专题3.3 相似三角形判定定理的证明（4大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题3.3 相似三角形判定定理的证明 知识点1：平行线分线段成比例 　　1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 　　2.数学语言：直线 l₁∥l₂∥l₃ 分别交直线 m、n 于点 A、B、C 和 D、E、F，则，，。 知识点2：平行线分线段成比例的推论 　　1.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例。 　　2.结论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形相似。 知识点3：常见基本图形 图形 特征 常用比例式 图例 A 字型 DE∥BC，点 D、E 在 AB、AC 上 8 字型 ED∥BC，对角线相交于点A X 字型 l₁∥l₂∥l₃ 与两直线相交 # 字型 三条平行线与两直线相交，多条比例 知识点4：相似三角形判定定理的证明思想 　　1.证明依据：借助平行线分线段成比例，通过作平行线把角度或边长比例关系转化到可判定相似的形式。 　　2.两角定理：利用平行线的同位角、内错角相等，构造全等或等角，证明两角分别相等。 　　3.两边夹角、三边定理：利用平行线分线段成比例，把边长比转化为同一三角形内线段比，再结合角相等完成证明。 判定定理 条件 结论 图例 两角定理 ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ △ABC∽△A′B′C′ 两边夹角 ，∠A＝∠A′ △ABC∽△A′B′C′ 三边定理 △ABC∽△A′B′C′ 【基础必考题型】 【题型1】判断比例式正误 1.核心知识点 　　平行线分线段成比例；对应线段的识别。 2.解题方法技巧 　　①找准对应线段，按位置关系列比例； 　　②交叉相乘验证比例式是否成立； ③注意线段的方向与顺序。 【例题1】.（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在中，交于点，交于点，下列式子中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，点，分别在，上，且，以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）在横格本上，嘉嘉画了两条相交线m，n，并标注相关交点的字母如图所示，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】A字型求值 1.核心知识点 　　A字型中平行线截三角形，对应边成比例。 2.解题方法技巧 　　①由 DE∥BC 得对应边比例式； 　　②设未知数代入已知线段求值； ③注意整体与部分的线段关系。 【例题2】.（2026·西藏·中考真题）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，分别交，于点，，则线段的长度是______． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，木工师傅在加固一个三角形屋架时，为了提高稳定性，在横梁下方加装了一根与底边平行的木条，分别与两边、交于点、．已知，，，则木条_________． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，，求的长． 【变式题2-3】.（2026·江苏南京·三模）如图，在中，分别是上的点，．若，则（     ） A． B． C． D． 【题型3】8字型求值 1.核心知识点 　　8字型中对边平行，对角顶点对应线段成比例。 2.解题方法技巧 　　①由平行找出两组对应线段比例； 　　②设元列方程求解未知线段； ③常结合平行四边形、梯形性质。 【例题3】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知，与交于点E，若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式题3-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，相交于点O，，，，，求的长． 【变式题3-2】.（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，在四边形中，．的平分线交于点，且，若，则的长是__________． 【变式题3-3】.（25-26九年级下·北京顺义·阶段检测）如图，已知，，，______． 【题型4】X字型求值 1.核心知识点 　　X字型中三条平行线与两直线相交，对应线段成比例。 2.解题方法技巧 　　①按顺序对应列比例式； 　　②已知部分比求整体或未知线段； 　　③注意比例式的等价变形。 【例题4】.（26-27九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，直线，另两条直线分别交于点A、B、C及点D、E、F，且，则__________________ ． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知直线、、，分别交直线于点、、，交直线，于点，且． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，，，，求的长． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，直线与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F，，．求的长． 【题型5】#字型求值 1.核心知识点 　　#字型多条平行线分割，综合运用比例关系。 2.解题方法技巧 　　①分段列出对应比例式； 　　②联立方程求多个未知线段； ③借助整体比与部分比的关系。 【例题5】.（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，已知，若，，，则BF的长为（     ） A．1 B． C．4 D． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，，直线、与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F． (1)若，，求的长； (2)若，，，求的长． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，直线分别交直线于点A，B，C，D，E，F，已知，则的长是（   ） A．3 B．4 C． D．6 【变式题5-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，，，，求的长． 【培优高频题型】 【题型6】与重心综合求值 1.核心知识点 　　重心分中线的比（2∶1）与平行线分线段成比例结合。 2.解题方法技巧 　　①由中线、重心得线段比例； 　　②过重心作平行线，用比例式求值； ③注意重心到顶点的距离是中线长的三分之二。 【例题6】.（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，为的重心，过点作交于点，交于点，已知，则___________． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·山东滨州·期末）【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点为的重心，连接并延长分别交于点，连接，通过观察他发现，请你帮他证明一下．这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：________________． 【应用】如图2，在中，已知是边的中线，是的重心，过点的直线分别交于点．如图2，当时，求证：； 【提升】如图3，是边的中线，是的重心，当和不平行，且点分别在线段上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于点F，若，则________． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，是的中线，E是上一点，且，与交于点F．若，求的长． 【题型7】多次利用比例关系求值 1.核心知识点 　　多次运用平行线分线段成比例，逐步求未知量。 2.解题方法技巧 　　①逐层分析图形中的平行与比例； 　　②一次求一个未知量，逐步推进； ③善用设元与整体代入。 【例题7】.（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）请解决以下问题： (1)如图①，在矩形中，点E为边的中点，，点P，Q分别在矩形的边、上，连接交于点M． 求证：． (2)如图②，在（1）的基础上，点R在边上（不与点Q重合） ①若，则线段的长为______； ②当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，，，连接，则周长最小值为______． (3)如图④，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，求的值． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，D是的边上的中点，，的延长线交于点E，求的值． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·吉林长春·期末）综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 【变式题7-3】.（2026·吉林长春·模拟预测）问题提出： 如图1，在四边形中，，E，F分别为，的中点．求证：． 问题探究： (1)小明同学进行了如下的推理：连结并延长，交的延长线于点G． ，，． 又为的中点，． ． 证明过程缺失 请你帮助小明补全上述证明过程 应用： (2)如图2，，点E在线段上且．若，，则线段的长为________． 拓展： (3)如图3，在四边形中，，点F在线段上，且，连结、．若，，与之间的距离为3，则的面积为________． 【压轴素养题型】 【题型8】证明比例式与线段关系 1.核心知识点 　　利用平行线分线段成比例证明比例式、线段相等。 2.解题方法技巧 　　①由平行得对应线段成比例； 　　②结合比例性质、等量代换完成证明； ③写明判定依据与推理过程。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，．求证：． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，在中，D、E分别在边上，且满足，，则______； （2）问题探究：如图2，，连接，如果刚好平分，求证：； （3）结论应用：如图3，已知中，平分，并且，求的值． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·浙江丽水·期末）在中，点是上的动点，点是上的动点，连接交于点． (1)如图1，当点和点重合，若，求证：点是的中点． (2)如图2，当点为的中点，若时，求的值（用含的代数式表示）． 【题型9】综合探究与跨情境应用 1.核心知识点 　　尺规作图、实际情境（桥梁、花架、梯子）中的比例求解与探究。 2.解题方法技巧 　　①把实际情境抽象为平行线分线段成比例图形； 　　②由作图步骤确定线段关系列比例式； 　　③综合运用相似、中位线、重心等知识求解。 【例题9】.（2026·江苏无锡·一模）问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． (1)【探究一】 人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． (2)【探究二】 如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． (3)【探究三】 通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含、、的代数式表示） 【变式题9-1】.（2026·山西大同·一模）阅读与思考 下面是小帅同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 画法一： ①．以为端点画一条射线； ②．用圆规在射线上依次截取3条等长线段，连接； ③．过点分别画的平行线，交线段于点，则就是线段的三等分点． 证明： 由作法可知： （依据） 由作图得： 是线段的三等分点． 画法二： ①．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，四段弧分别交于点； ②．连接，作射线 ③．以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ④．连接，交于点，则点为的一个三等分点． 证明：由作法可知： 四边形是菱形 ， ．．．．．． 画法三： ①．过点任意作一条直线 ②．以点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交直线于点3．．．．．．． 知识链接： 已知三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心有一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．如图④，在中，分别是边的中点，相交于点，则是的三等分点，也是的三等分点． (1)画法一中的依据是___________． (2)请补全画法二的证明过程． (3)请根据重心的性质，在备用图中作出线段的一个三等分点，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·江苏南京·期末）确定重心位置 我们知道，三角形的重心位于三条中线的交点处，其他平面图形的重心在什么位置呢？根据数学方法、物理知识，我们可以这样确定平面图形及其组合图形的重心位置： ①对称图形的重心在其对称中心或对称轴上； ②若图形由两部分组成，其重心位于连接这两部分重心的直线上； ③若图形由面积相等的两部分组成，其重心是这两部分重心连线的中点； ④若图形由面积不相等的两部分组成，其重心位置满足杠杆原理，关系如上． (1)在方格纸中，仅用无刻度直尺画出图1～图3中阴影所示图形的重心G的位置； (2)如图4，一般四边形的重心位置如何确定？请写出确定其重心位置的主要思路，并画出示意图． (3)在一张匀质平整卡纸上打了5个孔，打孔后的卡纸仍是轴对称的，具体尺寸如图5所示，求打孔后卡纸的重心比之前偏移了多少？（结果精确到，取3．） 【变式题9-3】.（2026·四川甘孜·中考真题）平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件．这种连杆在移动时，两对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动．如图，四边形是平行四边形，． 【初步感知】 (1)如图1，连接，，则 度； 【变化探寻】 (2)如图2，，，固定点，当为何值时，在移动点的过程中，始终有与相等． 【深入探究】 (3)如图3，固定点，若移动点到点，则点随之移动到点． ①判断线段与的位置关系与数量关系，并说明理由； ②在点处安装一支描图针，在点处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角形描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形，求图形的面积．（用含的代数式表示） 易错点 1、平行线分线段成比例时对应线段找错，比例式写反。 2、A字型、8字型中混淆整体与部分线段。 3、多个平行线时漏列或多列比例式，代入出错。 4、中位线、重心问题中比例关系记错（重心分中线 2∶1）。 5、构造辅助线后未找准新图形的对应关系。 6、证明过程中依据不明、步骤跳跃。 重点 1、理解并运用平行线分线段成比例的基本事实与推论。 2、掌握A字型、8字型、X字型、#字型等常见图形求值。 3、掌握相似三角形判定定理的证明思想。 4、能作辅助线构造平行线分线段成比例解决复杂问题。 难点 1、在复杂图形中识别并列出对应比例式。 2、构造辅助线（作平行线、垂线、连接）转化比例关系。 3、多次利用比例关系、与中位线、重心综合求解。 4、证明相似判定定理的完整推理过程。 【对应练习题】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 相似三角形判定定理的证明 知识点1：平行线分线段成比例 　　1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 　　2.数学语言：直线 l₁∥l₂∥l₃ 分别交直线 m、n 于点 A、B、C 和 D、E、F，则，，。 知识点2：平行线分线段成比例的推论 　　1.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例。 　　2.结论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形相似。 知识点3：常见基本图形 图形 特征 常用比例式 图例 A 字型 DE∥BC，点 D、E 在 AB、AC 上 8 字型 ED∥BC，对角线相交于点A X 字型 l₁∥l₂∥l₃ 与两直线相交 # 字型 三条平行线与两直线相交，多条比例 知识点4：相似三角形判定定理的证明思想 　　1.证明依据：借助平行线分线段成比例，通过作平行线把角度或边长比例关系转化到可判定相似的形式。 　　2.两角定理：利用平行线的同位角、内错角相等，构造全等或等角，证明两角分别相等。 　　3.两边夹角、三边定理：利用平行线分线段成比例，把边长比转化为同一三角形内线段比，再结合角相等完成证明。 判定定理 条件 结论 图例 两角定理 ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ △ABC∽△A′B′C′ 两边夹角 ，∠A＝∠A′ △ABC∽△A′B′C′ 三边定理 △ABC∽△A′B′C′ 【基础必考题型】 【题型1】判断比例式正误 1.核心知识点 　　平行线分线段成比例；对应线段的识别。 2.解题方法技巧 　　①找准对应线段，按位置关系列比例； 　　②交叉相乘验证比例式是否成立； ③注意线段的方向与顺序。 【例题1】.（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在中，交于点，交于点，下列式子中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可． 【详解】解：， ，选项A成立，不符合题意； ，选项B成立，不符合题意； ，选项C成立，不符合题意； ，选项D不成立，符合题意； 故选：D． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 直接利用平行线分线段成比例定理得出结论． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故A、C、D正确，不符合题意； 而B选项结论不能证明，故错误，符合题意， 故选：B． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，点，分别在，上，且，以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线间线段成比例，相似三角形的判定与性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，故C正确， ∴，，故A，B，D错误． 故选C． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）在横格本上，嘉嘉画了两条相交线m，n，并标注相关交点的字母如图所示，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线所截、所得的对应线段成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：A．由平行线间对应线段的部分与整体的比例相等，即成立，不符合题意； B．由平行线间对应线段成比例，即成立，不符合题意； C．由平行线间整体与整体、部分与部分的比例相等，即成立，不符合题意； D．由平行线分线段成比例可得，即不成立，符合题意． 故选D． 【题型2】A字型求值 1.核心知识点 　　A字型中平行线截三角形，对应边成比例。 2.解题方法技巧 　　①由 DE∥BC 得对应边比例式； 　　②设未知数代入已知线段求值； ③注意整体与部分的线段关系。 【例题2】.（2026·西藏·中考真题）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，分别交，于点，，则线段的长度是______． 【答案】 7 【分析】根据尺规作图痕迹可知是线段的垂直平分线，可得且为中点，结合证得，利用平行线分线段成比例定理得，得是的中位线，运用三角形中位线定理求解． 【详解】由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，木工师傅在加固一个三角形屋架时，为了提高稳定性，在横梁下方加装了一根与底边平行的木条，分别与两边、交于点、．已知，，，则木条_________． 【答案】 【分析】根据题意可知，利用平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可求解． 【详解】解： ， ， ，，， ， ． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，，求的长． 【答案】的长为． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例进行计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即的长为． 【变式题2-3】.（2026·江苏南京·三模）如图，在中，分别是上的点，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例，即可得出结果. 【详解】解：∵，， ∴，. 【题型3】8字型求值 1.核心知识点 　　8字型中对边平行，对角顶点对应线段成比例。 2.解题方法技巧 　　①由平行找出两组对应线段比例； 　　②设元列方程求解未知线段； ③常结合平行四边形、梯形性质。 【例题3】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知，与交于点E，若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，相交于点O，，，，，求的长． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式题3-2】.（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，在四边形中，．的平分线交于点，且，若，则的长是__________． 【答案】 【分析】先求出，再证明四边形为平行四边形，得到，，证明得到，，据此即可求出答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， ∴， ， ， ． 【变式题3-3】.（25-26九年级下·北京顺义·阶段检测）如图，已知，，，______． 【答案】6 【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴． 【题型4】X字型求值 1.核心知识点 　　X字型中三条平行线与两直线相交，对应线段成比例。 2.解题方法技巧 　　①按顺序对应列比例式； 　　②已知部分比求整体或未知线段； 　　③注意比例式的等价变形。 【例题4】.（26-27九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，直线，另两条直线分别交于点A、B、C及点D、E、F，且，则__________________ ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知直线、、，分别交直线于点、、，交直线，于点，且． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果； （2）根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，，，，求的长． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，直线与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F，，．求的长． