精品解析：天津市滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校2026-2027学年高二上学期第一次课堂练习数学试卷

2026—2027学年高二年级上学期数学学科第一次课堂练习 注意事项： 1、本次练习分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间100分钟． 2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题，满分60分） 一、选择题（本题共12小题，每小题只有一个选项符合要求．每题5分，共60分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为． 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为． 故选：A. 2. 平面α的一个法向量是n=(,-1,),平面β的一个法向量是m=(-3,6,-2),则平面α与平面β的关系是 A. 平行 B. 重合 C. 平行或重合 D. 垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据．即可得出α∥β或重合． 【详解】平面α的一个法向量是n=(,-1,),平面β的一个法向量是m=(-3,6,-2)，可得， 故选C． 【点睛】本题考查了平面的法向量共线与两个平面的位置关系，属于基础题． 3. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角得斜率，再由点斜式直线方程可得. 【详解】由直线倾斜角为，则斜率， 又直线过， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 4. 设，向量，，且，则（ ） A. B. 9 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据空间向量垂直的坐标表示求出，然后根据空间向量的模的公式进行计算即可. 【详解】因为， 所以，解得. 所以，所以. 故选：D. 5. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：,选B. 考点：向量表示 6. 已知m为实数，直线，，若，则实数m的值 A. 2 B. 1 C. 1或2 D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行的等价条件，求出的值； 【详解】解：当时，两直线方程分别为和，不满足条件． 当时，则，， 由得得或， 由得，则， 故选：B 【点睛】本题考查两直线的位置关系求参数的值，属于基础题. 7. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】因为 依题意得，， 则点到直线的距离为. 故选：A. 8. 已知平行六面体的各棱长均为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析得出，利用空间向量数量积可求得的值. 【详解】由已知可得，， ， 所以，，所以. 故选：A. 9. 直线，无论取何值，该直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将方程变形，解方程组即可得定点. 【详解】，即， 当时，解得， 故该直线过定点， 故选：B. 10. 已知是空间的一组基底，其中，，.若，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解. 【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则x=2，，，解得. 故选：D. 11. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 12. 如图所示，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则下列说法正确的个数是（ ） ①点到直线的距离为； ②三棱锥的外接球的表面积为； ③平面平面； ④三棱锥的体积为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量的数量积为0得，从而可判断①；根据长方体的外接球半径为体对角线的一半可求得三棱锥的外接球的半径，进而求得表面积，可判断②；求出平面的法向量，判断是否为平面的法向量即可判断③；等体积法可判断④. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则. 对于①，，所以，， 所以，所以点到直线的距离为，即，故①正确； 对于②，因为，所以，即， 所以是直角三角形，其外接圆的圆心为斜边的中点， 三棱锥的外接球的球心在过的中点，且垂直于平面的直线上， 又也为直角三角形，所以三棱锥的外接球的球心为的中点， 球的半径为，所以球的表面积为，故②错误； 对于③，, 设平面的法向量为， 则，即，取，得， 假设平面平面，则也是平面的法向量， 所以而，矛盾， 所以假设不成立，即平面与平面不平行，故③错误； 对于④，由等体积法可得三棱锥的体积， 由长方体的性质可知平面，即三棱锥的高为， 又， 所以，故④正确． 故选：B. 第Ⅱ卷（非选择题，满分40分） 二、填空题（本题共8小题，共40分） 13. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线运算得解. 【详解】由，得，解得， 又，得，解得， 所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且. 故答案为：. 14. 已知空间向量，，，若，，共面，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据共面向量定理可得，然后将坐标代入可求出的值. 【详解】因为，，共面，所以存在唯一实数，使， 即， 则，解得，，. 故答案为：3 15. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为______ 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，求出各点坐标，利用异面直线空间向量夹角公式进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 故和BN的夹角的余弦值为. 故答案为： 16. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标______ 【答案】 【解析】 【分析】结合数量积的坐标运算，根据投影向量的概念求解. 【详解】空间向量， 则，， 则向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，F，G分别是，的中点，则点到平面BGF的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量以及点到面的距离公式求解. 【详解】如图，以D为坐标原点，以DA，DC，分别为x，y，z轴建立如图坐标系， 设正方体的棱长为2，则，，， ∴，，， 设平面BGF的法向量为，则，令，则， ∴，则点到平面BGF的距离. 故答案为： . 18. 已知直线过点，且在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的方程为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】当直线过坐标原点时，符合题意，当直线不过坐标原点时，设直线的方程为，代入点，求出，进而可得方程. 【详解】当直线过坐标原点时，符合题意，此时方程为：，即， 当直线不过坐标原点时，设直线的方程为， 代入点得，，解得， 得直线的方程为，即 故答案为：或. 19. 给出下列命题： ①直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直； ②直线的方向向量为，平面的法向量为，则； ③平面的法向量分别为，，则； ④平面经过三点，向量是平面的法向量，则. 其中真命题是________．（把你认为是正确命题的序号都填上） 【答案】①④ 【解析】 【分析】由空间向量数量积的坐标表示，逐个判断即可， 【详解】解析　对于①，因为，，所以，所以与垂直，①正确； 对于②，，，所以，所以， 所以或，②错误； 对于③，因为，，显然两向量不共线，所以不成立，③错误； 对于④，因为点， 所以，，向量是平面α的法向量， 所以即则，④正确． 综上，真命题的序号是①④. 故答案为：①④ 20. 已知，若直线与直线垂直，则的最小值为_____ 【答案】8 【解析】 【分析】两直线斜率存在且互相垂直，由斜率乘积为-1求得等式，把目标式子化成，运用基本不等式求得最小值. 【详解】设直线的斜率为，， 直线的斜率为，， 两条直线垂直，，整理得：， ， 等号成立当且仅当，的最小值为. 【点睛】利用“1”的代换，转化成可用基本不等式求最值，考查转化与化归的思想. 三、解答题（本题共四小题，共50分） 21. 根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． （1）经过点且与直线平行的直线； （2）经过点且与直线垂直的直线． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设所求直线的方程为，求出即可； （2）设所求直线方程为，求出即可. 【小问1详解】 设所求直线的方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为； 【小问2详解】 设所求直线方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为． 22. 已知，. （1）若，求的值； （2）若，求实数k的值； （3）若，求实数k的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量夹角公式即得； （2）根据空间向量的线性运算的坐标表示可得，，然后根据向量平行的坐标关系即得； （3）根据向量垂直的坐标表示即得. 【小问1详解】 由已知可得，， 所以； 【小问2详解】 因为，， 又， 存在实数m使得， ，，， 解得； 【小问3详解】 因为， 所以， 即， 解得. 23. 已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. （1）证明：； （2）求异面直线与夹角的余弦值. 【答案】（1）设，， 由题可知：两两之间的夹角均为，且， 由 所以即证. （2） 【解析】 【分析】（1）由题，选定空间中三个不共面的向量为基向量，只需证明即可； （2）用基向量求解向量的夹角即可，先计算向量的数量积，再求模长，代值计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，又 所以， 又 则 又异面直线夹角范围为 所以异面直线夹角的余弦值为. 【点睛】本题考查用基向量求解空间向量的问题，涉及异面直线的夹角，以及线线垂直的证明，是难得的好题，值得总结此类方法. 24. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：法一：分别取、的中点、，连接、、， 由题意可知点、分别为线段、的中点．所以，， 因为，所以，所以点、、、四点共面， 因为、分别为、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； 法二：因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，易知平面的一个法向量， 所以，所以， 又因为平面，所以平面． （2） （3） 假设存在点，使得，其中， 则， 由（2）得平面的一个法向量为， 由题意可得， 整理可得．即， 因为，解得或，所以，或． 【解析】 【分析】（1）法一：分别取、的中点、，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立； 法二：以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）假设存在点，使得，其中，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解之即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角余弦值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年高二年级上学期数学学科第一次课堂练习 注意事项： 1、本次练习分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间100分钟． 2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题，满分60分） 一、选择题（本题共12小题，每小题只有一个选项符合要求．每题5分，共60分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 平面α的一个法向量是n=(,-1,),平面β的一个法向量是m=(-3,6,-2),则平面α与平面β的关系是 A. 平行 B. 重合 C. 平行或重合 D. 垂直 3. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 设，向量，，且，则（ ） A. B. 9 C. 3 D. 5. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于 A. B. C. D. 6. 已知m为实数，直线，，若，则实数m的值 A. 2 B. 1 C. 1或2 D. 0或 7. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 8. 已知平行六面体的各棱长均为，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 直线，无论取何值，该直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 10. 已知是空间的一组基底，其中，，.若，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 12. 如图所示，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则下列说法正确的个数是（ ） ①点到直线的距离为； ②三棱锥的外接球的表面积为； ③平面平面； ④三棱锥的体积为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题，满分40分） 二、填空题（本题共8小题，共40分） 13. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 14. 已知空间向量，，，若，，共面，则______. 15. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为______ 16. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标______ 17. 如图，在棱长为2的正方体中，F，G分别是，的中点，则点到平面BGF的距离为_________． 18. 已知直线过点，且在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的方程为___________. 19. 给出下列命题： ①直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直； ②直线的方向向量为，平面的法向量为，则； ③平面的法向量分别为，，则； ④平面经过三点，向量是平面的法向量，则. 其中真命题是________．（把你认为是正确命题的序号都填上） 20. 已知，若直线与直线垂直，则的最小值为_____ 三、解答题（本题共四小题，共50分） 21. 根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． （1）经过点且与直线平行的直线； （2）经过点且与直线垂直的直线． 22. 已知，. （1）若，求的值； （2）若，求实数k的值； （3）若，求实数k的值. 23. 已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. （1）证明：； （2）求异面直线与夹角的余弦值. 24. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $