精品解析：河北省石家庄二中实验学校2026-2027学年高一上学期9月月考数学试卷

2026级高一9月月考数学试卷 时长：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，若，则（ ） A. 或或2 B. 或 C. 或2 D. 或2 2. 下列各式中，正确的个数是：（ ） ；；；；；． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知，则的最小值是（    ） A. 5 B. 9 C. 4 D. 12 4. 下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ） A. p： B. p：，q： C. p：，q： D. p：，q：且 5. 集合M满足，则集合M的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知实数，满足，，则的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 18 7. 我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ） A. 6钱 B. 7钱 C. 8钱 D. 9钱 8. 已知，且，记为的最大值，记为的最大值.已知，对任意，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. B. 是的必要不充分条件 C. 集合与集合表示同一集合 D. 设全集为R，若，则 10. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则（ ） A. B. C. 的最小值为32 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为________. 13. 已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是________. 14. 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是___________ 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知集合，. （1）若：，：，且是的必要条件，求实数的取值范围； （2）若，使，求实数的取值范围. 17. （1）已知，且，求的最大值； （2）若正数满足，求的最小值； （3）教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决该问题：若，求的最大值，并求取得最大值时的的值. 18. 某商家举办周年庆活动，原计划准备400份福利礼包，每份礼包的成本为10元，为提升活动效果，现决定，在总份数400份不变的前提下，将礼包分为两类礼包．A礼包数量为份，且A礼包的每份成本为元，B礼包的每份成本为元． （1）若要使调整后B礼包的总成本不低于原计划400份礼包的总成本，求调整后的最大值； （2）为了兼顾活动效果和参与度，商家提出要求：当时，A礼包的总成本始终不超过B礼包的总成本，且A礼包的每份成本始终不低于15元．请问是否存在实数，使得商家的要求全都得到满足？若存在，求实数的取值集合；若不存在，说明理由． 19. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一9月月考数学试卷 时长：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，若，则（ ） A. 或或2 B. 或 C. 或2 D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】 分和讨论，即得解. 【详解】当时，，符合题意； 当时，或. 当时，符合题意；当时，，与集合元素的互异性矛盾.所以舍去. 故或. 故选：C 【点睛】本题主要考查元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2. 下列各式中，正确的个数是：（ ） ；；；；；． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系和集合与集合的关系及空集与非空集合的关系判断各命题. 【详解】，①错，，②对，，③对， 且，④错，，⑤错，，⑥错， 故选：B. 3. 已知，则的最小值是（    ） A. 5 B. 9 C. 4 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是5. 故选：A 4. 下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ） A. p： B. p：，q： C. p：，q： D. p：，q：且 【答案】D 【解析】 【分析】根据必要不充分条件对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于选项A.当时，成立；当时，或， 所以是的充分不必要条件，故A错误. 对于选项B.当时，，故；当时，，故， 所以是的充要条件，故B错误. 对于选项C.当时，（当且仅当时等号成立）， 因此成立，故； 当时，所以可能，故， 所以是的充分不必要条件，故C错误. 对于选项D.当时，不能得到且， 如，，，时不成立，故； 当且时，根据不等式的性质，可知，故， 所以是的必要不充分条件，故D正确. 5. 集合M满足，则集合M的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用子集的概念直接求解即可． 【详解】方法一：∵集合M满足， ∴满足条件的集合M有 共8个， 方法二：∵集合M满足， 则集合M中必有元素，其余元素构成的集合为的子集， 所以集合M的个数为. 故选：D. 6. 已知实数，满足，，则的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】令，表示出，然后由不等式性质得出结论． 【详解】解：令则， 则， 又，， 所以，，所以， 所以的最大值为16. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式的性质以及整体代入法，掌握不等式的性质是解题关键,基础题． 7. 我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ） A. 6钱 B. 7钱 C. 8钱 D. 9钱 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设买大竹子，每根单价为，可得，由，解不等式组即可求解. 【详解】依题意可设买大竹子，每根单价为， 购买小竹子，每根单价为， 所以， 即，即， 因为， 所以， 根据选项，， 所以买大竹子根，每根元. 故选：C 【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题. 8. 已知，且，记为的最大值，记为的最大值.已知，对任意，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式求出，的值，则恒成立可化为恒成立；令，得到；再根据一元二次不等式恒成立求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故的最大值为1，即. 因为，所以， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以的最大值为2，即. 则对，恒成立， 可化为对，恒成立. 令，则，故. 对，恒成立， 可化为对，恒成立. 因为，所以， 所以，此时， 所以， 当，，时，等号成立. 此时成立， 所以的最大值为. 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. B. 是的必要不充分条件 C. 集合与集合表示同一集合 D. 设全集为R，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对四个选项依次分析判断其真伪. 【详解】A项是特称命题，是真命题，故正确；B项中推不出，反之若可以得到，是必要不充分条件，故正确；C项中第一个集合是点集，第二个集合是数集，这两个集合不可能是同一个集合，故不正确；D项中若A是B的子集，由韦恩图可知B的补集是A的补集的子集，故正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查了特称命题、充分条件和必要条件、集合的类型、集合的运算及集合间的关系，涉及的知识点较多，属于新高考多选题型，解题时需要逐一判断，要对每个选项准确判断，具有一定的难度. 10. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合作差法判断即可. 【详解】对于A，当时，则，故A错误； 对于B，， 因为，所以，，所以， 则，即，故B正确； 对于C，， 因为，所以，， 所以，即，故C正确； 对于D， ， 因为，，所以， 即，故D正确. 11. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则（ ） A. B. C. 的最小值为32 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意可得恒成立，分析可得时，，当时，，从而得到且，即可判断A、B；利用基本不等式判断C；利用基本不等式及二次函数的性质判断D. 【详解】对于A、B：因为，即恒成立， 又因为，， 所以当时，，当时，， 因为对任意的，不等式恒成立， 所以当时，，当时，， 所以对于函数，必有，单调递减，且零点为， 所以，所以，所以A正确，B正确； 对于C，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，与条件不符，所以C错误； 对于D， ， 令，则，当且仅当时，等号成立． 则原式， 由二次函数的性质可得的最小值为， 此时，，所以D正确， 故选：ABD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为________. 【答案】M>N 【解析】 【分析】先作差，再配方，即可判断大小. 【详解】因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.\ 【点睛】本题考查利用作差法比较大小，考查基本分析求解能力，属基础题. 13. 已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是________. 【答案】0或±1 【解析】 【分析】依题意可得出集合A为单元素集合，进而转化为方程ax2+2x+a=0仅有一根，再分a=0和 a≠0两种情况讨论可得最后结果. 【详解】因为A有且仅有两个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2+2x+a=0仅有一根，当a=0时，方程化为2x=0，A={0}，符合题意；当a≠0时，Δ=4-4a2=0，解得a=±1. 此时A={-1}或{1}，符合题意. 综上所述a=0或a=±1. 故答案为：0或±1. 14. 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设则，，∴∴，不等式恒成立可化为恒成立，即恒成立，故∴. 考点：均值不等式及恒成立问题 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得到集合，代入的值确定集合，再在集合的范围内去掉对应的区间，得到中的补集； 先将等价转化为，再按为空集与非空集分类求出的取值范围. 【小问1详解】 当时，，或 【小问2详解】 因为，所以， ①当时，，即； ②当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 16. 已知集合，. （1）若：，：，且是的必要条件，求实数的取值范围； （2）若，使，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，然后利用集合关系列不等式组求解即可； （2）由题意，，然后利用二次函数求最小值即可求解. 【小问1详解】 因为是的必要条件，所以， 又，，所以，解得， 所以实数的取值范围； 【小问2详解】 由，使，得，， 令，， 当或3时，取得最小值4，所以. 因此，实数的取值范围是. 17. （1）已知，且，求的最大值； （2）若正数满足，求的最小值； （3）教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决该问题：若，求的最大值，并求取得最大值时的的值. 【答案】（1）；（2）5；（3）当时，的最大值为 【解析】 【分析】和定积最大，对用基本不等式，代入，直接求最大值； 条件变形为倒数和为定值，用“1的代换” 展开目标式，再用基本不等式求最小值； 拆为个，配系数凑个正数，使其和为定值，用四元均值不等式求最大值. 【详解】（1），且， 故的最大值为，当且仅当时等号成立. （2）正数满足，即， ， 即的最小值为5.当且仅当时等号成立. （3）当时，由四阶基本不等式可得：.， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的最大值为. 18. 某商家举办周年庆活动，原计划准备400份福利礼包，每份礼包的成本为10元，为提升活动效果，现决定，在总份数400份不变的前提下，将礼包分为两类礼包．A礼包数量为份，且A礼包的每份成本为元，B礼包的每份成本为元． （1）若要使调整后B礼包的总成本不低于原计划400份礼包的总成本，求调整后的最大值； （2）为了兼顾活动效果和参与度，商家提出要求：当时，A礼包的总成本始终不超过B礼包的总成本，且A礼包的每份成本始终不低于15元．请问是否存在实数，使得商家的要求全都得到满足？若存在，求实数的取值集合；若不存在，说明理由． 【答案】（1）384 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）设B礼包共份，求出总成本建立不等式求解即可； （2）由题意，建立两个不等式，根据不等式恒成立求解，取交集即可得解. 【小问1详解】 由题意知，B礼包共份，每份成本为元， 则， 整理得：，解得：， 因为，所以调整后的最大值是384. 【小问2详解】 假设存在实数满足要求， 由题意得：对恒成立．① 对恒成立．② 对于①，整理得：对恒成立， 所以且， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 所以； 对于②，整理得：对恒成立 所以且， 又因为，当时，，所以， 综上，，即存在满足条件，其取值集合为. 19. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到； （2）不妨设，推出中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到中元素个数最小值为5； （3）中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，的绝对值互不相等，不妨设，由此求出，. 【小问1详解】 ，故， ， 故； 【小问2详解】 是由4个正实数构成的集合， 不妨设， 因为，故中的元素个数大于等于5， 当时，此时， 故中元素个数最小值为5； 【小问3详解】 由条件可知，对于一个4元集合， 中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数， 同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数， 由此知，的绝对值互不相等，不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别为与， 最大与次大的两个数分别为与， 从而必有， 于是， 所以， 当时，，解得， 又为有理数，不合要求，舍去， 当，解得，满足要求， 易得或， 经检验，均满足要求，故， 集合中的所有元素之和为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $