2026—2027学年苏科版九年级上学期数学第一次月考重难点总结强化卷（前两章）

2026—2027苏科版九上数学第一次月考重难点总结强化卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （本卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：第1章和第2章 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数则下列各点不在该函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 3．若为方程的一个解，则代数式的值为（     ） A．2016 B．2017 C．2026 D．2027 4．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 5．小唯与小夏在解方程时，小唯写错了常数项，得到方程的两个根是2和，小夏写错了一次项系数，得到方程的两个根是和3，则b与c的值分别是（    ） A．2， B．2， C．，8 D．2，3 6．若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 7．定义新运算：，例如，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 8．已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知方程的一个根为1，则m的值为_______． 10．某社区图书室6月初的借阅人次为3000次，通过增设便民服务和开展阅读推广活动，8月初的借阅人次达到4320次．设该社区图书室6月至8月借阅人次的月平均增长率为，根据题意可列方程为__________________． 11．已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 12．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，图象如图所示．当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是______米． 13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 14．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 15．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为_______． 16．若反比例函数（）的图象位于第二、第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是_________． 17．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．则代数式的值为________． 18．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为_____． 三、解答题 19．解方程： (1)； (2)． 20．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； (2)若该方程的一个根为2，求m的值及方程的另一个根． 21．已知y与成反比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时， 求y的值． 22．某社区超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低2元，每天销量会增加8袋． (1)若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ (2)该超市每天能否通过降低价格实现300元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 23．陕西果园总面积多年保持全国第一，其水果产业以产量大、品种全、品质优著称．已知工人采摘完某个苹果园所需的时间y（单位：天）与采摘苹果的速度x（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)当工人采摘苹果的速度为4吨/天时，求采摘完这个苹果园所需的时间为多少天？ 24．已知是关于的反比例函数，且该函数图象的两个分支分布在第一、三象限． (1)求m的值； (2)当时，求的值； 25．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一部分，如图． (1)当时，所捂部分的值为_____； (2)若所捂部分为，用配方法求出x的值． 26．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 27．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值． 28．如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与x轴相交于点C，的面积为． (1)求反比例函数的解析式； (2)若将直线向下平移1个单位，说明所得直线与双曲线的交点情况； (3)P为坐标轴上的一点，若的面积等于面积的一半，请直接写出符合条件的点P坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026—2027苏科版九上数学第一次月考重难点总结强化卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D A B B D D 1．A 【详解】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意； B、含分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、未注明，当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含两个未知数，是二元方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 2．D 【详解】解：由得． A、B、C选项中点的横纵坐标乘积均为6，在函数图象上． D选项：，不在函数图象上． 3．D 【分析】将所求代数式变形，结合方程的解的性质整体代入计算． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴， 将代入，得． 4．A 【分析】由反比例函数解析式确定的正负，结合其图象性质与点坐标验证判断各选项． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象位于第一、三象限，故B错误． ∵时，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，A正确； 当时，随的增大而减小，D错误． ∵当时，， ∴图象不经过点，故C错误． 5．B 【分析】根据写错某一项时另一项系数正确的条件，结合根与系数的关系求解与． 【详解】解：∵小唯写错常数项，一次项系数正确，方程两根为和， ∴， ∴． ∵小夏写错一次项系数，常数项正确，方程两根为和， ∴， ∴． 6．B 【分析】根据题意得，异号，分两种情况，根据一次函数与反比例函数的性质分析即可． 【详解】解：∵，互为相反数，且根据反比例函数的定义得， ∴，异号且均不为零， 当时，函数的图象过第一、三、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项符合； 当时，函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项． 7．D 【分析】由新定义运算可得，再结合一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程无实数根． 8．D 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小． 点，，都在反比例函数的图象上，且， 点，位于第一象限，位于第三象限， ． 9． 【分析】已知一元二次方程的一个根，将根代入原方程即可得到关于的一元一次方程，求解得到的值． 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴将代入得， 解得． 10． 【分析】已知6月初初始借阅人次和8月初实际借阅人次，月平均增长率为，按照平均增长率的计算规则推导8月初借阅人次的表达式，即可列出对应方程． 【详解】解：∵6月初借阅人次为，月平均增长率为， ∴7月初借阅人次为， ∴8月初借阅人次为， 又∵8月初借阅人次为， ∴可列方程． 11． 【分析】根据反比例函数的性质，当时，随增大而减小，可得比例系数，据此列不等式求解的范围． 【详解】解：∵反比例函数，当时，随增大而减小， ∴图象分布在一三象限， ∴ 解得． 12．/ 【分析】根据反比例函数的定义求得反比例函数的解析式，再求得时，的值即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把代入反比例函数， 得， 解得， 所以反比例函数的解析式为， 当时，可得． 即此时镜片焦距是米． 13．且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，方程有两个不相等实数根时判别式大于，分别求解不等式得到的范围． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 计算得， 化简得， 解得． 综上，的取值范围是且． 14．或 【分析】先求出点的坐标，再找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【详解】解：将代入反比例函数的解析式得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式得， ∴， ∴， ∵直线与双曲线交于点和点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是或． 15． 【分析】先解一元二次方程得到两根，分情况讨论等腰三角形的腰与底，结合三角形三边关系验证，计算得到周长． 【详解】解：解方程 ， 因式分解得， 所以 ，， 情况1：当腰长为，底边长为时， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴该情况不成立，舍去； 情况2：当腰长为，底边长为时， ∵，，满足三角形三边关系， ∴周长为 ． 16．有两个不相等的实数根 【分析】先根据反比例函数图象的位置确定的符号，再通过一元二次方程根的判别式判断根的情况． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 对于一元二次方程，， ∵， ∴， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 17．/ 【分析】将交点分别代入两个函数解析式，得到和的值，将所求代数式通分后代入计算即可． 【详解】解：点是与的交点， 将代入，得，变形得， 将代入，得，变形得， ． 18．10 【分析】设，则可得到点B的纵坐标为，点B的横坐标为，据此求出的长，结合梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∵点B在双曲线上， ∴点B的横坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴． 19．(1) (2) 【详解】（1）解： 或， 解得. （2）解：， ， 或， 解得. 20．(1)证明：， ∵，即， ∴无论m取何实数，该方程总有实数根； (2)，另一个根为 【分析】（1）根据根的判别式进行证明即可； （2）先把代入方程，求出，再把代入方程，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：把代入方程，得：， 即， 解得：， 此时方程为， 即， ∴或， 解得：，, ∴另一个根为． 21．(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数关系，待定系数法求函数解析式．函数值，掌握反比例函数关系列式的方法，待定系数法求函数解析式方法．会求函数值是解题关键． （1）根据反比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的x、y值求出比例系数，进而得到函数关系式； （2）把代入（1）中所求的函数解析式即可求得y的值． 【详解】（1）解：设，依题意得 ，解得． （2）解：当时， 22．(1)每袋薯片降价5元 (2)不能实现300元的利润． 设降价为元，根据题意得： ， 整理得：， ， ∴方程无实数解， ∴不能实现300元的利润． 【分析】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设降价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设降价为元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设降价为元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 又∵让利给消费者， ， 答：每袋薯片降价5元； （2）略 23．(1) (2)采摘完这个苹果园所需的时间为天 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数，反比例函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设反比例函数为，由题意当时，，代入即可解得； （2）当时，代入反比例函数解析式求得值即可． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 由题意当时，，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：当时，代入得： ， 答：采摘完这个苹果园所需的时间为天． 24．(1) (2) 【分析】（1）先明确反比例函数的定义，因为反比例函数的一般形式为（），所以x的指数需等于，且系数不能为0，据此列方程和不等式求解m的可能取值．再结合函数图象的分布特征，因为反比例函数图象在第一、三象限，比例系数大于0，所以针对第一步得到的m的可能值，验证系数的正负，筛选出符合条件的m值． （2）把代入（1）中的解析式即可得到答案. 【详解】（1）解：∵是关于的反比例函数， ∴， 解得或； ∵， ∴， ∵反比例函数图象的两个分支分布在第一、三象限时， ∴， 解得． ∴． （2）解：当时，函数为， 当时，. 25．(1)121 (2)， 【分析】（1）根据题意，将代入计算即可； （2）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 所捂部分的值为121； （2）解：根据题意，得， 整理，得， ， 即， ， ，． 26．(1)， (2)或 (3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 【分析】（1）把点坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图像找到一次函数图像在反比例函数图像下方时自变量的取值范围即可； （3）如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，易得． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，， ∴，解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：由函数图像可知，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． （3）解；如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴． 综上，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 27．(1)解：， ， 或， 解得，， 方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍， 则方程是“倍根方程”． (2)或 【分析】（1）利用因式分解法解方程，根据“倍根方程”定义判断即可． （2）解方程求出方程根，根据“倍根方程”定义求出值，代入代数式求值即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 或， 得， ∵是“倍根方程”， ∴或， 当时，； 当时，． 综上所述，代数式的值为或． 28．(1) (2)平移后的直线与双曲线只有一个交点 (3)或或或 【分析】（1）令直线与y轴的交点为点D，过点B作轴于点E，根据一次函数图象上点的坐标特征以及的面积是即可得出的长度，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，可得反比例函数的解析式； （2）根据平移的性质找出平移后的直线的解析式将其代入反比例函数解析式中，整理后根据根的判别式的正负即可得出结论； （3）连接，先求出的面积，进而得到，再分点在轴、轴上，结合面积公式求解即可． 【详解】（1）解：过点B作轴于点E，如图所示． 令直线中，则，解得：， 即． ∵的面积是， ∴， 解得：． 结合题意可知点B的纵坐标为1， 当时，有， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴， 即反比例函数的解析式为； （2）解：将直线向下平移1个单位得到的直线的解析式为， 将代入到中，得：， 整理得：，解得，又， ∴平移后的直线与双曲线只有一个交点； （3）解：连接， 联立直线与曲线， 即，整理得， 解得， ， 设直线与轴的交点为， 令，则， ， ， ， 当点在轴时，设， ， 则， ，，解得或， 或； 当点在轴时，设， ， 则， ，，解得或， 或； 综上，或或或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $