精品解析：吉林省梅河口市第五中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

梅河口市第五中学2025~2026学年度上学期 高三数学学科第二次培优限时训练 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上并将条形码粘贴在粘贴处. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是纯虚数，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 3. 已知为实数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量.若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（ ） A. 2 B. 9 C. 10 D. 18 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 10. （多选）下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 在上单调递减 C. 关于对称 D. 第Ⅱ卷（非选择题，共52分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为___________． 13. 若，且，则的值为_________． 14. 若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线的倾斜角互补，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求的前项和． 16. 对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个部分.要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次.设炮弹击落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是，命中Ⅱ部分的概率是，命中Ⅲ部分的概率是，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立. （1）求恰好在第二次射击后击落飞机的概率； （2）求击落飞机的命中次数的分布列和数学期望. 17. 设为奇函数，为常数. （1）求的值 （2）若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角C的值； （2）若AB边上的中线CD长为，求的面积； （3）求的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若方程存在两个不同实数根. （i）求整数的取值集合； （ii）若，求实数的取值范围. 参考数据：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梅河口市第五中学2025~2026学年度上学期 高三数学学科第二次培优限时训练 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上并将条形码粘贴在粘贴处. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合中的不等式，再根据集合交运算即可求解. 【详解】， 即且， 即且， 得或， 则， 所以. 故选：. 2. 已知是纯虚数，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则化简复数，即可根据纯虚数的定义求解. 【详解】由题可得， 因为是纯虚数，所以且，所以， 故选：D. 3. 已知为实数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式的解集，再根据充分条件和必要条件的定义，判断与之间的推导关系. 【详解】当时，，，充分性成立； 当时，，解得或，此时不一定有，必要性不成立， 故选：. 4. 已知是等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用条件，得到，再由，得，即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以， 得到，所以，由，得到， 所以， 故选：C. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，，而幂函数在上单调递减，又， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 6. 已知向量.若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积的坐标表示和向量模的公式以及投影向量的公式进行求解即可. 【详解】因为向量，所以. 所以向量在向量上的投影向量为： . 所以，解得. 故选：B. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和与差的正弦公式求得，然后利用二倍角公式求解． 【详解】由，得， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（ ） A. 2 B. 9 C. 10 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的知识和基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为是的中点，所以. 因为，所以. 由于三点共线，所以可以表示为的线性组合， 即. 所以，即. 因为，所以. 当且仅当时，即时等号成立. 由于，所以解得，此时最小值为9. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】借助函数的单调性判断A；借助函数的单调性判断B；借助函数的单调性判断C；利用作差法判断D. 【详解】对于A，因为函数在上单调递增，且， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 又因为函数在上单调递减， 所以，故B正确； 对于C，因为函数在上单调递减，且， 所以，故C正确； 对于D，因为且， 所以，故， 所以，故D错误. 故选：BC 10. （多选）下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A，利用两角和的正切公式判断；对于选项B，先利用诱导公式将转化为，再根据两角差的正弦公式求解；对于选项C，方法一利用二倍角的正弦公式化简即可，方法二多次运用积化和差公式，结合和差化积与特殊角的三角函数值求解；对于选项D，先通分，再根据二倍角公式和辅助角公式化简. 【详解】对于选项A，因为， 所以， 所以，A错误. 对于选项B，因为， 所以，B 正确. 对于选项C，方法一： . 方法二： ，C正确. 对于选项D，，D正确. 故选：BCD 11. 已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 在上单调递减 C. 关于对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由函数关于直线对称及，结合偶函数定义判断；对B，由函数周期性得在解析式，判断其单调性；对C，由偶函数性质及函数关于直线对称可得；对D，由函数周期性可求. 【详解】对于A：因为的图象关于直线对称，所以， 又，所以， 所以，为偶函数，A正确； 对于B：因为，所以，即周期为， ，，， 所以，因为在单调递增， 所以在单调递增，B错误； 对于C：因为为偶函数，因为的图象关于直线对称， 所以关于对称，C正确； 对于D：因为周期为，所以，又关于对称， 所以，D正确； 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题，共52分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】由扇形的圆心角与面积求得半径再利用弧长公式即可求弧长. 【详解】设该扇形的弧长为，圆心角为，半径为， 所以由，即，解得， 所以. 故答案为：12. 13. 若，且，则的值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用平方关系求的值，再利用平方关系求的值. 【详解】，得， 则， 且，则，所以. 故答案为： 14. 若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线的倾斜角互补，则_________. 【答案】1 【解析】 【分析】由导数的几何意义表示出曲线在点和在点的切线方程，根据倾斜角互补得到在点的切线的斜率值，求出. 【详解】设，， 函数的导函数为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 函数的导函数为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 直线的斜率为，倾斜角为135°， 因为曲线在点处的切线与曲线在点处的切线的倾斜角互补，所以直线的倾斜角为45°， 所以的斜率为，所以，所以. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项和公比，即可得答案； （2）利用（1）的结论化简，利用裂项求和法即可求得答案. 【小问1详解】 由题意可得， 即得，则， 即，可得，由于，故得， 则，故； 【小问2详解】 由（1）结论可得 ， 故的前项和 . 16. 对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个部分.要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次.设炮弹击落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是，命中Ⅱ部分的概率是，命中Ⅲ部分的概率是，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立. （1）求恰好在第二次射击后击落飞机的概率； （2）求击落飞机的命中次数的分布列和数学期望. 【答案】（1）； （2）的分布列为： 1 2 3 4 . 【解析】 【分析】(1)把恰好在第二次射击后击落飞机的事件拆成两个互斥事件的和，再利用独立事件概率公式计算作答. (2)求出的可能值，并求出每个取值的概率，列出分布列并求出期望作答. 【小问1详解】 设恰好第二次射击后击落飞机为事件是第一次未击中Ⅰ部分，在第二次击中Ⅰ部分的事件与两次都击中Ⅱ部分的事件的和，它们互斥， 所以. 【小问2详解】 依题意，的可能取值为1，2，3，4， 的事件是射击一次击中Ⅰ部分的事件，，由(1)知，， 的事件是前两次射击击中Ⅱ部分、Ⅲ部分各一次，第三次射击击中Ⅰ部分或Ⅱ部分的事件，与前两次射击击中Ⅲ部分， 第三次射击击中Ⅰ部分或Ⅲ部分的事件的和，它们互斥，， 的事件是前三次射击击中Ⅱ部分一次，Ⅲ部分两次，第四次射击的事件，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 的数学期望. 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 17. 设为奇函数，为常数. （1）求的值 （2）若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数求参数值，注意验证是否符合题设. （2）将问题转化为在上恒成立，根据解析式判断的区间单调性，即可求的范围. 【小问1详解】 由题设，， ∴， 即，故， 当时，，不成立，舍去； 当时，，验证满足. 综上：. 【小问2详解】 由，即， 又为增函数，由（1）所得解析式知：上递增， ∴在单调递增- 故，故. 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角C的值； （2）若AB边上的中线CD长为，求的面积； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，结合范围求解； （2）在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得，两者联立求出，利用面积公式求； （3）由正弦定理，可得，由锐角三角形求出范围，解得取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 整理得. 因为是锐角三角形，所以，所以， 所以，解得. 【小问2详解】 已知，是边上的中线，所以， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得（1）. 由正弦定理，， 所以，又，所以， 所以， 所以， 将代入（1）整理得， 因为，所以，所以, 解得，又，所以， 所以是等边三角形， 【小问3详解】 由（2）， 所以. 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 即的取值范围为. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若方程存在两个不同实数根. （i）求整数的取值集合； （ii）若，求实数的取值范围. 参考数据：. 【答案】（1）递增区间为，递减区间为； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出单调区间. （2）（i）利用方程根的意义，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象有两个交点求解；（ii）利用方程根的意义并令，再构造函数，利用导数确定单调性求出范围，进而求出的范围. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 （i）方程，令函数， 依题意，直线与函数的图象有两个不同交点， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 而当时，恒成立，且， 则当且仅当时，直线与函数的图象有两个不同交点， 又，所以整数的取值集合为. （ii）由（i）知，，且， 令，即，则，解得， 令，求导得，令函数， 求导得，函数在上单调递减，， 则，函数在上单调递减，由，得， 于是，即，解得，则， 由，得，即， 由（i）知在上单调递增，因此， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $