3.2.1单调性与最大（小）值(第一课时)课件- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性的定义、判断、证明及应用，通过观察函数图像特征引入，衔接初中函数图像知识，从直观感知到文字描述再到符号语言，构建层层递进的学习支架。 其亮点在于以数学抽象（如从f(x)=x²图像到符号定义）和逻辑推理（定义证明五步步骤）为核心，结合物理学玻意耳定律等实例培养应用意识。采用问题链驱动和分层练习，助力学生发展直观想象与数学运算素养，为教师提供系统教学流程与丰富实例。

第三章 函数的概念与性质 3.2.1 函数的单调性(第一课时) 人民教育出版社 必修一 A版 高一 数学 新课引入 我们知道，先画出函数图象，通过观察和分析图象的特征，可以得到函数的一些性质．观察下图中的各个函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质吗？ 图象从左到右保持上升 图象从左到右有升有降 图象关于y轴对称 单调性 奇偶性 图象关于原点成中心对称 最大、小值 3.2.1 函数的单调性 第一课时 第三章 函数的概念与性质 一 二 三 学习目标 从图像直观、定性描述和定量分析三个方面，研究函数单调性； 会用函数单调性的定义判断、证明一些函数的单调性； 利用求单调区间及应用单调性解题，发展直观想象与数学运算素养. 学习目标 问题1 观察函数f (x)＝x2 的函数图像，观察并说说图象的变化趋势？ 直观感知： 图象在y轴左侧是下降的，y轴右侧是上升的。 文字语言： 当x<0时，y 随x 的增大而减小； 当x>0时，y 随x 的增大而增大； 函数的这种性质称为函数的单调性 如何用符合语言来描述呢？ 新知探究 问题1 观察函数f (x)＝x2 的函数图像，观察并说说图象的变化趋势？ 不妨取一些特殊值，观察相应函数值的情况. x … -5 -4 -3 -2 -1 … f(x) … 25 16 9 4 1 … 当x<0时， …… 符号语言： 图像上的任意两点： ， 当时， 都有 当x<0时，y随x的增大而减小 当x>0时，y随x的增大而增大 ,当 时， 都有, 那么就称函数在上单调递增. ,当时，都有, 那么就称函数在上单调递减. 与定义域是何关系？ 单调性的定义   单调递减 单调递增 定义 图示 ∀x1，x2∈I, 当x1<x2时, 都有f(x1)>f(x2), 则称函数f(x)在区间I上单调递减, 区间I为f(x)的单调递减区间. 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D， ∀x1，x2∈I, 当x1<x2时, 都有f(x1)<f(x2), 则称函数f(x)在区间I上单调递增, 区间I为f(x)的单调递增区间. 概念生成 注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数. 单调性是局部性质 ②若f(x)在区间I上单调递增(减)，则称f(x)在这一区间具有（严格的）单调性. 8 注：不是所有函数都有单调区间； 概念辨析 常数函数不具有严格的单调性. ⇔∀x1，x2∈I, f(x)在区间D上单调递增⇔∀x1，x2∈I且x1<x2, 都有f (x1)<f (x2) ⇔∀x1，x2∈I, (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 f(x)在区间D上单调递减⇔∀x1，x2∈I且x1<x2, 都有f (x1)>f (x2) ⇔∀x1，x2∈I, (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 注意 ⇔∀x1，x2∈I, 函数单调性定义的等价形式 思考1 设A是区间I上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1, x2∈A，当x1< x2时，都有f(x1)<f( x2) ，我们能说函数f(x)在区间I上单调递增吗？ 新知探究 对于函数，取区间, 集合，则，当，都有.但在上并不单调递增. 课本P77 思考2 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？ 新知探究 思考3 反比例函数 是减函数吗？我们该怎么描述它的单调性？ 先画图 · · 分段描述！ _____________ ？ 和 ， 练习1 如图是定义在闭区间上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一个单调区间上,是增函数还是减函数. 函数f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5], 其中f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数, 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数. 练习2 函数 和函数 各有怎样的单调性？     【解】作出两个函数的图像，由图像可知：               函数f(x)=|x|在区间(-∞,0）上是单调 的,在[0,+∞)上是单调 的 . 递减 递增 函数f(x)=-x2在区间(-∞,0）上是单调______的,在[0,+∞)上是单调 的 . 递减 递增 练习3 函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调减区间是_______________. [-1,0]和[1,+∞) (-1,0)和(1,+∞) ，，当时， 那么可以说函数在区间D上单调递增. 作差： 例1 根据定义，研究函数f (x)=kx +b(k≠0)的单调性. 典例解析 例1 根据定义，研究函数f (x)=kx +b(k≠0)的单调性. 定号 作差，变形 结论 取值 典例解析 在初中，我们利用函数图象得到了上述结论， 这里用严格的推理运算得到了函数 f（x）＝k x＋b的单调性． 用定义证明函数的单调性的步骤: (1)取值：设x1，x2是某个区间上任意两个值，且x1＜ x2; (2)作差：作差f(x1)-f(x2); (3)变形：向有利于判断差的符号的方向变形，一般化为积或商的形式 ; (4)定号：确定 f(x1)-f(x2)的符号； (5)结论：确定函数的增减性. 方法小结 典例解析 例2 物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之. 追问1 “体积减少时，压强增大”的数学意义是什么？ 且 ，有： 证明：     由 得 ；由 得         又 ，所以 即       所以函数 是减函数.问题得证.   典例解析 例3 根据定义证明函数 在区间上单调递增. 例4 若函数f(x)在R上是减函数，则有（ ） A.f(3)<f(5) B.f(3)≤f(5) C.f(3)>f(5) D.f(3)≥f(5) C 解：因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5). 总结：x1＜x2，f(x)单调递减⇒f(x1)>f(x2) 能力提升：利用单调性解不等式 例5 已知函数 对任意 都有 ，且 ， 则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 解：由题意得 在 上单调递减， 因为 ，所以 ， A 解得 . 总结：f(x1)>f(x2)，f(x)单调递减⇒x1＜x2 能力提升：利用单调性解不等式 方法总结 单调性几种应用(知二求一) (1)x1＜x2，f(x1)＜f(x2)⇒f(x)单调递增（单调性的判断与证明） (2)x1＜x2，f(x)单调递增⇒f(x1)＜f(x2)（利用函数单调性比较大小） (3)f(x1)＜f(x2)，f(x)单调递增⇒x1＜x2（利用函数单调性解不等式组） 注意定义域 练习4 已知 是定义在 上的增函数，且 ，则实数 的取值范围是______. 解: 由题意得 解得 ，所以 的取值范围为 . 能力提升：利用单调性解不等式 能力提升：利用单调性求参数 例6 若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增， 求实数a的取值范围？ 解：f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]， 由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1， 解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4]. 能力提升：利用单调性求参数 例7 若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]， 求实数a的值？ 解：f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 ＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]， 由题意得－a－1＝3，a＝－4. 思考：与例6有什么区别？ 概 念 区 分 “在区间上单调”和“单调区间” “单调区间是D”：D是唯一的; “在区间E上单调”：E⊆D即可. 能力提升：利用单调性求参数 练习5 若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1，＋∞)上单调递减， 求实数a的取值范围？ 综上所述，－3≤a≤0，故a的取值范围是[－3,0]. 解得－3≤a<0. 解：①a＝0时，f(x)＝－3x＋1在R上单调递减， ∴a＝0满足条件； ②a≠0时，f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1， 巩固练习 课本P79 1. 请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系. 解：在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数的增加而降低.由此可见，并非是工人越多，生产效率越高. 巩固练习 课本P79 x O y k>0 x O y k<0 巩固练习 课本P79 师生互动，探索新知 反思小结，观点提炼 初中函数图象 不等关系与不等式全称量词 数学抽象、逻辑推理 具体函数 抽象 概括 函数单调性的定义 勾联 从特殊到一般 1. 本节课我们学习了哪些知识？ 2. 在学习过程中用到了哪些数学思想和方法？ 课堂小结 师生互动，探索新知 反思小结，观点提炼 必做：课时分层作业（二十）A组； 选作：课时分层作业（二十）B组； 思考：课时分层作业（二十）C组 课后作业 谢 谢！ ∴ 对称轴为x＝－， $