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例可得，可得，再由，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型5】#字型求值 1.核心知识点 　　#字型多条平行线分割，综合运用比例关系。 2.解题方法技巧 　　①分段列出对应比例式； 　　②联立方程求多个未知线段； ③借助整体比与部分比的关系。 【例题5】.（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，已知，若，，，则BF的长为（     ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，，直线、与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F． (1)若，，求的长； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例； （2）三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】（1）解：， ， 又，， ， ； （2）， ， 又，，， ， ； ． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，直线分别交直线于点A，B，C，D，E，F，已知，则的长是（   ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 【变式题5-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，，，，求的长． 【答案】的长为4． 【分析】根据平行线分线段成比例，得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【培优高频题型】 【题型6】与重心综合求值 1.核心知识点 　　重心分中线的比（2∶1）与平行线分线段成比例结合。 2.解题方法技巧 　　①由中线、重心得线段比例； 　　②过重心作平行线，用比例式求值； ③注意重心到顶点的距离是中线长的三分之二。 【例题6】.（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，为的重心，过点作交于点，交于点，已知，则___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形重心的性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，掌握重心的性质是解题关键． 连接并延长交于点，利用重心的性质，结合、判定四边形为平行四边形，再通过证明、，分别得出、，最后结合​，计算得． 【详解】解：如图，连接并延长交于点． 为重心， 为中点，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·山东滨州·期末）【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点为的重心，连接并延长分别交于点，连接，通过观察他发现，请你帮他证明一下．这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：________________． 【应用】如图2，在中，已知是边的中线，是的重心，过点的直线分别交于点．如图2，当时，求证：； 【提升】如图3，是边的中线，是的重心，当和不平行，且点分别在线段上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】 证明：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为； 应用： 证明：点是的重心， ， 又， ， ； 提升：应用中结论成立．证明： 如图，过点作交的延长线于点与的延长线相交于点， 则， ， ， 又， 而是的中点，即， ， ， 又， ， 故结论成立． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形的中位线，平行线分线段成比例： 证明：利用三角形的中位线和三角形的相似即可证明结论； 应用：利用三角形的重心和平行线分线段成比例即可证明； 提升：过点作交的延长线于点与的延长线相交于点，则，得到，进而推出，，即可证明． 【详解】证明：点为的重心， 点分别为线段的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ∴得到结论：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为； 应用：略 提升：略 【变式题6-2】.（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于点F，若，则________． 【答案】7.5 【知识点】此题考查了平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合． 【分析】过点D作，交于点M，根据平行线分线段定理得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，交于点M， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：7.5． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，是的中线，E是上一点，且，与交于点F．若，求的长． 【答案】2 【分析】本题主要考查中线定义、线段和差关系、平行线分线段成比例等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 过D作交于点G，根据是中线，可以推出，运用平行线分线段成比例定理推出，可以求出的长． 【详解】解：过点D作交于点G， ． 是中线， ， ． 设，则， ， ，， ． ， ， ． 【题型7】多次利用比例关系求值 1.核心知识点 　　多次运用平行线分线段成比例，逐步求未知量。 2.解题方法技巧 　　①逐层分析图形中的平行与比例； 　　②一次求一个未知量，逐步推进； ③善用设元与整体代入。 【例题7】.（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）请解决以下问题： (1)如图①，在矩形中，点E为边的中点，，点P，Q分别在矩形的边、上，连接交于点M． 求证：． (2)如图②，在（1）的基础上，点R在边上（不与点Q重合） ①若，则线段的长为______； ②当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，，，连接，则周长最小值为______． (3)如图④，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，求的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ， ， ， ， 为中点， ， ； (2)8；18 (3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理证明即可； （2）①根据矩形的性质得到，根据平行线分线段成比例定理得到，根据三角形中位线定理即可得到结论； ②连接，根据矩形的性质和平行线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，当三点共线时，的值最小，的最小值的长，根据勾股定理得到，于是得到结论． （3）取的中点，连接，先由三角形中位线定理证明，再由平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵四边形是矩形， ， ， ， ， 为中点， ， ， 是的中位线， ， ， ； ②连接，    ∵四边形是矩形， ，， ， ， ， 为中点， 垂直平分， ， ， ∴当三点共线时，的最小值的长， ∵在中， ， 周长的最小值为； （3）解：取的中点，连接， ∵D为边上的中点， ∴， ∵，设，则，， ∵点是的中点， ∴， ∴ ∵ ∴． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，D是的边上的中点，，的延长线交于点E，求的值． 【答案】 【分析】过点F作交于点G，根据平行线分线段成比例可知，由D是边上的中点即可求，进而求解． 【详解】解：过点F作交于点G， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·吉林长春·期末）综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 【答案】(1)1； (2)3 (3)60 【分析】（1）因为，，所以用平行线分线段成比例定理可得是中点，得到与的比值；再结合与的比例关系，用平行线分线段成比例定理可求与的比值； （2）可利用（1）中得到的线段比例关系，结合，推导与的比值； （3）先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合是中点、的条件，用全等三角形，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理得到线段与，与的比例，再根据同高三角形面积比等于底边长的比，逐步推导各部分面积与面积的关系，最终求出平行四边形的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：∵D是的中点，是的中点， 是的中位线， ∴． 又是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴． ， ， 因此． （3）解：延长交延长线于， ∵平行四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 取的中点N，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点P，使， 则， ∴， 在上取点T，Q，使，，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴    ， ∵E是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相同， ∴， ∵， ∴． 【变式题7-3】.（2026·吉林长春·模拟预测）问题提出： 如图1，在四边形中，，E，F分别为，的中点．求证：． 问题探究： (1)小明同学进行了如下的推理：连结并延长，交的延长线于点G． ，，． 又为的中点，． ． 证明过程缺失 请你帮助小明补全上述证明过程 应用： (2)如图2，，点E在线段上且．若，，则线段的长为________． 拓展： (3)如图3，在四边形中，，点F在线段上，且，连结、．若，，与之间的距离为3，则的面积为________． 【答案】(1)证明：，， 点E是的中点，， 为的中位线， ， ， ． (2) (3) 【分析】（1）连结并延长，交的延长线于点G，构造，得到，，再根据中位线定理进行等量代换，得出结论； （2）类比（1）中辅助线的做法，连结并延长，交的延长线于点M，利用，得到和，再根据相似三角形的性质得到的长； （3）延长，交的延长线于点M，过点F作，延长交的延长线于点G，根据得到，再根据相似三角形的性质：对应边之比等于对应高之比，得到和，作差得到的面积． 【详解】（1）略 （2）解：连结并延长，交的延长线于点M， ， ，, ， ， ， ， 即，， ， ，， ， ， ， ； （3）解：延长，交的延长线于点M，过点F作，延长交的延长线于点G， ， ， ， ， , ，, ， ， ， ， 即，， 与之间的距离为3， ， 即， ，， ，， ， 与之间的距离为3， ， ， ． 【压轴素养题型】 【题型8】证明比例式与线段关系 1.核心知识点 　　利用平行线分线段成比例证明比例式、线段相等。 2.解题方法技巧 　　①由平行得对应线段成比例； 　　②结合比例性质、等量代换完成证明； ③写明判定依据与推理过程。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，．求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题利用平行四边形对边平行的性质，得到两组平行线，借助平行线分线段成比例定理，通过等线段代换完成比例式的传递，最终证得结论． 【详解】略 【变式题8-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 【答案】(1) (2)证明：过点作交于，过点作交于， ，， ，， 又，， ，， ，， ，， ． 【分析】（1）过点作交于，结合平行线分线段成比例解得，，进而求解； （2）过点作交于，过点作交于，由平行线分线段成比例解得，，，，进而得到，，即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于， ， ， ， 点为中点， ， 点是中点， ，且， ， ， 点是中点， ． （2）略 【变式题8-2】.（25-26九年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，在中，D、E分别在边上，且满足，，则______； （2）问题探究：如图2，，连接，如果刚好平分，求证：； （3）结论应用：如图3，已知中，平分，并且，求的值． 【答案】（1）； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，角平分线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用平行线分线段成比例进行求解即可； （2）根据角平分线和平行线的性质得出相等的角，再利用等角对等边，最后利用平行线分线段成比例进行证明即可； （3）过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质得出，利用同高（等高）的三角形面积比等于底的比，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·浙江丽水·期末）在中，点是上的动点，点是上的动点，连接交于点． (1)如图1，当点和点重合，若，求证：点是的中点． (2)如图2，当点为的中点，若时，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴点是的中点； (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线构造全等或相似三角形，将线段比例关系进行转化． （1）根据平行四边形对边平行的性质，得到与相似，利用已知的线段比例，结合，推出，从而证明是中点； （2）延长交的延长线于，利用平行四边形的性质证明，得到且，再由得到，结合的比例关系，设，通过线段代换建立方程求解，进而得到的比值． 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，即，则， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 即． 【题型9】综合探究与跨情境应用 1.核心知识点 　　尺规作图、实际情境（桥梁、花架、梯子）中的比例求解与探究。 2.解题方法技巧 　　①把实际情境抽象为平行线分线段成比例图形； 　　②由作图步骤确定线段关系列比例式； 　　③综合运用相似、中位线、重心等知识求解。 【例题9】.（2026·江苏无锡·一模）问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． (1)【探究一】 人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． (2)【探究二】 如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． (3)【探究三】 通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含、、的代数式表示） 【答案】(1) (2)下移的距离为 (3) 【分析】（1）由相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合（1）中证明过程求出看到部分人像的长度为时镜子的位置，再由（1）中结论求出看到全身像时镜子的位置，作差即可确定下移距离； （3）根据题意分析最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为，最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为，结合相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称， ，， ， 则， ， ， ， 则， ， ，则， 即与之间的函数表达式为； （2）解：由成像原理作出看到部分人像的长度为的图形，过点作的平行线分别交于点，如图所示： ，， ， 即， ， ， 则， ， 由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形，如图所示： 由（1）可知，， ， ， 即下移的距离为； （3）解：根据题意得：最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为， 由（1）同理得， 最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为， 由（1）同理得， ∴最小的镜子长为：． 【变式题9-1】.（2026·山西大同·一模）阅读与思考 下面是小帅同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 画法一： ①．以为端点画一条射线； ②．用圆规在射线上依次截取3条等长线段，连接； ③．过点分别画的平行线，交线段于点，则就是线段的三等分点． 证明： 由作法可知： （依据） 由作图得： 是线段的三等分点． 画法二： ①．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，四段弧分别交于点； ②．连接，作射线 ③．以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ④．连接，交于点，则点为的一个三等分点． 证明：由作法可知： 四边形是菱形 ， ．．．．．． 画法三： ①．过点任意作一条直线 ②．以点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交直线于点3．．．．．．． 知识链接： 已知三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心有一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．如图④，在中，分别是边的中点，相交于点，则是的三等分点，也是的三等分点． (1)画法一中的依据是___________． (2)请补全画法二的证明过程． (3)请根据重心的性质，在备用图中作出线段的一个三等分点，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】(1)平行线分线段成比例的基本事实 (2) 证明：由作法可知： 四边形是菱形 ，， ， 由作法可知：， 点是线段的一个三等分点． (3) 解：如图所示，点即为所作．（画出一个即可） 【分析】（1）根据平行线分线段成比例进行作答即可； （2）证明，得到，进而得到，即可； （3）连接，易得是的一条中线，根据重心的性质，作的另一条中线，与的交点即为点. 【详解】（1）解：画法一中的依据是平行线分线段成比例的基本事实； （2）略 （3）略 【变式题9-2】.（25-26九年级上·江苏南京·期末）确定重心位置 我们知道，三角形的重心位于三条中线的交点处，其他平面图形的重心在什么位置呢？根据数学方法、物理知识，我们可以这样确定平面图形及其组合图形的重心位置： ①对称图形的重心在其对称中心或对称轴上； ②若图形由两部分组成，其重心位于连接这两部分重心的直线上； ③若图形由面积相等的两部分组成，其重心是这两部分重心连线的中点； ④若图形由面积不相等的两部分组成，其重心位置满足杠杆原理，关系如上． (1)在方格纸中，仅用无刻度直尺画出图1～图3中阴影所示图形的重心G的位置； (2)如图4，一般四边形的重心位置如何确定？请写出确定其重心位置的主要思路，并画出示意图． (3)在一张匀质平整卡纸上打了5个孔，打孔后的卡纸仍是轴对称的，具体尺寸如图5所示，求打孔后卡纸的重心比之前偏移了多少？（结果精确到，取3．） 【答案】(1)如图1，重心G即为所求： 如图2，重心G即为所求： 如图3，重心G即为所求： (2)①连接，将四边形分成和， ②分别作出和的重心，； ③由题意中的情况④可知，四边形的重心在上，且满足， ④设的面积为，的面积为，则，，故， ⑤在上重心G，使即可， 如图，四边形的重心位置示意图为所求： (3)打孔后卡纸的重心比之前偏移了 【分析】（1）结合题意针对不同方格纸内的图形作出对应的重心即可； （2）根据题意中情况④进行分析画图即可； （3）原图形为矩形，其重心在对角线，的交点处，取，的中点M，N，连接，打孔后，矩形分为矩形和矩形，分别作出对应的重心，结合情况④得出对应的关系式并将涉及的线段分别表示出，列出二元一次方程组并求解出的值，最后即可求得打孔后卡纸的重心比之前偏移的距离． 【详解】（1）解：对于图1： ∵该三角形是等腰三角形，属轴对称图形， ∴其重心在对称轴上； 对于图2： 设六边形图形面积为，等腰三角形图形面积为， ∵， ∴； 对于图3： 将多边形分成正方形和矩形，设正方形面积为，矩形面积为，取正方形重心为，矩形重心为，连接，连接方格纸对角线，与阴影图形的边长交点为N，与的交点为G，取正方形右上角的点M，连接， ∴， ∴， ∴， 由图形可知，， ∴， 即． （2）略 （3）解：如图，原图形为矩形，其重心在对角线，的交点处，取，的中点M，N，连接， 打孔后，矩形分为矩形和矩形， 分别作矩形的重心，矩形的重心， 连接，在线段上取一点， ∵，， ∴ ， ∵， ∴联立，解得， ∴， 即打孔后卡纸的重心比之前偏移了． 【变式题9-3】.（2026·四川甘孜·中考真题）平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件．这种连杆在移动时，两对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动．如图，四边形是平行四边形，． 【初步感知】 (1)如图1，连接，，则 度； 【变化探寻】 (2)如图2，，，固定点，当为何值时，在移动点的过程中，始终有与相等． 【深入探究】 (3)如图3，固定点，若移动点到点，则点随之移动到点． ①判断线段与的位置关系与数量关系，并说明理由； ②在点处安装一支描图针，在点处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角形描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形，求图形的面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)①，，理由如下： 如图，连接， 同（1）可得 ∴，三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 又∵， ∴， ∴，， ∴，； ②． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据可得，进而证，可得，又，可得； （2）设，，则，，证明，得出，证明得出，即可求解； （3）①连接，证明，，根据相似三角形的性质，即可得出结论； ②依题意，与是关于点的位似图形，且位似比为，则面积比为，求得的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 设，，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，在移动点的过程中，始终有与相等． （3）①略 ②由①可得， 依题意，与是关于点的位似图形，且位似比为，则面积比为， ∵等腰直角三角形的边长为，面积为， ∴图形的面积为． 易错点 1、平行线分线段成比例时对应线段找错，比例式写反。 2、A字型、8字型中混淆整体与部分线段。 3、多个平行线时漏列或多列比例式，代入出错。 4、中位线、重心问题中比例关系记错（重心分中线 2∶1）。 5、构造辅助线后未找准新图形的对应关系。 6、证明过程中依据不明、步骤跳跃。 重点 1、理解并运用平行线分线段成比例的基本事实与推论。 2、掌握A字型、8字型、X字型、#字型等常见图形求值。 3、掌握相似三角形判定定理的证明思想。 4、能作辅助线构造平行线分线段成比例解决复杂问题。 难点 1、在复杂图形中识别并列出对应比例式。 2、构造辅助线（作平行线、垂线、连接）转化比例关系。 3、多次利用比例关系、与中位线、重心综合求解。 4、证明相似判定定理的完整推理过程。 【对应练习题】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $