3.1 相似多边形 第1课时 (课件) 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.1 相似多边形 北师版九年级上册 第三章　图形的相似 第1课时　成比例线段和相似多边形 1 如图，用同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，汽车的形状还相同吗？ 情境导入 你能在下面这些图形中找出形状相同的图形吗？ 你发现这些形状相同的图形有什么不同？ 形状相同 大小不同 较大的图形 较小的图形 对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用_________________ 来描述它们的大小关系。 放大 缩小 相应线段长度的比 形状相同的图形 1 探究新知 两条线段的比 2 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB，CD 的长度分别是 m、n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即 AB∶CD = m∶n 或写成 。 如果把 表示成比值k， AB∶CD = m∶n 或 前项 后项 注意：两条线段的比具有顺序性，不能随意更换前项和后项。 AB = k×CD 两条线段的比实际上就是两个数的比。 五边形 ABCDE 与五边形 A′B′C′D′E′ 形状相同， AB = 5cm，A′B′ = 3cm。 AB∶A′B′ = 5∶3， 这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。 就是线段 AB 与线段 A′B′ 的比。 操作·思考 如图，设小方格的边长均为 1，五边形ABCDE 与五边形 A′B′C′D′E′ 的顶点都在格点上. （1）AB，BC， A′B′，B′C′ 的长度分别是多少？ （2）分别计算 值。 你发现了什么？ 在四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 ，（或 a∶b = c∶d）那么这四条线段 a，b，c，d 叫作成比例线段，简称比例线段。 成比例线段 3 a ∶ b = c ∶ d 内项 外项 思考·交流 如果 a,b,c,d 四个数成比例，即 ，那么 ad = bc 吗？反过来如果 ad = bc，那么a,b,c,d 四个数成比例吗？ 如果 = ，那么 ad = bc。 如果 ad = bc ( a,b,c,d 都不等于0 )，那么 = 。 比例的基本性质 3 观察·思考 观察图，你认为五边形 ABCDE 与五边形 A′B′C′D′E′ 的形状相同吗？ ∠A =∠A′ ，∠B =∠B′ ，∠C =∠C′ ，∠D =∠D′ ，∠E =∠E′ (1)在这两个五边形中，是否有对应相等的内角？你是怎么知道的？ (2)在这两个五边形中，夹相等内角的两边是否成比例？ ∠A = ∠A′ ∠B = ∠B′ ∠C = ∠C′ ∠D = ∠D′ ∠E = ∠E′ 对应角 对应边 对应边 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形。五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，记作五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′ ，“∽”读作“相似于”。 在记两个多边形五边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 相似多边形的定义 4 相似比 六边形ABCDEF∽六边形A′B′C′D′E′F′ 相似比 k = 思考：任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形相似吗？任意两个正 n 边形呢？ 思考：任意两个矩形相似吗？为什么？ 思考：任意两个菱形相似吗？为什么？ 思考：有上述问题你能总结出什么结论？ 任意两个边数相等的正多边形都相似。 相似 不相似，各角相等，但各边不一定成比例 不相似，各边成比例，但角不一定相等 相似 相似 思考：两个全等三角形相似吗？为什么？ A B C A1 B1 C1 全等图形是相似图形，相似比为1； 相似比为1时，相似的两个图形全等。 ∠A = ∠A1 ∠B = ∠B1 ∠C = ∠C1 1.已知AB＝4 cm，CD＝10 cm，则AB∶CD＝( ) A.2∶5 B.5∶2 C.2∶3 D.3∶2 A 随堂练习 2.在比例尺为1∶15000000的地图上，测得安徽省某火车站到合肥南站的距离是2 cm，那么这个火车站到合肥南站的实际距离为　 　km.  　300　 3.已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3 cm，c＝6 cm，d＝9 cm，则线段a的长度为( ) A.8 cm B.2 cm C.4 cm D.1 cm B 4.下列各组长度(单位：cm)的线段中，是成比例线段的是( ) A.1，2，3，4 B.1，5，2，3 C.3，4，2，5 D.2，3，4，6 D 5.若，则下列等式正确的是( ) A.3a＝4b B.a∶4＝b∶3 C.a∶3＝b∶4 D.b＝a C 6.如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是( ) A. B. C. D. C 7.已知x∶3＝5∶(x＋2)，求x的值. 解：∵x∶3＝5∶(x＋2)，∴x(x＋2)＝15， 整理，得x2＋2x－15＝0， 解得x＝－5或x＝3. A B　　 C D 8.下列各组图形中，不属于相似图形的是( ) A 9.［教材P65习题3.1第8题改编］下列两个图形一定相似的是( ) A.有一个角为110°的两个等腰三角形 B.两个直角三角形 C.有一个角为55°的两个等腰三角形 D.两个矩形 A 10.(1)若六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，∠B＝58°，则∠B1＝　 　.  (2)两个相似多边形中，最大的边分别是20 cm，30 cm，则它们的相似比是　 　.  　2∶3　 　58°　 11.等边三角形的一边与该边上的高的比是( ) A.∶2 B.∶1 C.2∶ D.1∶ 限时：15分钟 C 正方形的边长与其对角线长的比是　 .  1∶　 A.135° B.90° C.60° D.45° 12.如图，在正方形网格上，△ABC和△EDF相似，则∠ABC＋∠ACB的度数为( ) D 13.［易错题］已知三条线段长分别是3，4，12，若再添加一条新线段，使这四条线段能成比例，则这条新线段长不可能是( ) A.1 B.9 C.16 D.20 D 14.已知a∶b∶c＝2∶3∶4，且a＋3b－2c＝15，则a＋b－c的值为　 　.  　5　 15.如图，已知，AD＝15，AC＝16.求BD，CE的长. 解：∵，AD＝15，∴BD＝9. ∵， ∴AE＝CE，AC＝AE＋CE＝CE＋CE＝16， ∴CE＝6. 16.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，已知AC＝3，BC＝4. (1)线段AD，CD，CD，BD是不是成比例线段？请说明理由. 解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5. ∵S△ABC＝AB·CD＝BC·AC， ∴CD＝＝2.4. 在Rt△ADC中，AD＝＝1.8， ∴BD＝3.2，∴AD∶CD＝CD∶BD＝3∶4， ∴线段AD，CD，CD，BD是成比例线段. (2)在这个图形中，能否再找出其他成比例的四条线段？如果能，请至少写出两组. (2)能.CD，BD，AC，BC； BD，BC，BC，AB.(答案不唯一， 任写两组即可) 17.一个矩形ABCD的较短边长为2. 图1　 　　　　　　 解：(1)由已知得MN＝AB＝2，DM＝AD＝BC. 由题意得矩形DMNC与矩形ABCD相似， ∴， ∴DM·BC＝AB·MN，即BC2＝4， ∴BC＝2(负值舍去)，即原矩形的较长边长为2. (1)如图1，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求原矩形的较长边长； (2)如图2，已知矩形ABCD的较长边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下的矩形EFDC的面积. 图2 (2)∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似， ∴. ∵AB＝CD＝2，BC＝4，∴DF＝＝1， ∴矩形EFDC的面积＝CD·DF＝2×1＝2. 1.各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形。 相似比与叙述的顺序有关。 2.相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 3.比例的基本性质 如果 = ，那么 ad = bc。 如果 ad = bc ( a,b,c,d 都不等于0 )，那么 = 。 课堂小结 $