精品解析：四川达州市天立学校2026-2027学年八年级上学期9月阶段自测数学试题

四川省达州市天立学校2026-2027学年八年级上学期9月月考数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列各组线段中，不能够组成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，12，13 2. 下列实数（每相邻两个3之间一个0）中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 点的坐标为，若，，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若，满足，则的算术平方根是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 5. 已知点P（m＋3，2m＋4）在x轴上，那么点P的坐标为（　　） A. （－1，0） B. （1，0） C. （－2，0） D. （2，0） 6. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向匀速循环前行．当机器人前行了时，其所在位置的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 点到轴的距离为______，到轴的距离为 ______． 10. 一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是___________ 11. 今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为______尺． 12. 已知，，则________． 13. 今年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为________． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 计算： （1） （2） （3）解方程： （4）解方程： 15. 如图，在直角ΔABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=CD=2，AD=3． (1)求AC的长． (2)试判断ΔACD的形状． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知各顶点均在格点上． （1）直接写出的三个顶点的坐标：A_______；B_______；C_______； （2）画出关于x轴对称的； （3）的面积为_______． 17. 阅读下面计算过程： ； ； ； 求： （1）的值． （2）的值． （3）若，求的值 18. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． （1）点的“长距”为______； （2）若点是“完美点”，求的值； （3）若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若实数x、y满足，则________． 20. 已知点，点，若轴，则点P的坐标是______ 21. 如图，在中，，，D是线段上一点，连接，，，则的长为___． 22. 已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简________． 23. 如图，长方形中，，，点M，N分别在边，上，沿着折叠长方形，使点B，C分别落在G，F处． （1）如图1，当F落在线段的中点位置时，则___； （2）如图2，若点M与点B重合，连接，当线段的值最小时，的长度为___． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 在平面直角坐标系中，已知点． （1）当点P在y轴上时，求出点P的坐标； （2）当直线平行于x轴，且，求出点P的坐标． （3）若点P到x轴，y轴距离相等，求m的值； 25. 已知：，，求： （1）的值； （2）的值； （3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 26. 【问题背景】如图1，在四边形中，，连接，，探究线段、、之间的数量关系． 小明同学的想法是：过点作，交延长线于点，则是等腰直角三角形，可通过证明，得到对应边、对应角相等，最终借助特殊三角形得出结论：，请根据小明的思路，完成以下证明过程： （1）求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，若，，点是的中点，求的长． 【拓展探究】（3）如图3，在四边形中，，连接，，若，，则当BD最大时，则的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市天立学校2026-2027学年八年级上学期9月月考数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列各组线段中，不能够组成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，12，13 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可． 【详解】A. 6+8＝10，能构成直角三角形，故不符合题意； B. 3+4＝5，能构成直角三角形，故不符合题意； C. 4+5≠6，不能构成直角三角形，故符合题意； D. 5+12＝13，能构成直角三角形，故不符合题意. 故选C. 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于掌握运算公式. 2. 下列实数（每相邻两个3之间一个0）中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数、立方根及算术平方根，熟练掌握无理数、立方根及算术平方根是解题的关键．根据算术平方根、立方根先化简，然后再根据无理数的概念“无限不循环小数”可直接进行排除选项． 【详解】解：∵，，， ∴无理数的有：，共2个； 故选：B． 3. 点的坐标为，若，，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系内第四象限的符号特征，即可得出答案 【详解】解：∵， ∴点位于第四象限． 4. 若，满足，则的算术平方根是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，算术平方根的意义，先根据非负数的性质求出m，n的值，再根据算术平方根的意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 故选A． 5. 已知点P（m＋3，2m＋4）在x轴上，那么点P的坐标为（　　） A. （－1，0） B. （1，0） C. （－2，0） D. （2，0） 【答案】B 【解析】 【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出m的值，再求解即可． 【详解】解：∵点P（m＋3，2m＋4）在x轴上， ∴2m＋4＝0， 解得：m＝－2， ∴m＋3＝－2＋3＝1， ∴点P的坐标为（1，0）． 故选：B． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键． 6. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的估算进行大小比较． 【详解】解：∵， 又∵， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查求一个数的算术平方根，求一个数的立方根及无理数的估算，理解相关概念是解题关键． 7. 到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：图1：延长，交于点F，如图所示： ， ， ∴， 即，故图1符合题意； 图2：补成一个边长为的大正方形，如图所示： 则大正方形的面积为：， 将大正方形看作边长为c的小正方形和四个直角三角形的面积之和，则大正方形的面积为：， ∴， ∴， ∴，故图2符合题意； 图3：，， ∴， 整理得，故图3满足题意； 图4无法证明直角三角三边关系，故图4不符合题意； 综上分析可知：以用来验证勾股定理的有3个． 故选：C． 8. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向匀速循环前行．当机器人前行了时，其所在位置的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． 由点的坐标可得智能机器人从点A出发沿着回到点A所走路程是10，即每过10秒点P回到A点一次，判断的余数可知智能机器人的位置． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴机器人从点A出发沿着回到点A所走路程是：， ∴每过10秒点P回到A点一次， ∵， ∴第2025秒与第5秒时机器人所在的位置相同， ∵， ∴此时机器人在点处， ∴机器人所在点的坐标为， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 点到轴的距离为______，到轴的距离为 ______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离等于其纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于其横坐标的绝对值即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：点到轴的距离为，到轴的距离为， 故答案为：，． 10. 一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是___________ 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数、平方根的性质，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴这一个正数为25． 11. 今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为______尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设尺， 由题意得，尺，尺，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴尺， ∴这根绳索的长度为尺， 故答案为：． 12. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查求一个数的立方根，理解立方根的定义是正确解答的前提．根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 13. 今年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题关键．将圆柱的侧面展开，根据题意可知，，利用勾股定理解得的长度，然后计算装饰带长度的最短值即可． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点为的中点，， 根据题意，可知，， ∴， ∴装饰带长度的最短值． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 计算： （1） （2） （3）解方程： （4）解方程： 【答案】（1） （2） （3）方程的解为， （4）方程的解为 【解析】 【分析】（1）先分别计算二次根式的乘法、立方根和乘方，再进行加减运算； （2）先计算二次根式的除法，再计算二次根式的乘法，最后进行加减运算； （3）等式左右两边同时除以2，把方程左边变形为的形式，再利用平方根的定义直接开平方求解； （4）利用立方根的定义，直接开立方求解； 本题主要考查了二次根式的混合运算、平方根和立方根的计算，熟练掌握对应的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解： ， 当时，； 当时，； 所以方程的解为，． 【小问4详解】 解： ． 所以方程的解为． 15. 如图，在直角ΔABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=CD=2，AD=3． (1)求AC的长． (2)试判断ΔACD的形状． 【答案】(1)；(2)直角三角形 【解析】 【分析】（1）直接根据勾股定理求出AC的长即可； （2）在△ACD中，由勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状． 【详解】解：(1)∵直角ΔABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=CD=2， ∴AC===； (2) ∵△ACD中，AC=，CD=2，AD=3， ∴ ∴△ACD为直角三角形． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知各顶点均在格点上． （1）直接写出的三个顶点的坐标：A_______；B_______；C_______； （2）画出关于x轴对称的； （3）的面积为_______． 【答案】（1），， （2） 由轴对称的性质作图如下，即为所作； （3）4 【解析】 【分析】本题考查了点坐标，利用轴对称的性质作图，坐标与图形．熟练掌握点坐标，利用轴对称的性质作图，坐标与图形是解题的关键． （1）由题意可知，； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意知，， 故答案为：4． 17. 阅读下面计算过程： ； ； ； 求： （1）的值． （2）的值． （3）若，求的值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式的化简求值，弄清分母有理化的方法是解本题的关键， （1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果； （3）先化简，然后代入所求式子计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ． 18. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． （1）点的“长距”为______； （2）若点是“完美点”，求的值； （3）若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 【答案】（1）2 （2）或 （3） 证明：∵点的长距为4，且点C 在第四象限内， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴点D是“完美点”． 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得点到轴的距离为2，到轴的距离为1， ∴点A的“长距”为2． 故答案为：2； 【小问2详解】 解：∵点是“完美点”， ∴， ∴或， 解得或； 【小问3详解】 略 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若实数x、y满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，绝对值，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．算术平方根和绝对值都具有非负性，它们的和为零时，必须每个部分都为零，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即，， 解得，， ． 故答案为：． 20. 已知点，点，若轴，则点P的坐标是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，熟练运用平行于轴的直线上点的特征求得点的坐标是解题的关键． 根据平行于轴的直线上点的特征可得点与点的纵坐标相等，求得，即可求出点P的坐标． 【详解】解：∵， ∴点与点的纵坐标相等， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 21. 如图，在中，，，D是线段上一点，连接，，，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，在两个直角三角形中用勾股定理建立关于的方程求出和，再在中求，最后由得解． 【详解】解：过作于点， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ，，， ，即， ， ． 22. 已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的化简，由数轴可得，，即可得，，，再根据二次根式的性质化简即可求解，由数轴确定的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴原式， 故答案为：． 23. 如图，长方形中，，，点M，N分别在边，上，沿着折叠长方形，使点B，C分别落在G，F处． （1）如图1，当F落在线段的中点位置时，则___； （2）如图2，若点M与点B重合，连接，当线段的值最小时，的长度为___． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得．设，则．在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； （2）当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得．设．由折叠的性质得，．从而得到．在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】解：（1）在长方形中， 为线段的中点， ． 由折叠的性质，得． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得． ； （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，如图． ， 在中，由勾股定理得． 设． 由折叠的性质得，． ． 在中，由勾股定理得， ． 解得 线段的值最小时，的长度为． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 在平面直角坐标系中，已知点． （1）当点P在y轴上时，求出点P的坐标； （2）当直线平行于x轴，且，求出点P的坐标． （3）若点P到x轴，y轴距离相等，求m的值； 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了各象限以及坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可； （2）根据平行于x轴上的直线上的点的纵坐标相等列方程求解m的值，再求解即可． （3）根据点P到x轴，y轴距离相等，则点的横纵坐标的绝对值相等，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：当点在轴上时，得， 解得：， ， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：平行于轴，且， ， 解得：， ， 点的坐标为． 【小问3详解】 解：∵点到x轴，y轴距离相等， ∴， ∴或， 解得：或； 25. 已知：，，求： （1）的值； （2）的值； （3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【答案】（1）3 （2）13 （3） 【解析】 【分析】（1）代入求值即可； （2）代入求值，可将（1）的结果代入； （3）根据题意估算出m、n的值，代入分式，化简计算． 【小问1详解】 解：∵2，， ∴ 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：∵m为a整数部分，n为b小数部分，2，， ∴， ∴ ， ∴的值． 【点睛】本题考查了二次根式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化． 26. 【问题背景】如图1，在四边形中，，连接，，探究线段、、之间的数量关系． 小明同学的想法是：过点作，交延长线于点，则是等腰直角三角形，可通过证明，得到对应边、对应角相等，最终借助特殊三角形得出结论：，请根据小明的思路，完成以下证明过程： （1）求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，若，，点是的中点，求的长． 【拓展探究】（3）如图3，在四边形中，，连接，，若，，则当BD最大时，则的面积为______． 【答案】 （1）如图，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴； （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）过点作，交延长线于点，易知和均为等腰直角三角形，进而可得，，，再证明，然后利用“”证明，根据全等三角形的性质可得，再证明，进而在和中，利用勾股定理可知，，即可证明结论； （2）过点作于点，过点作于点，首先解得，易知，和均为等腰直角三角形，进而确定，，由勾股定理可解得的长度，进一步确定，的值，然后理由勾股定理即可求得的值； （3）过点作，使得，连接，易知和为等腰直角三角形，结合（1）可知，故有，根据三角形三边关系可知，易得，当点共线时，取最大值，最大值为，然后证明，并利用勾股定理解得的值，进一步解得的长度，结合三角形面积公式即可获得答案． 【详解】解：（1）略 （2）如图，过点作于点，过点作于点， 将，代入， 可得， 解得或（舍去） ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点作，使得，连接， 则为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， 结合（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴如下图，当点共线时，取最大值，最大值为， ∴此时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当最大时，的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，难度较大，综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $