专题：三角恒等变换与解三角形专项训练-2027届高三数学一轮复习

（决胜高考）专题：三角恒等变换与解三角形-2027届高三数学上学期一轮复习分层作业 基础巩固 一、单选题 1．（24-25高一下·山东·学业考试真题）（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·山东济宁·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，若且，则（     ） A．或 B． C． D． 4．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·四川泸州·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高三·全国·一轮复习）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（ ） A． B． C．或 D． 7．（24-25高一下·山东·学业考试真题）在中，角的对边分别为.若，则（    ） A．1 B． C． D．7 8．（26-27高三·全国·一轮复习）摇杆机械装置，如图，，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026高一上·全国·专题练习）下列选项中式子正确的有（   ） A． B． C． D． 10．（26-27高二上·浙江宁波·开学考试）已知的面积为，角所对的边分别为，下列条件中，能使为等腰三角形的是（ ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·陕西西安·期中）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（    ） A． B．为钝角三角形 C．外接圆的半径为 D．的面积为 三、填空题 12．（26-27高三·全国·一轮复习）中，三边之比，则_____. 13．（26-27高三·全国·一轮复习）已知在中，角所对的边分别为，且，若的面积为，则角的值为____. 14．（26-27高二上·河北承德·开学考试）在中，角，，所对的边分别为，，，，且，则的取值范围是______. 四、解答题 15．（26-27高三·全国·一轮复习）化简： (1)； (2). 16．（26-27高二上·辽宁朝阳·阶段检测）中，设角，，的对边分别为，，．已知：． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且边上的高为，求面积的取值范围． 17．（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）在中，，，所对的边分别为，，，且，． (1)求证：为直角三角形； (2)若点为的内切圆上的动点，求点到顶点，，的距离的平方和的最大值与最小值． 18．（26-27高三·全国·一轮复习）在中，内角所对的边分别为，且． (1)若，求C的大小； (2)点D在边上，且，证明：平分． 19．（26-27高一上·天津南开·开学考试）在平面直角坐标系中，点，点分别是坐标轴上的点，连接.把绕点逆时针旋转得.点，旋转后的对应点为点，.记旋转角为. (1)如图①，当点落在边上时，求的值和点的坐标： (2)如图②，当时，求的长和点的坐标； (3)连接，直接写出在旋转过程中面积的最大值. 压轴题 20．（25-26高一下·广东珠海·期末）三角形的布洛卡点由数学家布洛卡首次发现，当内一点P满足时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角. 如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S，点P是的布洛卡点，布洛卡角为. (1)当为等边三角形，的布洛卡角为，求的值； (2)证明：（其中S为的面积） (3)当且时，求的值； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《（决胜高考）专题：三角恒等变换与解三角形-2027届高三数学上学期一轮复习分层作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B C B C A CD BCD 题号 11 答案 BD 1．B 【详解】 2．A 【分析】先利用三角函数诱导公式化简已知等式求出的值，再代入二倍角余弦公式计算即可得到结果. 【详解】首先根据诱导公式， 对化简可得：，解得， 再根据二倍角的余弦公式， 将代入得：. 3．B 【详解】由，结合正弦定理可得： , 故，则或，又，故舍去， 所以. 4．B 【详解】角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点， 则有，， 所以. 5．C 【详解】由，可得， 即， 故. 6．B 【详解】由正弦定理可得：． 因为，则，且，所以． 7．C 【详解】在中，根据余弦定理： ， 代入已知条件，且， 得： ， 故. 8．A 【分析】根据边长范围结合余弦定理计算求解范围. 【详解】因为，则，即得， 所以中，， 所以， 所以的范围为. 9．CD 【分析】 选项 A：给正弦和乘以辅助因子，结合，裂项相消，再二倍角化为，利用正切函数的单调性，得，得到结果大于 1；选项 B：对余弦和乘，结合，裂项相消化简求解；选项 C：诱导把正弦转为余弦，分子分母同乘，反复用化简；选项 D：法一，先用积化和差把两组余弦乘积展开，借助 等腰黄金三角形相似求出 的精确值，代入直接计算得到结果；法二，构造 C 选项作为对偶式相乘，利用二倍角转换角度，再用三倍角恒等式整体约分求解. 【详解】对于A：，，则 ，故A错误， 对于B：， ，故B错误， 对于C： ，故C正确， 对于D：解法一：由积化和差，， 如图：由相似三角形，故，， 故， 故； 解法二：构造对偶式， 由， 令，， 令， 故， 故，又， 故． 10．BCD 【分析】结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式及函数单调性，逐一推导各选项是否能推出三角形两角或两边相等，判断是否为等腰三角形 【详解】选项A：由正弦定理得，即， 可得或，即或， 三角形也可能是直角三角形，不一定为等腰三角形，故A错误； 选项B：将和余弦定理代入条件， 可得，化简得，即， 因为，所以，三角形为等腰三角形，故B正确； 选项C：由正弦定理边化角，得， 由基本不等式，又即， 因此不等式成立当且仅当， 即，得，三角形为等腰三角形，故C正确； 选项D：由正弦定理边化角得，整理得， 构造函数，易知其在、上均单调递增，且两个区间上函数值符号相反， 故仅当成立，即三角形为等腰三角形，故D正确. 11．BD 【分析】先用余弦定理求得，判断C为钝角，确定三角形类型；接着算出，代入面积公式求出三角形面积；最后利用正弦定理，计算外接圆半径，最后逐一判断选项对错． 【详解】A选项，根据余弦定理可得： ， 故A选项错误； B选项，根据题意可知， ， 所以C为钝角，是钝角三角形， 故B选项正确； C选项， 由， 可得， 根据正弦定理，其中为外接圆的半径， 则， 故C选项错误； D选项， 由， 可得的面积为 故D选项正确． 12． 【分析】首先由结合余弦定理得出，然后根据二倍角公式和正弦定理即可得出结果. 【详解】因为， 不妨设， 则， 由正弦定理可得. 13． 【分析】由余弦定理及三角形面积公式得到与的关系，再通过辅助角公式及三角形内角的角度范围即可得到答案. 【详解】由题意， 即①，②， 联立①②得， 整理得，即， 又，， ，. 14． 【分析】先根据辅助角公式求得，然后利用正余弦定理求得，进而由正弦定理得，从而利用辅助角公式得，最后利用正弦函数性质求解即可. 【详解】在中，由，得. 又，则，解得. 由及正弦定理，得， 即. 由余弦定理得，则. 由正弦定理，得，即， 因此 . 由，得，则， 所以的取值范围是. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数关系式的商数关系，正弦、余弦的二倍角公式，辅助角公式，诱导公式化简即可； （2）方法一：利用同角三角函数关系式的商数关系，正弦、余弦的二倍角公式化简即可；方法二：利用同角三角函数关系式的商数关系，正弦、正切的二倍角公式化简即可. 【详解】（1） . （2）法一： . 法二： . 16．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边再结合余弦定理求解； （2）由锐角条件确定角的范围，再利用高和三角恒等变换求面积范围． 【详解】（1）已知， 由正弦定理，得， 又由余弦定理，则， 因为，，所以， 又，故，从而. （2）由（1）知，故， 因为为锐角三角形，所以， 由边上的高为2，有， 于是三角形面积， 又， 所以， 当时，，故， 当时取到等号1，而不能取到. 因此. 所以面积的取值范围为. 17．(1)由正弦定理，结合已知条件，可得． 交叉相乘得，即． 因为，所以，故． 于是，即． 因此． 故为直角三角形． (2)最大值为88，最小值为72． 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用倍角公式得到与的关系，从而证明. （2）建立平面直角坐标系，求出内切圆方程，再把几何问题代数化，转化为一次函数的最值问题，从而求出距离平方和的最大值和最小值. 【详解】（1）略. （2）由（1）知，故, 解得，．直角三角形内切圆半径. 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则 ，，.    内切圆圆心为，内切圆的方程为. 设圆上动点，记距离平方和为，则 . 由圆方程展开得，将其代入的表达式： . 由可知．当时，取得最大值88；当时，取得最小值72. 综上，距离平方和的最大值为88，最小值为72. 18．(1) (2)证明：因为，所以，， 在中，由正弦定理可知，即， 则， 在中，由正弦定理可知，即，则， 又， 所以， 又， 所以或， 又为的内角，且， 所以，故平分． 【分析】（1）由正弦定理得出，再由余弦定理即可求解； （2）在中，根据正弦定理得出，同理得出，再根据列出等式整理得，再结合即可证明． 【详解】（1）由，由正弦定理得， 由余弦定理可知， 又，则． （2）略 19．(1)， (2)， (3) 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求解旋转角的大小和点的坐标即可. （2）利用旋转的性质得出是等边三角形，再求解线段长度和关键点坐标即可. （3）对于动点问题，主要思路是减少动点，将动点转化为不动点，由，将的面积问题转化为的长度问题，进而得到面积的最大值即可. 【详解】（1）过点作于点， 又，所以是等腰直角三角形，即也是等腰直角三角形， 由旋转性质可知，， 所以，所以. （2）过点作于点， 在中，， 所以，所以. 由旋转性质可知， 所以是等边三角形，得到. （3）过点作于点，， 所以在旋转过程中最大时，就是面积最大时， 当过点时，最大，此时， 所以面积最大值为. 20．(1) (2)因为，所以，. 在中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得， 两式相除得，将分子展开得， 化简得，即 (3) 【分析】（1）通过全等三角形的判定求解布洛卡角进而求. （2）利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式化简. （3）通过证明三角形相似来求解并计算三角形面积，利用（2）的结果求解. 【详解】（1）为等边三角形，布洛卡点P为的中心， 因为，，， 所以，， 同理，所以布洛卡角， 则. （2）略 （3）当时，是等腰三角形，，， 而，，，则， 又，则，， 则，所以高，所以， 由（2）可得，所以. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $