专题07 相似多边形、探索三角形相似的条件、相似三角形判定定理的证明 同步培优讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题07相似多边形、探索三角形相似的条件、相似三角形 判定定理的证明 同步培优讲义 ✺知识框架 本节依次学习相似多边形、相似三角形的核心概念与性质，重点掌握三角形相似的三大判定定理，并理解定理的严谨证明过程。以定义、判定、证明、应用为主线，规范几何推理逻辑，掌握相似图形的对应关系与比例特征，是后续相似计算、几何模型应用的核心基础。 ✺学习目标 1.掌握相似多边形、相似三角形的定义与性质，理解相似比的顺序性，能准确求解相似比。 2.熟练掌握三角形相似的三种判定定理（AA、SAS、SSS），规范书写几何判定格式。 3.理解并掌握三大相似判定定理的教材标准证明过程，理清构造全等、平行证相似的核心推理思路。 4.区分相似与全等的从属关系，规避高频易错点，能独立完成相似证明与基础计算。 ✺知识梳理 知识点一、相似多边形 1.相似多边形定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 核心要点：两条件缺一不可，仅角相等或仅边成比例，多边形不相似。 2.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 3.相似多边形核心性质:对应角相等，对应边成比例；相似多边形周长比、对应对角线比、对应中线比、对应角平分线比均等于相似比；相似多边形面积比等于相似比的平方。 4.相似多边形判定方法:边数相同的多边形，同时满足对应角相等、对应边成比例，即可判定为相似多边形。 知识点二、相似三角形 在△ABC和△中，如果∠A=∠,∠B=∠,∠C=∠,===k,即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC与△相似， 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.△ABC和△相似记作△ABC∽△ 对应顶点：A与,B与,C与。 对应角：∠A=∠,∠B=∠,∠C=∠. 对应边：AB与，BC与,AC与 知识点三、平行线分线段成比例的基本事实 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 知识点四、相似三角形的判定定理 判定定理1：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 常见基础模型：A型相似、X型（8型）相似。 判定定理2. 两角分别相等的两个三角形相似（AA） 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。 如上图，在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D,∠B=∠E,则△ABC∽△DEF 判定定理3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似 如上图，在△ABC和△DEF中,若=,∠B=∠E,则△ABC∽△DEF 注意：必须是对应夹角相等，对角相等无法判定相似，切勿与全等SAS混淆。 判定4.三边成比例的两个三角形相似（SSS） 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。 如上图，在△ABC和△DEF中，若==,则△ABC∽△DEF. 适用场景：题干仅给出边长、比例条件，无角度信息时优先使用。 推论：斜边和直角边成比例的两个三角形相似。 如上图，在△ABC和△DEF中，若=,∠B=∠E=90°，则△ABC∽△DEF. ✺题型精讲 题型1.成比例线段 1．四条线段、、、可组成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知一张地图的比例尺为，该地图上表示A，B两座城市的两点之间的距离为．那么，这两座城市之间的实际距离为____________． 3．如图，在中，，分别是边和上的点，，，，且，求的长． 题型2.相似多边形 1．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 2．如图，一个矩形广场（阴影部分）的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为．如果设两条横向小路的宽都为，那么当x为_______时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 3．如图，四边形的对角线相交于点，点，，，分别是，，，的中点，判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 题型3.相似多边形的性质 1．如图所示的甲、乙两个平行四边形相似，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．四边形的四边长分别是2，3，7，8，四边形四边形，四边形的最短边长是4，则四边形与四边形的相似比是______． 3．一块长、宽的矩形黑板如图所示． (1)如果镶在它外围的木质边框的宽度为，那么边框的内、外边缘所围成的矩形相似吗？为什么？ (2)要使边框的内、外边缘所围成的矩形相似，横向木质边框的宽度与纵向木质边框的宽度之间应满足怎样的关系？ 题型4.利用两角对应相等判定相似 1．下列各组图形一定相似的是（   ） A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 2．如图，在中，F是延长线上一点，连接交于点E，请写出图中的一对相似三角形：________． 3．已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：． 题型5.利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 1．如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（     ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 2．如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有____________． 3．如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 题型6.利用三边对应成比例判定相似 1．若的三边长分别为1，，，的三边长分别为，2，，则与（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．一定全等 2．已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为___________时，与相似． 3．如图，在的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，与的顶点均在格点上，求证：． 题型7.选择或补充条件使两个三角形相似 1．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 3．如图，在中，，过上一点D作直线交于点E，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可作多少条？ 题型8.相似三角形的判定综合 1．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 3．如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：． 题型9.黄金分割 1．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，则点之间的距离为（     ） A．（B． C． D． 2．如图，线段，点与点均为线段的黄金分割点，则________ 3．如图，在五角星中，，且C，D都是的黄金分割点，．求的长． 题型10.由平行判断成比例的线段 1．如图，在中，点D，E分别在边上，且，则下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．在边长为1的等边三角形中，D为直线上一点，，点E在直线上，且，则的长为________． 3．如图，在矩形中，E是边延长线上的点，且，与相交于点F，，，求及的长． 题型11.由平行线截线求相关线段的长或比值 1．如图，直线分别交直线于点A，B，C，D，E，F，已知，则的长是（   ） A．3 B．4 C． D．6 2．如图，为直角斜边上的中线，过作，交于．若，，则_________． 3．如图，已知直线、、，分别交直线于点、、，交直线，于点，且． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 题型12.利用平行判定相似 1．如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 2．如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 3．下面是相似三角形的判定定理： 相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 已知：如图，在和中，，． 求证：． 请你完成此定理的证明过程． ✺分层练习 一、单选题 1．现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同但比它大的矩形，则至多要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）．的值为（     ） A．6 B．8 C．12 D．18 2．如图，四边形的对角线与相交于点O，且，则①；②．下列关于①②的判断正确的是（     ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 3．如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，点E是的中点，连接交对角线于点M，交于点N．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 6．如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 7．2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 8．如图，，，圆O的半径为，P是圆O上一动点，的最小值为________． 三、解答题 9．如图，已知四边形四边形，，，且． (1)的度数为_____； (2)若，求的长． 10．已知：如图，在和中，，，，．求证：． 11．如图，，，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 12．请解决以下问题： (1)如图①，在矩形中，点E为边的中点，，点P，Q分别在矩形的边、上，连接交于点M． 求证：． (2)如图②，在（1）的基础上，点R在边上（不与点Q重合） ①若，则线段的长为______； ②当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，，，连接，则周长最小值为______． (3)如图④，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07相似多边形、探索三角形相似的条件、相似三角形 判定定理的证明 同步培优讲义 ✺知识框架 本节依次学习相似多边形、相似三角形的核心概念与性质，重点掌握三角形相似的三大判定定理，并理解定理的严谨证明过程。以定义、判定、证明、应用为主线，规范几何推理逻辑，掌握相似图形的对应关系与比例特征，是后续相似计算、几何模型应用的核心基础。 ✺学习目标 1.掌握相似多边形、相似三角形的定义与性质，理解相似比的顺序性，能准确求解相似比。 2.熟练掌握三角形相似的三种判定定理（AA、SAS、SSS），规范书写几何判定格式。 3.理解并掌握三大相似判定定理的教材标准证明过程，理清构造全等、平行证相似的核心推理思路。 4.区分相似与全等的从属关系，规避高频易错点，能独立完成相似证明与基础计算。 ✺知识梳理 知识点一、相似多边形 1.相似多边形定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 核心要点：两条件缺一不可，仅角相等或仅边成比例，多边形不相似。 2.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 3.相似多边形核心性质:对应角相等，对应边成比例；相似多边形周长比、对应对角线比、对应中线比、对应角平分线比均等于相似比；相似多边形面积比等于相似比的平方。 4.相似多边形判定方法:边数相同的多边形，同时满足对应角相等、对应边成比例，即可判定为相似多边形。 知识点二、相似三角形 在△ABC和△中，如果∠A=∠,∠B=∠,∠C=∠,===k,即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC与△相似， 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.△ABC和△相似记作△ABC∽△ 对应顶点：A与,B与,C与。 对应角：∠A=∠,∠B=∠,∠C=∠. 对应边：AB与，BC与,AC与 知识点三、平行线分线段成比例的基本事实 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 知识点四、相似三角形的判定定理 判定定理1：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 常见基础模型：A型相似、X型（8型）相似。 判定定理2. 两角分别相等的两个三角形相似（AA） 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。 如上图，在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D,∠B=∠E,则△ABC∽△DEF 判定定理3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似 如上图，在△ABC和△DEF中,若=,∠B=∠E,则△ABC∽△DEF 注意：必须是对应夹角相等，对角相等无法判定相似，切勿与全等SAS混淆。 判定4.三边成比例的两个三角形相似（SSS） 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。 如上图，在△ABC和△DEF中，若==,则△ABC∽△DEF. 适用场景：题干仅给出边长、比例条件，无角度信息时优先使用。 推论：斜边和直角边成比例的两个三角形相似。 如上图，在△ABC和△DEF中，若=,∠B=∠E=90°，则△ABC∽△DEF. ✺题型精讲 题型1.成比例线段 1．四条线段、、、可组成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴需分情况讨论两线段乘积相等的情况： 若，代入，，，得，解得， 若，代入得，解得， 若，代入得，解得， ∴结合选项仅符合要求． 2．已知一张地图的比例尺为，该地图上表示A，B两座城市的两点之间的距离为．那么，这两座城市之间的实际距离为____________． 【答案】 【分析】已知比例尺和图上距离，根据比例尺定义计算实际距离后换算单位即可． 【详解】解：设两座城市之间的实际距离为， 根据比例尺的定义可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 即这两座城市之间的实际距离为 3．如图，在中，，分别是边和上的点，，，，且，求的长． 【答案】． 【分析】利用比例线段得到，然后把，，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即的长为． 题型2.相似多边形 1．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 【答案】A 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：如图所示， 甲：设原矩形边长为，， 向外扩张一个单位后边长变为，， 则， ∴新矩形与原矩形不相似，甲说法不正确； 乙：将边长为的菱形按图2的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行， 因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故乙正确． 2．如图，一个矩形广场（阴影部分）的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为．如果设两条横向小路的宽都为，那么当x为_______时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程和相似多边形的性质，熟练掌握“如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形”是解题的关键． 根据内外矩形的对应角相等，当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似，再利用比例性质求出即可． 【详解】解：根据题意得：内矩形长为，宽为，外矩形长为，宽为， 若内外两个矩形相似，除对应角相等外，还需，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴当时， 小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 故答案为：． 3．如图，四边形的对角线相交于点，点，，，分别是，，，的中点，判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【答案】相似， 理由如下： ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴，， 同理可得：，， ∴，即， 同理可得：，，，， ∴四边形与四边形相似． 【分析】本题考查了相似多边形的判定、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相似多边形的判定方法是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，根据平行线的性质可得，同样的方法可得，，则，再根据同样的方法可得，，，，然后根据相似多边形的判定即可得． 【详解】略 题型3.相似多边形的性质 1．如图所示的甲、乙两个平行四边形相似，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“相似多边形的对应边成比例”即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得． 2．四边形的四边长分别是2，3，7，8，四边形四边形，四边形的最短边长是4，则四边形与四边形的相似比是______． 【答案】 【分析】根据相似多边形的相似比等于对应边的比，取两个四边形的最短边作为一组对应边，计算化简比值即可． 【详解】解：∵四边形的四边长分别是，，，， ∴四边形的最短边为， ∵四边形四边形，四边形的最短边长是， ∴四边形与四边形的相似比是． 3．一块长、宽的矩形黑板如图所示． (1)如果镶在它外围的木质边框的宽度为，那么边框的内、外边缘所围成的矩形相似吗？为什么？ (2)要使边框的内、外边缘所围成的矩形相似，横向木质边框的宽度与纵向木质边框的宽度之间应满足怎样的关系？ 【答案】(1)不相似； 理由如下：由题意得边框外缘所围成的矩形的长、宽分别为， 假设边框的内、外边缘所围成的两矩形相似，则， 解得，不符合题意，即边框的内、外边缘所围成的两矩形不相似． (2)横向木质边框的宽度是纵向木质边框的宽度的时，边框的内、外边缘所围成的两个矩形相似 【分析】（1）由题意得边框外缘所围成的矩形的长、宽分别为，假设两矩形相似，求出d的值是否存在即可判断． （2）设横向木质边框的宽度与纵向木质边框的宽度分别为与，由两个矩形相似可求得的关系． 【详解】（1）解：不相似；理由略； （2）解：设横向木质边框的宽度与纵向木质边框的宽度分别为与， 则边框外缘所围成的矩形的长、宽分别为， 由于边框的内、外边缘所围成的两矩形相似， 所以， 得， 即横向木质边框的宽度是纵向木质边框的宽度的时，边框的内、外边缘所围成的两个矩形相似． 题型4.利用两角对应相等判定相似 1．下列各组图形一定相似的是（   ） A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【分析】利用“两角对应相等的两个三角形相似”逐一判断选项即可． 【详解】解：对A选项，若相等的角一个是等腰三角形的顶角，一个是另一个等腰三角形的底角，则对应角不相等，不一定相似，不符合题意； 对B选项，若相等的角是直角，两个三角形的另一个锐角不一定相等，因此不一定相似，不符合题意； 对C选项，∵的角如果作为等腰三角形的底角，内角和会超过， ∴只能是等腰三角形的顶角，∴两个等腰三角形的底角都为，三个角对应相等， ∴两个三角形一定相似，符合题意； 对D选项，仅有一个对顶角相等，其余两个角不一定对应相等，因此两个三角形不一定相似，不符合题意． 2．如图，在中，F是延长线上一点，连接交于点E，请写出图中的一对相似三角形：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质，可得，从而可根据平行的性质，得到，从而可判断，，，据此作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 3．已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：． 【答案】证明：， ， ∵， ∴， ． 【分析】由两组对应角相等的两个三角形相似可证． 【详解】略 题型5.利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 1．如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（     ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【答案】B 【分析】已知，结合对顶角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似判定定理，判断哪两个三角形相似． 【详解】解：∵，， ∴，即①和③相似． 2．如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有____________． 【答案】甲和丙 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的常用判定方法． 根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴甲和丙一定相似， 故答案为：甲和丙． 3．如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【答案】证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 【详解】略 题型6.利用三边对应成比例判定相似 1．若的三边长分别为1，，，的三边长分别为，2，，则与（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．一定全等 【答案】A 【分析】先将两三角形的边按从小到大排序，验证三边是否对应成比例，即可判断相似性． 【详解】解：将两三角形的边长按从小到大排序． 的三边长为，，． 的三边长为，，． ∵， ∴两三角形三边对应成比例，一定相似． 2．已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为___________时，与相似． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解决问题的关键是熟知相似三角形的对应边成比例． 设第三边长为,应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，解题即可． 【详解】解：的三边长分别是， 三边长的比为． ，且的两边长分别是1和需要分情况进行讨论: ①若，解得； ②若，∵，∴该情况不成立 ③若，解得 经检验，当时，与的三边对应成比例，两三角形相似；当时，与的三边对应不成比例，两三角形不相似； 故答案为：． 3．如图，在的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，与的顶点均在格点上，求证：． 【答案】 证明：由图可知，，，，，，， ， ． 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理与网格问题，利用三边对应成比例判定相似等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．利用三边对应成比例证明两个三角形相似． 【详解】略 题型7.选择或补充条件使两个三角形相似 1．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 【详解】解：， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则． 2．如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似的判定方法解答即可． 【详解】解：在和中，已知， 有以下三种情况： ①当时，； ②当时，； ③当时，． 3．如图，在中，，过上一点D作直线交于点E，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可作多少条？ 【答案】2条 【分析】作∠ADE=∠ABC，则△ADE∽△ABC，因此DE符合所求直线的要求．过D作DE∥BC，那么DF符合所求直线的要求． 【详解】解：如图 作∠ADE=∠ABC，则△ADE∽△ABC；过D作DE∥BC，则△ADE∽△ABC， 所以，这样的直线可作2条． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 题型8.相似三角形的判定综合 1．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：，， ，故①符合题意； ， ，故②符合题意； ③，且夹角， ，故③符合题意； ④， ， 不确定， 不能确定，故④不符合题意； ⑤，， ，故⑤符合题意； 综上所述，能满足的条件有个， 故选：D． 2．如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】 连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代数求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H， ∵中，，，点是中点， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 3．如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴， 在和中， ，， ， 【分析】先由勾股定理求出，再证明，最后由斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似证得． 【详解】略 题型9.黄金分割 1．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，则点之间的距离为（     ） A．（B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 2．如图，线段，点与点均为线段的黄金分割点，则________ 【答案】/ 【分析】由黄金分割的定义可得，，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：∵线段，点与点均为线段的黄金分割点， ∴，， ∴． 3．如图，在五角星中，，且C，D都是的黄金分割点，．求的长． 【答案】 【分析】利用黄金分割可得：，设，得到关于的方程求解即可. 【详解】解：，都是线段的黄金分割点， ． ，， 设，则． ， ， 解得，即． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 题型10.由平行判断成比例的线段 1．如图，在中，点D，E分别在边上，且，则下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴，，，， 不能得到， 故只有C选项符合题意. 2．在边长为1的等边三角形中，D为直线上一点，，点E在直线上，且，则的长为________． 【答案】或3 【分析】分点在线段的延长线和反向延长线上，两种情况进行讨论求解即可，当点在线段的延长线上时，推出为等腰三角形，三角形外角的性质求出，根据等边对等角，推出为含30 度角的直角三角形，求出的长，进而求出的长即可，当点在线段的反向延长线上时，过点作，过点作，得到，根据等边三角形和等腰三角形的性质，结合平行线分线段成比例进行求解即可． 【详解】解：当点在的延长上时，如图， ∵边长为1的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在的反向延长上时，如图， 过点作，过点作， 则：， ∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或3． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，以及平行线分线段成比例，掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 3．如图，在矩形中，E是边延长线上的点，且，与相交于点F，，，求及的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，以及勾股定理的应用，由矩形的性质得出，，，，由勾股定理求出，，由平行线分线段成比例可得出，设，则，代入，得出x的值，即可得出 【详解】解：∵四边形是矩形，且，， ∴，，，， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型11.由平行线截线求相关线段的长或比值 1．如图，直线分别交直线于点A，B，C，D，E，F，已知，则的长是（   ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 2．如图，为直角斜边上的中线，过作，交于．若，，则_________． 【答案】6 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据平行线分线段成比例得，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵为直角斜边上的中线， ∴，． ∵， ， ， ∴， ． 3．如图，已知直线、、，分别交直线于点、、，交直线，于点，且． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果； （2）根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型12.利用平行判定相似 1．如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定进行分析即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即，是一对特殊的相似， ∴相似的两个三角形共有6对． 2．如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，求得，则，由菱形的性质得，则，所以，则，求得于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 四边形是菱形，点在上，点在的延长线上， ， ， ， ， ． 故选：D． 3．下面是相似三角形的判定定理： 相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 已知：如图，在和中，，． 求证：． 请你完成此定理的证明过程． 【答案】 证明：在上取点M，使，过点M作交于点N． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，在上取点M，使，过点M作交于点N，即可得到，根据对应边成比例求出，然后根据证明即可得到结论． 【详解】略 ✺分层练习 一、单选题 1．现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同但比它大的矩形，则至多要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）．的值为（     ） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】D 【分析】如果与它形状一样且比它大，所以宽变成3张，长变成张，一共使用了18张正方形的纸，这样所用正方形纸片数量最多，由此得出答案即可． 【详解】解：∵正方形纸片大小相同， ∴拼一个与它形状相同但比它大的长方形，至少长和宽各是原来的3倍， ∴需要正方形的纸片是（张）． 2．如图，四边形的对角线与相交于点O，且，则①；②．下列关于①②的判断正确的是（     ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】首先由、是对顶角，可得，再结合已知及相似三角形的判定定理，即可判断． 【详解】解：∵，， ∴，故①正确； 在与中，只有，再找不到任何一对角相等，也不能说明夹此角的两边对应成比例，故②错误． 3．如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握定理的内容并能灵活运用，特别注意定理中线段的对应．设，则，再根据求解即可． 【详解】解：，， ． 设． ， ． ， ， 解得，即． 故选：B． 4．如图，在中，点E是的中点，连接交对角线于点M，交于点N．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，掌握知识点是解题的关键． 先推断出，，得到，则，进而得到，求出，即可解答． 【详解】解：在中，，， ∵，点E是的中点， ∴，， ∴， 即， 则， ∴， 解得． 故选：A． 2、 填空题 5．如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 【答案】16 【分析】根据题意列出比例关系求出的长度，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 6．如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 【答案】①②或①③ 【分析】由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得． 【详解】解：∵， ∴，即． 当或时，．即①②或①③符合题意． 7．2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 【答案】 【分析】根据黄金矩形的定义，宽与长的比为黄金比，将已知的长代入比例式，化简计算即可求解． 【详解】解：设海报的宽为，已知长为，由黄金矩形的定义可得 ， 解得， 即宽为． 8．如图，，，圆O的半径为，P是圆O上一动点，的最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的性质以及三角形三边关系等知识，延长到，使，连接，证明，求得，由三角形三连关系可得结论． 【详解】解：延长到，使，连接，如图， ∴ 又， .∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：. 三、解答题 9．如图，已知四边形四边形，，，且． (1)的度数为_____； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形性质，是解题的关键．相似多边形对应角相等，对应边成比例． （1）根据相似多边形对应角相等解答； （2）根据相似多边形对应边成比例解答． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴． 故答案为： （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 10．已知：如图，在和中，，，，．求证：． 【答案】证明：∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【详解】略 11．如图，，，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ， ， 又，， ， 在和中，， ； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余． 根据直角三角形的两个锐角互余，可证，根据垂直定义可证，利用可证； 根据全等三角形的性质可得：，，利用对顶角相等可知，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证：，根据相似三角形的性质可得：，设，则，从而可得：，解方程求出的值，即为的长． 【详解】（1）略 （2）解：由可知， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 12．请解决以下问题： (1)如图①，在矩形中，点E为边的中点，，点P，Q分别在矩形的边、上，连接交于点M． 求证：． (2)如图②，在（1）的基础上，点R在边上（不与点Q重合） ①若，则线段的长为______； ②当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，，，连接，则周长最小值为______． (3)如图④，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，求的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ， ， ， ， 为中点， ， ； (2)8；18 (3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理证明即可； （2）①根据矩形的性质得到，根据平行线分线段成比例定理得到，根据三角形中位线定理即可得到结论； ②连接，根据矩形的性质和平行线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，当三点共线时，的值最小，的最小值的长，根据勾股定理得到，于是得到结论． （3）取的中点，连接，先由三角形中位线定理证明，再由平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵四边形是矩形， ， ， ， ， 为中点， ， ， 是的中位线， ， ， ； ②连接，    ∵四边形是矩形， ，， ， ， ， 为中点， 垂直平分， ， ， ∴当三点共线时，的最小值的长， ∵在中， ， 周长的最小值为； （3）解：取的中点，连接， ∵D为边上的中点， ∴， ∵，设，则，， ∵点是的中点， ∴， ∴ ∵ ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $