3.2.2 课时1 奇偶性课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.2.2 课时1 奇偶性 32100 1. 理解函数奇偶性的定义． 2. 掌握函数奇偶性的判断和证明方法，会应用奇、偶函数 图象的对称性解决简单问题． 学习目标 32100 问题1：剪纸是中国的传统民间艺术，图案漂亮却很复杂，下面的剪纸具有怎样的对称性？ 轴对称和中心对称 问题导入 32100 问题2：从对称的角度，观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 从形的角度来看，这两个函数图象都关于y轴对称. 32100 问题3：如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况. 可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等. x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f(x)＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … g(x)＝2－|x| … －1 0 1 2 1 0 －1 … 即∀x∈R，都有 f(-x) = f(x). 32100 一般地，设函数的定义域为 ，如果，都有，且 ，那么函数就叫做偶函数.(图象关于轴对称) 满足三点： (1) 定义域特征：关于原点对称； (2) 代数特征：f(－x)＝f(x)； (3) 几何特征：偶函数的图象关于y轴对称． 偶函数的定义： 新知讲解 32100 问题3：观察函数f(x)＝x和g(x)＝的图象，你能发现这两个函数图象有什 么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？请借助以下表格自主探究结果. 从形的角度来看，它们的图象都关于原点成中心对称图形. … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … … 32100 … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -1 无意义 1 … 可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数. 即∀x∈R，都有 f(-x) = -f(x). 32100 一般地，设函数的定义域为 ，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.(图象关于原点对称) 奇函数的定义： 满足三点： (1) 定义域特征：关于原点对称； (2) 代数特征：f(－x)＝－f(x)； (3) 几何特征：奇函数的图象关于原点对称． 新知讲解 32100 (1)函数的奇偶性是函数的整体性质，而函数的单调性是定义域内某个区间上的局部性质. (2)判断函数奇偶性时，先判断定义域是否关于原点对称，如果∀x∈I，都有－x∈I，即便定义域关于原点对称，还需判断f(－x)与f(x)的关系： ①若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数； ②若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数； ③若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数. 对函数奇偶性的理解及判断： 32100 (3)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称. (4)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0. (5)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数. 32100 例1 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)＝－|x|； 解：(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝－|－x|＝－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数. (2)函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0， 又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. 例题讲解 32100 (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数. (4)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}， ∵∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，且f(－x)＝－x－＝－(x－)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数. 32100 判断函数奇偶性的两种方法 (2)定义法: (1)图象法: 归纳 32100 练1.下列函数是奇函数的是(　　) D 解析：先判断函数的定义域是否关于原点对称，再确定f(-x)与f(x)的关系. 选项A中函数的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)，不关于原点对称，所以排除A；选项B，C中函数的定义域均是R，且函数均是偶函数； 选项D中函数的定义域是R，且f(-x)=-f(x)，则此函数是奇函数. 巩固练习 32100 思考1：判断函数 的奇偶性. 思考2：已知函数 图象的一部分，你能根据的奇偶性画出它在轴左边的图象吗？ 奇函数 x y O 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 f(x)= x3+x x y O 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 f(x)= x3+x 将y轴右侧的图象 沿着原点旋转180° 新知讲解 32100 练2. 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示. (1)请补出完整函数y=f(x)的图象; (2)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 解：(1)由题意作出函数图象如图. (2)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(-2，0)∪(0，2). 巩固练习 32100 根据奇、偶函数图象的对称性可以解决如求函数值或画出奇偶函数图象的问题，巧用奇偶性作函数图象的步骤如下： (1) 确定函数的奇偶性； (2) 作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象； (3) 根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． 归纳 32100 练3.已知f(x)为奇函数，其局部图象如图所示，那么(　　) A.f(2)=2 B.f(2)=-2 C.f(2)>-2 D.f(2)<-2 C 解析：由图可知f(-2)<2，因为函数是奇函数，所以f(-2)=-f(2)，即-f(2)<2，则f(2)>-2.故选C. 巩固练习 32100 例2 已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝_____. 解析：令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数， ∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2， 又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5. 又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7. 7 例题讲解 32100 回顾本节课，回答下列问题： 1.偶函数、奇函数的定义及其几何意义？ 2.判断奇偶函数的思路？ 3.利用函数的奇偶性能解决哪些问题？ 课堂小结 32100 1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( ) B 随堂小练 32100 2.已知f(x)＝x3＋a，x∈R，且f(x)是奇函数，则a＝____． 解：因为f(x)是奇函数，故f(－x)＋f(x)＝0，即x3＋a＋(－x)3＋a＝0，故a＝0. 0 B 随堂小练 32100 (4)f(x)＝x－. (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝x－. A.f(x)= B.f(x)=-3x2 C.f(x)=-|x| D.f(x)=πx3-x 解：因为f(x)＝，所以f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，排除C；当x>0时，f(x)>0，排除A，D，故B正确． 　3.函数f(x)＝的大致图象是(　　) $