精品解析：河北省石家庄市第一中学2025-2026学年1月高一上学期第三次月考数学试题

G2025级学情检测反馈考试三 数学 命题人：王晓磊 审题人：宋立娜 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “为锐角”是“为第一象限角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数定义域为，满足为偶函数.当且时，不等式恒成立，设，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知x1、x2分别是函数f（x）=ex+x-4、g（x）=lnx+x-4的零点，则的值为（　　） A. B. C. 3 D. 4 二、多选题 9. 已知均为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若则. B. 若则. C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数 11. 下列说法正确的是（   ） A. 函数（且）的图象所过定点的坐标为 B. 函数的单调递增区间是 C. 若直线与函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 D. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是 三、填空题 12. 已知命题，则命题的否定为_____________. 13. 已知，则______． 14. 已知函数，若正实数a，b满足，则的最小为______． 四、解答题 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求a的取值范围． 16. （1）计算 （2）若，是第四象限角，求的值． 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调递减区间. 18. 已知函数， （1）求函数定义域； （2）判断并证明函数的奇偶性； （3）若，求的取值范围. 19. 如图，已知在Rt△ABC中，，，，它的内接正方形DEFG的一边EF在斜边BA上，D、G分别在边BC、CA上，设△ABC的面积为，正方形DEFG的面积为. （1）试用、分别表示和； （2）设，求的最大值，并求出此时的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ G2025级学情检测反馈考试三 数学 命题人：王晓磊 审题人：宋立娜 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为，， 则. 故选：B 2. “为锐角”是“为第一象限角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角和第一象限角的定义即可求解. 【详解】为锐角，则，故为第一象限角，充分性成立， 当为第一象限角，取，为第一象限角，但不是锐角，故必要性不成立， 因此“为锐角”是“为第一象限角”的充分不必要条件， 故选：B 3. 在平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式可得所求三角函数值. 【详解】由角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点， 所以，， 再根据三角函数的定义得， 再由二倍角公式. 故选：D. 4. 已知一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式与面积公式直接计算即可. 【详解】设扇形的半径为， 则扇形的弧长，即， 解得， 则扇形面积， 故选：A. 5. 函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性和在上的符号，利用排除法可得正确的选项. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除AC； 因为当时，排除D. 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故选：C. 7. 已知函数定义域为，满足为偶函数.当且时，不等式恒成立，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】得出的对称性和单调性，结合以及可得. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于对称， 因为，所以， 又，所以，所以，故， 又由题意可知，在上单调递增， 则，即 故选：D 8. 已知x1、x2分别是函数f（x）=ex+x-4、g（x）=lnx+x-4的零点，则的值为（　　） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合函数的对称性和函数图像确定的值即可. 【详解】绘制函数的图像如图所示， 由题意可知的值分别为图中点点的横坐标， 则的值分别为图中点点的纵坐标， 注意到反函数的图像关于直线对称，设直线与的交点为， 易知，结合对称性可知. 本题选择D选项. 【点睛】本题主要考查反函数的性质及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、多选题 9. 已知均为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若则. B. 若则. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质、特殊值对选项逐个分析，从而确定正确答案. 【详解】若，则，又，则，A选项正确； 若，满足，但不成立，B选项错误； 若，满足，但不成立，C选项错误； ，则，又，即，D选项正确. 故选：AD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据周期以及最值求出的解析式即可判断A；根据得出，结合正弦函数的性质以及复合函数的单调性判断B；检验是否为判断C；根据变换求出的解析式即可判断D. 【详解】由题意可得，，则， 因在取得最大值，则， 得， 因，则，故A正确； 由A选项知，， 因，则， 因正弦函数图象在上单调递增，故B错误； ，故C正确； 由题意得，， 则，故为偶函数，故D错误. 故选：AC 11. 下列说法正确的是（   ） A. 函数（且）的图象所过定点的坐标为 B. 函数的单调递增区间是 C. 若直线与函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 D. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】求出定点坐标判断A；求出单调递增区间判断B；举例说明判断C；由单调性列式求出范围判断D. 【详解】对于A，对，当时，恒有，因此 所求定点坐标为，A错误； 对于B，函数的定义域为R，函数在上单调递增 ， 在上单调递减，而函数在R上单调递减，因此所求递增区间为，B正确； 对于C，当时，，而，解得， 即直线与函数的图象只有1个交点，C错误； 对于D，由函数在上单调递增， 得，解得，D正确. 故选：BD 三、填空题 12. 已知命题，则命题的否定为_____________. 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定形式，即可求解. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题的否定为，. 故答案为：， 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式进行求解即可. 【详解】由题意，因为， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，若正实数a，b满足，则的最小为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先判断出函数在其定义域上是增函数且是奇函数，从而可得，化简所求式子，从而利用基本不等式求最小值． 【详解】， ， 函数为R上的奇函数， 又在其定义域上是增函数， ， ， ， 故， ，， 则， 当且仅当且，即，时，等号成立， 故答案为3 【点睛】本题考查了基本不等式的应用及函数的单调性与奇偶性的判断与应用，属于基本知识的简单综合． 四、解答题 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）利用交集和并集的定义即可求解； （2）结合补集运算以及子集的定义，利用数轴讨论即可得解. 【小问1详解】 当时， ∴，. 【小问2详解】 ∵或，又， ∴或 解得或. 16. （1）计算 （2）若，是第四象限角，求的值． 【答案】（1）0;（2） 【解析】 【分析】（1）利用对数运算法则及换底公式计算即可作答. （2）利用三角函数的诱导公式进行化简，根据同角三角函数关系公式求出，代入求值即可. 【详解】（1）原式 ， （2） ， 是第四象限角, 原式 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调递减区间. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用正弦型函数的最小正周期公式即可； （2）利用三角函数的单调性即可求得函数的单调递减区间. 【小问1详解】 ， 所以最小正周期； 【小问2详解】 令， 解得， 所以的单调递减区间为. 18. 已知函数， （1）求函数定义域； （2）判断并证明函数的奇偶性； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）偶函数，证明： 函数是定义在上的偶函数， 由于， 所以函数是偶函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用对数函数定义列出不等式组求出定义域. （2）利用奇偶函数的定义判断并证明. （3）确定函数在上的单调性，再利用该函数的性质求解不等式即得. 【小问1详解】 函数有意义，则，解得， 所以函数定义域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，，函数在上单调递减， 而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 不等式，则， 即，解得或， 所以的取值范围是. 19. 如图，已知在Rt△ABC中，，，，它的内接正方形DEFG的一边EF在斜边BA上，D、G分别在边BC、CA上，设△ABC的面积为，正方形DEFG的面积为. （1）试用、分别表示和； （2）设，求的最大值，并求出此时的. 【答案】（1），；（2），. 【解析】 【分析】（1）在直角三角形中，利用，，表示出，从而表示出，在直角三角形和中，分别表示出和，从而表示出正方形的边长，表示出；（2）利用三角恒等变形以及三角函数的性质和基本不等式，计算出的最大值. 【详解】（1）在直角三角形中， ，，， 所以， 则的面积 在直角三角形和中 ，， 正方形，所以， 所以，即， 所以，其中 （2）根据题意，可得，其中 令， 所以 因为，在上单调递减， 所以， 所以 当且仅当，即，时，等号成立. 所以的最大值为，此时. 【点睛】本题考查三角函数模型的应用问题，考查求函数的最大值，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $