第14节直线与圆的方程专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第14节 直线与圆的方程 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 直线的倾斜角与斜率：k = α，α ∈ [0, π)；斜率不存在时对应竖直线，其倾斜角为 ② 两直线平行与垂直的判定：垂直看 + 是否为 0，平行看 − 是否为 0，两种条件不要记混 ③ 点到直线的距离公式：先化为一般式，分子取绝对值，分母是 的结果 ④ 圆的标准方程与一般方程的互化：配方后右边是半径的平方，右边为 0 时方程表示一个点，为负数时无图形 ⑤ 直线与圆的位置关系：比较圆心到直线的距离 d 与半径 r，d > r 相离、d = r 相切、d < r 相交，弦长是 2 ⑥ 圆上点到定直线距离的最大值是 d + r、最小值是 r − d；圆上到定直线距离等于 k 的点，要按 k 与 d 的大小关系数平行线与圆的交点个数 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 某山区新建的一条引水明渠，其中心线在施工图上标为直线 l。已知 l 经过点 (1, −2)，且倾斜角为 ，则 l 在 y 轴上的纵截距等于 A. 1 B. −1 C. −3 D. 3 【答案】B 【解析】由 k = α 得 k = = −1。 这一步要落实象限： 在第二象限，正切为负，所以斜率是 −1 而不是 1，这是本题的第一个关口。 用点斜式写 l：y − (−2) = −1 × (x − 1)，即 y + 2 = −x + 1。 整理得 y = −x − 1。 令 x = 0，纵截距就是 y = −1，选 B。 回代检验斜率：y = −x − 1 改写为 y = −x − 1，斜率确为 −1，与 相符。 回代检验定点：把 (1, −2) 代入，−1 − 1 = −2，吻合。 A 项 1 是把斜率错取成 +1 后的结果；C 项 −3 与 D 项 3 则是把点 (1, −2) 的横纵坐标互相写颠倒才会出现的值。 【考查知识点】由倾斜角求斜率，再用点斜式求纵截距 【易错点】求 时丢负号；或点斜式整理时把常数项的符号搞反，得到 y = −x + 1 2. 某风电叶片检测车间里有两条互相垂直的轨道，它们分别位于 : 2x − 3y + 6 = 0 与 : mx + y − 1 = 0 上。若要使这两条轨道确实互相垂直，实数 m 的值应为 A. − B. C. D. − 【答案】C 【解析】一般式 x + y + = 0 与 x + y + = 0 互相垂直的充要条件是 + = 0。 由 读出 = 2、 = −3；由 读出 = m、 = 1。 这里最易错的是 中 y 的系数是 +1 而不是 −1，因为方程写的是 mx + y − 1 = 0，y 前面没有负号。 代入得 2 × m + (−3) × 1 = 0，即 2m − 3 = 0，解得 m = ，故选 C。 用方向向量复核： 的一个方向向量是 (3, 2)， 的一个方向向量是 (1, −m)，数量积为 3 × 1 + 2 × (−m) = 3 − 2m，令它为 0 同样得 m = ，与上面一致。 把其余三项代回 + ：m = − 时得 −3；m = 时得 − 3 = −；m = − 时得 − − 3，三者都不为 0。 A、B 两项是把系数交叉相配算出来的，正确做法只能是 A 配 A、B 配 B。 【考查知识点】两直线垂直的判定：一般式系数条件与方向向量法的相互验证 【易错点】把 的 y 系数看成 −1；或把垂直条件写成 = （那是平行的思路） 3. 某高校天文台的圆形观测穹顶，其内壁是一段圆弧。已知该圆弧所在圆的圆心为 (−1, 2)，并且经过点 (3, 5)，则这个圆的标准方程为 A. + = 5 B. + = 25 C. + = 25 D. + = 25 【答案】B 【解析】半径的平方等于圆心与圆上一点之间的距离平方，不必开方： + = + = 16 + 9 = 25。 标准方程的形式是 + = ，这里 h = −1、k = 2。 因为 h 是负数，x 这一项要写成 (x + 1)；k 是正数，y 这一项写成 (y − 2)。 所以方程为 + = 25，选 B。 检验圆上点： + = 16 + 9 = 25，成立。 检验圆心： + = 0，落在左端，位置正确。 A 项错在把半径的平方 25 写成了半径 5；C、D 两项都是圆心坐标的符号处理反了。 【考查知识点】由圆心坐标与圆上一点写出圆的标准方程 【易错点】右边写成半径 5 而非半径的平方 25；或圆心为负坐标时忘记变号，写成 （C 项的错法） 4. 某物流园区的一台巡检机器人目前位于平面点 M(−2, 3)，园区内某条笔直通道的方程为 a: 5x − 12y + 7 = 0，则机器人到这条通道的最短距离是 A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】点到直线的距离公式是：分子取圆心坐标代入一般式左端所得值的绝对值，分母是 + 开方。本题 a 已是这个形式，可以直接代入。 先取 A = 5、B = −12、C = 7。 分子：5 × (−2) + (−12) × 3 + 7 = −10 − 36 + 7 = −39，取绝对值得 39。 分母： = = = 13。 所以 d = 。 注意到 39 = 3 × 13，分子分母同除 13，得到最简分数 d = 3，对应 D 项。 两个干扰项都要独立复核：若分母误用 A + |B| = 17，就得到 B 项；若忘记对平方和开方、直接用 25 + 144 = 169 当分母，则得 ，四个选项里没有，这也提示"分母必须开方"；C 项 则是把分母当成了 A 本身。 最后用几何意义复核：直线 5x − 12y + 7 = 0 的法向量是 (5, −12)，其模为 13，点 M 到直线的距离在数值上等于 |5(−2) − 12(3) + 7| 除以 13，与上面的算法一致。 【考查知识点】点到直线的距离公式：分子取绝对值、分母是平方和开方 【易错点】分母误用 A + |B| = 17；或忘记开方把分母写成 169；或算分子时把 5 × (−2) 的负号漏掉 5. 某市轨道交通的一段区间需要铺设一条与既有轨道垂直的联络线。已知既有轨道所在直线为 3x − 4y + 7 = 0，联络线必须经过点 (1, 1)，则联络线的方程是 A. 3x − 4y + 1 = 0 B. 4x + 3y − 7 = 0 C. 4x + 3y − 11 = 0 D. 3x − 4y − 1 = 0 【答案】B 【解析】既有直线的法向量是 (3, −4)。两条直线垂直，等价于它们的法向量数量积为 0。 设所求直线为 Ax + By + C = 0，则需满足 3A + (−4)B = 0，即 3A = 4B。 取最简单的整数解 A = 4、B = 3。 再用过点条件定常数项：把 (1, 1) 代入 4x + 3y + C = 0，得 4 + 3 + C = 0，所以 C = −7。 联络线为 4x + 3y − 7 = 0，选 B。 用斜率法复核：既有轨道 3x − 4y + 7 = 0 的斜率是 ，联络线 4x + 3y − 7 = 0 的斜率是 −，两者之积为 −1，垂直成立。 过点检验：4 × 1 + 3 × 1 − 7 = 0，(1, 1) 确实在直线上。 C 项 4x + 3y − 11 = 0 的法向量与 B 项相同，垂直关系也成立，但代入 (1, 1) 得 4 + 3 − 11 = −4 ≠ 0，不过给定点，这是本题最强的干扰项，必须逐项过点检验才能排除；A、D 两项的斜率都是 ，与既有轨道平行，是方向上的错法。 【考查知识点】由法向量垂直关系与过点条件共同确定直线方程 【易错点】只验证垂直就作答（会误选 C 项），忘记把定点 (1, 1) 代回检验；或把所求直线的斜率算成 ，那反而与既有轨道平行 6. 某港口的圆形堆场，其地面边界是一个圆 D，已知圆 D 的圆心落在直线 y = −2x 上，并且同时经过 A(1, 4) 与 B(4, 1) 两处灯柱位置，则圆 D 的方程是 A. + = 289 B. + = 7 C. + = 17 D. + = 34 【答案】C 【解析】圆心既在 y = −2x 上，又到 A、B 两点距离相等，所以圆心必然也在弦 AB 的垂直平分线上。 先求中点：(, ) = (, )。 再求 AB 的斜率： = = −1。 因此垂直平分线的斜率为 1，它经过中点 (, )，方程是 y − = x − ，化简得 y = x。 把 y = x 与 y = −2x 联立：x = −2x，3x = 0，所以 x = 0、y = 0。 圆心为 (0, 0)，恰好落在原点上。 半径平方 = + = 1 + 16 = 17。 圆心为原点时标准方程里两个括号都消失，所以圆 D 的方程是 + = 17，选 C。 用 B 点复核： + = 16 + 1 = 17，吻合。 A 项 289 是把半径平方 17 又平方了一次；D 项 34 是把 17 乘 2，这两种错误都发生在最后一步"写方程"上。 【考查知识点】由圆心所在直线与两定点反求圆方程，体会圆心必在垂直平分线上 【易错点】把半径平方 17 再平方一次写成 289（A 项）；或垂直平分线斜率取成 −1，圆心就会跑到别处 7. 某写字楼中央的圆形喷水池，其池壁所在圆 D 的方程为 + − 6x + 8y + 9 = 0。一条穿过水池的检修便道 l: x + y − 3 = 0 已被证实与池壁相交，则该便道在池壁上截得的弦长等于 A. 2 B. 4 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】先配方化标准式。 − 6x = − 9， + 8y = − 16。 把这两式代回原方程： − 9 + − 16 + 9 = 0，整理得 + = 16。 所以圆心 C(3, −4)，半径 r = 4。 圆心到 l 的距离 d = = = = 2。 因为 2 ≈ 2.83 < r = 4，所以两线相交，与题设"已被证实相交"吻合。 由垂径定理，半弦、弦心距、半径构成直角三角形，半弦长 = 。 又 2 的平方等于 8，于是 = 8，半弦 = = 2。 弦长是半弦的两倍：2 × 2 = 4，选 C。 结果合理性检验：4 ≈ 5.66 小于直径 8，符合"弦不超过直径"的要求。 A 项 2 是算出半弦就停笔、忘记乘 2；B 项 4 是分母 漏开方、把 d 误算成 4 之后半弦算成 0 又错推的结果；D 项 2 则是把半径误当成弦长。 【考查知识点】垂径定理求弦长：半弦 = ，弦长须乘 2 【易错点】算出半弦就作答（漏乘 2 选 A）；或分母漏开方使 d 算成 4，之后 = 0 而误判为切线 8. 某造纸厂污水处理池呈圆形，其边界圆的圆心为 (−2, 1)，半径为 3。若一条排污管线 l: x − y + m = 0 与该池边界有两个不同的公共点，则实数 m 的取值范围是 A. (−3, 3) B. (3 − 3, 3 + 3) C. (3, 3) D. (−3, 9) 【答案】B 【解析】设圆心到 l 的距离为 d，把圆心 (−2, 1) 代入 l 的左端： d = = 。 这里 A = 1、B = −1，所以分母是 = 。 两个不同的公共点等价于 d < r = 3，即 < 3。 两边同乘正数 ，不等号方向不变：|m − 3| < 3。 拆绝对值：−3 < m − 3 < 3。 三边同时加 3：3 − 3 < m < 3 + 3。 所以取值范围是 (3 − 3, 3 + 3)，选 B。 结果的中心是 3，这与几何意义一致：m = 3 时 l 为 x − y + 3 = 0，此时圆心 (−2, 1) 满足 −2 − 1 + 3 = 0，即圆心在管线上，d = 0 < 3，两线相交。 端点检验：m = 3 ± 3 时 d 恰为 3，两线相切、只有一个公共点，不符合"两个不同的公共点"，所以必须是开区间。 A 项 (−3, 3) 把 3 粗略取成了 3，丢了根号；C 项 (3, 3) 左端点写成了中心 3，是拆绝对值时只加了右半边；D 项 (−3, 9) 则完全偏离了以 3 为中心的对称结构。 【考查知识点】直线与圆相交的条件 d < r，含参时用距离公式列出含绝对值的不等式 【易错点】拆绝对值后只在右端加常数，漏掉左端；或把 3 误写成 3 而丢掉根号 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 某博物馆新展出一枚青铜圆镜，其镜面外沿对应的圆 D 为 + = 16，展厅地面上有一条笔直的引导线 m: 3x − 4y + k = 0。关于引导线 m 与这枚圆镜的位置关系，正确的判断有 A. 圆 D 的圆心为 (2, −3)，半径为 4 B. 当 k = 2 时，m 与圆 D 相切 C. 当 k = −25 时，m 与圆 D 相离 D. 当 k = 20 时，m 与圆 D 相离 【答案】ABD 【解析】A 项：标准方程 + = 直接读出 h = 2、k = −3、r = 4，正确。 建立圆心到 m 的距离表达式：d = = 。 分母 = 5，分子是 6 + 12 + k = k + 18，符号在这里要留神。 B 项：k = 2 时 d = = 4 = r，两线相切，正确。 由 d = 4 反推相切条件是 |k + 18| = 20，即 k = 2 或 k = −38，这说明相切对应两个 k 值，做题时可以互相验证。 C 项：k = −25 时 d = = = 1.4 < 4，两线相交，不是相离，错误。 D 项：k = 20 时 d = = 7.6 > 4，两线相离，正确。 所以正确选项为 A、B、D。 【考查知识点】圆的标准方程读取，以及用圆心到直线的距离判定三种位置关系 【易错点】C 项的 k = −25 让分子变成 −7，很容易误以为是"绝对值大"就判相离，其实 |−7| = 7 很小；相离的判据是 |k + 18| > 20 而不是 k 本身的大小 10. 某市新建的环形湿地公园，其水面外边界是圆 D。已知圆 D 上所有点到定直线 l 的距离的最大值是 11，最小值是 1。则下列结论正确的有 A. 圆 D 的半径为 6 B. 圆 D 的圆心到 l 的距离为 5 C. 圆 D 上到 l 的距离等于 6 的点恰有 2 个 D. 圆 D 上到 l 的距离等于 1 的点恰有 1 个 【答案】ABC 【解析】设圆心到 l 的距离为 d、半径为 r。 沿着"过圆心且垂直于 l"的那条直径走，离 l 最远的点是圆心背离 l 一侧的那个端点，最远距离是 d + r；最近的点则在圆心靠近 l 一侧，最近距离是 r − d。 于是得到方程组 d + r = 11，r − d = 1。 A 项：两式相加得 2r = 12，所以 r = 6，正确。 B 项：两式相减得 2d = 10，所以 d = 5，正确。 C 项：到 l 距离等于 6 的点，落在与 l 平行、且到 l 距离为 6 的两条直线上。这两条直线到圆心的距离分别是 |5 − 6| = 1 与 5 + 6 = 11。 与半径 6 比较：1 < 6，第一条直线与圆相交，得 2 个交点；11 > 6，第二条直线在圆外，与圆没有公共点。 所以满足条件的点共 2 个，C 正确。 D 项：到 l 距离等于 1 的点同样落在两条平行线上，它们到圆心的距离是 5 − 1 = 4 与 5 + 1 = 6。 4 < 6，第一条与圆相交得 2 个点；6 = 6，第二条与圆相切得 1 个点。合计 2 + 1 = 3 个，而不是 1 个，D 错误。 综上，正确选项为 A、B、C。 【考查知识点】圆上点到定直线距离的最大值 d + r 与最小值 r − d；按 k 与 d 的关系数出等距点的个数 【易错点】判断"距离等于 k 的点有几个"时，只想到 k > d 时的两条平行线相交，而忽略 k < d 时其中一条平行线落在圆内只过一点、k = d 时相切也只得一点 11. 关于圆 C: + − 4x − 2y − 4 = 0，下列说法中正确的有 A. 圆 C 的圆心为 (2, 1) B. 圆 C 的半径为 3 C. 原点 O 在圆 C 上 D. 点 (2, 4) 在圆 C 上 【答案】ABD 【解析】先把一般方程配方： − 4x = − 4， − 2y = − 1。 代回原方程： − 4 + − 1 − 4 = 0，整理得 + = 9。 由标准式读出圆心为 (2, 1)，所以 A 项正确。 由标准式读出半径为 3，所以 B 项正确。 C 项：判断点在圆上只需把坐标代入原方程看结果是否为 0。 原点代入得 0 + 0 − 0 − 0 − 4 = −4 ≠ 0，所以原点不在圆 C 上，C 项错误。 也可以用距离复核：圆心 (2, 1) 到原点的距离为 = ，而半径是 3， ≠ 3，两种判法结论一致。 D 项：把 (2, 4) 代入原方程， 得 + − 4 × 2 − 2 × 4 − 4 = 4 + 16 − 8 − 8 − 4 = 0，结果为 0，所以点 (2, 4) 在圆 C 上，D 项正确。 用标准式复核更直观： + = 0 + 9 = 9，正好等于半径平方。 所以正确选项为 A、B、D。 【考查知识点】圆的一般方程配方，以及用代入法或距离法判定点与圆的位置关系 【易错点】C 项只看到常数项 −4 就以为"原点在圆上"，其实判定点在圆上必须让代入结果等于 0；或比较距离时把 与 3 凑成"差不多"而不做精确判断 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 某奶茶店新推出的一款杯型，其杯口轮廓是正圆，已知圆心为 (2, −3)，半径为 5，则杯口所在圆的方程为________________。 【答案】 + = 25 【解析】圆心与半径都已给出，直接套用标准方程 + = 。 半径的平方是 = 25，右边应填 25。 圆心横坐标 h = 2 是正数，x 这一项写成 (x − 2)；纵坐标 k = −3 是负数，y 这一项写成 (y + 3)。 所以方程为 + = 25。 检验圆心： + = 0，落在左端，位置正确。 再取圆上一点验证：令 x = 7、y = −3， + = 25 + 0 = 25，确在圆上。 也取一个非轴上的点：令 x = 2、y = 2，得 0 + 25 = 25，同样成立。 【考查知识点】由圆心与半径直接写出圆的标准方程 【易错点】右边写成 5 而不是半径的平方 25；或圆心纵坐标为负时写成 ，符号处理反了 13. 某雷达站的天线基座是一片圆形区域，其边界圆 D 的方程为 + + 4x − 6y − 12 = 0，一条巡逻路线 l: 3x + 4y + 1 = 0 与圆 D 交于 P、Q 两点，则弦长 |PQ| =________________。 【答案】 【解析】第一步化标准式。 + 4x = − 4， − 6y = − 9。 代回原方程得 − 4 + − 9 − 12 = 0，整理为 + = 25。 所以圆心 C(−2, 3)，半径 r = 5。 第二步求弦心距。把圆心代入 l 的左端：d = = = 。 因为 = 1.4 < 5，两线相交，与题设"交于 P、Q 两点"一致。 第三步用垂径定理。半弦 = 。 = ，所以半弦 = = = 。 被开方数 576 是 ，所以 = 24，半弦 = 。 第四步弦长是半弦的两倍：|PQ| = 2 × = 。 合理性检验： = 9.6，小于直径 10，符合要求；若算出的弦长超过 10，说明前面的某一步有错。 【考查知识点】圆的一般方程配方求圆心半径，配合垂径定理求弦长 【易错点】分子 3 × (−2) + 4 × 3 = 6，再加上常数项 1 得 7，这里若把 1 误看成 −1 会得到 5，弦长就完全不同；另外 要分子分母分别开方，得 而非 14. 某中学的圆形花坛边界为圆 D，其圆心为 (1, −2)，半径为 4。若直线 l: x + y + k = 0 与圆 D 完全没有公共点，则实数 k 的取值范围是________________。 【答案】(−∞, 1 − ) ∪ (1 + , +∞) 【解析】圆心 (1, −2) 到 l 的距离为 d = = 。 "完全没有公共点"就是相离，相离的充要条件是 d > r。 所以 > 4。 两边同乘 ：|k − 1| > 4。 把右端化简：4 = · = 。 拆绝对值得两类不等式：k − 1 > ，或 k − 1 < −。 即 k > 1 + ，或 k < 1 − 。 写成区间就是 (−∞, 1 − ) ∪ (1 + , +∞)。 端点检验：k = 1 ± 时 d 恰为 4，两线相切、恰好有一个公共点，与"完全没有公共点"矛盾，所以两个端点都必须舍去。 中间验证：k = 1 时 l 为 x + y + 1 = 0，圆心 (1, −2) 满足 1 − 2 + 1 = 0，即圆心在直线上，d = 0 < 4，两线相交，所以 k = 1 落在被排除的中间部分，与答案结构一致。 【考查知识点】直线与圆相离的条件 d > r，以及含绝对值不等式与区间表示 【易错点】把"没有公共点"写成 d ≥ r，把两条切线也包含进来；4 化简成 时容易漏乘一次根号 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某化工厂新建的储料罐，其底面是一个圆。 在平面直角坐标系中，该圆 D 的一般方程为 + − 2x − 10y + m = 0（m 为待定参数，m ∈ R）。 （1）求圆 D 的圆心坐标与半径（用 m 表示）； （2）若要求圆 D 的半径大于 4，求 m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，求圆 D 上到原点距离最大的点，并写出该最大距离（用 m 表示）。 【答案】解：（1）配方： − 2x = − 1， − 10y = − 25。 代回原方程： − 1 + − 25 + m = 0， 即 + = 26 − m。 所以圆心为 (1, 5)，半径为 r = 。 注意含 m 的项只出现在右边，因此圆心与 m 无关，这是本题第（2）（3）问的基础。 （2）半径大于 4，即 > 4。 因为半径是非负数，两边可以同取平方：26 − m > 16。 整理得 m < 10。 所以 m 的取值范围是 m < 10。 端点检验：m = 10 时半径恰为 4，题目要求"大于 4"，不含等号，故 m < 10。 （3）设圆心为 C(1, 5)，先求圆心到原点的距离： |OC| = = 。 圆上一点到定点 O 的最大距离，等于圆心到 O 的距离加上半径， 即最大距离为 + 。 取点时沿着"从 O 指向 C 再继续往外"的方向走满一个半径。 这个方向的单位向量是 ， 半径向量为 × = (, )。 所以所求点为 P(1 + , 5 + )， 最大距离为 + 。 检验 P 确在圆上： + = ，即 ，成立。 检验距离：|OP| = + ，与结论一致。 【解析】第（1）问要养成"配方后先看参数落在哪边"的习惯。本题 m 只出现在右边，左边的 与 完全由系数决定，所以圆心恒为 (1, 5)，这一点在后面两问里都要用到。 第（2）问的常见卡点是不敢平方。由 > 4 平方得到 26 − m > 16 是安全的，因为两边本来都非负；真正需要小心的是像 < 0 这种不可能成立的情形。 第（2）问的结果 m < 10 还要回头看一眼几何意义：m 越大右端越小、半径越小，m = 10 时半径为 4，m 再大就不足 4 了，方向与结论一致。 第（3）问的核心是那个"圆上一点到定点距离的最大值等于圆心到定点距离加半径"的结论，它的直观图像是：过 O 与圆心作直线，这条直线与圆的两个交点中，离 O 更远的那个就是所求点。 单位向量 的作用是把"方向"变成"单位长度"，乘以半径就得到从圆心出发的半径向量，这是求圆上特定点的标准操作。 最后两步检验都很值得写出来：把 P 代回标准方程左端恰得 ，说明 P 真在圆上；再把 |OP| 沿直线方向展开，得到 + r，与前面结论对上号。两条路径都通了，答案才算真正闭合。 【考查知识点】含参圆的一般方程配方、由半径条件反解参数、圆上一点到定点距离的最大值及其取点方向 【易错点】第（1）问误以为圆心会随 m 变化，把 m 也算进圆心坐标；第（2）问把"半径大于 4"写成 m ≤ 10，漏掉开方与严格不等号；第（3）问把最大距离写成 − ，方向取反了 16. 两颗通信卫星在同一平面内运行，它们的轨道分别落在圆 : + = 9 与圆 : + − 6x − 8y + 9 = 0 上。 （1）判断两圆的位置关系； （2）求两圆公共弦所在直线的方程； （3）若两颗卫星在某一时刻恰好分别位于公共弦的两个端点，求该时刻两卫星之间的距离。 【答案】解：（1）圆 的圆心为 (0, 0)，半径 = 3。 圆 配方： − 6x = − 9， − 8y = − 16， 代回得 − 9 + − 16 + 9 = 0，即 + = 16。 所以圆心为 (3, 4)，半径 = 4。 两圆心距离 || = = = 5。 比较：| − | = 1 < 5 < 7 = + ， 所以两圆相交，有两个公共点，公共弦存在。 （2）公共点同时满足两式。 先把 补成一般式： + − 9 = 0。 用它减去 的方程： ( + − 9) − ( + − 6x − 8y + 9) = 0， 二次项消去，得 6x + 8y − 18 = 0。 两边同除 2，公共弦所在直线为 3x + 4y − 9 = 0。 （3）用其中一个圆求弦长。 圆心 (0, 0) 到直线 3x + 4y − 9 = 0 的距离为 = = 。 因为 = 1.8 < = 3，该直线与圆 相交，与第（1）问一致。 由垂径定理，半弦 = = = = = 。 所以公共弦长 = 2 × = 。 两卫星分别位于弦的两个端点，它们的距离正是这条弦的长度，所以距离为 。 用另一个圆独立复核： = = = 。 − = 16 − = = 。 半弦同样是 ，弦长同样是 ，两次计算完全吻合。 【解析】第（1）问是圆心距公式的标准应用，但本题的数字安排得很巧：圆心距是 5，半径是 3 和 4，而 3 + 4 = 7 > 5 > 4 − 3 = 1，正好落在"相交"的区间内，写完不等式链就能直接读出结论。 本题特别要小心的是 的半径：配方时 −9 与 −16 加上常数项 +9，净剩 −16，所以右边是 16，半径是 4 而不是 5。这个数字一旦记错，第（1）问的判断和第（3）问的弦长会同时出错。 第（2）问的公共弦方程用"两式相减"法，前提是两式的二次项系数完全一致。 原本写成 + = 9，必须先补成 + − 9 = 0 再相减，否则会得到一条完全错误的直线。 相减后得到的那条直线同时经过两个公共点，因此就是公共弦所在直线；如果两圆相离或外切，这条直线仍然能算出来但没有实际意义，所以第（1）问的判定绝不能省。 第（3）问的标准做法是"选定一个圆算半弦"，半径与弦心距必须取自同一个圆，混用是最容易出错的地方。 本题用 算：圆心到公共弦直线的距离是 ，由勾股定理得半弦 ，弦长 。 强烈建议再用 算一遍作为检验：这次弦心距是 ，半径是 4，半弦同样得 。两次结果一致，才能确认第（1）问里那个半径 4 是对的。 这个"双算法互检"的习惯在两圆问题中特别有价值：公共弦只有一条，长度必须唯一，若两次算出不同的长度，说明前面某一步的数据记错了。 【考查知识点】两圆位置关系的圆心距判定、公共弦方程的两式相减法、垂径定理求公共弦长 【易错点】第（1）问把 的半径误算成 5（漏看常数项 +9 的抵消作用）；第（2）问直接把 + = 9 与另一式相减而忘记先补成一般式；第（3）问把两个圆的数据混着用，半径取自一个圆而圆心距取自另一个圆 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第14节 直线与圆的方程 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 直线的倾斜角与斜率：k = α，α ∈ [0, π)；斜率不存在时对应竖直线，其倾斜角为 ② 两直线平行与垂直的判定：垂直看 + 是否为 0，平行看 − 是否为 0，两种条件不要记混 ③ 点到直线的距离公式：先化为一般式，分子取绝对值，分母是 的结果 ④ 圆的标准方程与一般方程的互化：配方后右边是半径的平方，右边为 0 时方程表示一个点，为负数时无图形 ⑤ 直线与圆的位置关系：比较圆心到直线的距离 d 与半径 r，d > r 相离、d = r 相切、d < r 相交，弦长是 2 ⑥ 圆上点到定直线距离的最大值是 d + r、最小值是 r − d；圆上到定直线距离等于 k 的点，要按 k 与 d 的大小关系数平行线与圆的交点个数 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 某山区新建的一条引水明渠，其中心线在施工图上标为直线 l。已知 l 经过点 (1, −2)，且倾斜角为 ，则 l 在 y 轴上的纵截距等于 A. 1 B. −1 C. −3 D. 3 2. 某风电叶片检测车间里有两条互相垂直的轨道，它们分别位于 : 2x − 3y + 6 = 0 与 : mx + y − 1 = 0 上。若要使这两条轨道确实互相垂直，实数 m 的值应为 A. − B. C. D. − 3. 某高校天文台的圆形观测穹顶，其内壁是一段圆弧。已知该圆弧所在圆的圆心为 (−1, 2)，并且经过点 (3, 5)，则这个圆的标准方程为 A. + = 5 B. + = 25 C. + = 25 D. + = 25 4. 某物流园区的一台巡检机器人目前位于平面点 M(−2, 3)，园区内某条笔直通道的方程为 a: 5x − 12y + 7 = 0，则机器人到这条通道的最短距离是 A. B. C. D. 3 5. 某市轨道交通的一段区间需要铺设一条与既有轨道垂直的联络线。已知既有轨道所在直线为 3x − 4y + 7 = 0，联络线必须经过点 (1, 1)，则联络线的方程是 A. 3x − 4y + 1 = 0 B. 4x + 3y − 7 = 0 C. 4x + 3y − 11 = 0 D. 3x − 4y − 1 = 0 6. 某港口的圆形堆场，其地面边界是一个圆 D，已知圆 D 的圆心落在直线 y = −2x 上，并且同时经过 A(1, 4) 与 B(4, 1) 两处灯柱位置，则圆 D 的方程是 A. + = 289 B. + = 7 C. + = 17 D. + = 34 7. 某写字楼中央的圆形喷水池，其池壁所在圆 D 的方程为 + − 6x + 8y + 9 = 0。一条穿过水池的检修便道 l: x + y − 3 = 0 已被证实与池壁相交，则该便道在池壁上截得的弦长等于 A. 2 B. 4 C. 4 D. 2 8. 某造纸厂污水处理池呈圆形，其边界圆的圆心为 (−2, 1)，半径为 3。若一条排污管线 l: x − y + m = 0 与该池边界有两个不同的公共点，则实数 m 的取值范围是 A. (−3, 3) B. (3 − 3, 3 + 3) C. (3, 3) D. (−3, 9) 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 某博物馆新展出一枚青铜圆镜，其镜面外沿对应的圆 D 为 + = 16，展厅地面上有一条笔直的引导线 m: 3x − 4y + k = 0。关于引导线 m 与这枚圆镜的位置关系，正确的判断有 A. 圆 D 的圆心为 (2, −3)，半径为 4 B. 当 k = 2 时，m 与圆 D 相切 C. 当 k = −25 时，m 与圆 D 相离 D. 当 k = 20 时，m 与圆 D 相离 10. 某市新建的环形湿地公园，其水面外边界是圆 D。已知圆 D 上所有点到定直线 l 的距离的最大值是 11，最小值是 1。则下列结论正确的有 A. 圆 D 的半径为 6 B. 圆 D 的圆心到 l 的距离为 5 C. 圆 D 上到 l 的距离等于 6 的点恰有 2 个 D. 圆 D 上到 l 的距离等于 1 的点恰有 1 个 11. 关于圆 C: + − 4x − 2y − 4 = 0，下列说法中正确的有 A. 圆 C 的圆心为 (2, 1) B. 圆 C 的半径为 3 C. 原点 O 在圆 C 上 D. 点 (2, 4) 在圆 C 上 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 某奶茶店新推出的一款杯型，其杯口轮廓是正圆，已知圆心为 (2, −3)，半径为 5，则杯口所在圆的方程为________________。 13. 某雷达站的天线基座是一片圆形区域，其边界圆 D 的方程为 + + 4x − 6y − 12 = 0，一条巡逻路线 l: 3x + 4y + 1 = 0 与圆 D 交于 P、Q 两点，则弦长 |PQ| =________________。 14. 某中学的圆形花坛边界为圆 D，其圆心为 (1, −2)，半径为 4。若直线 l: x + y + k = 0 与圆 D 完全没有公共点，则实数 k 的取值范围是________________。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某化工厂新建的储料罐，其底面是一个圆。 在平面直角坐标系中，该圆 D 的一般方程为 + − 2x − 10y + m = 0（m 为待定参数，m ∈ R）。 （1）求圆 D 的圆心坐标与半径（用 m 表示）； （2）若要求圆 D 的半径大于 4，求 m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，求圆 D 上到原点距离最大的点，并写出该最大距离（用 m 表示）。 16. 两颗通信卫星在同一平面内运行，它们的轨道分别落在圆 : + = 9 与圆 : + − 6x − 8y + 9 = 0 上。 （1）判断两圆的位置关系； （2）求两圆公共弦所在直线的方程； （3）若两颗卫星在某一时刻恰好分别位于公共弦的两个端点，求该时刻两卫星之间的距离。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第14节 直线与圆的方程 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 直线的倾斜角与斜率、点斜式 数学运算 基础 B 2 单项选择题 5 两直线垂直的判定 数学运算 基础 C 3 单项选择题 5 圆的标准方程 数学运算 基础 B 4 单项选择题 5 点到直线的距离 数学运算 基础 D 5 单项选择题 5 直线的方程与垂直关系 数学运算 基础 B 6 单项选择题 5 圆的标准方程、垂直平分线 数学运算、逻辑推理 中档 C 7 单项选择题 5 直线与圆相交的弦长、垂径定理 数学运算 中档 C 8 单项选择题 5 直线与圆的位置关系、含绝对值不等式 数学运算 中档 B 9 多项选择题 6 直线与圆的位置关系 数学运算、逻辑推理 中档 ABD 10 多项选择题 6 圆上点到直线的距离 数学运算、直观想象 中档 ABC 11 多项选择题 6 圆的一般方程、点与圆的位置关系 数学运算 中档 ABD 12 填空题 5 圆的标准方程 数学运算 基础 + = 25 13 填空题 5 圆上两点距离与弦心距的关系 数学运算 中档 14 填空题 5 直线与圆的位置关系 数学运算 中档 (−∞, 1 − ) ∪ (1 + , +∞) 15 解答题 13 圆的一般方程、圆上一点到定点的距离 数学运算、逻辑推理 中档 见解析 16 解答题 14 两圆的位置关系、公共弦与圆上两点间距离 数学运算、逻辑推理 略难 见解析 难度分布：基础 6 题，中档 9 题，略难 1 题。全卷共 16 题，满分 100 分，预估难度系数 0.55—0.70。 学科网（北京）股份有限公司 $