专题3.3 相似三角形判定定理的证明（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦相似三角形判定定理的证明，以平行线分线段成比例基本事实及推论为基础，通过作平行线构造全等三角形，将相似问题转化为全等与平行线问题，衔接A字型、X字型等基础相似模型，搭建从比例性质到判定应用的学习支架。 资料通过逻辑图梳理证明思路，设计线段长度计算、比值推理、辅助线构造等分层题型，结合即学即练与变式训练，培养学生几何直观与推理意识，课中助力教师突破辅助线构造难点，课后帮助学生巩固判定定理应用，查漏补缺。

专题3.3 相似三角形判定定理的证明 教学目标 1、掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论，并能熟练运用（长度计算）； 2、理解判定定理的证明思路：作平行线，构造全等三角形，转化为平行线分线段成比例。 3、读懂证明过程，不要求独立默写完整证明；进一步巩固三个判定定理的使用。 4、体会几何 “转化思想”：把相似问题转化成全等 + 平行线，感受逻辑严谨性。 5、明白定理不是直接给出，是可以严谨推导，建立逻辑证明意识。 教学重难点 1.重点 （1）理解辅助线构造思路；巩固相似三大判定定理。 （2）能识别 A 字型、X（8）字型基础相似模型，选择合适判定完成简单证明与计算。 2.难点 （1）综合运用平行线分线段成比例解决相关问题。 （2）理解为什么要作这条辅助线；看懂定理证明的逻辑链条。 知识点01 相似三角形判定定理的证明 1.平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 （1）对应线段成比例可用下面的语言形象表示：等等. （2）有推论可以得出以下结论： 注意：平行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度. 3.相似三角形的判定定理是通过构造辅助线（平行线）再利用平行线分线段成比例线段的性质证明的。（相似三角形的判定定理的证明过程是选学内容，不作考试要求） 【即学即练】 1．（25-26九年级上·上海·期中）如图，中，点D在边上，，．求证：． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南京·三模）如图，在中，分别是上的点，．若，则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 5．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，在中，D、E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则_____． 6．（2026·吉林长春·模拟预测）如图①，直线，直线m被这组平行线所截，与直线a、b、c分别交于点D、E、F（点D在点E的左上方）．点B是直线b上一点，点B在点E的左侧，且，点A是直线a上的动点，作直线交直线c于点C，交直线m于点O，连接，若，，直线m与直线a所成的锐角为． (1)的值为_________；(2)求的度数；(3)当时，求的长； (4)作点E关于直线的对称点，当B，F，三点共线时，直接写出的长． 7．（25-26九年级下·江苏南京·开学考试）课本内容再探索： (1)将定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”中的“夹角”改为“其中一边的对角”． ①改变后得到的命题是___________命题；（填“真”或“假”） ②若“其中一边的对角”是直角，请完成下面的证明． 如图（1），在和中，，．求证：． (2)将定理“相似三角形对应线段的比等于相似比”逆向思考． 已知和均为锐角三角形，，，，是高，且．在满足下列情形时，证明． ①如图（2），，是中线，且；②如图（3），，是中线，且． （说明：以上两种情形，只需选择其中一种完成．） 题型01 平行线分线段成比例（线段长度相关问题） 【典例1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·吉林·中考真题）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【变式2】（25-26八年级下·广西百色·期末）如图，已知，，，那么的长是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式3】（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，，m分别交a，b，c于点A，B，C，n分别交a，b，c于点D，E，F，若，则线段的长为（      ） A．1 B．4 C．7 D．10 【变式4】（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图是一架梯子的示意图，其中，且，为使其更稳固，在A，间加绑一条安全绳（线段），量得，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型02 平行线分线段成比例（线段比值运算相关问题） 【典例1】（2026·广东清远·二模）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·二模）如图，在中，点是边上的一点，以点为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交，于点，；以点为圆心，以相同的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长度为半径画弧，交于点，连接并延长交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山西·模拟预测）如图，是的中位线，是的中点，连接并延长，与边交于点，则的值为（） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·山西运城·期末）如图为某建筑结构施工图，其中，，，，为一组平行线，每相邻两条平行线之间的距离如图所示，线段分别交、、于点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，由顶点A射出两条射线，过点E作线段，作的平行线，作的平行线．已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5】（2026·广东广州·二模）如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 题型03 平行线分线段成比例（比值推理相关问题） 【典例1】（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，点，分别在边，上，，点在边上（不与点，重合），连接交于点，则下列比例式一定正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，点D，E分别在和上，，M为边上一点（不与点B，C重合），连接交于点N，则错误的结论为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河北·期中）如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：；(2)若点为的重心，求与的比． 题型04 平行线分线段成比例（证明相关问题） 【典例1】（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，．平分，． ．．，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？…… 任务：(1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． (2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 【变式1】（2026·山西大同·一模）阅读与思考 下面是小帅同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 画法一：1）以为端点画一条射线；2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段，连接；3）过点分别画的平行线，交线段于点，则就是线段的三等分点． 证明： 由作法可知： （依据） 由作图得： 是线段的三等分点． 画法二：1）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，四段弧分别交于点；2）连接，作射线；3）以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；4）连接，交于点，则点为的一个三等分点． 证明：由作法可知： 四边形是菱形 ， ．．．．．． 画法三：1）过点任意作一条直线；2）以点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交直线于点； 3）．．．．．．． 知识链接： 已知三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心有一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．如图④，在中，分别是边的中点，相交于点，则是的三等分点，也是的三等分点． (1)画法一中的依据是___________．(2)请补全画法二的证明过程． (3)请根据重心的性质，在备用图中作出线段的一个三等分点，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 【变式2】（25-26九年级下·福建莆田·阶段检测）【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图，在四边形中，，点分别在边上，且，___________，如果四边形是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与的交流中，给出了一种解决问题的思考路径： 解决问题的思考路径 从条件中可知已经是平行四边形，所以要画出这个菱形，只要确定点在上的位置，使即可．根据这个想法，设，通过确定的值，使． 思考路径中提到的的值与什么值相关？ 的值主要与四边形的对角线和的长度相关． 【解决问题】(1)根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“___________”）； (2)根据小普同学与的对话，设，用含的代数式表示； (3)在图中，通过尺规作图作出符合要求的菱形． 【变式3】（25-26九年级下·山西运城·期末）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 妙构平行线巧转线段比 在数学学习中，“平行线分线段成比例”是解决几何问题的重要工具．通过构造平行线，可以实现线段比例关系的巧妙转移，从而沟通已知条件与未知结论． 材料一：比例转移，破解难题 问题：如图1，在中，点D在边上，点E在边上，且，，连接，，交于点F，求的值． 分析：直接求解较为困难．我们可以尝试构造平行线，将已知比和“转移”到含有和的图形中，建立已知与未知的桥梁． 解法展示：如图2，过点A作，交的延长线于点M． ∵，∴．∵，∴，即．…… 材料二：原理应用，设计工具 小华同学运用“比例转移”的思想，设计了一个能快速找到线段黄金分割点的工具“黄金分割尺”． 1．工具构造（如图3）： 用螺钉固定两根等长的木条，的端点A，可自由调整．在，上分别刻有黄金分割点D，E，且使得．在点D处钉一个与等长的木条，在点E处钉一根与等长的木条，H钉在上，使得，则四边形是菱形． 2．使用方法：当需要找到一条线段的黄金分割点时，只需调整尺子夹角，使点B，C分别与被测线段的两个端点重合．在滑动尺臂，的过程中，由于点B，F，C三点始终在同一直线上，所以点F为被测线段的黄金分割点． 任务：(1)完善推理：请补全材料一中“解法展示”完整过程．(2)解释原理：请证明点F是线段的黄金分割点．(3)动手实践：如图4，已知线段及线段外一点C，作直线交于点P，将线段分为两部分且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 题型05 平行线分线段成比例（辅助线相关问题） 【典例1】（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，则的值为______． 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，D为中上一点，E为上一点，连接，交于点M，满足，则_____． 【变式2】（2026·陕西西安·二模）如图，中，点、分别为、上一点，、交于，且，．则值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为 （    ） A．5 B．5.5 C．6 D．8 【变式4】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，已知是等腰三角形中，，，是的中点，于点，、的延长线交于点．求的长． 题型06 平行线分线段成比例（逆定理） 【典例1】（25-26八年级下·上海·阶段检测）在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 【变式1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，，，，，当______时，． 【变式2】（2026·上海黄浦·一模）如图，、是边、上的两点，在下列条件中，能够判定的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式3】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知中，D、E分别是边、上的点，下列各式中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 题型07 相似中的A（X）字模型相关证明与运算 【典例1】（25-26九年级上·山东滨州·期末）【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点为的重心，连接并延长分别交于点，连接，通过观察他发现，请你帮他证明一下．这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：________________． 【应用】如图2，在中，已知是边的中线，是的重心，过点的直线分别交于点．如图2，当时，求证：； 【提升】如图3，是边的中线，是的重心，当和不平行，且点分别在线段上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，．(1)求证：．(2)若，，求的长． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：；(2)若，，G为的中点，求的长． 【变式3】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在中，，点P是BC边的一点，，且，连接DP并延长，交AC于E，交BA的延长线于F． (1)若，，求的长；(2)求证：． 【变式4】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小智同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应任务． “A”字相似模型的拓展探究与应用相似三角形是几何学习的核心内容之一，在学习过程中，通过对各类经典模型进行系统归纳、能够帮助我们快速识别图形特征，灵活应用相似三角形的相关知识解决问题．“A”字形是其中最基本的模型． 【基本模型积累】如图1，在中，，．（依据1） ．（依据2） 【基本模型拓展】在图1的基础上，连接，过点A作的平行线，交的延长线于点F，如图2，通过探究发现，线段之间的关系满足 证明：，∴… … ． 将式子两边同时除以，得．即． 【拓展模型应用】据《墨经》记载，在两千多年前，墨子及其学生进行了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理、如图3是小孔成像原理示意图，物体，光屏竖直放置在桌面上，物体经小孔O在光屏上形成倒立的实像（点与点Q重合）．若已知物体的高度和小孔O到桌面的距离，可求出实像的高度． 任务：(1)材料中的“依据1”是指_______，“依据2”是指_______．(2)补全【基本模型拓展】的证明过程． (3)在图3中，若已知物体的高度为，小孔O到桌面的距离为，则实像的高度为________． 题型08 相似三角形的判定定理与动点问题 【典例1】（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当______时，与相似． 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．（1）求运动时间为多少________秒时，P、Q两点之间的距离为． （2）当t为________时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·专题练习）如图，中，，，，过点作的垂线，点在线段上运动，点在射线上运动，始终满足，连接，当与相似时，线段的长是__________． 【变式3】（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 1．（2026·河北廊坊·二模）如图，数轴上的点，，分别对应直尺上的刻度，和，点为数轴上方一点，连接，，过点作，交于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏泰州·二模）如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为(     ) A． B． C． D． 3．（2026·福建泉州·二模）如图，为直角斜边上的中线，过作，交于．若，，则_________． 4．（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，已知，，，________． 5．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么线段的长是______．    6．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：；(2)若矩形是正方形，求的长； 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，连接交于点． (1)求证：；(2)若，求的值． 8．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，点为边上的点，连结，作，使边交于点． (1)求证：．(2)若，，，求的长． 9．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，是的中线，E是上一点，且，与交于点F．若，求的长． 10．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，在中，D、E分别在边上，且满足，，则______； （2）问题探究：如图2，，连接，如果刚好平分，求证：； （3）结论应用：如图3，已知中，平分，并且，求的值． 1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，，，若长为，则长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，已知，且．若，，则的长为（   ）    A． B． C． D．以上均不对 3．（25-26九年级下·广东湛江·期中）在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过_______秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 5．（25-26九年级下·浙江·期中）如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，点为与的交点．若，则的长为______． 6．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于点F，若，则________． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______ ． 8．（25-26九年级上·浙江丽水·期末）在中，点是上的动点，点是上的动点，连接交于点．(1)如图1，当点和点重合，若，求证：点是的中点． (2)如图2，当点为的中点，若时，求的值（用含的代数式表示）． 9．（25-26八年级下·吉林·期末）综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________；(2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 10．（2026·广东惠州·二模）综合与探究 某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用．       【初步探究】(1)在中，、分别为、的动点，若，．连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为________；与的比值为________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； 【拓展提高】(3)如图2，在中，，，是上一点，，将沿折叠，恰好落在上，的对应点为，求的长． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 相似三角形判定定理的证明 教学目标 1、掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论，并能熟练运用（长度计算）； 2、理解判定定理的证明思路：作平行线，构造全等三角形，转化为平行线分线段成比例。 3、读懂证明过程，不要求独立默写完整证明；进一步巩固三个判定定理的使用。 4、体会几何 “转化思想”：把相似问题转化成全等 + 平行线，感受逻辑严谨性。 5、明白定理不是直接给出，是可以严谨推导，建立逻辑证明意识。 教学重难点 1.重点 （1）理解辅助线构造思路；巩固相似三大判定定理。 （2）能识别 A 字型、X（8）字型基础相似模型，选择合适判定完成简单证明与计算。 2.难点 （1）综合运用平行线分线段成比例解决相关问题。 （2）理解为什么要作这条辅助线；看懂定理证明的逻辑链条。 知识点01 相似三角形判定定理的证明 1.平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 （1）对应线段成比例可用下面的语言形象表示：等等. （2）有推论可以得出以下结论： 注意：平行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度. 3.相似三角形的判定定理是通过构造辅助线（平行线）再利用平行线分线段成比例线段的性质证明的。（相似三角形的判定定理的证明过程是选学内容，不作考试要求） 【即学即练】 1．（25-26九年级上·上海·期中）如图，中，点D在边上，，．求证：． 【答案】证明：，，，，． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，∵，∴， ∵，，，∴，即，解得：， 经检验：是分式方程的解，∴线段的长为． 3．（2026·江苏南京·三模）如图，在中，分别是上的点，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴，. 4．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 【答案】/厘米 【详解】解：如图：由题意可得， ∵相邻两条竖格线间的距离都相等，∴，∵，∴． 5．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，在中，D、E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则_____． 【答案】1 【详解】解：∵D、E为边的三等分点，∴， ∵，∴，， ∴， ∵，∴，∴. 6．（2026·吉林长春·模拟预测）如图①，直线，直线m被这组平行线所截，与直线a、b、c分别交于点D、E、F（点D在点E的左上方）．点B是直线b上一点，点B在点E的左侧，且，点A是直线a上的动点，作直线交直线c于点C，交直线m于点O，连接，若，，直线m与直线a所成的锐角为． (1)的值为_________；(2)求的度数；(3)当时，求的长； (4)作点E关于直线的对称点，当B，F，三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1)(2)(3)6或9(4)或 【详解】（1）解：∵，，，∴； （2）解：∵，直线m与直线a所成的锐角为，∴， ∵，∴，∴， ∴，即； （3）解：当点A在点D的右侧时，如图①， ∵，∴，∴，∴，则， ∵，∴，∴，即，解得； 当点A在点D的左侧时，如图②， ∵，∴，∴，∴，则， ∵，∴，∴，即，解得， 综上，的长为6或9； （4）解：过F作于G，则，∵，， ∴，则，， ∴，∴， 当在的延长线上时，如图，过点O作延长线于点H，过点O作于点I，过点B作于点J，由折叠性质得，则， ∴，则，设，， 由得，∴， ∴，则， ∵，∴，∴，即，∴； 当在线段上时，如图，过点O作于点H，过点O作于点I，过点B作于点J， 由折叠性质得，则，∴，则， 设，，由得，∴， ∴，则， ∵，∴，∴，即，∴， 综上，的长为或． 7．（25-26九年级下·江苏南京·开学考试）课本内容再探索： (1)将定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”中的“夹角”改为“其中一边的对角”． ①改变后得到的命题是___________命题；（填“真”或“假”） ②若“其中一边的对角”是直角，请完成下面的证明． 如图（1），在和中，，．求证：． (2)将定理“相似三角形对应线段的比等于相似比”逆向思考． 已知和均为锐角三角形，，，，是高，且．在满足下列情形时，证明． ①如图（2），，是中线，且；②如图（3），，是中线，且． （说明：以上两种情形，只需选择其中一种完成．） 【答案】(1)①假；②见解析(2)①见解析；②见解析 【详解】（1）解：①由于仅两边成比例且其中一边的对角相等，不能保证两个三角形相似，存在反例情况， 因此，改变后得到的命题是假命题； ②在和中，，设，则、， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ，，； （2）①证明：，是中线，、， 、，， ，是高，，、，， ，，，，， ，，； ②证明：，是高，， 如图，，是中线，取的中点，取的中点，连接，， 、分别为和的中位线，、、、， 、， 、，，， 设，、、， ，，， 、，，． 题型01 平行线分线段成比例（线段长度相关问题） 【典例1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、、的交点分别为、、， ∵直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，∴，， ∵，∴，∵，∴． 【变式1】（2026·吉林·中考真题）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【详解】解：由作法可知，，，，，． 【变式2】（25-26八年级下·广西百色·期末）如图，已知，，，那么的长是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】解：∵，∴，∵，，∴，∴． 【变式3】（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，，m分别交a，b，c于点A，B，C，n分别交a，b，c于点D，E，F，若，则线段的长为（      ） A．1 B．4 C．7 D．10 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，即，解得，∴． 【变式4】（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图是一架梯子的示意图，其中，且，为使其更稳固，在A，间加绑一条安全绳（线段），量得，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，且，， ∴，∴，故选：B ． 题型02 平行线分线段成比例（线段比值运算相关问题） 【典例1】（2026·广东清远·二模）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形，∴，． ∵，，∴．． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·二模）如图，在中，点是边上的一点，以点为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交，于点，；以点为圆心，以相同的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长度为半径画弧，交于点，连接并延长交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图得，∴；∴；∴． 【变式2】（2026·山西·模拟预测）如图，是的中位线，是的中点，连接并延长，与边交于点，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是的中位线，∴，，∴是的中点，∴， ∵，∴，∴，∴． 【变式3】（25-26九年级上·山西运城·期末）如图为某建筑结构施工图，其中，，，，为一组平行线，每相邻两条平行线之间的距离如图所示，线段分别交、、于点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作交于点，交于点，由图可知，， ∵，，，，为一组平行线，∴．故选：C． 【变式4】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，由顶点A射出两条射线，过点E作线段，作的平行线，作的平行线．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴，设， ∵，∴，设，则， ∴，∴， ∴，∴，故选：B． 【变式5】（2026·广东广州·二模）如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 【答案】 【详解】∵，，∴，∵，∴． 题型03 平行线分线段成比例（比值推理相关问题） 【典例1】（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，点，分别在边，上，，点在边上（不与点，重合），连接交于点，则下列比例式一定正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴，，∴， ∴，，∴，即选项C正确，符合题意． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，点D，E分别在和上，，M为边上一点（不与点B，C重合），连接交于点N，则错误的结论为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴，，故B正确，不符合题意；∴，，故C正确，不符合题意； ∴，故D正确，不符合题意；A错误，符合题意；故选：A 【变式2】（25-26九年级上·河北·期中）如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．∵，∴，该选项错误，不符合题意； B．∵，∴，该选项错误，不符合题意； C．∵，∴，该选项正确，符合题意； D．∵，∴，该选项错误，不符合题意；故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：；(2)若点为的重心，求与的比． 【答案】(1)证明：，，， ，，，， ，，． （2）解：点为的重心，，， ，， ，，．答：． 题型04 平行线分线段成比例（证明相关问题） 【典例1】（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，．平分，． ．．，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？…… 任务：(1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． (2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 【详解】（1）解：平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）； (2)答案不唯一，如答图1，点即为所求. （3）如答图2，过点作，交于点.     ，，.     平分，.  ..    . 【变式1】（2026·山西大同·一模）阅读与思考 下面是小帅同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 画法一：1）以为端点画一条射线；2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段，连接；3）过点分别画的平行线，交线段于点，则就是线段的三等分点． 证明： 由作法可知： （依据） 由作图得： 是线段的三等分点． 画法二：1）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，四段弧分别交于点；2）连接，作射线；3）以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；4）连接，交于点，则点为的一个三等分点． 证明：由作法可知： 四边形是菱形 ， ．．．．．． 画法三：1）过点任意作一条直线；2）以点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交直线于点； 3）．．．．．．． 知识链接： 已知三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心有一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．如图④，在中，分别是边的中点，相交于点，则是的三等分点，也是的三等分点． (1)画法一中的依据是___________．(2)请补全画法二的证明过程． (3)请根据重心的性质，在备用图中作出线段的一个三等分点，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 【详解】（1）解：画法一中的依据是平行线分线段成比例的基本事实； (2)证明：由作法可知：四边形是菱形 ，， ，由作法可知：，；点是线段的一个三等分点． (3)解：如图所示，点即为所作．（画出一个即可） 【变式2】（25-26九年级下·福建莆田·阶段检测）【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图，在四边形中，，点分别在边上，且，___________，如果四边形是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与的交流中，给出了一种解决问题的思考路径： 解决问题的思考路径 从条件中可知已经是平行四边形，所以要画出这个菱形，只要确定点在上的位置，使即可．根据这个想法，设，通过确定的值，使． 思考路径中提到的的值与什么值相关？ 的值主要与四边形的对角线和的长度相关． 【解决问题】(1)根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“___________”）； (2)根据小普同学与的对话，设，用含的代数式表示； (3)在图中，通过尺规作图作出符合要求的菱形． 【答案】(1)(2)(3)见解析 【详解】（1）解：需添加； （2）解：，，， ， ，；；， （3）解：如图所示四边形即为所求：延长，利用圆规在延长线上截取，连接； 作，交边于点即可． 根据作图可得，由（2）的结论，即可得出四边形是菱形． 【变式3】（25-26九年级下·山西运城·期末）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 妙构平行线巧转线段比 在数学学习中，“平行线分线段成比例”是解决几何问题的重要工具．通过构造平行线，可以实现线段比例关系的巧妙转移，从而沟通已知条件与未知结论． 材料一：比例转移，破解难题 问题：如图1，在中，点D在边上，点E在边上，且，，连接，，交于点F，求的值． 分析：直接求解较为困难．我们可以尝试构造平行线，将已知比和“转移”到含有和的图形中，建立已知与未知的桥梁． 解法展示：如图2，过点A作，交的延长线于点M． ∵，∴．∵，∴，即．…… 材料二：原理应用，设计工具 小华同学运用“比例转移”的思想，设计了一个能快速找到线段黄金分割点的工具“黄金分割尺”． 1．工具构造（如图3）： 用螺钉固定两根等长的木条，的端点A，可自由调整．在，上分别刻有黄金分割点D，E，且使得．在点D处钉一个与等长的木条，在点E处钉一根与等长的木条，H钉在上，使得，则四边形是菱形． 2．使用方法：当需要找到一条线段的黄金分割点时，只需调整尺子夹角，使点B，C分别与被测线段的两个端点重合．在滑动尺臂，的过程中，由于点B，F，C三点始终在同一直线上，所以点F为被测线段的黄金分割点． 任务：(1)完善推理：请补全材料一中“解法展示”完整过程．(2)解释原理：请证明点F是线段的黄金分割点．(3)动手实践：如图4，已知线段及线段外一点C，作直线交于点P，将线段分为两部分且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)解：∵，∴，∵，∴， 设，则，∴， 又∵，∴，∴，即； (2)解：∵四边形是菱形，∴，∴，． ∵，∴，∴点F是的黄金分割点； (3)解：如图，即为所求作的直线． 证明：由作图得，，∴， ∵，∴，∴． 题型05 平行线分线段成比例（辅助线相关问题） 【典例1】（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，，∴，，∵，∴， ∴，∴，∵，∴，∴． 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，D为中上一点，E为上一点，连接，交于点M，满足，则_____． 【答案】 【详解】解：作交的延长线于点， 则：，，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：． 【变式2】（2026·陕西西安·二模）如图，中，点、分别为、上一点，、交于，且，．则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作，交于点， ∵， ， ∴(两直线平行，内错角相等)， 又∵(对顶角相等)，∴，∴， ∵，∴（平行线判定相似）， ∴， ∵，∴，∴，即， 又∵，∴，设，则，，∴． 【变式3】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为 （    ） A．5 B．5.5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：如图，作交于F， ∵，O是的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∵，∴． 【变式4】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，已知是等腰三角形中，，，是的中点，于点，、的延长线交于点．求的长． 【答案】8 【详解】解：过点A作于点H， ∵是等腰三角形，，，∴， ∴中，， ∵，∴， ∴， ∵D是的中点，∴，∴，∴， ∴是的中位线，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴． 题型06 平行线分线段成比例（逆定理） 【典例1】（25-26八年级下·上海·阶段检测）在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 【答案】B 【详解】解：当时，或，由此可得： A：∵，，∴， ∴，，∴，故A错误； B：∵，∴∵，∴，∴∴，故B正确； C：缺少或的长度，无法计算与的比值关系，无法判断，故C错误； D：由可知为中点，但仅凭无法确定点位置及比例关系，无法判断，故D错误； 【变式1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，，，，，当______时，． 【答案】 【详解】解：∵∴∴解得： 故答案为：． 【变式2】（2026·上海黄浦·一模）如图，、是边、上的两点，在下列条件中，能够判定的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【详解】A．，，故不能得到，故本选项不合题意； B．，，故不能得到，故本选项不合题意； C．，，故不能得到，故本选项不合题意； D．，能得到，故本选项符合题意；故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知中，D、E分别是边、上的点，下列各式中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意知，不能判断，故A不符合要求； 不能判断，故B不符合要求；不能判断，故C不符合要求； 由可得，，故D符合要求；故选：D． 题型07 相似中的A（X）字模型相关证明与运算 【典例1】（25-26九年级上·山东滨州·期末）【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点为的重心，连接并延长分别交于点，连接，通过观察他发现，请你帮他证明一下．这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：________________． 【应用】如图2，在中，已知是边的中线，是的重心，过点的直线分别交于点．如图2，当时，求证：； 【提升】如图3，是边的中线，是的重心，当和不平行，且点分别在线段上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【详解】证明：点为的重心，点分别为线段的中点， 是的中位线，，，，， ∴得到结论：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为； 应用：证明：点是的重心，， 又，，； 提升：应用中结论成立．证明：如图，过点作交的延长线于点与的延长线相交于点，则， ，， 又，而是的中点，即， ，， 又，，故结论成立． 【变式1】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，．(1)求证：．(2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，，∴，∴； （2）解：∵，，∴，∴，∵，∴． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：；(2)若，，G为的中点，求的长． 【答案】(1)证明：∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，即，∴，∵，∴． （2）解：∵，，G为的中点，∴， ∵，∴，∴，∴的长是． 【变式3】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在中，，点P是BC边的一点，，且，连接DP并延长，交AC于E，交BA的延长线于F． (1)若，，求的长；(2)求证：． 【详解】（1）解：，设，， 则，， ，，， 则，且，， ，，，， ，，的长为． (2)证明：连接，∵，， ∴四边形为平行四边形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 【变式4】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小智同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应任务． “A”字相似模型的拓展探究与应用相似三角形是几何学习的核心内容之一，在学习过程中，通过对各类经典模型进行系统归纳、能够帮助我们快速识别图形特征，灵活应用相似三角形的相关知识解决问题．“A”字形是其中最基本的模型． 【基本模型积累】如图1，在中，，．（依据1） ．（依据2） 【基本模型拓展】在图1的基础上，连接，过点A作的平行线，交的延长线于点F，如图2，通过探究发现，线段之间的关系满足 证明：，∴… … ． 将式子两边同时除以，得．即． 【拓展模型应用】据《墨经》记载，在两千多年前，墨子及其学生进行了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理、如图3是小孔成像原理示意图，物体，光屏竖直放置在桌面上，物体经小孔O在光屏上形成倒立的实像（点与点Q重合）．若已知物体的高度和小孔O到桌面的距离，可求出实像的高度． 任务：(1)材料中的“依据1”是指_______，“依据2”是指_______．(2)补全【基本模型拓展】的证明过程． (3)在图3中，若已知物体的高度为，小孔O到桌面的距离为，则实像的高度为________． 【详解】（1）解：材料中的“依据1”是指平行于三角形一边的直线与三角形的其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；“依据2”是相似三角形的对应边成比例． 故答案为：平行于三角形一边的直线与三角形的其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例． (2)解：①，，②，∴， （3）解：∵，∴，∴①； ∵，∴，∴②． ①+②，得，∴， ∵，∴，解得．故答案为：10． 题型08 相似三角形的判定定理与动点问题 【典例1】（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当______时，与相似． 【答案】2或 【详解】解：点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，则，，， ∵，当时，，∵，，∴，解得，； 当时，，∵，，∴，解得，；故答案为：或． 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．（1）求运动时间为多少________秒时，P、Q两点之间的距离为． （2）当t为________时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 【答案】 2秒 或 【详解】解：（1）点从到的运动时间为，点从到的运动时间为， 设运动时间为秒，，根据题意得，，，∴， 由勾股定理得，即，解得或（舍去），故答案为：2秒； （2）当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似，∴结合（1）得，，解得； 当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似，∴结合（1）得，，解得； 综上，或，故答案为：或． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·专题练习）如图，中，，，，过点作的垂线，点在线段上运动，点在射线上运动，始终满足，连接，当与相似时，线段的长是__________． 【答案】或 【详解】解：中，90°，，，，， ，，，； ∵，，， 设，则有，，；，， 当时，，，解得：； 当时，，，解得：； 综上所述，线段的长是或．故答案为：或． 【变式3】（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 【答案】C 【详解】解：∵，，∴，， 若与相似，分两种情况： ①当时，∴，即，解得； ②当时，∴，即，解得； 综上所述，的长为4或9 ． 1．（2026·河北廊坊·二模）如图，数轴上的点，，分别对应直尺上的刻度，和，点为数轴上方一点，连接，，过点作，交于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵数轴上的点，，分别对应直尺上的刻度，和，∴，， ∵，∴，， ∴，∴． 2．（2026·江苏泰州·二模）如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴，∴， ∴． 3．（2026·福建泉州·二模）如图，为直角斜边上的中线，过作，交于．若，，则_________． 【答案】6 【详解】解：∵为直角斜边上的中线，∴，． ∵，，，∴，． 【分析】由平行线分线段成比例直接得到答案． 4．（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，已知，，，________． 【答案】4 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，∴；故答案为：4． 5．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么线段的长是______．    【答案】16 【详解】解：，，， ，，解得，故答案为：16． 6．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：；(2)若矩形是正方形，求的长； 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形，∴，∴； （2）解：设正方形的边长为，则，． ∵，∴，即，解得，∴的长为． 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，连接交于点． (1)求证：；(2)若，求的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，即， ∵，∴，∴，∵，∴． 8．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，点为边上的点，连结，作，使边交于点． (1)求证：．(2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明： ∵,∴, ∵,∴,∴； （2）∵，， ∵, , ,，∴． 9．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，是的中线，E是上一点，且，与交于点F．若，求的长． 【答案】2 【详解】解：过点D作交于点G，． 是中线，，．设，则， ，，，． ，，． 10．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，在中，D、E分别在边上，且满足，，则______； （2）问题探究：如图2，，连接，如果刚好平分，求证：； （3）结论应用：如图3，已知中，平分，并且，求的值． 【详解】（1）解：∵，∴，∴，故答案为：； （2）证明：∵平分，∴， ∵，∴，， ， ∴，∴，∴； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵平分，∴，∵，∴， ∴，∴． 1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，，，若长为，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，， ，，， 长为，，，.故选：C． 2．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，已知，且．若，，则的长为（   ）    A． B． C． D．以上均不对 【答案】C 【详解】解：如图，连接交于点，    ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，故选：． 3．（25-26九年级下·广东湛江·期中）在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意可得平分，，选项A不符合题意； ，， ，， ，，选项B不符合题意； ，选项C不符合题意； ，，选项D符合题意． 4．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过_______秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 【答案】2或0.8 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，，， ，∴当时，，即；解得：， 当时，，即；解得：， 即经过2秒或秒时，与相似．故答案为：2或． 5．（25-26九年级下·浙江·期中）如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，点为与的交点．若，则的长为______． 【答案】 【详解】解：、为边的三等分点，， ，，，，是的中位线，， ，， ，即，解得：，，故答案为：． 6．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于点F，若，则________． 【答案】7.5 【详解】解：如图，过点D作，交于点M， ∵是的中线，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，故答案为：7.5． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______ ． 【答案】 【详解】解：设，作，交的延长线于点， ∴， ∵，∴，∵是的中点，∴， 在和中，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故答案为： 8．（25-26九年级上·浙江丽水·期末）在中，点是上的动点，点是上的动点，连接交于点．(1)如图1，当点和点重合，若，求证：点是的中点． (2)如图2，当点为的中点，若时，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形，∴，， ∴，∴，∵，∴， 又∵，∴，即，∴点是的中点； （2）解：如图，延长交延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴，， ∵是中点，∴∴，∴，， ∵，∴，∵，∴，∴， 设，即，则， ∵，∴，∴， ∴，解得，即． 9．（25-26八年级下·吉林·期末）综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________；(2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 【答案】(1)1；(2)3(3)60 【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴．∴，∴，∴． （2）解：∵D是的中点，是的中点，是的中位线，∴． 又是的中点，E是的中点，∴是的中位线，∴． ，，因此． （3）解：延长交延长线于，∵平行四边形中，，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴．取的中点N，连接， 则，∴， ∵，∴，∴，∴， 延长到点P，使，则，∴， 在上取点T，Q，使，，连接，， ∵，∴，∴，∴    ， ∵E是中点，∴，∴，∴， ∴，∴，∴，∴，∴， ∵的边上的高和的边上的高相同，∴， ∵，∴． 10．（2026·广东惠州·二模）综合与探究 某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用．       【初步探究】(1)在中，、分别为、的动点，若，．连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为________；与的比值为________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； 【拓展提高】(3)如图2，在中，，，是上一点，，将沿折叠，恰好落在上，的对应点为，求的长． 【答案】(1)；(2)(3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴； （2）解：如图，过作，交于点， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴； （3）解：连接交于点，作交于点， 由折叠可知，，，，∴， ∵，∴，即， ∵，∴，∴， 设，则，， ∵，，∴， ∴，∴，∴， 解得，（负值，舍去），∴， ∵，，∴，∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $