专题：三角函数训练 2027届高三数学一轮复习

专题：三角函数（必拿分）-2026-2027学年高三数学上学期复习系列 一、单选题 1．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，且为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 3．函数的图象可由函数的图象经过怎样的平移而得到（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 4．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，，，且，都有，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．已知的取值范围为，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 7．函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数（）在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题中正确的有（    ） A．是第一象限角 B．若与的终边关于轴对称，则 C．若，且角与角的终边相同，则的值是或 D．终边在直线上的角的集合可以表示为 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最小值为 C． D．在上单调递增 11．已知函数（，），对任意均有，且，在上单调递减，则（     ） A．的图象关于直线对称 B．的最小正周期 C． D． 三、填空题 12．已知，则的值为________． 13．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则_________． 14．已知函数.给出下列四个结论：①对任意，在区间上有最小值和最大值；②对任意，在上都有无数个零点；③当时，方程在上的解集有3个元素；④存在，使方程在上的解集为空集.其中正确结论的序号是_________. 四、解答题 15．已知函数，且满足最小正周期为，最大值为 (1)求的解析式. (2)求的对称轴方程和单调递增区间. 16．交流电的电压E（单位：伏）与时间t（单位：秒）的关系可用来表示，求： (1)开始时的电压； (2)最大电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间． 17．已知函数的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在上的值域． 18．已知函数. (1)当时，求在上的单调递减区间； (2)若函数的图象关于直线对称，求不等式的解集. 19．定义：设函数在区间上有最大值，最小值，则称为函数在区间上的“最值距”，为在区间上的“中值”． (1)请直接写出和在区间上的“最值距”和“中值”； (2)求证：不存在区间使函数在区间上的“最值距”只与有关； (3)若与在区间上的“最值距”相同，求：在区间上的“中值”． 试卷第2页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 专题：三角函数（必拿分）-2026-2027学年高三数学上学期复习系列 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C C A A B B BC BCD 题号 11 答案 CD 1．A 【详解】由，可知，， 且，解得或． 因为，所以，所以. 2．A 【详解】因为，且为第二象限角， 所以， 所以. 3．C 【详解】  因为， 根据图象平移规则，函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 4．C 【详解】对于，当时，， 结合图象可知，当时，，所以，即． 5．A 【分析】由得，结合，根据函数单调性的定义得到函数单调递减，根据正弦函数的单调递减区间，得到的取值范围. 【详解】由得，设， 因为，，时，，所以在上单调递减， 当时， ， ，，解得， 因为，所以，因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是. 6．A 【分析】利用同角三角函数关系将原式转化为关于正切平方的表达式，结合基本不等式求解最小值即可. 【详解】由题意，定义域为， 设，则，，所以. 则，当且仅当即时等号成立. 故当即（对应，满足定义域要求）时取到最小值3. 7．B 【分析】利用三倍角正弦公式化简函数为关于的三次函数，换元后通过导数求闭区间上的三次函数最小值即可. 【详解】由三倍角正弦公式， 代入得： 令，由正弦函数的值域可知， 则原函数转化为三次函数： ， 对求导得，令， 解得，均属于区间. 时； 时； 时； 时. 比较得的最小值为， 即的最小值为. 8．B 【分析】由和求出范围，由题中条件得到，由得到，由题中条件得到，通过解这个不等式组得到的取值范围. 【详解】因为，且， ， 因为函数（）在区间上单调递增， 所以， 解第一个不等式， 即，即，即， 解第二个不等式， 解得，即，即， 又，则， 因为，在区间内恰有两个零点， 所以， 则，解得，即， 又，则， 则的取值范围是. 9．BC 【详解】，故是第四象限角，A错误； 若与的终边关于轴对称，则，B正确； 若角与角的终边相同，则，即， 又，故的值是或，C正确； 终边在直线上的角的集合为，故D错误. 10．BCD 【分析】对于A，由题可得，据此可得最小正周期；对于B，由A解析式可得的最小值；对于C，由A解析式结合诱导公式可判断选项正误；对于D，由余弦函数单调性可判断选项正误. 【详解】对于A，，则其最小正周期为，故A错误； 对于B，当，其中时，有最小值，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，时，，因在上单调递增，则在上单调递增，故D正确. 11．CD 【分析】由题意求得的图象关于点对称判断A；，在上单调递减，可得的图象关于直线对称，进而求得周期可判断B；求得判断D. 【详解】因为，所以的图象关于点对称，故A错误； 又因为，所以当时，取得最值，即的图象关于直线对称. 又因为在上单调递减，，， 所以点和直线是相邻的对称中心和对称轴， 设的最小正周期为，则，所以，故B错误； 所以，解得，故C正确； 所以，又的图象关于直线对称， 所以，所以，又，所以，故D正确. 12． 【分析】利用诱导公式化简分子分母，再将分子分母同时除以，把式子转化成含的表达式，代入即可求值. 【详解】原式． 13． 【详解】由图象可知，函数的最大值为，最小值为，所以． 由图象可知，函数图象过最高点和最低点， 所以，即最小正周期． 因为，所以，此时． 将点代入函数解析式，得，即， 所以，解得． 因为，令，得，所以． 故． 14．①②③④ 【分析】已知函数，需要判断给出四个结论是否正确；首先明确的性质：由是偶函数，得到也是偶函数，因此需要主要关注的情况，再利用对称性分析. 【详解】①令，在时：， 由，知是偶函数， 而在上成立，且单调递增，， 因此或， 即，当. 故对任意的最大最小值均可在区间内取得，①正确； ②的零点满足，当时，， 得到零点为，有无数个零点； 当时，在中，时， 得到由周期性趋势，振幅持续变大的震荡曲线， 而本身周期，在来回震荡，充当振幅因子； 得到，图象夹在两条直线中间， 整体关于轴对称）可知有无数解，故有无数个零点，②正确； ③当，或； 当时，在上为， 当时，在无解，因此解集为共3个元素，③正确； ④在上，， 方程，即或 要使两方程均无解，（1），（2）， 不等式联立解得，因此取方程无解，故解集为空，④正确. 15．(1) (2)对称轴方程为，单调递增区间为 【分析】（1）根据周期和最值可求，结合零点可求，从而可求解析式； （2）利用整体法可求对称轴方程和单调递增区间. 【详解】（1）因为函数最大值为，所以 最小正周期，由，得. 故. 由，得. 又，取，得，所以. （2）令，解得. 因此对称轴方程为， 令，解得. 故单调递增区间为. 16．(1)伏. (2)0.02秒. (3)电压的最大值为伏，秒时，第一次取得最大值. 【详解】（1）当时，（伏），即开始时的电压为伏． （2）（秒），即时间间隔为0.02秒． （3）由正弦函数的性质可知：当， 即：时，取得最大值， 则当，时，第一次取得最大值，最大值为（伏）， 即：最大电压为伏，第一次取得最大值的时间为秒. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式求解，即可得到的解析式； （2）按照图象平移规则得到的解析式，结合自变量范围和正弦函数的性质求值域即可. 【详解】（1）由题知，解得， 因此； （2）将图象向右平移个单位长度， 可得， 当时，， ，可得. 所以的值域为. 18．(1) (2) 【分析】（1）化简函数，由二倍角公式以及辅助角公式化简，结合正弦函数单调区间求解指定范围内的递减区间； （2）由三角函数对称轴处取最值的性质求参数，再解三角不等式得到解集。 【详解】（1）当时，，即， 由辅助角公式可得，由， 得，又，则，， 故在上的单调递减区间为. （2）因为，所以， 由辅助角公式可得，其中， 因为函数的图象关于直线对称，所以函数在处取得最值， 故，两侧同时平方后可得，解得， 因此，由， 即可得， 解得， 故不等式的解集为. 19．(1)的“最值距”为，“中值”为；的“最值距”为2，“中值”为0 (2)假设在区间上有最大值，最小值，存在，使得， 则：， 又只与有关，则  解得：， 这与定义域为矛盾, ∴ 不存在区间使函数在区间上的“最值距”只与有关． (3)2或 【分析】（1）求出两个函数的最值，再结合题意求解； （2）利用反证法进行证明； （3）将平方，得到，根据在区间上的符号分3类进行讨论，利用与在区间上的“最值距”相同列方程，求解. 【详解】（1）在区间上的最大值为，最小值为， 在区间上的最大值为，最小值为， 所以的“最值距”为，“中值”为；的“最值距”为2，“中值”为0． （2）略 （3）由题意可得：，即， 设在区间上的最小值为，最大值为，设与的“最值距”分别为， 则最大值为， ①如果在区间上变号，即， 若，则，解得：， ∵，则，则，这与矛盾，舍去； 同理，若，可得，这与矛盾，舍去； ②如果在区间上恒正，即， 此时，解得：； ③如果在区间上恒负，即， 此时，解得：； 综上：在区间上的“中值”为2或. 答案第8页（共9页） 答案第9页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $