂生产某产品（万件）的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100万件这样的产品单价为50万元，产量定为_________万件时总利润最大． 【答案】25 【解析】 【分析】根据产品单价的平方与产品件数成反比，可得单价关于的关系式，再由利润＝售价－成本，列出关系式即得函数，求导，根据导数的符号即可分析函数的单调性，进而即可求解． 【详解】设单价为，由题意知（为比例系数）， 且，则， 所以，即， 所以总利润为， 则，令，得， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 所以当时，取极大值，且为最大值， 所以产量定为万件时总利润最大． 13. 设､都是定义在上的奇函数，且为单调函数，．若对任意有（为常数），，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用奇函数的性质与的单调性求出，代入条件得到的递推式；构造辅助函数推出 ，判定为等差数列，最后用等差数列求和公式算出结果. 【详解】都是上奇函数，故， 因为，令，得， 所以， 因为 为单调函数，因此得， 因为，所以， 构造，则，得， 所以，得，则， 故是周期为的函数，即，得， 因为，令，得，得， 令，得，得， 由，取，得， 数列是首项，公差的等差数列， 所以， 所以. 14. 已知集合 中的最大元素为2，且 ，对任意的 ，则集合中所有元素的和为_____. 【答案】2026 【解析】 【分析】利用构造等差数列思想，解决任意性问题，从而可求得通项并求和. 【详解】将集合的元素从小到大排列为：， 因为对任意的 ，由最大元素为， 假设最小元素不为，即， 则对任意的 ，则， 此时不可能属于，所以最小元素为，即， 设A中最小正元素为d，由题意，任意两个元素差的绝对值仍属于A， 因此A中所有元素都是d的倍数，且所有元素可表为：，其中最大元素， ， 此时对任意两个元素的差的绝对值， 因为，所以必存在,满足，即，符合题意. 此时所有元素的和为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式，并证明为等差数列； （2）若，求． 【答案】（1）， 证明：令，所以， 由的通项公式可得：， 由通项公式可知：，所以为等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）通过作差法即可求的通项公式，再由通项公式结构可证等差数列；（2）由裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 令可得：，即. 当时，由，可得， 两式相减可得， 不满足，所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，当时， ， 所以. 16. 已知函数. （1）当时，求在上的单调递减区间； （2）若函数的图象关于直线对称，求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数，由二倍角公式以及辅助角公式化简，结合正弦函数单调区间求解指定范围内的递减区间； （2）由三角函数对称轴处取最值的性质求参数，再解三角不等式得到解集。 【小问1详解】 当时，，即， 由辅助角公式可得，由， 得，又，则，， 故在上的单调递减区间为. 【小问2详解】 因为，所以， 由辅助角公式可得，其中， 因为函数的图象关于直线对称，所以函数在处取得最值， 故，两侧同时平方后可得，解得， 因此，由， 即可得， 解得， 故不等式的解集为. 17. 已知函数，. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，求的值； （3）令，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）1012 （3） 【解析】 【分析】（1）求出的表达式，根据二次函数的性质即可求解； （2）求出的表达式，再计算的值，分析出规律后即可求解； （3）求出的表达式，再令，将转化为常见的二次函数形式，最后结合分离变量及对勾函数的单调性即可求解． 【小问1详解】 ，， 所以， 为二次函数，对称轴为，开口向下，当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 当时，函数取得最大值，， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． 【小问2详解】 ，，所以， 设，则， 两式相加得， 解得，则. 【小问3详解】 ， 令，当时，， 则函数在区间上有零点，等价于在上有解， 整理得，所以， 设，则，则， 设，， 因为函数在区间上单调递增，且，， 当时，， 所以，故实数的取值范围是． 18. 固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为. （1）求的值； （2）证明：当时，； （3）若函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：由，求导得， 由，求导得， 令函数，求导得， 由函数都是增函数，得函数在上单调递增， 则，，函数在上单调递增， 所以，所以. （3） 【解析】 【分析】（1）运用平方差公式，结合指数运算性质计算即得. （2）构造函数，再利用导数推理证明. （3）根据函数单调性的性质，结合一元二次方程根与系数的关系、根的判别式进行求解即可. 【小问1详解】 由，， 得 . 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 函数在上的值域是， 函数在上单调递增，函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 因此，整理得， 则是关于的方程的两个不等正根， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）证明：函数的图象是中心对称图形； （3）若函数为减函数，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）由函数， 可得， 所以 +2b ， 即，即， 所以函数的图象关于点中心对称. （3） 【解析】 【分析】（1）先求切点坐标，再利用导数求切线的斜率，利用点斜式可得切线方程. （2）证明，即可得函数的对称中心. （3）根据函数的单调性，利用导数小于或等于0，问题转化为在上恒成立.当时，上式恒成立；当时，分离参数可得，利用换元法，求的最小值即可. 【小问1详解】 当时，，可得， 又由，可得， 所以函数的图象在处的切线方程，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，其定义域为， 且， 因为函数是减函数，所以在内恒成立， 即在内恒成立， 因为，不等式可化为， 即， 当时，恒成立，此时； 当时，， 令，则，因为且，即且， 则， 令， 令，则，， 当时，取得最大值，此时， 所以的最大值为，则的最小值为， 因为恒成立，所以，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $