3.1相似多边形第1课时 线段比与成比例线段 课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦线段比与成比例线段核心内容，从“比”的复习导入，通过单位统一等问题衔接旧知，以照片缩放、地图比例尺、格点线段为情境支架，引导学生建立知识脉络。 其亮点在于以现实情境为载体发展数学眼光，如从照片缩放抽象对应线段比；通过归纳共同结构培养数学思维，如表格分析情境共性；利用比例式推导强化数学语言表达，如用ad=bc判断成比例线段。学生能在实践中理解概念，教师可借助情境和训练提升教学效率。

1 第1课时 线段比与成比例线段 复习导入：从“比”走向“线段比” 3 1. 2:3 表示什么？ 2. 4 cm 和 6 cm 的比怎样写？ 3. 4 cm 和 6 dm 能直接写成 4:6 吗？为什么？ 比表示两个同类量的倍数关系。 线段比要先统一单位。 4 cm 和 6 dm不能直接写成4:6，因为6 dm=60 cm，所以应为4:60=1:15。 方法提示：线段比的第一道关口是“同类量、同单位”。 本课任务：用比例语言研究缩放 4 我们从三个情境进入：照片放大、地图比例尺、格点线段比较。 情境一 照片放大与缩小 看对应线段是否按同一比例变化 情境二 地图比例尺 把图上距离和实际距离联系起来 情境三 格点线段比较 归纳成比例线段与比例性质 情境一：照片放大与缩小 5 原图 AB=4 cm CD=6 cm 放大图 A'B'=6 cm C'D'=9 cm 原图中门宽 AB=4 cm，高 CD=6 cm； 放大图中对应门宽 A'B'=6 cm，高 C'D'=9 cm。 1. 哪些线段可以看作对应线段？ 2. AB:A'B' 与 CD:C'D' 分别是多少？ 3. 两组比相等，说明了什么？ 方法提示：先不急着算未知量，先判断“谁对应谁”。 情境一：教师解惑 6 原图 AB=4 cm CD=6 cm 放大图 A'B'=6 cm C'D'=9 cm 4.如果只看门宽，能不能说明整张照片按同一比例放大？ 如果宽按2:3变化，高却不是2:3，会怎样？ AB与A'B'都表示门宽，CD与C'D'都表示门高，是对应线段。 AB:A'B'=4:6=2:3，CD:C'D'=6:9=2:3。 两组对应线段的比相等，说明宽和高按同一比例放大。 方法提示：比较缩放关系时，要保持同一方向：原图:放大图。 情境一：用比例预测未知线段 7 5.如果原图中窗户宽为3 cm，放大图中对应窗户宽应是多少？ 请先写出比例式，再求未知量。 已知原图:放大图=2:3。 设放大图窗户宽为x cm， 3:x=2:3。 由比例基本关系可得 2x=9，x=4.5。 所以对应窗户宽应为4.5 cm。 追问：为什么不能写成 x:3=2:3？ 因为这样改变了“原图:放大图”的方向。 讲一点：线段比 8 两条线段的比，就是这两条线段长度的比。 注意：两条线段相比时，要先统一长度单位。 判断：4 cm 与 6 dm 的比能写成4:6吗？ 你会怎样改正？ 不能直接写成4:6。 6 dm=60 cm，所以4 cm:6 dm=4:60=1:15。 线段比是无单位的数值比，但计算前必须统一单位。 方法提示：线段比：定顺序 → 统一单位 → 写比值。 练一点：线段比辨析 9 判断：若 AB=2 cm，CD=5 cm，则 AB:CD=5:2。 请先独立判断： 1. 这句话对吗？ 2. 错在哪里？ 3. 正确的 AB:CD 应怎样写？ 错误。 线段比按题目顺序书写： AB:CD=2:5。 CD:AB=5:2。 本题错在把比的前项、后项倒置。 方法提示：写比时先读顺序，再代入长度。 情境二：地图比例尺 10 比例尺 1:5000 A B C D 7 cm 4.2 cm 某地图比例尺为1:5000，地图上A、B两地距离为7 cm，C、D两地距离为4.2 cm。 1. 比例尺1:5000表示什么？ 2. A、B两地实际距离是多少？ 3. C、D实际距离与A、B实际距离的比是多少？ 方法提示：比例尺本质：图上距离:实际距离。 情境二：教师解惑 11 比例尺 1:5000 A B C D 7 cm 4.2 cm 4.35000 cm能不能直接写成35000 m？ 为什么实际距离比可以直接用图上距离比得到？ 1:5000表示图上1 cm对应实际5000 cm。 AB实际距离=7×5000=35000 cm=350 m。 CD实际距离=4.2×5000=21000 cm=210 m。 CD实际:AB实际=210:350=3:5。 同一比例尺下，也可直接用4.2:7=3:5。 方法提示：先乘比例尺后项，再根据问题要求换算单位。 情境三：格点线段比较 12 a=3格 b=5格 c=6格 d=10格 在方格纸中画四条线段a、b、c、d，其中 a=3格，b=5格，c=6格，d=10格。 1. a:b 与 c:d 分别是多少？ 2. 这两组比有什么共同点？ 3. 能否说 a、b、c、d 是成比例线段？ 方法提示：线段比可以先写原始比，再化成最简整数比。 情境三：教师解惑 13 a=3格 b=5格 c=6格 d=10格 如果a:b=c:d， 那么ad与bc有什么关系？ 能不能反过来判断？ a:b=3:5，c:d=6:10=3:5， 所以a:b=c:d。 这时称a、b、c、d是成比例线段。 由a/b=c/d，两边同乘bd，得ad=bc。 反过来，若ad=bc且b、d不为0，则a:b=c:d。 方法提示：比例式与乘积式可以互相转化。 观察归纳：三个情境的共同结构 14 请比较三个情境：照片、地图、格点线段中都出现了什么共同结构？ 情境 发现 提升 照片缩放 对应线段比相等 统一方向：原图:放大图 地图比例尺 图上距离按同一比例对应实际距离 同一比例尺下，距离比保持一致 格点线段 a:b=c:d 成比例线段可用ad=bc判断 方法提示：共同结构：找对应量 → 写比 → 判断比值是否相等。 概念建构：成比例线段 15 思考 请用自己的话说： 什么样的四条线段可以叫作成比例线段？ 顺序重要吗？ 如果四条线段a、b、c、d满足a:b=c:d， 那么a、b、c、d叫作成比例线段。 顺序重要：a、b、c、d成比例通常表示a:b=c:d，不能随意换位置。 概念表达：a:b=c:d 或 . 方法提示：成比例线段不是任意四条线段，而是按某一顺序构成相等比。 比例基本性质 16 如果 a:b=c:d，那么 ad 与 bc 有什么关系？ 思考 请尝试把 a:b=c:d 写成分式形式。 再想：怎样消去分母？ a:b=c:d 可写为 。 两边同乘bd，得 ad=bc。 反过来，若ad=bc且b、d不为0，则 a:b=c:d。 这就是比例基本性质。 即：a:b=c:d ⇔ ad=bc 即时训练：比例求未知量 17 已知 x:6=4:3，求 x。 先独立完成： 1. 写成分式形式。 2. 交叉相乘。 3. 求出x并检验。 x:6=4:3，即。 交叉相乘：3x=24。 所以x=8。 检验：8:6=4:3，成立。 方法提示：比例求未知量：写比例式 → 交叉相乘 → 求解检验。 即时训练：连比问题 18 已知 a:b=2:5，b:c=10:3，求 a:c。 思考： 两个比中都有b，怎样让两个b表示同一份数？ 能不能直接把2和3连起来？ 要统一中间量b。 a:b=2:5=4:10，b:c=10:3， 所以a:b:c=4:10:3， 因此a:c=4:3。 不能直接把2和3连起来，因为两个比中的b份数不同。 方法提示：连比问题要统一中间量。 例题精析 19 已知线段a、b、c、d成比例，其中a=3 cm，b=2 cm，c=6 cm，求线段d的长。 1. “a、b、c、d成比例”翻译成什么比例式？ 2. 把已知数据代入后怎样求d？ a、b、c、d成比例，即a:b=c:d。 代入得3:2=6:d。 交叉相乘：3d=12。 d=4。 所以线段d的长为4 cm。 方法提示：读顺序，写比例式；代入数据，交叉相乘；回到线段长度作答。 变式训练 20 若a、b、c、d成比例，a=4 cm，b=6 cm，d=9 cm，求c。 请先独立列比例式： 是4:6=c:9，还是4:c=6:9？ 为什么？ 因为a、b、c、d成比例表示a:b=c:d， 所以4:6=c:9。 交叉相乘：6c=36， c=6 cm。 关键仍然是按给定顺序写比例式。 方法提示：成比例线段的顺序一旦确定，比例式方向也随之确定。 课堂检测一 21 1. 已知线段m=4 cm，n=7 cm，写出m:n和n:m。 思考： 这两个比一样吗？ 调换顺序后比值有什么变化？ m:n=4:7，n:m=7:4。 同一组线段调换顺序，比值随之改变。 所以比有方向，顺序不能随意颠倒。 2. 已知3:x=6:10，求x。 解：根据比例的性质，有,解得 课堂检测二 22 3. 四条线段5 cm、8 cm、10 cm、16 cm是否成比例？ 思考： 你准备用“比值相等”判断，还是用“内外项乘积相等”判断？ 方法一：5:8=10:16，能成比例。 方法二：5×16=80，8×10=80，乘积相等，也能判断成比例。 两种方法本质一致。 4. 某图纸比例尺为1:200，图上一边长3.5 cm，实际长度是多少米？ 解：3.5×200=700 cm=7 m。 注：比例尺问题先统一单位，再换算。 课堂小结 23 今天我们学会了用比例语言描述线段关系。 1. 线段比：按顺序、统一单位、写比值。 2. 成比例线段：a:b=c:d。 3. 比例基本性质：a:b=c:d ⇔ ad=bc。 4. 求未知线段：写比例式 → 交叉相乘 → 检验作答。 5. 为相似学习做准备：先找对应线段，再写对应线段比。 $